一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限

1、一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限摘 要：本文討論了一類遞推數(shù)列Xn.-f(Xn)的單調(diào)性與收斂性問題,同時也推廣與包含了近期一些文獻中的結(jié)果關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列；單調(diào)性；不動點；收斂The Limits and Monotonicity of a Recursive SequenceXIA Yu-che ng(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei432000,Chi na)Abstract: In this paper, the results on the monotonicity and c

2、onvergenceof the recursive sequence xnf(xn) in some resent documents are given, and then, theresults are gen eralized.Key words: recursive seque nce ; monotoni city; fixed point; con verge nce.- 5 -1引言及定義在近期的一些文獻中，討論了形如ax. + bxn-( ad - be = 0 )n 1CXn d()的遞推數(shù)列的極限問題1-7,這類數(shù)列的極限問題經(jīng)常出現(xiàn)在研究生入學試題與 大學數(shù)學競賽試題中

3、，在高等數(shù)學中占有重要的地位.研究結(jié)果表明，這類遞推數(shù)列極限的存在性與求法往往與它的迭代函數(shù)的不動點相關(guān)聯(lián)，該遞推數(shù)列的迭代函數(shù)為f (X)=ax b ex d注意到f (X)=(：；需不變號，它啟發(fā)我們從迭代函數(shù)的不動點與導函數(shù)的不變號兩方面考慮這類問題.本文將給出聯(lián)系迭代函數(shù)的不動點與導函數(shù)的幾個實用命題,把現(xiàn)行文獻1-7中的相關(guān)結(jié)論進行拓廣，通過這些命題使我們可以統(tǒng)一處理有關(guān)例子，揭示這類試題的背景與思想方法定義1對于函數(shù)f(X),若存在實數(shù)X。，使f(Xo)=X,則稱X。為f(X)的不 動點.定義2對于函數(shù)f(x),若數(shù)列X-?滿足治二a, x-.1二f(x-), - = 1,2,3，

4、川,則數(shù)列* 稱為遞推數(shù)列，f(x)稱為數(shù)列；的迭代函數(shù)，X1 =a稱為初始值.2命題與證明命題1設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)上可導,且f(x) . 0 , f (a) a, f(b)=b.設 xa,則遞推數(shù)列 Xnj.rf(Xn) ( n =1,2,3,|)收斂.證明只需證明數(shù)列Xi?單調(diào)有界,可用歸納法證之.10當 n =1 時,由于為=a ： f (a), x2 二 f (xj ,因此X2f (a) xi,又f (x) .0,所以f(a) ： f(b),而f (b) =b,故有a _ 論：x2 : b ,從而結(jié)論成立.20假設當n=k時,結(jié)論成立,即a Xk ： Xk 1

5、： b .當n二k 1時,由于f(x)0,則有f(a) 一 f(xQ ： f (Xk .J ： f (b),即得f (a)空 Xk 1 ： Xk 2 : b ,也即 a 乞 Xk 1 ： Xk 2 ”： b ,從而當n二k 1時，結(jié)論成立.故命題1得證.命題2設函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù),在(a,b)上可導,且f (x)0 , f (a) = a ,f (b) :： b.設 X1 二b,則遞推數(shù)列 Xn 1 二 f (Xn) ( n =1,2,3川丨，)收斂.證明類似于命題1,可以證明數(shù)列；單調(diào)遞減并且有界，即a Xn 1 : Xn b ,從而數(shù)列;收斂.注：在命題1,命題2的條件下,若還滿

6、足“ f(x)在a,b上有唯一的不動點” 條件,易知數(shù)列以必收斂于該不動點.事實上,在滿足所給條件的情況下，由數(shù)學分析中的確界原理及上確界的 定義,對于命題1中的數(shù)列冷, b必為其上確界.任給；0,按上確界的定義,存 在數(shù)列Xn中的某一項Xn ,使得b - ； Xn 又由Xn的遞增性,當n _ N時有 b - ； : Xn _ Xn 另一方面，由于b是Xn的一個上界，故對一切Xn都有Xn _ b ： b，； 所以當 n _ N 時有 b - ； ： xn ： b ；,從而 lim xn 二 b 這為命題1,2的應用提供了方便命題3 設f(X)在區(qū)間I上可導，f (x) ： 0 ,且對任意的x

7、I ,有f (x) I 則由Xn1 = f(Xn), X1 I確定的兩個子列 %nJ與X?)分別是單調(diào)的,而且具有 相反的單調(diào)性證明如果X1 _ X3,則由(x) ： 0 ,得f (Xj 一 f(X3),即 X2 -X4,于是又有X3 空 X5 , X4 _ X6 ,用歸納法可得奇數(shù)項子列1x2n J單調(diào)增加,而偶數(shù)項子列*2單調(diào)減少；如果X1 X3,同理可得子列嘰?單調(diào)減少,而偶數(shù)項子列 U單調(diào)增加推論對于遞推數(shù)列Xnax_b( a, n =1,2,3j|),Xn +C如果a,b,c,X1全為正數(shù)時，那么數(shù)列？收斂，且收斂于I ,其中l(wèi) a _c (a _c)2 4b飛，這里l是方程x二竺空

8、的一個正根.X +c證明 由于迭代函數(shù)f (x)二竺空的導數(shù)f (X)蓉2 .x+c(x + c)下面討論之：(1) 若 ac-b 0,則 f(x)0.當X2 =f(Xi)=Xi時，由于I是函數(shù)f (x)唯一的一個正的不動點，因而x1 = I ,于是Xn = I是常數(shù)列,故lim Xi -1 ； n_咨當X f (Xi)Xi與X2二f(Xi)：Xi時，分別在區(qū)間x,l與I ,Xi上應用命題1與命題2,得數(shù)列對收斂于不動點I ;(2) 若 ac-b ：0,則 f(x) ：0.當Xi I時，axn baxn acXn a，Xn+CXn+C注意到注意到f(IHI ,由xiI = f (xj ： f

9、(I),即 x2 ： I ,進一步有f(X2)f (I),即 X I ,易用數(shù)學歸納法證明：a x2n ： I .因而f (If(X2n)”： f(a),a +b彳 c c “Il : X2n 1, n = 1,2,3川 I ,a +c即CX與IxJ有界,故均收斂.且由Xn 1 _ Xn J.a c2(a c)xn j b c-Xn(a - c)xn Jb分別考慮n為奇，偶數(shù)對此式取極限，得lim x2nJi = I , lim x2n = I , n n 這里I是方程x2 -(a -c)x-b =0的一個正根；當x.：丨時,類似可證;當X. = I時，有xn = I為常數(shù)列.故 Iim xn

10、 =1 .n滬(3)若ac -b =0,此時Xn i =a為常數(shù)列,結(jié)論也成立.綜上可知結(jié)論成立.3相關(guān)應用下面我們給出以上命題的一些應用例 11-3設 0 T -3, Xn. =3(Xn 1) (n =1,2,3, HI),求證：數(shù)列X收Xn +3斂,并求其極限解數(shù)列IxJ的迭代函數(shù)f (x)二3(x1)x 3f(x) = k 3f（Xi）Xi = （*3 以）（3一為）0,即 f（Xi）Xi故數(shù)列 汶?在區(qū)間xi3上滿足命題i的條件，于是數(shù)列收斂.又f(x)在Xi，、3上有唯一的不動點.3,于是lim xn = 3n i-例2 已知函數(shù)f （x） = X3 X2 + +丄，且存在Xo （。

11、,丄），使f（Xo） = Xo . 242、 1 、設 Xi =0 , Xn 1 f（Xn） , yi =2，yn 1= f Wn）,其中 n 二12,證明：1得得42 1 -xn ： xn i ： xo :. yn 1 yn 證明 由數(shù)列的迭代函數(shù)f (xxx2-22ii 2 if (x) =3x -2x3(x)o,236從而在區(qū)間(o,x。)上，由命題i的結(jié)論得o Xn ： Xn 1 ：Xo,在區(qū)間(x，m上，由命題2的結(jié)論得iXo ： yn i ： yn ： 2，于是有Xn 疳 Xn i ：Xo： yn 1：n 證畢.例3已知數(shù)列禺i-27nN .猜想數(shù)列Xn的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.解

12、 *2nJ與X2分別單調(diào)，但 必!不具有單調(diào)性下面證明之.A因為數(shù)列心的迭代函數(shù)為f(X) ，從而其導函數(shù)f（x） = -7T7又由計算得1 1213X1, X2， X3 :2 1 1 31 3 523顯然有從而根據(jù)命題3的結(jié)論知，由Xn .1 = f (Xn)確定的數(shù)列Xn的子列Xn J為單調(diào)遞增數(shù)列,%!為單調(diào)遞減數(shù)列，而Xn不具有單調(diào)性例 4 設:1, 、匚，Xn1Xn,( n =123,HI),求證:limxn1 +xnnTC證明設f(宀土(X 0),則f(X)二1 -:(1 X)20,- 9 -仿推論有1 一 ：X2n1 :, n = 1,2,3,川，即對與 有界,故均收斂.lim

13、冷“=x, lim x2n 二 y, a, b 0,n 廠n i.:Xn 1- Xn j2(： -XL)1 ：2Xn4亦由推論得x = y =、：.最后我們指出 , 應用本文的三個命題及推論 , 可以較為簡單的解決文獻1,2,3,6中所有例子與結(jié)果 ,以及文獻4,5,7中大部分結(jié)果 . 參考文獻 1 孫志峰 . 關(guān)于一類遞推數(shù)列極限的求法的注解 J. 高等數(shù)學研究 ,2007,10（5）:45-46.2 張乾,陳之兵 .一類遞推數(shù)列極限的求法 J .高等數(shù)學研究 , 2006,9（5） :30-31.3 胡付高 ,蔡運舫 .一道極限題的多種解法 J .高等數(shù)學研究 , 2004,7（5） :33-36.4 余國林,魏本成.關(guān)于上,下極限的一個新定理 J .大學數(shù)學 , 2007,23（ 5）:163-166.5 潘杰,蘇化明 .一類數(shù)列極限的矩陣解法 J .高等數(shù)學研究 , 2007,10（4）:102-105.6 潘杰,蘇化明 .一道極限題的解法