常微分方程的常數(shù)變易法及其應用

1、畢業(yè)論文常微分方程的常數(shù)變易法及其應用摘 要本文歸納整理了常微分方程常數(shù)變易法的幾個應用.關鍵詞常數(shù)變易法; 微分方程; 齊次; 系數(shù)constant variating method and application in ordinary differential equationabstract this paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationkeywords constant variating method ; diff

2、erential equation ; homogeneouscoefficient一、關于常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是微分方程中解線性微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的變換為函數(shù),它是拉格朗日(lagrangr joseph louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的僅是他的結論。二、常數(shù)變易法的幾個應用1.常數(shù)變易法在一階線性非齊次微分方程中的應用一階線性非齊次微分方程 （1） 它所對應的齊次方程為 （2）是變量分離方程，它的通解為 （3）下面討論一階線性非齊次微分方程（1）的解法。方程（2）與方程（1）既有聯(lián)系又有區(qū)別設想它們的解也有一定的聯(lián)系，（3）中的

3、恒為常數(shù)，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常數(shù)，將是的待定函數(shù)，為此令 （4）兩邊積分得到 將（4）（5）代入（1），得到 （5）即 兩邊積分得 （6）這里是任意的常數(shù)，將代入得到 這就是方程 的通解例1 求方程的通解，這里的為常數(shù).解 將方程改寫為 （7）先求對應齊次方程 的通解，得 令 （8）微分得到 （9）將（8）、（9）代入（7）中再積分，得 將其代入（8）中，即得原方程的通解 這里是任意的常數(shù)例2 求方程的通解.解 原方程改寫為 （10）把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對于及來說，方程（10）就是一個線性先求齊次線性方程的通解為 （11）令，于是 代入（1

4、0），得到 從而原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.初值問題為了求初值問題 常數(shù)變易法可采用定積分形式，即（4）可取為 （12）代入（1）化簡得 積分得 代入（12）得到 將初值條件、代入上式于是所求的初值問題為 或 定理一階非齊線性方程（1）的任兩解之差必為相應的齊線性方程（2）之解；若是（2）的非零解，而是（1）的解，則（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù)；方程（2）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2）的解.證明 設是非齊線性方程的兩個不同的解，則應滿足方程使 兩式相減有 說明非齊線性方程任意兩個解的差是對應的齊次線性方程的解. 因為故結論成立. 因為故結論成

5、立.2.常數(shù)變易法在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應用 我們知道常數(shù)變易法用來求非齊次線性微分方程的通解十分有效，現(xiàn)將常數(shù)變易法應用于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中.該方法是新的,具有以下優(yōu)點：無需求非齊次方程的特解，從而免去記憶二階微分方程各種情況特解的形式；無需求出相應齊次方程的全部解組，僅需求出一個即可；可得其通解公式.現(xiàn)考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （1）其對應的齊次方程為 （2）下面對（2）的特征方程 （3）x有實根和復根加以考慮若為（3）的一實根，則是（2）的一解，由常數(shù)變易法，可設（1）的解為通過求導可得 （4）將（4）和代入（1）化簡得 這是關于的一階線性方程，其通解為

6、（5） 若為（3）的一復根，不妨設，且，則f為（2）一解，由常數(shù)變易法，可設（1）的解為 ，與情形的推到類似，不難求得方程（1）的通解公式為 （6） 例1求的通解 解 相應的特征方程為 有解，故設非齊次方程的解為 對其求導得 代入原方程化簡得 其通解為 所以 從而原方程的通解為 例2求的通解解 相應的特征方程為 有解，有公式（5），得其通解為 = 3.常數(shù)變易法在三階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應用 前文中對二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法進行了討論，以下對一般的三階常系數(shù)非齊次線性微分方程詳細論述，此方法彌補了一般情況下只有特殊才能求解的缺陷，擴大了的適用范圍.由前面知，二階常系數(shù)非齊次線

7、性微分方程 對應齊次微分方程的特征方程 若為實特征根，通解為 （1）若為一復根，不妨設，且，通解為 （2）三階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （3）則對應的齊次方程為 （5）其對應的齊次方程 （6）若為其一實根，為方程根，則方程（3）的通解為 當為實根時， 當為復根時，不妨設，且 證明 因為特征方程（5）是三階方程，所以它至少有一實根，不妨設為特征方程一實根，則是（4）的一解，這時可設（3）的解為將其代入（3）中可得 因為為特征方程一根，所以 ，因此 這是關于的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其特征方程，其特征方程為 若其根為為實根，則由二階方程通解公式（1）可得 那么（3）的通解為 若其根為復根時，

8、不妨設，且則由二階方程通解公式（2）可得 那么（3）的通解為 例1 求解方程的通解.解 對應的齊次方程的特征方程為 其根為方程，即， 其根為所以取 代入公式 則其通解為 求解過程只需依次積分即可 令那么方程的通解為（）. 4.常數(shù)變易法在二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的應用二階變系數(shù)微分方程 的通解為 那么可以通過常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解設非齊次方程具有形式 的特解，其中是兩個待定函數(shù)，對求導數(shù)得 我們補充一個的條件 這樣 因此 將其代入化簡得 聯(lián)立方程解得 積分并取得一個原函數(shù) 則所求的特解為 + 所以方程的通解為 + 例1 求方程的通解解 方程對應的齊次方程為 由得 積分得 即，得其通解為 所以對應的齊次方程的兩個線性無關的特解是，為了求非齊次方程的一個特解，將換成待定函數(shù)，且滿足下列方程 解得 于是原方程的一個特解為 從而原方程的通解 參考文獻1 鄧春紅.關于二、三階線性微分方程通解求法j.零陵學報.2004,25(6):42-45.2 劉許成.三階線性微分方程系數(shù)的常數(shù)化定理及應用j.濰坊學報.2003,3(2):39-40.3 常微分方程m.北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.4 崔士襄.常數(shù)變易法來歷的探討j.邯鄲農業(yè)高等?？茖W校學報,1998,(1):40-41.5 俞岑源.關于一階線性常微分方程常數(shù)變易法的一點注記j.2001,(3):13-