解答高等代數(shù)與解析幾何期中試題第一學(xué)期

1、北京科技大學(xué) 2011-2012學(xué)年 第 一 學(xué)期裝 訂 線 內(nèi) 不 得 答 題自 覺 遵 守 考 試 規(guī) 則，誠(chéng) 信 考 試，絕 不 作 弊 高等代數(shù)與解析幾何 期中試卷解答(2011級(jí)理科實(shí)驗(yàn)班用)考試時(shí)間：2010.11.12院(系) 數(shù)理學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三合計(jì)得分說明: 1、要求正確地寫出主要計(jì)算、證明或推導(dǎo)過程, 過程有錯(cuò)或只寫答案者不得分； 2、班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名均需寫全, 不寫全的試卷為廢卷; 3、涂改學(xué)號(hào)或姓名的試卷為廢卷；4、請(qǐng)?jiān)谠嚲砩洗痤}，寫在其它紙張上的解答一律無效.得 分一、填空題（請(qǐng)把答案填在橫線上，每小題3分，共15分）1五階行列式的項(xiàng)的符號(hào)是 正 解

2、：，所以的符號(hào)是正號(hào). 2已知，則中的系數(shù)是 -1 解：含 的項(xiàng)只有，該項(xiàng)符號(hào)為負(fù). 又解：計(jì)算出即可得到答案. 3已知階行列式，則 .解： =4. 設(shè)是正六邊形，則用表示的表達(dá)式是 . 5已知三維線性空間的一組基為，則向量在上述基下的坐標(biāo)為 . 得 分二、選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，并將其號(hào)碼填在題干后的括號(hào)內(nèi). 多選、錯(cuò)選均不得分. 每小題3分，共15分）6. 設(shè)階行列式=，是中元素的代數(shù)余子式，則下列各式中正確的是（c）(a) (b) (c) (d) 解：這道題考查的是行列式的展開定理。7. 設(shè),是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列向量組中不再是的基礎(chǔ)解系的為

3、（d）(a) ,+,+,+；(b) +,+,+,-；(c) +,-,+,+；(d) +,+,+,+解：首先齊次線性方程組解的線性組合仍是它的解。那么只要考查每一項(xiàng)的線性相關(guān)性。若是線性相關(guān)的，則不再是基礎(chǔ)解系。其中（d）滿足是線性相關(guān)的。8. 設(shè)方程組有無窮多組解，則必有（a）(a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 2解：這時(shí)方程組的增廣矩陣為當(dāng) 1時(shí)，秩()=秩()=23,此時(shí)線性方程組有無窮多個(gè)解。9. 設(shè)向量組是向量組的線性無關(guān)的部分向量組，則（d）(a) 向量組是的極大線性無關(guān)組(b) 向量組與的秩相等(c) 當(dāng)中向量均可由線性表出時(shí)，向量組，等價(jià)(d) 當(dāng)中向量均可由線性表出時(shí)，

4、向量組，等價(jià)10. 設(shè)是平行四邊形的重心，是任意一點(diǎn)，那么的值為（b） （a） （b） （c） （d） 解：得 分三、計(jì)算題與證明題（共70分）11（10分）試證明空間一點(diǎn)到平行四邊形所作四向量之和等于該點(diǎn)到對(duì)角線交點(diǎn)所作向量的四倍. 證明：已知平行四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)為，為空間任一點(diǎn)，到平行四邊形所作四向量分別為、，且所以12（10分）求常數(shù)的值，使矩陣的秩最小. 解：所以，時(shí)，矩陣的秩最小，. （時(shí)）. 13（15分）討論取何值時(shí)，以下方程組有解，并在有解時(shí)求解. 解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換因此得到：時(shí)，方程組有解. 繼續(xù)變換得通解為：14（15分）計(jì)算階行列式其中解1：加邊法解2：把第一行的倍分別加到其余各行上：再把第列的加到第一列（）：15（20分）已知， ，求（1）的基與維數(shù)；（2）的基與維數(shù)；（3）及的基與維數(shù). 解：對(duì)作初等行變換由此可以看出：（1）線性無關(guān)，于是，為的一組基（2）線性無關(guān)，于是，為的一組基（3）線性無關(guān)，所以是的一組基，且（4）由維