研修結(jié)業(yè)教學(xué)案例拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、26、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)內(nèi)容分析拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程是全日制普通高級中學(xué)教科書(必修數(shù)學(xué)第二冊(上第八章圓錐曲線第三節(jié)第一課時內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用:在初中階段,拋物線為學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)2=+提供直觀的圖象感覺;在y ax bx c高中階段,它在一元二次不等式的解法、求最大(小值等方面有著重要的作用。但學(xué)生并不清楚這種曲線的本質(zhì),隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識的逐漸完備,尤其是學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的第二定義之后,已具備了探討這個問題的能力。從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率1e=的特例;另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再

2、次強化。本節(jié)對拋物線定義的研究,與初中階段二次函數(shù)的圖象遙相呼應(yīng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。教材的這種安排,是為了分散難點,符合認(rèn)知的漸進性原則。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我校是省一級達標(biāo)學(xué)校,有優(yōu)越的多媒體設(shè)備,學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,有強烈的求知欲,具備一定的分析、觀察等能力。在此之前,學(xué)生已經(jīng)熟練掌握二次函數(shù)圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內(nèi)容,迫切想了解拋物線的本質(zhì)特征。但是在動手操作與合作學(xué)習(xí)等方面,發(fā)展不均衡,有待加強。三、設(shè)計思想為了培養(yǎng)不僅能“學(xué)會”知識,而且能“會學(xué)”知識的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展”的教學(xué)模式,在課堂設(shè)計上,教師應(yīng)學(xué)會如何創(chuàng)設(shè)

3、情景,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;圍繞教材的重難點,比如本節(jié)的“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)”和“拋物線概念的形成”,教師應(yīng)學(xué)會如何設(shè)計不同的活動環(huán)節(jié),設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題,通過教師適時的引導(dǎo),通過生生間、師生間的交流互動,通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人,不斷完善自己的知識體系,提高獲取知識的能力,嘗試合作學(xué)習(xí)的快樂,體驗成功的喜悅。四、教學(xué)目標(biāo)1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義,能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題。2、通過對拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較,體會三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。3、熟練掌握求曲線方程的基

4、本方法,通過四種不同形式標(biāo)準(zhǔn)方程的對比,培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納的能力。4.營造親切、和諧的氛圍,以“趣”激學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,體會數(shù)學(xué)的簡捷美、和諧美。培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識,體會成功帶來的喜悅。發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。五、教學(xué)重點和難點教學(xué)重點: 拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。通過學(xué)生自主建立直角坐標(biāo)系和對方程的討論選擇突出重點。教學(xué)難點:拋物線概念的形成。通過條件1e 的畫法設(shè)計,標(biāo)準(zhǔn)方程與二次函 數(shù)的比較突破難點。六、教學(xué)過程設(shè)計一.設(shè)置情景,導(dǎo)入新課(借助多媒體先給出一張姚明的圖片。(此時學(xué)生的興 趣來啦!師:姚明是我們

5、中國人的驕傲,我們要向他學(xué)習(xí)!大家都知道姚明的投籃非常精準(zhǔn)!為什么呢? 生:天賦、身高!生:勤奮練習(xí)!(再給出兩張姚明的圖片生:與投籃時的弧線有關(guān)!生:這弧線是拋物線!師:對!姚明有許多優(yōu)越的先天條件,同時好的技術(shù)也是一個關(guān)鍵的因素,今天我們就著手研究這個內(nèi)容。(進而引出本節(jié)研究的課題:拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生被教師設(shè)置的情景所吸引,學(xué)習(xí)的熱情高漲?！驹O(shè)計意圖】一個引人入勝的開頭會拓寬學(xué)生思路,尊重學(xué)生的生命活動,激發(fā)興趣,陶冶情操,大大提高教學(xué)效率。二.引導(dǎo)探究,獲得新知師:在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學(xué)過拋物線,那么,這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學(xué)習(xí)拋物線。師:前

6、面,我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的相關(guān)知識,那么它們的聯(lián)系和差異是什么?生:定義不一樣!生:方程!橢圓是22221x ya b+=,雙曲線是22221x ya b-=。師:還有嗎?生:橢圓是封閉的,雙曲線是開放的。師:這只是圖象不同,為什么會這樣呢?生:第二定義!就是它們到定點的距離與到定直線的距離的比等于一個常數(shù)!生:這個常數(shù)是離心率e!師:對啊!這是定性上的,定量上有不同嗎?生:離心率e不同,橢圓離心率e的范圍是01e。師:對了,e可看成是它們的相同點,又是不同點!(打開幾何畫板 師:現(xiàn)在我慢慢拖動,大家認(rèn)真觀察圖象。生:01e是雙曲線。師:但你們有沒觀察到1e=時的圖象?生:拋物線!【學(xué)情預(yù)設(shè)

7、】學(xué)生認(rèn)真觀察圖象的變化,認(rèn)知1e=的圖象就是拋物線?！驹O(shè)計意圖】不僅回顧了橢圓與雙曲線的相關(guān)內(nèi)容,而且為如何畫拋物線奠定堅實基礎(chǔ)。師:這拋物線是怎么畫出來的啊!(課堂頓時一片寂靜師:那這條拋物線與什么有關(guān)?眾生:1e=!師:1e=是什么意思?生:到定點的距離等于到定直線的距離!師:回答得很好!那你們能據(jù)此設(shè)計一種方案,畫出這樣的點嗎?(一段時間后,讓學(xué)生匯報自己的設(shè)計方案,并用實物投影儀展示學(xué)生所畫的圖形,師生共同就方案的可行性進行論證。 (在直線PF上找特殊點(在第一象限找特殊點(在第一象限找所有點【活動設(shè)計】前后學(xué)生組成四人小組,探討畫圖方案?！窘處熁顒印拷處熞云降鹊纳矸萁槿雽W(xué)生的討論中

8、,并且關(guān)注:1.學(xué)生在知識認(rèn)知與情感發(fā)展方面的疑惑,及時引導(dǎo)鼓勵;2.關(guān)注每個人的活動情況,做到全員參與,從同學(xué)們的探究中,了解學(xué)生對知識理解的不同程度,思考的不同方向,對有代表性的方案注意收集;3.了解學(xué)生探究的進展,把握課堂節(jié)奏?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能找到個別點,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計好如上圖中的方案?！驹O(shè)計意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生合情推理與邏輯思維能力,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強學(xué)生的自信心。e=的圖師:同學(xué)們的設(shè)計讓我們看到了這條曲線上的一個點,那么怎么畫滿足1 Array象呢?(課堂又一片寂靜(出示預(yù)先準(zhǔn)備的圓錐曲線教具師:現(xiàn)在我介紹這個教具的用法,將直尺與定直線重合,豎直固定在黑板上,再將磁鐵固

9、定在定點上,拉緊白線,就可以畫出來了。誰上來試試?(兩位學(xué)生積極上臺板演師:這兩位同學(xué)表現(xiàn)非常好!這就是我們見過的拋物線!【活動設(shè)計】兩位學(xué)生上臺演示教具畫拋物線的過程?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】教師應(yīng)先介紹教具的使用方法,然后學(xué)生嘗試。在嘗試的過程中,學(xué)生可能會遇到困難,教師應(yīng)給予指導(dǎo)?！驹O(shè)計意圖】體現(xiàn)數(shù)學(xué)實踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用,同時教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生,多引導(dǎo)學(xué)生間進行合作交流,培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識,體驗成功帶來的喜悅。 師:接下來我也來演示下拋物線的形成過程。(打開幾何畫板軟件 師:認(rèn)真觀察P 點的運動過程,你們有什么發(fā)現(xiàn)?(利用幾何畫板軟件同步動態(tài)演示 生:AP PC +和AP PF +等于AC ,

10、所以點P 在運動時,CP 始終等于PF 。 師:這位同學(xué)觀察很敏銳,直接抓住關(guān)鍵地方!師:那這樣畫出來的圖象也是?眾生:拋物線!師:很好!【活動設(shè)計】利用幾何畫板軟件演示拋物線的形成過程?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生驚訝!計算機軟件居然能演示拋物線形成的過程,學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣再次調(diào)動起來!【設(shè)計意圖】強調(diào)“在操作中促進學(xué)習(xí)”,體現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價值,同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)計算機知識的興趣。至此本節(jié)的難點得以突破。 師:以前我們是用描點法畫出拋物線,那今天我們怎么畫?眾生:教具,電腦師:現(xiàn)在變換教具的位置,那么畫出的圖象還是拋物線嗎?眾生:是。師:這說明了什么?生:畫拋物線與位置無關(guān)。師:所以今天我們就

11、巧妙地利用幾何知識和計算機等方式畫出了整個圖象。師:現(xiàn)在你們就可以歸納一下拋物線的定義了!生:到點F的距離和到直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。師:這樣歸納完整嗎?生:應(yīng)該說,平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。生:還要注意定點不能在定直線上。師:為什么啊?師:如果這樣,就只能找到一個點。師:說得很好!這里F叫做拋物線的焦點,定直線L叫做拋物線的準(zhǔn)線。【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生間合作交流,完成對拋物線定義的歸納?！驹O(shè)計意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納等能力。三.深入探索,推導(dǎo)方程師:接下來你們試試推導(dǎo)拋物線的方程?(簡單回顧求曲線方程的方法。一段時間后,實物投影儀展示學(xué)生探

12、討的結(jié)果。(分組討論,集中探索1.以K為原點,定直線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時得方程為:(22=-y px p p202.以F為原點,過F且垂直于定直線F的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時得方程:(22=+20y px p p3.以垂線段KF的中點為原點,KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時得方程:(220=y px p師:哪個好呢? 生:方案3所得的方程更簡潔!師:我們就把它叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,注意這里標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)范是頂點在原點,圖象關(guān)于x軸對稱。【活動設(shè)計】以原來的四人小組為單位,討論建立直角坐標(biāo)系的方案,一段時間后,各組交流,對可行的方案進行驗證。【學(xué)情預(yù)設(shè)】可能出

13、現(xiàn)的情況如上。若只出現(xiàn)第一種和第二種方案,教師要適時引導(dǎo)出現(xiàn)第三種方案;若直接出現(xiàn)第三種方案,教師就引導(dǎo)學(xué)生歸納拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。【設(shè)計意圖】通過有啟發(fā)性的活動設(shè)計和層層深入的問題設(shè)置,使學(xué)生在分析、探究、反思和歸納中,不斷獲得解決問題的方法。師:現(xiàn)在請同學(xué)們增大點F 到直尺L 的距離,重復(fù)剛才的實驗,比較一下,拋物線有什么變化?再縮小這個距離試一試。生:點F 到直尺L 的距離發(fā)生變化,拋物線開口也發(fā)生變化。 師:觀察很準(zhǔn)確!這說明了什么?生:焦點到準(zhǔn)線的距離是拋物線的一個重要的幾何特征。 師:說得非常好!師:接下來看課本的一條拋物線,試將你們的課本逆時針旋轉(zhuǎn)90 再觀察,會有什么發(fā)現(xiàn)?生:x

14、 軸和y 軸對調(diào)了。 生:還有開口向上了!師:同學(xué)觀察得很仔細(xì)!那么你們能推出它的方程嗎? 生:將22y px =中的x 和y 對調(diào)就行了,就是22x py =! 師:大家在等式兩邊同除2p 看看! 生:212y x p=,哦,是二次函數(shù)形式! 師:對了!這就是我們熟悉的二次函數(shù)了! 師:那再逆時針旋轉(zhuǎn)90 ,怎么求?生:和22y px =圖象關(guān)于y 軸對稱,將x -替換x 就行,就是22y px =-! 師:再逆時針旋轉(zhuǎn)90 呢?眾生:和22x py =圖象關(guān)于x 軸對稱,將y -替換y 就行,就是22x py =-! 師:你們完成的過程有沒什么發(fā)現(xiàn)?生:從(220y px p =的形式上,

15、方程的一次項決定焦點的位置。生:還有一次項系數(shù)符號決定開口方向,而且可以迅速算出焦點坐標(biāo)為,02p 和準(zhǔn)線方程為2p x =-。 師:還有嗎?生:拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同的是:確定拋物線只要一個自由量p ,而確定橢圓和雙曲線則需要兩個自由量。 師:觀察很敏銳,分析很透徹,很好!【學(xué)情預(yù)設(shè)】通過老師的層層引導(dǎo),學(xué)生自主完成計算機中的表格的內(nèi)容,認(rèn)清拋物線和二次函數(shù)圖象的聯(lián)系,認(rèn)清拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的各種形式?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),不斷提升分析、總結(jié)與歸納等能力,也為分析例題和解決實際應(yīng)用問題奠定理論基礎(chǔ)。 四.指導(dǎo)應(yīng)用,鼓勵創(chuàng)新師:接下來我們運用上述所學(xué)到的知識來解決

16、一些問題,如:已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是212y x =-,現(xiàn)在請你們說出它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。生:方程是關(guān)于x 的一次項,系數(shù)是負(fù)的,所以焦點在x 軸上,開口向左,所以焦點坐標(biāo)是(3,0-,準(zhǔn)線方程是3x =。再看一道:已知拋物線方程是212y x =,請說出它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。 生:焦點坐標(biāo)是(0,3。 師:是這樣嗎?生:二次項系數(shù)不為1,所以要先化成標(biāo)準(zhǔn)方程!應(yīng)該先變成2112x y =再求。 師:太好了!所以解題時不要張冠李戴!結(jié)果算出來了嗎?眾生:焦點坐標(biāo)是10,48,準(zhǔn)線是148y =-?！驹O(shè)計意圖】鞏固四種方程的形式及曲線特征,熟悉相關(guān)公式。強調(diào)解決拋物線方程問題時要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)

17、準(zhǔn)方程。師:現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖,有一次姚明投籃時,測得投籃的軌跡是拋物線,請看右邊畫的圖形,拋物線最高點離底面距離為4m ,籃框高為3m ,籃框中心離最高點的水平距離 為2m ,怎么求投中時拋物線的方程?(生思考 師:這是一道實際生活問題!我們?nèi)绾螌⑦@個問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題呢? 生:建立直角坐標(biāo)系! 師:那怎么建立啊?生:這里應(yīng)該以點O 為坐標(biāo)原點,OA 所在直線為y 軸建立坐標(biāo)系,這樣拋物線就在x 軸下方,直接設(shè)(220x py p =-,又(2,1B -,則2p =,方程就是24x y =-!師:很好!接著我們還可以算出?生:只要知道姚明的身高,我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離。

18、 師:非常好!【學(xué)情預(yù)設(shè)】當(dāng)遇到實際應(yīng)用題,學(xué)生可能會感到困惑,但在教師的引導(dǎo)下,利用掌握的相關(guān)知識解決了實際生活問題。【設(shè)計意圖】設(shè)計一道求投籃軌跡的方程的例題,不僅與開頭遙相呼應(yīng),而且可以鞏固新知識,加深學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值,體會數(shù)學(xué)來自生活,又應(yīng)用于生活,服務(wù)于生活。 五.小結(jié)概括,深化認(rèn)識師:今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?生:可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線。生:知道了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它的頂點在原點,焦點落在對稱軸上,有四種形式。師:這是知識方面的。我們還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?生:轉(zhuǎn)化思想,求解拋物線方程問題時要特別注意先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。師:還有嗎?生:從橢圓和雙曲線中

19、e的變化研究到拋物線,實際是用了類比的方法。生:如果我們做生活的有心人,就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活實際是密切相連的。師:很好!今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然不多,但是從知識、能力、思想與應(yīng)用等方面都理解和體驗了數(shù)學(xué)的奧秘!【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生總結(jié)出在知識、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲。【設(shè)計意圖】擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法,讓學(xué)生自己總結(jié),加深對本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識。六.布置作業(yè)課本P119 1、2、3、4板書設(shè)計 七、教學(xué)反思本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后,因此在教學(xué)設(shè)計中,應(yīng)注意充分調(diào)動學(xué)生已有的知識,引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識有機融合,掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時時與前兩種曲線進行比較,不斷復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟。為了突破本節(jié)課的難點拋物線概念的形成。 在教學(xué)設(shè)計中， 注重設(shè)計三個活動： 第一個活動讓學(xué)生感受曲線上的一個 點，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)的信心；第二個活動中，圓錐