(完整版)初中最基本的尺規(guī)作圖總結(jié)(總18頁)

1、尺規(guī)作圖一、理解“尺規(guī)作圖”的含義1.在幾何中，我們把只限定用直尺（無刻度）和圓規(guī)來畫圖的方法，稱為尺規(guī)作圖其中直尺只能用來作直線、線段、射線或延長線段；圓規(guī)用來作圓和圓弧由此可知，尺規(guī)作圖與一般的畫圖不同，一般畫圖可以動用一切畫圖工具，包括三角尺、量角器等，在操作過程中可以度量，但尺規(guī)作圖在操作過程中是不允許度量成分的2.基本作圖：（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段；（2）用尺規(guī)作一個角等于已知角. 利用這兩個基本作圖，可以作兩條線段或兩個角的和或差.二、熟練掌握尺規(guī)作圖題的規(guī)范語言1.用直尺作圖的幾何語言：過點、點作直線；或作直線；或作射線；連結(jié)兩點；或連結(jié)；延長到點；或延長（反向延長）到

2、點，使；或延長交于點；2.用圓規(guī)作圖的幾何語言：在上截?。灰渣c為圓心，的長為半徑作圓（或?。?；以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點；分別以點、點為圓心，以、的長為半徑作弧，兩弧相交于點、 .三、了解尺規(guī)作圖題的一般步驟尺規(guī)作圖題的步驟：1.已知：當(dāng)作圖是文字語言敘述時，要學(xué)會根據(jù)文字語言用數(shù)學(xué)語言寫出題目中的條件；2.求作：能根據(jù)題目寫出要求作出的圖形及此圖形應(yīng)滿足的條件；3.作法：能根據(jù)作圖的過程寫出每一步的操作過程.當(dāng)不要求寫作法時，一般要保留作圖痕跡.對于較復(fù)雜的作圖，可先畫出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法.在目前，我們只要能夠?qū)懗鲆阎?，求作，作法三步（另外還有第四步

3、證明）就可以了，而且在許多中考作圖題中，又往往只要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法，可見在解作圖題時，保留作圖痕跡很重要.尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段； 2、作一個角等于已知角； 3、作已知線段的垂直平分線； 4、作已知角的角平分線； 5、過一點作已知直線的垂線；題目一：作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a .求作：線段AB，使AB = a .作法：（1） 作射線AP；（2） 在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。題目二：作

4、已知線段的中點。已知：如圖，線段MN.求作：點O，使MO=NO（即O是MN的中點）.作法：（）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；（）連接PQ交MN于O則點O就是所求作的的中點。（試問：PQ與有何關(guān)系？）題目三：作已知角的角平分線。已知：如圖，AOB，求作：射線OP, 使AOPBOP（即OP平分AOB）。作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧交AOB內(nèi)于；（3） 作射線OP。則射線OP就是AOB的角平分線。題目四：作一個角等于已知角。（請自己寫出“已知”“求作”并作出圖形，不寫作法

5、）題目五：已知三邊作三角形。已知：如圖，線段a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：（1） 作線段AB = c；（2） 以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心a為半徑作弧與前弧相交于C；（3） 連接AC，BC。則ABC就是所求作的三角形。題目六：已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段m，n, .求作：ABC，使A=，AB=m，AC=n.作法：（1） 作A=；（2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；（3） 連接BC。則ABC就是所求作的三角形。題目七：已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，線段m .求作：ABC，使A=，B=,AB=m.作法：（1） 作線段AB=

6、m；（2） 在AB的同旁作A=，作B=，A與B的另一邊相交于C。則ABC就是所求作的圖形（三角形）。初中尺規(guī)作圖典型例題歸納典型例題一例 已知線段a、b，畫一條線段，使其等于分析 所要畫的線段等于，實質(zhì)上就是畫法：1畫線段2在AB的延長線上截取線段AC就是所畫的線段說明1尺規(guī)作圖要保留畫圖痕跡，畫圖時畫出的所有點和線不可隨意擦去2其它作圖都可以通過畫基本作圖來完成，寫畫法時，只需用一句話來概括敘述基本作圖典型例題二例 如下圖，已知線段a和b，求作一條線段AD使它的長度等于2ab錯解 如圖（1），（1）作射線AM；（2）在射線AM上截取AB=BC=a，CD=b，則線段AD即為所求錯解分析 主要是

7、作圖語言不嚴(yán)密，當(dāng)在射線上兩次截取時，要寫清是否順次，而在求線段差時，要交待截取的方向圖（1） 圖（2）正解 如圖（2），（1）作射線AM；（2）在射線AM上，順次截取AB=BC=a；（3）在線段CA上截取CD=b，則線段AD就是所求作的線段典型例題三例 求作一個角等于已知角MON（如圖1）圖（1） 圖（2）錯解 如圖（2），（1）作射線；（2）在圖（1），以O(shè)為圓心作弧，交OM于點A，交ON于點B；（3）以為圓心作弧，交于C；（4）以C為圓心作弧，交于點D；（5）作射線則即為所求的角錯解分析 作圖過程中出現(xiàn)了不準(zhǔn)確的作圖語言，在作出一條弧時，應(yīng)表達(dá)為：以某點為圓心，以其長為半徑作弧正解 如圖

8、（2），（1）作射線；（2）在圖（1）上，以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，交OM于點A，交ON于點B；（3）以為圓心，OA的長為半徑作弧，交于點C；（4）以C為圓心，以AB的長為半徑作弧，交前弧于點D；（5）過點D作射線則就是所要求作的角典型例題四例 如下圖，已知及線段a，求作等腰三角形，使它的底角為，底邊為a分析 先假設(shè)等腰三角形已經(jīng)作好，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，知兩底角B=C=，底邊BC=a，故可以先作B=，或先作底邊BC=a作法 如下圖（1）MBN=；（2）在射線BM上截取BC=a；（3）以C為頂點作PCB=，射線CP交BN于點AABC就是所要求作的等腰三角形說明 畫復(fù)雜的圖形時，如一時找不

9、到作法，一般是先畫出一個符合條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟典型例題五例 如圖（1），已知直線AB及直線AB外一點C，過點C作CDAB（寫出作法，畫出圖形）分析 根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位角相等或內(nèi)錯角相等，故作一個角ECD=EFB即可作法 如圖（2）圖（1） 圖（2）（1）過點C作直線EF，交AB于點F；（2）以點F為圓心，以任意長為半徑作弧，交FB于點P，交EF于點Q；（3）以點C為圓心，以FP為半徑作弧，交CE于M點；（4）以點M為圓心，以PQ為半徑作弧，交前弧于點D；（5）過點D作直線CD，CD就是所求的直線說明 作圖題都應(yīng)給出證明，但按照教科書的要求，一般不用寫出

10、，但要知道作圖的原由典型例題六例 如下圖，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=，C=，請你從中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，畫出與ABC全等的三角形（把你能畫的三角形全部畫出來，不寫畫法但要在所畫的三角形中標(biāo)出用到的數(shù)據(jù)）分析 本題實質(zhì)上是利用原題中的5個數(shù)據(jù)，列出所有與ABC全等的各種情況，依據(jù)是SSS、SAS、AAS、ASA解 與ABC全等的三角形如下圖所示典型例題七例 正在修建的中山北路有一形狀如下圖所示的三角形空地需要綠化擬從點A出發(fā)，將ABC分成面積相等的三個三角形，以便種上三種不同的花草，請你幫助規(guī)劃出圖案（保留作圖痕跡，不寫作法）（2003年，桂林）分析 這是尺規(guī)作圖在生活中

11、的具體應(yīng)用要把ABC分成面積相等的三個三角形，且都是從A點出發(fā)，說明這三個三角形的高是相等的，因而只需這三個三角形的底邊也相等，所以只要作出BC邊的三等分點即可作法 如下圖，找三等分點的依據(jù)是平行線等分線段定理典型例題八例 已知AOB，求作AOB的平分線OC錯解 如圖（1）作法 （1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于C點；（3）連結(jié)OC，則OC就是AOB的平分線錯解分析 對角平分線的概念理解不夠準(zhǔn)確而致誤作法（3）中連結(jié)OC，則OC是一條線段，而角平分線應(yīng)是一條射線圖（1） 圖（2）正解 如圖（2）（1）

12、以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于C點；（3）作射線OC，則OC為AOB的平分線典型例題九例 如圖（1）所示，已知線段a、b、h（hb）求作ABC，使BC=a，AB=b， BC邊上的高AD=h圖（1）錯解 如圖（2），（1）作線段BC=a；（2）作線段BA=b，使ADBC且AD=h則ABC就是所求作的三角形錯解分析 不能先作BC；第2步不能同時滿足幾個條件，完全憑感覺毫無根據(jù)；未考慮到本題有兩種情況對于這種作圖題往往都是按照由里到外的順序依次作圖，如本題先作高AD，再作AB，最后確定BC圖（2） 圖（3）正

13、解 如圖（3）（1）作直線PQ，在直線PQ上任取一點D，作DMPQ；（2）在DM上截取線段DA=h；（3）以A為圓心，以b為半徑畫弧交射線DP于B；（4）以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BP和射線BQ于和；（5）連結(jié)、，則（或）都是所求作的三角形典型例題十例 如下圖，已知線段a，b，求作RtABC，使ACB=90，BC=a，AC=b（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）分析 本題解答的關(guān)鍵在于作出ACB=90，然后確定A、B兩點的位置，作出ABC作法 如下圖（1）作直線MN：（2）在MN上任取一點C，過點C作CEMN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）連結(jié)AB，ABC就

14、是所求作的直角三角形說明 利用基本作圖畫出所求作的幾何圖形的關(guān)鍵是要先分析清楚作圖的順序若把握不好作圖順序，要先畫出假設(shè)圖形典型例題十一例 如下圖，已知鈍角ABC，B是鈍角求作：（1）BC邊上的高；（2）BC邊上的中線（寫出作法，畫出圖形）分析 （1）作BC邊上的高，就是過已知點A作BC邊所在直線的垂線；（2）作BC邊上的中線，要先確定出BC邊的中點，即作出BC邊的垂直平分線作法 如下圖（1）在直線CB外取一點P，使A、P在直線CB的兩旁；以點A為圓心，AP為半徑畫弧，交直線CB于G、H兩點；分別以G、H為圓心，以大于GH的長為半徑畫弧，兩弧交于E點；作射線AE，交直線CB于D點，則線段AD就

15、是所要求作的ABC中BC邊上的高（2）分別以B、C為圓心，以大于BC的長為半徑畫弧，兩弧分別交于M、N兩點；作直線MN，交BC于點F；連結(jié)AF，則線段AF就是所要求作的ABC中邊BC上的中線說明 在已知三角形中求作一邊上的高線、中線、角平分線時，首先要把握好高線、中線、角平分錢是三條線段；其次，高線、中線的一個端點必須是三角形中這邊所對的頂點，而關(guān)鍵是找出另一個端點典型例題十二例 如圖（1）所示，在圖中作出點C，使得C是MON平分線上的點，且AC=OC圖（1） 圖（2）分析 由題意知，點C不僅要在MON的平分線上，且點C到O、A兩點的距離要相等，所以點C應(yīng)是MON的平分線與線段OA的垂直平分線

16、的交點作法 如圖（2）所示（1）作MON的平分線OP；（2）作線段OA的垂直平分線EF，交OP于點C，則點C就是所要求作的點說明（1）根據(jù)題意弄清要求作的點的特征是到各直線距離相等，還是到各端點距離相等（2）兩條直線交于一點典型例題十三例 如下圖，已知線段a、b、求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，ADBC，B=；C=分析 假定梯形已經(jīng)作出，作AEDC交BC于E，則AE將梯形分割為兩部分，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE中，已知B=，AEB=，BE=b-a，所以，可以首先把它作出來，而后作出AECD作法 如下圖（1）作線段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a ；（3）分別以B

17、、E為頂點，在BE同側(cè)作EBA=，AEB=，BA、EA交于A；（4）以EA、EC為鄰邊作AECD四邊形ABCD就是所求作的梯形說明 基本作圖是作出較簡單圖形的基礎(chǔ)，三角形是最簡單的多邊形，它是許多復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)因此，要作一個復(fù)雜的圖形，常常先作一個比較容易作出的三角形，然后以此為基礎(chǔ)，再作出所求作的圖形典型例題十四例 如下圖，在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點700米，如果你是紅方的指揮員，請你在圖示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置（2002年，青島）分析 依據(jù)角平分線的性質(zhì)可以知道，藍(lán)方指揮部必在A區(qū)內(nèi)兩條路所夾角的平分線上，然

18、后由藍(lán)方指揮部距B點的距離，依據(jù)比例尺，計算出圖上的距離為3.5cm，就可以確定出藍(lán)方指揮部的位置解 如下圖，圖中C點就是藍(lán)方指揮部的位置典型例題十五例 如圖（1），已知有公共端點的線段AB、BC求作O，使它經(jīng)過點A、B、C（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2002年，大連）圖（1） 圖（2）分析 因為A、B、C三點在O上，所以O(shè)A=OB=OC=R根據(jù)到線段AB、BC各端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，故分別作線段AB、BC垂直平分線即可解 如圖（2）說明 角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)在作圖題中的應(yīng)用是近幾年中考中的又一道風(fēng)景，它往往與實際問題緊密聯(lián)系在一起典型例題十六例

19、 如圖，是一塊直角三角形余料，工人師傅要把它加工成一個正方形零件，使C為正方形的一個頂點，其余三個頂點分別在AB、BC、AC邊上試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線 分析 要作出符合條件的正方形，可先作出有三個角為90的四邊形，并設(shè)法讓相鄰的一組邊相等即可作法 如圖 作的角平分線CD，交AB于點G；過G點分別作AC、BC的垂線，垂足為E、F則四邊形ECFG就是所要求作的正方形 基礎(chǔ)訓(xùn)練1、已知線段AB和CD，如下圖，求作一線段，使它的長度等于AB2CD.2、如圖，已知A、B，求作一個角，使它等于A-B.3、如圖作ABC，使得BC=、AC=、AB=4、如圖，畫一個等腰ABC，使得底邊BC=，它的高AD

20、=5、如圖，已知AOB及M、N兩點，求作：點P，使點P到AOB的兩邊距離相等，且到M、N的兩點也距離相等。6.己知三角形的兩條邊及其夾角，求作三角形已知一個三角形的兩條邊分別為a，b，這兩條邊夾角為a，求作這個三角形7.已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形巳知一個三角形的兩角分別為a 夾邊為a 求作這個三角形。 8、己知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形已知三角形的兩角分別為a ，a的對邊為a,求作這個三角形 9.己知一直角邊和斜邊求作三角形己知一個直角三角形的一條直角邊為a，斜邊長為c，求作這個三角形。10尺規(guī)作圖：請你作出一個以線段和線段為對角線的菱形(要求：寫出已知，求作，結(jié)論，并

21、用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明)已知：求作：結(jié)論：垂直平分線的訓(xùn)練1.某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB上建一個休息點M，使他到A，C兩個點的距離相等. 在圖中確定休息點M的位置； 角平分線作圖訓(xùn)練2.如圖，AB.AC表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在BAC的內(nèi)部建一個物流中心設(shè)計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路交叉處A點的距離為1000米（1）若要以1：50000的比例尺畫設(shè)計圖，求物流中心到公路交叉處A點的圖上距離；AC1cm（2）在圖中畫出物流中心的位置PB解：（1） （2） 結(jié)論：3.為美化環(huán)境，在一塊三角形草坪上建一個噴水池，使得它到草坪的三邊AB、BC、AC的距離相等若三角形草坪如圖所示，請你在圖中確定這個噴水池（用點P表示）的位置；ABC作圓訓(xùn)練4青島國際