典型例題拋物線問題

1、拋物線問題典型例題一例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.2 2（1） x 4y （2） x ay （a 0）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對 a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求 p及 焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.解：（1）p 2，二焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：y 1（2）原拋物線方程為：y2丄x， 2p丄aa 當(dāng)a 0時(shí)，衛(wèi) 丄，拋物線開口向右，2 4a11-焦點(diǎn)坐標(biāo)是（,0），準(zhǔn)線方程是：x4a4a 當(dāng)a 0時(shí)，衛(wèi) ，拋物線開口向左，2 4a11焦點(diǎn)坐標(biāo)是（,0），準(zhǔn)線方程是：x .4a4a綜合上述，當(dāng)a

2、0時(shí)，拋物線x ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（丄,0），準(zhǔn)線方程是:4a1x4a典型例題二例2若直線y kx 2與拋物線y2 8x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程.分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解.另由于已知與直線Word資料斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用作差法”求k.解法一：設(shè) A(xi,yj、B(X2, y2),則由:kx :可得:8x2 2k x (4k 8)x 40 .直線與拋物線相交, AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為:x1 x2 4k 82k2解得：k 2或k 1(舍去).故所求直線方程為：y 2x 2 .2 解法二：設(shè) A(X1,yJ、B(x2,y2)，則有 y1

3、8xi2y28x2 .兩式作差解：(yiy2)(yi y2) 8(x1 X2),X1X2yiy2為X24y1y2 kx12 kx22 k(x-| x2)44k 4 ,2或k 1 (舍去).則所求直線方程為：y 2x 2 .典型例題三例3求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：可設(shè)拋物線方程為y2 2px(p 0).如圖所示，只須證明|MM1 ,則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切.2證明：作AA1 l于A1, BB1 l于B1 . M為AB中點(diǎn)，作MM 1于M1，則由拋物線的定義可知：|aa af.bbJ |bf 在直角梯形BB1A1A中：1 1 1 MM2(aa| |B

4、B-(aF |bf)2aB1MM!-AB，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切.2說明：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交.典型例題四例4 (1 )設(shè)拋物線y2 4x被直線y 2x k截得的弦長為3.、5,求k值.(2)以(1)中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).分析：(1)題可利用弦長公式求k，(2)題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo).解:( 1)由y2 4xy 2x得：4X2k2(4k 4)x k 0設(shè)直線與拋物線交于A(X1,yJ 與 B(X2,y2)兩點(diǎn).則有:X1x21 k

5、,X1 X24AB.(122)(捲X2)2.5(X1X2)24x1X2,5(Ck)kT.5(12 k)AB 3亦，J5(1 2k) 3/5 ,即 k 4(2)S9，底邊長為3.5, 三角形高h(yuǎn) 2 9 *3U55點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(x0,0)則點(diǎn)P到直線y 2x 4的距離就等于h，即2X0 2 0 24 6-522 125X01或X0 5，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是(一1，0)或(5，0).典型例題五例5已知定直線I及定點(diǎn)A (A不在I上)，n為過A且垂直于I的直線，設(shè)N為I上任一點(diǎn)，AN的垂直平分線交n于B,點(diǎn)B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P,求證P的 軌跡為拋物線.分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個(gè)途

6、徑，一個(gè)證明P點(diǎn)的軌跡符合拋物線的 定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點(diǎn)，I為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PA PN且PN I即可.證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB.由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P. AN也垂直平分PB.則四邊形PABN為菱形.即有PA PN .AB I. PN I.則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn)A的距離與到定直線的距離相等，所以P 點(diǎn)的軌跡為拋物線.例6若線段P1P2為拋物線C : y22px(p 0)的一條焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，求證:PiFP2Fp 典型例題六分析：此題證的是距離問題，如果

7、把它們用兩點(diǎn)間的距離 表示出來，其計(jì)算量是很大的.我們可以用拋物線的定義, 巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結(jié)論證明出來.證法一：F (-p,0)，若過F的直線即線段RP2所在直線斜率不存在時(shí),則有RF| F2FP，RF F2F p若線段RP2所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則此直線為:y k(X 號)(k 0)，且設(shè) R(X1, yi ), P2(x2 , y2)-k（X 舟）2 得:k（X 號）2k2X2p(k22)xk2p4Xip(k22)X2X-Ix2根據(jù)拋物線定義有:ii則11|RF|PiFP2F|PF| RF|PF|BFXiX-iX2(Xii請將代入并化簡得：P

8、F證法二：如圖所示，設(shè)P、P2、且不妨設(shè)P2P2Xi_i_1P2Lp的射影分別是又 P2AF即丄丄m nPFp(m n) 2mn i號，|PiP2XiX2pXiX2 p-2 p4XiX2 2(Xi X2)F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線I上的射影分別是P、P2、F，由拋物線定義知，lpc F2 2 2 2. sec 4 p cot (1 cot )iaF朗|bp| 陰|嚀SV.r 11 w 1RR，又設(shè)P2點(diǎn)在FF、Pi上m, FF|P2BPi，A、B 點(diǎn),故原命題成立.典型例題七,求證:例7設(shè)拋物線方程為y* 1 sin42 px( p 0)，過焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為焦點(diǎn)弦長為AB 2p .sin分析：此題

9、做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題.證法一：拋物線y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為(*,0), 過焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：y tan (x由方程組y tan(X自消去y 得: y2 2px4x2tan24p(tan2 ) p2tan2Xi X2設(shè) A(Xi, yj, Bg, y2)，則XiX2p(ta n22)tan22p42p(1 2 cot )又 y1 y2 tan (捲 x2)ABJ(1 tan2 )(x1 x2)2.(1 tan2 )(X1X2)2 4x1X2_i(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 V4AF| AAj |AF| cos pBF|BB1

10、p |BF| cos于是可得出:AF_P_1 cosBF_p_1 cosAB AF BFP_P_1 cos1 cos2p21 cos2p故原命題成立.sin2典型例題八例8已知圓錐曲線C經(jīng)過定點(diǎn)P（3,2J），它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（ 1 , 0）,對應(yīng)于該 焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為x 1，過焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長度不超過8， 且直線AB與橢圓3x2 2y22相交于不同的兩點(diǎn)，求（1）AB的傾斜角 的取值范圍.（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：由已知條件可確定出圓錐曲線 C為拋物線，AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其 斜率為k，弦AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可求出k

11、的取值范圍，從而可得 的 取值范圍，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡 即可.解：（1）由已知得PF| 4 .故P到x 1的距離d 4，從而 PF d曲線C是拋物線，其方程為y2 4x.2y22無交點(diǎn).設(shè)直線AB的斜率為k,若k不存在，則直線AB與3x2 二k存在.設(shè)AB的方程為y k（x 1）4x 可得：ky2 4y 4k 0 k(x 1)B坐標(biāo)分別為（xi,yj、（X2,y2）,則：y1yiy24ABy1 y2)24y21.k V(y1 y2)2k4(1 k2)弦AB的長度不超過8,24(1 k )8即k2由 y 2 k(x 21得：(2k23x2 2y223)x2

12、 4k2x2(k21) 0由k21和k23可得：1 k .3或tan 3 或.3 tan 1，二所求的取值范圍是:(2)設(shè) CD 中點(diǎn) M(x,y)、C(X3,y3)、D(x4, y4)2(k21)0由 3x2 k(；y21 2 得：(2k2 3)x2 4k2xX34k22，X3 &2k 32X3 X42k22k2 31亠2k2 3k2322k 3 91 J2k2X42k22k2 322亠 (X 1)222亠(x 1)2化簡得：3x22y2 3x2(k2 1)2k23所求軌跡方程為：3x22 22y2 3x 0(5 x 3)典型例題九例9定長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2 x上移動(dòng)，求

13、AB的中點(diǎn)到 y軸的距離的最小值，并求出此時(shí) AB中點(diǎn)的坐標(biāo).分析：線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值.這是中點(diǎn)坐 標(biāo)問題，因此只要研究 A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可.解：如圖，設(shè)F是y2 x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是 AC、BD， 又M到準(zhǔn)線的垂線為MN，C、D和N是垂足，則2(afBF)設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y，等式成立的條件是AB過點(diǎn)F .2 2 2(yi y2)yi出p2-，故412ABMN32 .13 15x，貝S x42 4 4yiy2, y542所以m(4,亍此時(shí)M到y(tǒng)軸的距離的最小值為5 .說明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)

14、應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡.典型例題十例10過拋物線y 2px的焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn), 求AB的最小值.分析：本題可分和兩種情況討論.當(dāng) 時(shí)，先寫出AB的表達(dá)式,2 2 2再求范圍.解：(1)若3,此時(shí) AB 2p .若-，因有兩交點(diǎn)，所以0.AB: y tan (x 衛(wèi))，即 x衛(wèi).2tan 2代入拋物線方程，有y2 2py p2 0 .tan故(y yi)24p2tan22 2 24p 4p esc(X2Xi)2 (y2 yi)22tan故AB2 2 24 p esc (1所以AB2p2 sin綜合(1)(2)，當(dāng)22 esc4p tar?4ptan2p .因時(shí)，

15、AB最小值2 4esc所以這里不能取2p .說明:(1)此題須對分I和2兩種情況進(jìn)行討論;(2)從解題過程可知，拋物線點(diǎn)弦長公式為I2p2 ?sin當(dāng)2時(shí)，AB叫做拋物線的通徑.通徑是最短的焦點(diǎn)弦.典型例題十例11過拋物線y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)F作弦AB，I為準(zhǔn)線，過A、B作I的 垂線，垂足分別為A、B，則 afb為()， AFB為().A.大于等于90 B.小于等于90 C.等于90 D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切.ABf1解：點(diǎn)A在拋物線上，由拋物線定義，則 aA AF 12 ,又 AA/x 軸13.23，同理 46,而 2364 180，二 36 90 , AFB90 .選 C.過AB中點(diǎn)M作MM I，垂中為M ,1 1 , 1則 MM (AA BB ) -( AF BF )- AB .2 2 2以AB為直徑的圓與直線I相切，切點(diǎn)為M.又F在圓的外部， AFB 90 .特別地，當(dāng)AB x軸時(shí)，M 與F重合， AFB 90 .即 AFB 90，選 B.典型例題十二例12已知點(diǎn)M(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2 2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)， 當(dāng)PM| |PF取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為分析：本題若建立目標(biāo)函數(shù)來求|PM| |PF|的最小值是困難的，若巧妙地利用拋 物線定義，結(jié)合圖形