無理不等式的解法

1、無理不等式的解法5 / 5新教師匯報課教案課 題：解無理不等式教學(xué)目的：通過分析典型類型例題，討論它們的解法，要求學(xué)生能正確地解 答無理不等式。教學(xué)過程：一、新課引入：前面我們已經(jīng)研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次 不等式，它們稱為整式不等式，再加上分式不等式，統(tǒng)稱為有理不等式， 今天我們學(xué)習(xí)一下無理不等式的解法。二、講解新課無理不等式一般是指在根號下含有未知數(shù)的不等式，今天我們主要研 究在二次根號下含有未知數(shù)的簡單的無理不等式的解法。首先，我們來看 下面這個例題：.x 33，不等式的解集解次不等式兒例一解不等式J3x 4 xT3 0433 12 x|x 3這是我們所要研究的:題型

2、 I: . f(x) g(x)型(f(x)g(x)f(x)0)定義域0g(x)通過這個例題（題型）我們可以發(fā)現(xiàn)：在解無理不等式的時候，關(guān)鍵是找出與其同解的有理不等式組，而解有理不等式組（如：一元一次不等式組、一元二次不等式組和一元高次不等式組等等）都是我們比較拿手的。簡言之：無理不等式 有理不等式即：通常所說的無理不等式的有理化解法。練習(xí)一：解不等式 JTX J3x 2 0y；5 2x 61（本練習(xí)由兩位同學(xué)板演，其他同學(xué)練習(xí)后講解）解：移項：,1 x ,3x 23x 2，原不等式的解集為x|- x 14x 1 05 2x x 1，原不等式的解集為x|1 x 2對兩位同學(xué)的板演進行講評，并讓同

3、學(xué)注意這種題型的結(jié)構(gòu)特征, 在解題過程中不要忘記結(jié)合數(shù)軸來求幾個不等式的解集的交集。變題：將上例中的變形為：例二解不等式45云 x 1讓學(xué)生回答解這道題的方法或需要注意的有關(guān)問題，有同學(xué)提到： 首先要考慮根式有意義，即 5 2x 0 ,接下來去根號；（如何去？）平 方！直接平方后得到的不等式是否與原不等式等價？提醒同學(xué)注意：解不等式所進行的變換一定要保證是等價變換。引導(dǎo)學(xué)生思考：a b a2 b2是否一定成立？不一定！因為：只有在 a b 0的情況之下，aba2 b2才會成立而例二中的x 1的符號并不能確定！由此可見：我們需要對x 1的符號進行討論。OK,下面就來做此工作（解題）。解：原不等式

4、的解集等價于下面兩個不等式組解集的并集：5 2x 0x 105 2x 0I ： x 1 05 2x (x 1)25x 2解 I : x 12x2即：1 x 2 或 x 1，原不等式的解集為x|x 2 這道題可以作為我們所研究的：題型 n： . f(x) g(x)型f(x)0g(x)0或f(x)g(x)2f(x) g(x)練習(xí)二：解不等式 . 2x2 3x 1 1 2x(學(xué)生回答，老師板演)解：原不等式的解集等價于下面兩個不等式組解集的并集:2x2 3x 1 0I ：1 2x 02x2 3x 1 (1 2x)2一2 一2x 3x 1 01 2x 0x 1或 x 2解 I ： x 127-x 02

5、即： x 0 或 x 22，原不等式的解集為x|x 0請同學(xué)們注意這種題型的解法，一定要注意g (x)的正負(fù)的討論，并且原不等式的解集應(yīng)當(dāng)是與其等價的兩個不等式組解集的并集，尤其要注意結(jié)合數(shù)軸找出它們的并集，切記！但是，如果將上述練習(xí)二中的改為“”的話，那么又是另一種題型，我們就來看看:例三：解不等式 .2x2 3x 1 1 2x我們可以將其視為： f(x) g(x)型讓學(xué)生總結(jié)其解法，首先考慮一下是否要討論g (x)的正負(fù)？不需要！為什么？因為 g (x)只能有一種情況，那就是必須為正，即：g (x)0f(x) 0題型出：,f (x) g(x)型g(x) 0f(x) g(x)下面我們詳細(xì)地寫

6、出例三的解答過程。解：原不等式等價于下列不等式組：-2-2x 3x 1 01 2x 0_2_22x 3x 1 (1 2x)x 1或 x - 21x 2xZ 或x 021 .，原不等式的解集為x|0 x 或x 1 三、綜合練習(xí)：解下列不等式：2x 1 01 . 2x 1 x 1 1解：要使不等式有意義必須:原不等式可變形為J2x 1 1 Jx 1因為兩邊均為非負(fù)(必 1 1)2(Jx 1)2 即 2,2x 1 (x 1)1- x+1 02x+1 0即 x 2，原不等式的解集為x|x 12本題是一道綜合題，在解題的過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，其實它包括了 題型I和題型n,只不過較之又稍微復(fù)雜了一些，但仔細(xì)

7、看看，其實 又簡單了一些，如：2j2x 1 (x 1)中x+10,從而(x 1) 0,解題時應(yīng)當(dāng)注意這些條件。2. U9 x2 J6x x2 3解：要使不等式有意義必須：一 2 一一一9x03x320x36x x2 00 x6在 0W xW 3 內(nèi) 0W 99 x2 3 0 %，6x x2 3 76x一二因為不等式兩邊均為非負(fù)兩邊平方得：9 x2 9 6x x2 66x/ 即76x/x因為兩邊非負(fù)，再次平方：6x x2 x2解之0x3 綜合得：原不等式的解集為 x| 0x3四、小結(jié)1 .解無理不等式的基本方法就是將其轉(zhuǎn)化為有理不等式組，在轉(zhuǎn) 化過程中一定要注意等價變換；2 .三種題型的等價變形請務(wù)必分清，關(guān)鍵是考慮我們以前常常講