對《一道新定義試題的解題分析》的思考

1、對一道新定義試題的解題分析的思考 中數(shù)參2013第1-2期的“一道新定義試題的解題分析”一文是對2012年北京中考試卷最后一題所做的分析.文中從對試題的閱讀理解、彰顯思想方法、揭示本質(zhì)、挖掘能力，尋求更佳等五個方面進(jìn)行了遞進(jìn)式的解讀與分析，無論是從小標(biāo)題的選擇、還是從內(nèi)容的組織，筆者都覺得文采豐富、無可挑剔，但從學(xué)生的角度來看，這樣的分析對教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行試題分析毫無幫助，甚至有將教師引入歧途. “站得高才能望得遠(yuǎn)”，這是對教師的要求.這句話本身沒錯，但我們還得牢記這一原則：“數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是將復(fù)雜問題簡單化，從而找到解題的捷徑”.所以對試題的分析，必須站在學(xué)生的角度，用學(xué)生的水平和眼光看問題

2、，找到問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.本文嘗試將自己對此題的理解與諸位分享. 例1 （2012年北京）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于任意兩點p1（x1，y1）與p2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：若|x1-x2|y1-y2|，則點p1與點p2的“非常距離”為|x1-x2|；若|x1-x2| （1）已知點a（-12，0），b為y軸上的一個動點， 若點a與點b的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點b的坐標(biāo)； 直接寫出點a與點b的“非常距離”的最小值； （2）已知c是直線y=34x+3上的一個動點， 如圖2，點d的坐標(biāo)是（0，1），求點c與點d的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點c的坐標(biāo)； 如

3、圖3，e是以原點o為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點c與點e的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點e和點c的坐標(biāo). 重提“揭示本質(zhì)”，確立解題途徑 試題的四個設(shè)問中，（1）、兩問是考查學(xué)生對新定義“非常距離”的理解情況，更是促進(jìn)學(xué)生必須認(rèn)真讀題，“逼”著學(xué)生走好解決后面問題所需要的準(zhǔn)備，這兩問的設(shè)計很具人性化；（1）、（2）、這三個設(shè)問都是確定點與點的“非常距離”的最小值，而且這三個設(shè)問的要求是層層遞進(jìn)的. 在問題（1）中，點a是x軸上的定點，點b是y軸上的動點.由于這兩點的特殊位置，a、b的“非常距離”就是oa、ob長度的較大值：當(dāng)oaob時，a、b的“非常距離”就是oa的長度（oa=12）；

4、當(dāng)oa12）.綜上，a、b的“非常距離”的最小值是12. 在問題（2）中，d是y軸上的定點，c是直線上的動點.如何找到c、d的“非常距離”的最小值，我們可以在嘗試畫圖過程中發(fā)現(xiàn)解決問題的方法： 如圖4，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形cpdq是正方形時，c、d的“非常距離”有最小值（正方形的邊長）.理由是，如果向下（如圖4）或向上（如圖5）移動c點到達(dá)c點，它與點d的“非常距離”都會增大.所以，根據(jù)pc=pd就可以解決問題：設(shè)c（m，34m+3），則-m=34m+3-1，m=-87，所以c（-87，157），“非常距離”的最小值=87. 在問題（2）中，c、e都是動點，但由第（2）的研究可以感悟到，c、e具有相

5、對的位置：c、e所在的直線與直線y=-x平行；當(dāng)c、e的“非常距離”最小時，ce最小，相應(yīng)地e到直線y=34x+3的距離最小，e點的位置可以理解為：直線y=34x+3向右下平移到與圓只有唯一的公共點（即與圓o相切）切點. 連結(jié)oe，作egx軸，則egoboa， eg4 = og3 =15，eg=45，og=35， 所以e（-35，45），進(jìn)而可以求得c（-85，95）， “非常距離”的最小值是1. 例2 （2010年南通）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過a（-4，3）、b（2，0）兩點，當(dāng)x=3和x=-3時，這條拋物線上對應(yīng)點的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過點c（0，-2）的直線l與 x軸平行，o為坐標(biāo)原

6、點. （1）求直線ab和這條拋物線的解析式； （2）以a為圓心，ao為半徑的圓記為a，判斷直線l與a的位置關(guān)系，并說明理由； （3）設(shè)直線ab上的點d的橫坐標(biāo)為-1，p（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動點， 當(dāng)pdo的周長最小時，求四邊形codp的面積. 誤析 根據(jù)拋物線的定義，o點是這條拋物線的焦點，直線x=-2是準(zhǔn)線；拋物線上的任意一點p與點o的距離等于p到直線x=-2的距離，因此，過d作dh直線l于h，交拋物線于p，則p就是所求的點，此時，pdo的周長最小. 這種分析，確實很準(zhǔn)確，有根有據(jù)；但拋物線、焦點、準(zhǔn)線的知識是在高中的學(xué)習(xí)內(nèi)容；作為初中學(xué)生顯示不能這樣思考.正確的分析如下： 正析 （2）問是一個利用d=r來判斷圓與直線的位置關(guān)系的基本問題，有很高的得分率；如果沒有對（2）問的深入思考，就不能找到解決（3）問的解題方法；可以說，（3）是（2）的遞進(jìn). 觀察（2）的結(jié)果：相切，是因為a到直線l的距離等于a到o的距離；還有，注意到拋物線與y軸的交點（0 ，-1）、拋物線與x軸的交點（-2 ，0），也有類似的特征；由此猜想到：拋物線上的任意一點p與點o的距離等于p到直線x=-2的距離.這就要求學(xué)生能夠在認(rèn)真觀察的基礎(chǔ)上，掌握“從特殊到一般”的思想方法，尋找解題方法. 找到這一規(guī)律后，過d作dh直線l于h，交拋物線于p，并通過計算來說明ph=po，p就是所求的點