山東高考理科數(shù)學(xué)試題第21題解析

1、山東高考理科數(shù)學(xué)試題第21題解析 題目 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中xr. （）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由; （）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍. 1 解題思路分析與解題方法 （）思路 首先確定函數(shù)f（x）的定義域，求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后考查分子對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x），先討論g（x）是否為二次函數(shù)，后討論g（x）是二次函數(shù)時(shí)實(shí)根的分布情況，從而確定g（x）、f（x）的符號(hào)，得出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間，判斷出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù). 解法1 由題意，知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+），f（x）=1x+1+a（2x-1）= 2ax2+

2、ax-a+1x+1. 令g（x）=2ax2+ax-a+1，x（-1，+）. （1）若a=0，則g（x）=1.此時(shí)f（x）=1x+10，函數(shù)f（x）在（-1，+）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn). （2）若a0，=a2-8a（1-a）=a（9a-8）. 當(dāng)089時(shí)，0，設(shè)g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2（不妨x1-14.又g（-1）=10，所以-10，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增;在區(qū)間（x1，x2）上，g（x）0，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增;因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn). （3）若a0，由g（-1）=10和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，得x1-1.所以在區(qū)間（-1，x2）上，g（x）0，f（x）0，f（x）單調(diào)

3、遞增;在區(qū)間（x2，+）上，g（x）89時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn). 解法2 由題意，知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+），f（x）=1x+1+a（2x-1）=2ax2+ax-a+1x+1. 令g（x）=2ax2+ax-a+1，x（-1，+）. （1）若a=0，則g（x）=1.此時(shí)f（x）=1x+10，函數(shù)f（x）在（-1，+）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn). （2）若a0，=a2-8a（1-a）=a（9a-8）. 當(dāng)0時(shí)，00時(shí)，a89，由一元二次方程的求根公式，得g（x）=0兩個(gè)不等實(shí)根為x1=-a-4a=-14-9a2-8a4a，x2=-a+4a=-14+9a2-8a4a.a-14-1，x2=-

4、14-149-8a0，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增;在區(qū)間（x1，+）上，g（x）89時(shí)，x1=-14-149-8a-14-34=-1，又x2x1，所以x2x1-1.所以在區(qū)間（-1，x1）上，g（x）0，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增;在區(qū)間（x1，x2）上，g（x）0，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增;因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)a89時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn). 點(diǎn)評(píng) g（x）為二次函數(shù)時(shí)，解法1確定g（x）符號(hào)，利用了二次函數(shù)性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值和韋達(dá)定理;解法2中確定g（x）符號(hào)，利用了二次函數(shù)性質(zhì)、求根公式和不等式的放縮法，對(duì)考生的要求更高.也有一部分考生應(yīng)用分離變量a

5、解答，由于缺乏對(duì)函數(shù)f（x）單調(diào)性的分析，所以得不到全分. （）思路1 根據(jù)（）知a在不同情況下f（x）在（0，+）上的單調(diào)性，要想x（0，+）時(shí)f（x）0恒成立，只要說(shuō)明最小值大于0，否則存在函數(shù)值小于0即可. 解法1 由（）知，（1）當(dāng)0a89時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增.又f（0）=0，所以x（0，+）時(shí)f（x）0，符合題意. （2）當(dāng)890，符合題意. （3）當(dāng)a1時(shí)，由g（0）=1-a0，所以函數(shù)f（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減.又f（0）=0，所以x（0，x2）時(shí)f（x）0，所以函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且h（x）h（0）=0，即ln（x+1）1-1a時(shí)，ax2

6、+（1-a）x1時(shí)，設(shè)h（x）=ln（x+1）-x（x0），則h（x）=1x+1-1=-xx+10），則h（x）=1x+1-1（x+1）20，所以函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，h（x）h（0）=0，即ln（x+1）xx+1（x0）.要使x0，f（x）0成立，即ln（x+1）+a（x2-x）0成立，只需xx+1+a（x2-x）0成立，即1x+1+a（x-1）0，1-a+ax20成立.因?yàn)?a1，所以1-a+ax20，即ln（x+1）+a（x2-x）0.所以0a1符合題意. （2）當(dāng)a1時(shí)，同法1. （3）當(dāng)a0，ln（x+1）0，僅在（0，1）上a（x2-x）0），則h（x）=1x+1-1

7、（x+1）20，所以函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，h（x）h（0）=0，即ln（x+1）xx+1（x0）.要使ln（x+1）+a（x2-x）0成立，只需aln（x+1）x-x2成立，由于ln（x+1）x-x2xx+11x-x2=11-x21，并且limx0ln（x+1）x-x2=limx011+x11-2x=1，所以0a1. （2）當(dāng)a0，f（x）0成立等價(jià)于f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，即f（x）0在（0，+）上恒成立，也就是（1-2x）a1x+1（*）在（0，+）上恒成立. （1）當(dāng)x=12時(shí)，（*）式即為0a23成立， ar. （2）當(dāng)00），（*）式可化為a1h（x）.由于x（

8、0，12）時(shí)， 0=h（12）1，所以a1. （3）當(dāng)x12時(shí)，（*）式可化為a1h（x）.由于x（12，+）時(shí)，h（x）0，f（x）0成立等價(jià)于（x-x2）aln（x+1）（*）在（0，+）上恒成立. （1）當(dāng)x=1時(shí)，（*）式即為0aln2成立， ar. （2）當(dāng)0limx011-x=1.所以a1. （3）當(dāng)x1時(shí)，（*）式可化為aln（x+1）x-x2.而ln（x+1）x-x2xx-x2=11-x.由于11-x在（1，+）內(nèi)是增函數(shù)，所以11-xlimx+11-x=0.所以a0. 綜上所述，a的取值范圍是0，1. 2 閱卷啟示 由于本題是理科最后的壓軸題，對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)算能力要求

9、較高，閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)有少部分考生沒(méi)有做到此題，有部分考生在試卷中出現(xiàn)明顯的低級(jí)錯(cuò)誤，如漏寫(xiě)函數(shù)f（x）定義域、對(duì)導(dǎo)函數(shù)f（x）的分子討論時(shí)忘記a=0此函數(shù)不是二次函數(shù)、只看的符號(hào)就說(shuō)明有幾個(gè)極值點(diǎn)不考慮導(dǎo)函數(shù)f（x）的符號(hào)和f（x）單調(diào)性等;也有一部分考生從答題看他心里明白但是得分要點(diǎn)沒(méi)有，得不到分，如他算出了有極大值和極小值，就是不說(shuō)有幾個(gè)極值點(diǎn)，也就得不到分;還有一部分同學(xué)思維能力達(dá)不到，不會(huì)進(jìn)行合理的分類(lèi)討論，不會(huì)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行不等式放縮，不會(huì)求函數(shù)極限，得分能力受到限制.建議在平時(shí)的高三教學(xué)中強(qiáng)化含參數(shù)的函數(shù)試題訓(xùn)練，加大試題的思維量，指導(dǎo)考生合理分類(lèi)討論，簡(jiǎn)化、優(yōu)化運(yùn)算，把握解題的規(guī)律，規(guī)范解題過(guò)程