(精編資料推薦)數(shù)學(xué)建模之因子分析法.doc

1、因子分析因子分析就是一種降維、 簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。 它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)“抽象”的變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量，而因子一般是不可觀測(cè)的潛在變量。1.因子分析法的應(yīng)用汽車行業(yè)業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)研究（下載文檔），上市公司盈利能力及資本結(jié)構(gòu)實(shí)證分析，生育率影響因素分析。2.步驟對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理用 x1, x2 , xm 表示因子分析指標(biāo)的m 個(gè)變量，評(píng)價(jià)對(duì)象有 n 個(gè)， aij 表示第 i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象對(duì)應(yīng)于第 j 個(gè)指標(biāo)的取值。將每個(gè)指標(biāo)值aij 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指

2、標(biāo) aij ，即aij aijj ,( i1,2, , n; j 1,2, m)sj1式中：jnn1nj )2aij ， sj( aiji 1n1 i 1相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量為xjx jj,( j 1,2, m)sj計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 RR( rij )m mnaki akjk1,( i , j1,2, m)rijn1式中： rii 1,rijr ji ， rij 是第 i 個(gè)指標(biāo)和第 j指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)。1計(jì)算初等載荷矩陣解特征方程IR0 ，得到特征值i (i1,2, m)12,m0 ，再求出相對(duì)應(yīng)的特征值i 的特征向量 ui (i1,2, m) ，其中 u j(u1 j ,u2 j ,

3、umj )T ,得到初等載荷矩陣為1 1 u1 , mum 確定主因子的個(gè)數(shù) k (k m)km一般選取使得累計(jì)貢獻(xiàn)率ii 85%的這 k 個(gè)主因子，對(duì) k 個(gè)因子載荷i 1i 1矩陣作旋轉(zhuǎn)，用 1(k) 表示1 的前 k 列， T 表示正交矩陣，則得矩陣 21(k )T ，建立因子模型，即x111F11k Fk ,xmm1 F1mk Fk.計(jì)算因子得分，作出綜合評(píng)價(jià)求出單個(gè)因子的得分函數(shù)?個(gè)樣本對(duì)第 j 個(gè)因子的得分估Fj，用 Fij 表示第 i計(jì)值， Y 表示原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣，則總得分為?) n k YR1kF( Fij例題我國(guó)上市公司贏利能力與資本結(jié)構(gòu)的實(shí)證分析已知上市公司的數(shù)據(jù)見

4、表1表1上市公司數(shù)據(jù)試用因子分析法對(duì)上述企業(yè)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。2模型的建立對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理用 1 2m 表示因子分析指標(biāo)的m 個(gè)變量，評(píng)價(jià)對(duì)象有 n 個(gè)， a 表示第 ix , x , , xij個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象對(duì)應(yīng)于第 j 個(gè)指標(biāo)的取值。將每個(gè)指標(biāo)值aij 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo) aij ，即aijj,( i1,2, , n; j 1,2, m)aijsj式中：1jnn1nj )2aij ， sj( aiji 1n1 i 1相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量為xjx jj ,( j1,2, m)sj計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 RR( rij )m mnaki akjk1,( i , j1,2, m)rijn 1式中： r

5、ii 1,rijr ji ， rij 是第 i 個(gè)指標(biāo)和第 j 指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)。計(jì)算初等載荷矩陣解特征方程 IR0 ，得到特征值i (i1,2, m) 12,m 0 ，再求出相對(duì)應(yīng)的特征值i的特征向量 ui (i1,2, m) ，其中 u j(u1 j ,u2 j , umj )T ,得到初等載荷矩陣為1 1 u1 , mum 確定主因子的個(gè)數(shù) k (k m)km一般選取使得累計(jì)貢獻(xiàn)率ii 85% 的這 k 個(gè)主因子，對(duì) k 個(gè)因子載荷i 1i 1矩陣作旋轉(zhuǎn)，用1(k) 表示1 的前 k 列， T 表示正交矩陣，則得矩陣 21(k )T ，建立因子模型，即3x111F11k Fk ,xmm

6、1 F1mk Fk.模型的求解：我們選取兩個(gè)主因子。 利用 MATLAB程序計(jì)算得旋轉(zhuǎn)后的因子貢獻(xiàn)及貢獻(xiàn)率見表2，因子載荷陣見表 3。表 2 貢獻(xiàn)率數(shù)據(jù)表3 旋轉(zhuǎn)因子分析表計(jì)算因子得分，作出綜合評(píng)價(jià)我們用回歸方法求單個(gè)因子得分函數(shù)?bj1 x1bjm xm , j 1,2, , kFj用 F?ij 表示第 i 個(gè)樣本對(duì)第 j 個(gè)因子的得分估計(jì)值，則?bj1 xi1bjm xim ,( i 1,2, , n; j 1,2, , k )Fij即b11b21bk1b12b22xk2R 1Bb1mb2 mxkm用 Y 表示原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣，則總得分為?YR1BF( Fij ) n k計(jì)算得出各個(gè)因子得分函數(shù)為F10.531x10.1615x20.1831x30.5015x4F20