312兩條直線平行與垂直的判定 教案

1、3.1.2兩條直線平行與垂直的判定三維目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)讓學(xué)生掌握直線與直線的位置關(guān)系(2)讓學(xué)生掌握用代數(shù)的方法判定直線與直線之間的平行與垂直的方法2過程與方法(1)利用“兩直線平行，傾斜角相等”這一性質(zhì)，推出兩直線平行的判定方法(2)利用兩直線垂直時(shí)傾斜角的關(guān)系，得到兩直線垂直的判定方法3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受幾何與代數(shù)有著密切的聯(lián)系，對(duì)解析幾何有了感性的認(rèn)識(shí)(2)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)看問題，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣(3)通過課堂上的啟發(fā)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的精神重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行與垂直難點(diǎn)：兩條直線垂直判定

2、條件的探究與證明重難點(diǎn)突破：以初中學(xué)習(xí)的平面內(nèi)兩直線平行和垂直關(guān)系為切入點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，導(dǎo)出直線傾斜角間的關(guān)系，再通過直線的傾斜角同斜率的關(guān)系，猜想得出兩條直線平行和垂直判定的方式為了更好的理解兩直線垂直的條件，老師可利用幾何畫板直觀演示，驗(yàn)證當(dāng)兩條直線的斜率之積為1時(shí)，它們是相互垂直的即可教學(xué)建議 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)直線的傾斜角、斜率概念和斜率公式等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究如何用直線的斜率判定兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系核心內(nèi)容是兩條直線平行與垂直的判定結(jié)合本節(jié)知識(shí)的特點(diǎn)，建議采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，先從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用數(shù)形結(jié)合的思想，把兩條直線平行與垂直的幾何關(guān)系代數(shù)化，由于學(xué)生面

3、對(duì)的是一種全新的思維方法，首次接觸會(huì)感到不習(xí)慣，故教學(xué)過程中，教師應(yīng)采取循序漸進(jìn)的原則，注意到直線的傾斜角同斜率的關(guān)系，在幾何關(guān)系代數(shù)化的過程中，注意向?qū)W生滲透分類討論思想教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：直線的平行與垂直同其斜率間分別存在什么關(guān)系？課標(biāo)解讀1.理解兩條直線平行或垂直的判斷條件(重點(diǎn))2會(huì)利用斜率判斷兩條直線平行或垂直(難點(diǎn))3利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩直線平行或垂直時(shí)，對(duì)字母分類討論(易錯(cuò)點(diǎn))兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系【問題導(dǎo)思】1若兩條直線平行，其傾斜角什么關(guān)系？反之呢？【提示】?jī)蓷l直線平行其傾斜角相等；反之不成立2有人說：兩條直線平行，斜率一定相等這種說法對(duì)嗎？【提示】不

4、對(duì)，若兩直線平行，只有在它們都存在斜率時(shí)，斜率相等，若兩直線都垂直于x軸，雖然它們平行，但斜率都不存在兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l1，l2，傾斜角分別為1，2，斜率存在時(shí)斜率分別為k1，k2.則對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：前提條件12901290對(duì)應(yīng)關(guān)系l1l2k1k2l1l2兩直線斜率都不存在圖示兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系【問題導(dǎo)思】1如圖，直線l1與l2的傾斜角分別為1與2，若l1l2，則1與2之間存在什么關(guān)系？【提示】2190.2當(dāng)直線l1的傾斜角為0時(shí)，若直線l1l2，則l2的斜率應(yīng)滿足什么條件？【提示】直線l2的斜率不存在，如圖，當(dāng)直線l1的傾斜角為0時(shí)，若l1l2，則l2的

5、傾斜角為90，其斜率不存在兩條直線垂直與斜率的關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1l2k1k21l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1l2圖示兩條直線平行關(guān)系的判定判斷下列各組中的直線l1與l2是否平行：(1)l1經(jīng)過點(diǎn)a(1，2)，b(2,1)，l2經(jīng)過點(diǎn)m(3,4)，n(1，1)；(2)l1的斜率為1，l2經(jīng)過點(diǎn)a(1,1)，b(2,2)；(3)l1經(jīng)過點(diǎn)a(0,1)，b(1,0)，l2經(jīng)過點(diǎn)m(1,3)，n(2,0)；(4)l1經(jīng)過點(diǎn)a(3,2)，b(3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)m(5，2)，n(5,5)【思路探究】依據(jù)兩條直線平行的

6、條件逐一判斷便可【自主解答】(1)k11，k2，k1k2，l1與l2不平行(2)k11，k21，k1k2，l1l2或l1與l2重合(3)k11，k21，k1k2，而kma21，l1l2.(4)l1與l2都與x軸垂直，l1l2. 判斷兩直線平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在時(shí)，二看斜率是否相等；若兩直線斜率都不存在或相等時(shí)，三看直線是否重合，若不重合則兩直線平行已知直線l1經(jīng)過兩點(diǎn)(1，2)，(1,4)，直線l2經(jīng)過兩點(diǎn)(2,1)，(x,6)，且l1l2，則x_.【解析】直線l1的斜率不存在，且l1l2，l2的斜率也不存在點(diǎn)(2,1)及(x,6)的橫坐標(biāo)相同，x2.【答案】2兩條直

7、線垂直關(guān)系的判定判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直：(1)l1經(jīng)過點(diǎn)a(1，2)，b(1,2)，l2經(jīng)過點(diǎn)m(2，1)，n(2,1)；(2)l1的斜率為10，l2經(jīng)過點(diǎn)a(10,2)，b(20,3)；(3)l1經(jīng)過點(diǎn)a(3,4)，b(3,100)，l2經(jīng)過點(diǎn)m(10,40)，n(10,40)【思路探究】求出斜率，利用l1l2k1k21或一條直線斜率為0，另一條斜率不存在來判斷【自主解答】(1)直線l1的斜率k12，直線l2的斜率k2，k1k21，故l1與l2不垂直(2)直線l1的斜率k110，直線l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的傾斜角為90，則l1x軸直線l2的斜率k2

8、0，則l2x軸故l1l2.使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；(2)二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；(3)三求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論已知直線l1l2，若直線l1的傾斜角為30，則直線l2的斜率為_【解析】由題意可知直線l1的斜率k1tan 30，設(shè)直線l2的斜率為k2，則k1k21，k2.【答案】直線平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用已知a(4,3)，b(2,5)，c(6,3)，d(3,0)四點(diǎn)，若順次連接a、b、c、d四點(diǎn)，試判定圖形abcd的形狀

9、【思路探究】先由圖形判斷四邊形各邊的關(guān)系，猜測(cè)四邊形的形狀，再由斜率之間的關(guān)系完成證明【自主解答】a、b、c、d四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如圖，由斜率公式可得kab，kcd，kad3，kbc.kabkcd，由圖可知ab與cd不重合，abcd.由kadkbc，ad與bc不平行又kabkad(3)1，abad.故四邊形abcd為直角梯形1在頂點(diǎn)確定的情況下，確定多邊形形狀時(shí)，要先畫出圖形，由圖形猜測(cè)其形狀，為下面證明確定目標(biāo)2證明兩直線平行時(shí)，僅k1k2是不夠的，注意排除重合的情況3判斷四邊形形狀問題要進(jìn)行到底，也就是要得到最具體的四邊形已知四邊形abcd的四個(gè)頂點(diǎn)分別為a(0,0)，b(2，1)，c

10、(4,2)，d(2,3)，試判斷四邊形abcd的形狀，并給出證明【解】四邊形abcd是平行四邊形證明如下：如圖所示，ab邊所在直線的斜率kab，cd邊所在直線的斜率kcd，bc邊所在直線的斜率kbc，da邊所在直線的斜率kda.所以kabkcd，kbckda，由題意知abcd，bcda.故四邊形abcd是平行四邊形分類討論思想在直線平行與垂直中的應(yīng)用(12分)已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)a(3，a)，b(a1,2)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)c(1,2)，d(2，a2)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值【思路點(diǎn)撥】(1)斜率存在,(2)【規(guī)范解答】設(shè)直線l2的斜率為k2，則k2.2分(1)若l1

11、l2，設(shè)直線l的斜率為k1，則k1.又k1，則，a1或a6.4分經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a1或a6時(shí)，l1l2.(2)若l1l2，當(dāng)k20時(shí)，此時(shí)a0，k1，不符合題意.8分當(dāng)k20時(shí)，l2的斜率存在，此時(shí)k1.由k2k11，可得a3或a4.所以，當(dāng)a3或a4時(shí)，l1l2.12分1由l1l2比較k1，k2時(shí)，應(yīng)首先考慮斜率是否存在，當(dāng)k1k2時(shí)，還應(yīng)排除兩直線重合的情況2由l1l2比較k1，k2時(shí)，既要考慮斜率是否存在，又要考慮斜率是否為0的情況3在l1l2及l(fā)1l2相關(guān)問題的處理中，樹立分類討論的意識(shí)1兩條直線平行的條件是在兩直線不重合且斜率存在的條件下得出的，即在此條件下有l(wèi)1l2k1k2；若兩條直線的

12、斜率都不存在且兩直線不重合，則兩直線也平行2兩條直線垂直的條件也是在兩條直線的斜率都存在的條件下得出的，即在此條件下有l(wèi)1l2k1k21；若一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率等于0，則兩條直線也垂直3在兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷中體會(huì)分類討論的思想1已知直線l1l2，直線l1的斜率k12，則直線l2的斜率k2()a不存在b.c2 d【解析】l1l2且k12，k22.【答案】c2已知直線l1的斜率k1，直線l2的斜率k2，則l1與l2的位置關(guān)系為()a平行 b重合c垂直 d無(wú)法確定【解析】k1k21，l1l2.【答案】c3直線l1的斜率為2，直線l2上有三點(diǎn)m(3,5)，n(x,7)，p

13、(1，y)，若l1l2，則x_，y_.【解析】l1l2，且l1的斜率為2，則l2的斜率為，x1，y7.【答案】174(1)已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)m(3,0)，n(15，6)，l2經(jīng)過點(diǎn)r(2，)，s(0，)，試判斷l(xiāng)1與l2是否平行(2)l1的傾斜角為45，l2經(jīng)過點(diǎn)p(2，1)，q(3，6)，問l1與l2是否垂直？【解】(1)kmn，krs，l1l2.(2)k1tan 451，k21，k1k21.l1l2.一、選擇題1下列說法正確的有()若兩直線斜率相等，則兩直線平行；若l1l2，則k1k2；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行

14、a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【解析】當(dāng)k1k2時(shí)，l1與l2平行或重合，不成立；中斜率不存在時(shí)，不正確；同也不正確只有正確，故選a.【答案】a2經(jīng)過兩點(diǎn)a(2,3)，b(1，x)的直線l1與斜率為1的直線l2平行，則實(shí)數(shù)x的值為()a0 b6 c6 d3【解析】直線l1的斜率k1，由題意可知1，x6.【答案】c3若直線l1，l2的傾斜角分別為1，2，且l1l2，則()a1290 b2190c|12|90 d12180【解析】如圖所示由圖(1)可知1290，由圖(2)可知2190，|12|90.【答案】c4過點(diǎn)(，)，(0,3)的直線與過點(diǎn)(，)，(2,0)的直線的位置關(guān)系為()a垂直 b平行c重合

15、 d以上都不正確【解析】過點(diǎn)(，)，(0,3)的直線的斜率k1；過點(diǎn)(，)，(2,0)的直線的斜率k2.因?yàn)閗1k21，所以兩條直線垂直故選a.【答案】a5以a(1,1)，b(2，1)，c(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是()a銳角三角形b鈍角三角形c以a點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形d以b點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形【解析】kab，kac，kabkac1，abac，a為直角【答案】c二、填空題6若a(4,2)，b(6，4)，c(12,6)，d(2,12)，則下面四個(gè)結(jié)論：abcd；abcd；acbd；acbd.其中正確的序號(hào)是_【解析】kab，kcd，kac，kbd4，kabkcd，kackbd1，abcd，

16、acbd.【答案】7經(jīng)過點(diǎn)m(m,3)和n(2，m)的直線l與斜率為4的直線互相垂直，則m的值是_【解析】由題意知，直線mn的斜率存在，mnl，kmn，解得m.【答案】8(2013洛陽(yáng)高一檢測(cè))已知平行四邊形abcd中，a(1,1)，b(2,3)，c(0，4)，則點(diǎn)d的坐標(biāo)為_【解析】設(shè)d(x，y)，由題意可知，abcd且adbc.kabkcd且kadkbc，解得d點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，6)【答案】(3，6)三、解答題圖3159如圖315，在oabc中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)c(1，3)(1)求oc所在直線的斜率(2)過c作cdab于d，求直線cd的斜率【解】(1)點(diǎn)o(0,0)，c(1,3)，oc所在直

17、線的斜率koc3.(2)在oabc中，aboc，cdab，cdoc，kockcd1，kcd.故直線cd的斜率為.10在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形opqr的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次是o(0,0)，p(1，t)，q(12t,2t)，r(2t,2)，其中t(0，)，試判斷四邊形opqr的形狀，并給出證明【解】op邊所在直線的斜率kopt，qr邊所在直線的斜率kqrt，or邊所在直線的斜率kor.pq邊所在直線的斜率kpq，kopkqr，korkpq，opqr，orpq，四邊形opqr是平行四邊形又kqrkort()1，qror.四邊形opqr是矩形11已知a(0,3)，b(1,0)，c(3,0)，求d點(diǎn)的

18、坐標(biāo)，使四邊形abcd為直角梯形(a、b、c、d按逆時(shí)針方向排列)【解】設(shè)所求點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x，y)，如圖由于直線ab的斜率kab3，直線bc的斜率kbc0，則kabkbc01，即ab與bc不垂直故ab、bc都不可作為直角梯形的直角邊(1)若cd是直角梯形的直角邊，則bccd，adcd.kbc0，cd的斜率不存在從而有x3.又直線ad的斜率kadkbc，0，即y3.此時(shí)ab與cd不平行故所求點(diǎn)d的坐標(biāo)為(3,3)，(2)若ad是直角梯形的直角邊，則adab，adcd.kad，直線cd的斜率kcd，又由于adab，31.又abcd，3.由可得此時(shí)ad與bc不平行綜上可知，使四邊形abcd為直角梯形的點(diǎn)d的坐標(biāo)可以為(3,3)或(，)已知a(m3,2)，b(2m4,4)，c(m，m)，d(3,3m2)，若直線abcd，求m的值【思路探究】分別計(jì)算直線ab和cd的斜率；注意斜率不存在的情形【自主解答】a，b兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不等，ab與x軸不平行abcd，cd與x軸不垂直，m3，m3.當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，m32m4，解得m1.而m1時(shí)c，d縱坐標(biāo)均為1，cdx軸，此時(shí)abcd，滿足題意；當(dāng)ab與x