拉格朗日插值法理論及誤差分析

1、淺析拉格朗日插值法目錄：一、引言二、插值及多項(xiàng)式插值的介紹三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式五、參考文獻(xiàn)一、引言插值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是個(gè)古老問(wèn)題。插值是和拉格朗日（Lagrange、牛頓（Newton）、高斯（GausS等著名數(shù)學(xué)家的名字連在一起的。在科學(xué)研究和日常 生活中，常常會(huì)遇到計(jì)算函數(shù)值等一類(lèi)問(wèn)題。插值法有很豐富的歷史淵源，它最 初來(lái)源人們對(duì)天體研究一一有若干觀測(cè)點(diǎn)（我們稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)）計(jì)算任意時(shí)刻星球的 位置（插值點(diǎn)和插值）?，F(xiàn)在，人們?cè)谥T如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科 研都有很好的應(yīng)用，最常見(jiàn)的應(yīng)用就是氣象預(yù)報(bào)。插值理論和方法能解決在實(shí)際 中當(dāng)許多

2、函數(shù)表達(dá)式未知或形式復(fù)雜，如何去構(gòu)造近似表達(dá)式及求得在其他節(jié)點(diǎn) 處的值的問(wèn)題。二、插值及多項(xiàng)式插值1、插值問(wèn)題的描述設(shè)已知某函數(shù)關(guān)系y f （x）在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：xX）XiXn 1X nyy。yiLy n 1yn插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù) y f (x)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn)X xJ 0,1,L , n的函數(shù)值f (X)，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。2、插值的幾何意義3、多項(xiàng)式插值可編輯范本3.1基本概念假設(shè)y f (x)是定義在區(qū)間a,b上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但一直該函數(shù)在 點(diǎn)a XoXi LXn b處的函數(shù)值y,yi丄y。找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如函數(shù)P(x)，

3、使之滿(mǎn)足條件P(x) yi ,i 0,1,2,L , n,(3.1)通常把上述Xo Xi LXn稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)，把P(x)稱(chēng)為f (x)的插值多項(xiàng)式，條件(3.1)稱(chēng)為插值條件，并把求P(x)的過(guò)程稱(chēng)為插值法。3.2插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性如果插值函數(shù)是如下m次的多項(xiàng)式:Pm(x)mm 1aoxa1Xam 1 x那么插值函數(shù)的構(gòu)造就是要確定Pm(x)表達(dá)式中的m+1個(gè)系數(shù)a。丄ami,am。由于插值條件包含n+1獨(dú)立式，只要m=n就可證明插值函數(shù) 多項(xiàng)式是唯一存在。實(shí)際上，由n+1個(gè)插值條件可得na。Xon 1axLan 1X0any。na。n 13X1Lan 1X1an屮MnaXnn 1ax

4、L an 1 Xnanyn這是一個(gè)關(guān)于ao,ai,L %的n+1階線性方程組，且其系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式是線性代數(shù)中著名的范德蒙(Van demo nde行列式。該行列式得值為n iVn(Xo,Xi 丄 Xn)(X Xj)i 1 j 0因?yàn)閕 j時(shí)，Xi Xj，所以Vn(Xo,Xi,L Xn) 0。從而證明了上述線性方程組 的階是唯一存在的。既滿(mǎn)足插值條件的多項(xiàng)式唯一存在。三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)1、拉格朗日插值的理論拉格朗日(Lagrange插值公式的基本思想是把Pn(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)h(X)(i0,1,L ,n)。首先我們利用節(jié)點(diǎn)直接構(gòu)造如下多項(xiàng)式：ln(X)(X

5、Xi) n1(Xi)其中n 1(X)(X Xo)(X XjL (X Xn)，In 1(X) (Xi Xo)L (Xi X 1)( Xi Xi 1)L (Xi Xn)容易驗(yàn)證該多項(xiàng)式具有性質(zhì)1, j inln(x)ynlk(x)ykli因此，n次多項(xiàng)式L,x) l(x)y li(x)y Lk 0一定具有性質(zhì)nLn (Xi)lk(x)yk li (Xi) yi, i 0,1, L , n,k 0既滿(mǎn)足插值條件。我們稱(chēng)Ln(x)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，li(x)稱(chēng)為拉格朗日插值及函數(shù)。一次拉格朗日插值多項(xiàng)式又叫做線性插值多項(xiàng)式。二次拉格朗日插值多項(xiàng)式又叫做拋物線插值多項(xiàng)式2、拉格朗日插值實(shí)驗(yàn)經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)掌

6、握拉格朗日插值的理論，學(xué)以致用，使學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，并運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)解決我們?cè)趯W(xué)習(xí)中遇到的一些問(wèn)題。以下為運(yùn)用MATLAB軟件平臺(tái)上計(jì)行拉格朗日插值問(wèn)題：x02468101214161820 2224 262830y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .724.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30內(nèi)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)x以及函數(shù)值y如表所示，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式求在區(qū)間x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.90所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在已知數(shù)表函數(shù)的條件下，拉格朗日插值多項(xiàng)式可用來(lái)計(jì)算

7、復(fù)雜函數(shù)或未知函數(shù)的函數(shù)值，為此我們首先編寫(xiě)如下利用拉格朗日插值多項(xiàng)式方法計(jì)算函數(shù) 值的程序: function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循環(huán)給出了拉格朗日插值計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算任何點(diǎn) x 處的函數(shù)值的過(guò)程，我們把它標(biāo)記為lagrange.m文件，接下來(lái)我們?cè)贛ATLAB平臺(tái)上進(jìn)行上述例子中的數(shù)值試驗(yàn)。在Com

8、ma nd Window中輸入的命令及結(jié)果如下所示： x=0:2:30; y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8.45 8.97; lagrange(x,y,2.035)ans =0.3290 lagrange(x,y,9.771)ans =3.2975 lagrange(x,y,17.815)ans =5.4483 lagra nge(x,y,26.907) ans =8.6519最后，我們根據(jù)拉格朗日插值結(jié)果，利用plot命令畫(huà)出未知函數(shù)的圖像, 令程序如下： x0=0:2:30; y

9、0=lagra nge(x,y,x0); plot(x0,y0)得到的未知函數(shù)圖像為：四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式1、截?cái)嗾`差在a,b區(qū)間上用Ln(x)近似未知或復(fù)雜函數(shù)f(x)，其截?cái)嗾`差是指Rn xf xLn x( 4.1)通常稱(chēng)Rn X為拉格朗日插值余額。注意到利用公式(4.1)估計(jì)截?cái)嗾`差實(shí)際上非常困難。一是因?yàn)樗?jì)算函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f(x)很復(fù)雜時(shí)，計(jì)算量很大，而當(dāng)f(x)沒(méi)有可用來(lái)計(jì)算的表達(dá)式時(shí)，導(dǎo)數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算；二是因?yàn)榧词鼓艿玫礁唠A導(dǎo)數(shù)的解析式，但由于 的具體位置不知道，所以要估計(jì)高階導(dǎo)數(shù)在插值區(qū)間上的界一般是非常困難的事情。因此，公式(4.1)并不

10、實(shí)用。2、截?cái)嗾`差的實(shí)用估計(jì)式既然公式(4.1)估計(jì)誤差時(shí)不實(shí)用，那么實(shí)際中如何估計(jì)截?cái)嗾`差呢？假設(shè)插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù)f (xjyi,i 0,1,L , n, n 1,那么利用n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)， 利用后n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造另一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式L：(x)。利用公式(4.1)知，他們各自的插值余項(xiàng)為f(x) Ln(x)1(n 1)!(n1)( )(xxo)(x XjL (x Xn),f(x) L*n(x)1(n 1)!(n 1)(xXj(X X2)L(X Xn 1),L；(x) Ln(x)1(n 1)!兩式相減得n 1()(X X1)

11、L (X Xn)(Xn 1 X。),并可寫(xiě)成*fn1)()(x )L (X xn) Ln (x) Ln (x).( 4.2)(n 1)!Xn 1 Xo注意到上式中利用fn1( ) fn1( *).該條件在很多情況下是成立的利用式(4.2)可得R(x) f(x) Ln(x)R*(x) f(x) L*n(x)Ln(x)L；(x)x xn 1L；(x) Ln(x)(4.2)Xn 1X。式(4.3)給出了用Ln(x)或L*n(x)作近似計(jì)算時(shí)的實(shí)用誤差估計(jì)式，它不需要計(jì) 算高階導(dǎo)數(shù)，也不用估計(jì)插值區(qū)間上高階導(dǎo)數(shù)的界?？傊?，拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì) 算中，但插值點(diǎn)增加或減少時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就得重新計(jì)算而且圖像發(fā)生 很大變化。像逐次線性插值法、牛頓插值法等都是在拉格朗日插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ) 上延伸出來(lái)的。我們根據(jù)實(shí)際中的具體問(wèn)題，為減少插值誤差來(lái)選取相應(yīng)的插值