數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)造的藝術(shù)

1、 畢 業(yè) 論 文 作者： 學(xué)號(hào)： 院系： 專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)： 題目： 數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)造的藝術(shù) 指導(dǎo)老師： 2012年5月20日 “構(gòu)造法”在立體幾何中的應(yīng)用在許多立體幾何問(wèn)題中，由于圖形的不規(guī)則，因而線面關(guān)系也不是很直觀、明顯，如果我們依題設(shè)條件，構(gòu)造出一個(gè)特殊的幾何體（如：正方體、長(zhǎng)方體、正四面體等），并將其“嵌入”其中，有些線面的關(guān)系就會(huì)變得更加清晰，問(wèn)題也就迎刃而解。例1. 對(duì)于直線m、n和平面、，能得出的一個(gè)條件是（ ）a. mn，m/，n/b. c. d. 解析：如圖1所示，構(gòu)造一個(gè)正方體abcda1b1c1d1進(jìn)行觀察判斷，對(duì)于a，把a(bǔ)d看作直線m，bb1看作直線n，把平面bb

2、1c1c作為平面，平面aa1c1c作為。雖滿足mn，m/，n/，但不垂直于，從而否定（a）。同樣可排除（b）、（d），因此選（c）。圖1點(diǎn)評(píng)：空間的線面關(guān)系的判斷，若是以選擇題出現(xiàn)，通常采用構(gòu)造一個(gè)符合已知條件的立體圖形，來(lái)排除其中的錯(cuò)誤命題。例2. 正三棱錐sabc的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果e、f分別為sc、ab的中點(diǎn)，那么異面直線ef、sa所成的角等于（ ）a. 90 b. 60 c. 45 d. 30解析：本題的正三棱錐sabc即為正四面體，將正四面體sabc“嵌入”到正方體中，使正四面體的棱分別是正方體六個(gè)面的面對(duì)角線（如圖2所示）。易知ef是正方體的兩底面中心的連線，與正方體的一條側(cè)

3、棱平行，而sa與該側(cè)棱所成角是45，故異面直線ef與sa所成的角等于45，故選（c）項(xiàng)。圖2點(diǎn)評(píng)：由所給的幾何體它的各棱長(zhǎng)都相等，極易聯(lián)想到正方體。本題通過(guò)構(gòu)造一個(gè)正方體，將正四面體sabc“嵌入”其中，使得所求問(wèn)題變得非常直觀明了。例3. 如圖3所示，已知三棱錐pabc，pa=bc=，pb=ac=10，pc=ab=，試求三棱錐pabc的體積。圖3解析：注意到三棱錐有三對(duì)對(duì)邊分別相等，若把它放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中，則問(wèn)題不難解決。如圖4所示，構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體aebgfpdc，易知三棱錐pabc的各邊分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線。不妨令pe=x，eb=y，ea=z則由已知有解得x=6，y=8，z=10從

4、而故所求三棱錐pabc的體積為160。圖4點(diǎn)評(píng)：本題也可看作是將三棱錐pabc“補(bǔ)形”成一個(gè)長(zhǎng)方體，由于長(zhǎng)方體的體積更易計(jì)算，但這種“補(bǔ)形”是有一定難度的，如果我們平時(shí)對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行過(guò)不同形式的“分割”的話，那么將三棱錐“嵌入”長(zhǎng)方體中就十分自然。例4. 已知球o的半徑為1，a、b、c三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為，則球心o1到平面abc的距離為（ ）a. b. c. d. 解析：作出這個(gè)圖形有一定困難，抓住o、a、b、c這四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)空間圖形，結(jié)合條件加以分析。由條件知oa=ob=oc=1，aob=boc=aoc=如圖5所示，球心o與a、b、c三點(diǎn)構(gòu)成正三棱錐oabc則其高故選（b）項(xiàng)圖5點(diǎn)評(píng)：在許多球的問(wèn)題中，要畫(huà)出實(shí)際