2012高考數(shù)學二輪 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程名師精編精析（15）

1、第十五講 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程高考在考什么【考題回放】1已知AB為過拋物線y2=2px焦點F的弦, 則以AB為直徑的圓與拋物線的準線(B)A相交 B相切 C相離 D與p的取值有關(guān)2（江蘇理）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方程為x-2y=0，則它的離心率為 （ A ）A B C D3點P(a,b)是雙曲線x2-y2=1右支上一點，且P到漸近線距離為，則a+b=(B )A、-B、C、-2D、2 4（湖南）設(shè)F1 、F2分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在P使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（ D ）A B C D5（湖北理）

2、雙曲線的左準線為l，左焦點和右焦點分別為F1 、F2；拋物線C2的準線為l，焦點為F2；C1與C2的一個交點為M，則等于 （ A ）A BC D6（全國一）拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是( C)A4 B C D87（福建理）以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓方程是 （ A ）Ax2+y2-10x+9=0Bx2+y2-10x+16=0 Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+10x+9=08（遼寧）設(shè)橢圓上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，若點M滿足，則2高考要考什么【熱

3、點透析】一、圓錐曲線的定義 1. 橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0e1時為雙曲線。 二、圓錐曲線的方程。 1.橢圓：（ab0）或（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.雙曲線：（a0, b0）或（a0, b0）（其中，c2=a

4、2+b2）3.拋物線：y2=2px（p0），x2=2py（p0）三、圓錐曲線的性質(zhì) 知識要點：1.橢圓：（ab0） （1）范圍：|x|a，|y|b （2）頂點：(a,0)，(0,b) （3）焦點：(c,0) （4）離心率：e=(0,1) （5）準線：2.雙曲線：（a0, b0） （1）范圍：|x|a, yR （2）頂點：(a,0) （3）焦點：(c,0) （4）離心率：(1,+) （5）準線：（6）漸近線：3.拋物線：y2=2px(p0) （1）范圍：x0, yR （2）頂點：（0,0） （3）焦點：（,0）（4）離心率：e=1 （5）準線：x=-主要題型：（1）定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運用；

5、（2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。突破重難點【例1】若F1、F2為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線的左支上，點M在雙曲線的右準線上，且滿足：，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD3解：由知四邊形F1OMP是平行四邊形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，設(shè)|OF1|=c，則|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由雙曲線的第二定義知,且e1，e=2，故選C.【例2】學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗. 設(shè)計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對

6、稱軸、 為頂點的拋物線的實線部分，降落點為. 觀測點同時跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（1）設(shè)曲線方程為， 由題意可知，. . 曲線方程為. （2）設(shè)變軌點為，根據(jù)題意可知得 ，或（不合題意，舍去）. . 得 或（不合題意，舍去）. 點的坐標為，.答：當觀測點測得距離分別為時，應(yīng)向航天器發(fā)出指令. 圖1【例3】如圖1，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，且，。（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點P、Q使直線C

7、P、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)l使？請給出證明。解：（1）以O(shè)為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖直角坐標系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為。而O為橢圓中心，由對稱性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC為等腰直角三角形，所以點C坐標為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為k，直線CP的方程為y-1=k(x-1)，直線CQ的方程為y-1=-k(x-1)。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k

8、-1)x+3k2-6k-1=0因為C（1，1）在橢圓上，所以x1是方程的一個根，于是 同理這樣， 又B（1，1），所以，即kAB=kPQ。所以PQAB，存在實數(shù)l使?！纠?】如圖，直線l1和l2相交于點M，l1 l2，點Nl1以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程解法一：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋線段的一段，其中A、B分別為C的端點設(shè)曲線段C的方程為y2=2px (p0)，(xAxxB

9、，y0)，其中xA，xB分別為A，B的橫坐標，P=|MN|所以 M (，0)，N (，0) 由 |AM|=，|AN|=3得(xA)22PxA=17， (xA)22PxA=9 由、兩式聯(lián)立解得xA=，再將其代入式并由p0解得或因為AMN是銳角三角形，所以xA，故舍去 P=4，xA=1由點B在曲線段C上，得xB=|BN|=4綜上得曲線段C的方程為y2=8x (1x4，y0)解法二：如圖建立坐標系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標原點作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分別為E、D、F設(shè) A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)依題意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA

10、=|DM|=2，由于AMN為銳角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4=|ME|+=4XB=|BF|=|BN|=6 設(shè)點P (x，y)是曲線段C上任一點，則由題意知P屬于集合(x，y)|(xxN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故曲線段C的方程y2=8(x2)(3x6，y0) 第十七講 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程(二)【例5】已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點， F1、F2分別是左、右焦點，求F1QF2的取值范圍；解：（1），。是共線向量，b=c,故。（2）設(shè)當且僅

11、當時，cos=0，?！纠?】設(shè)P是雙曲線右支上任一點. （1）過點P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求的值； （2）過點P的直線與兩漸近線分別交于A、B兩點，且的面積.解：（I）設(shè)兩漸近線方程為由點到直線的距離公式得 （II）設(shè)兩漸近線的夾角為，【例7】如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點求雙曲線的離心率解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CDy軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱 依題意，記A(c，0)，C(，h)，B(c，0

12、)，其中c為雙曲線的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高由定比分點坐標公式，得點E的坐標為， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點C、E在雙曲線上，得 由式得代入式得所以，離心率 【例8】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點（A,B不是左右頂點），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標解：（I）由題意設(shè)橢圓的標準方程為，由已知得：，橢圓的標準方程為（）設(shè)，聯(lián)立 得，又，因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，即， ，解得：，且均滿足，當時，的方程為

13、，直線過定點，與已知矛盾；當時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標為自我提升1.已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是(C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）122如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（ C ）A B C D 3拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 04雙曲線的虛軸長為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且|AB|是|AF2

14、|與|BF2|的等差中項，則|AB|為（A）.A、 B、 C、 D、85已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 6過橢圓左焦點F，傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為( B )(A) (B) (C) (D)7橢圓+=1的離心率e=，則m=_m=8或2。8 F1、F2是橢圓（ab0）的兩焦點，過F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，則橢圓的離心率是_9已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點為F1、F2，拋物線C以F2為焦點，F(xiàn)1為其頂點，若P為兩曲線的公共點，且e|PF2|=|P

15、F1|，則e_。10如圖，已知三點A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 若橢圓過A、B兩點，且C為其一焦點，求另一焦點P的軌跡方程； 若雙曲線的兩支分別過A、B兩點，且C為其一焦點，求另一焦點Q的軌跡方程。解析：由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的軌跡為A（7，0）、B（7，0）為焦點實軸長為2的雙曲線的一支，其方程為； 經(jīng)討論知，無論A在雙曲線的哪一支上, 總有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故點Q的軌跡為以A（7，0）、B（7，0）為焦點長軸長為28的橢圓，其方程為。11如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2當AC垂直于x軸 時，恰好

16、|AF1|:|AF2=3:1（I）求該橢圓的離心率；xyABCOF1F2（II）設(shè)，試判斷l(xiāng)1+l2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由解：（I）當C垂直于x軸時，由，得，在Rt中，解得 =（II）由=，則，焦點坐標為，則橢圓方程為，化簡有設(shè)，若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程有由韋達定理得：， 所以，同理可得故l1+l2= 若直線軸， l1+l26 綜上所述：l1+l2是定值612已知橢圓（ab0）上兩點A、B，直線上有兩點C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線的方程。解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O（0，1），半徑r=