中南大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)試卷_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、考試試卷1閉卷考試時(shí)間:100分鐘一、填空題(本題15分,每小題3分)1、設(shè)為四階方陣,其中為的第個(gè)列向量,令,則 。2、設(shè)為三階方陣,為的伴隨矩陣,且,則 。3、設(shè),且,則 。 4、若階方陣有特征值,則必有特征值 。 5、若二次型經(jīng)正交變換化為,則 。二、選擇題(本題15分,每題3分)1、設(shè)是階方陣,則的必要條件是( )。(a)中兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例; (b)中有一行元素全為零; (c)任一行元素為其余行的線(xiàn)性組合; (d)必有一行元素為其余行的線(xiàn)性組合。2、設(shè)是階對(duì)稱(chēng)陣,是階反對(duì)稱(chēng)陣,則下列矩陣中反對(duì)稱(chēng)矩陣是()(a); (b); (c); (d)。3、設(shè)向量組當(dāng)( )時(shí),向量組線(xiàn)性相

2、關(guān)。(a)5(b)4(c)3(d)24、設(shè)為矩陣,是非齊次線(xiàn)性方程組的3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量, 為任意常數(shù),則非齊次線(xiàn)性方程組的通解為( )。(a) ; (b) ; (c); (d)。5、設(shè)方陣是正定矩陣,則必有( )。 (a); (b); (c); (d)。三、(本題8分) 計(jì)算行列式 ,其中。四、(本題12分) 設(shè),且,求矩陣及, 其中為的伴隨矩陣,為單位矩陣。五、(本題14分) 設(shè)向量組不能由向量組線(xiàn)性表示。 (1)求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組; (2)求的值; (3)將向量用線(xiàn)性表示。六、(本題14分) 設(shè)齊次線(xiàn)性方程組()為,已知齊次線(xiàn)性方程組()的通解為。(1)求方程組()的基礎(chǔ)解系;(

3、2)問(wèn)方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有非零公共解,若沒(méi)有,則說(shuō)明理由。七、(本題14分) 設(shè)矩陣,(1)已知的一個(gè)特征值為 求; (2)求方陣,使為對(duì)角陣。八、(本題8分) 試證明:階矩陣的最大特征值為,其中。參考答案一、填空題(本題15分,每題3分) 1、0; 2、; 3、4; 4、; 5、1。二、選擇題(本題15分,每題3分) 1、d; 2、b; 3、a; 4、c; 5、b.三、(本題8分) 解:從第一行開(kāi)始,每行乘后逐次往下一行加,再按最后一行展開(kāi)得:原式=。四、(本題12分)解:由,得:,可逆,故;由于,。五、(本題14分) 解:(1) 令,則線(xiàn)性無(wú)關(guān), 故是向量組的

4、一個(gè)極大無(wú)關(guān)組;(2)由于4個(gè)3維向量 線(xiàn)性相關(guān),若線(xiàn)性無(wú)關(guān),則可由線(xiàn)性表示,與題設(shè)矛盾;于是線(xiàn)性相關(guān),從而。(3)令,。六、(本題14分)解:(1) ,所以方程組()的基礎(chǔ)解系為:;(2)設(shè),即,故上述方程組的解為,于是方程組()和()所有非零公共解為:。七、(本題14分)解:(1),將代人上式,得;(2)由(1)得,顯然為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,而令,顯然也是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,是單位陣,由,得的特征值,屬于對(duì)應(yīng)的特征向量為,單位化:,屬于對(duì)應(yīng)的特征向量為, 單位化:,取,則有。八、(本題8分)證明:由 得的特征值,故的最大特征值是??荚囋嚲?閉卷考試時(shí)間:100分鐘一、填空題(本題15分,每小題3分)1、若n階

5、行列式零元素的個(gè)數(shù)超過(guò)n(n-1)個(gè),則行列式為 。2、若a為4階矩陣,且=,則= 。3、設(shè)a=,且r(a)=3,則k= 。 4、已知向量,=(1,2,3),=(1,),設(shè)a=,則a= 。 5、設(shè)a為n階方陣,為a的伴隨矩陣,e為n階單位陣,若a有特征值必有特征值 。二、選擇題(本題15分,每題3分)1、設(shè)a,b,c為n階方陣,e為n階單位陣,且abc=e,則下列各式中( )不成立。 (a) cab=e (b) (c) bca=e (d)2、設(shè)a,b均為n階非零矩陣,且ab=o,則它們的秩滿(mǎn)足( )。 (a)必有一個(gè)等于零 (b)都小于n (c) 一個(gè)小于n,一個(gè)等于n (d)都等于n3、下列

6、命題中正確的是( )(a)在線(xiàn)性相關(guān)的向量組中,去掉若干個(gè)向量后所得向量組仍然線(xiàn)性相關(guān)(b)在線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組中,去掉每個(gè)向量的最后若干分量后仍然線(xiàn)性無(wú)關(guān)(c)任何n+k個(gè)n維向量(k)必然線(xiàn)性相關(guān)(d)若只有全為零時(shí),等式才成立,且線(xiàn)性無(wú)關(guān),則線(xiàn)性無(wú)關(guān)4、設(shè),則=( )時(shí),有為的基 (a) (b) (c) (d)5、設(shè)二次型的矩陣為,且此二次型的正慣性指數(shù)為3,則( )(a) k8 ( b) k7 (c) k6 (d) k5三、(10分)計(jì)算n階行列式,并求該行列式展開(kāi)后的正項(xiàng)總數(shù)。四、(10分) 設(shè)=,且,求矩陣,其中的伴隨矩陣,為單位矩陣。五、(本題14分) 設(shè)有向量組 ,(1)求該向量

7、組的秩;(2)求該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量分別用求得的最大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出。六、(本題14分) 設(shè)向量,(1)求3階方陣的特征值與特征向量;(2)求一正交矩陣為對(duì)角矩陣。七、(本題14分)設(shè)矩陣,(1)問(wèn);(2)當(dāng)a是正交矩陣時(shí),求方程組的解。八、(本題8分) 證明:線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是 其中。參考答案一、 填空:(每小題3分,共計(jì)15分)1、0 ; 2、; 3、 -3;4、 ; 5、。二、選擇:(每小題3分,共計(jì)15分)1、d 2、b 3、c 4、d 5、a三、(本題10分)(練習(xí)冊(cè)p117)解: , 設(shè)展開(kāi)式中正、負(fù)項(xiàng)總數(shù)分別為則,于是正項(xiàng)總數(shù)為。四、(本題10分)解:由,得:,

8、 可逆,故 ; 由于 。五、(本題14分)解:將矩陣化為最簡(jiǎn)形階梯形矩陣 , (1); (2)為所求的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,且。六、(本題14分)解: a=,(1) a的特征值為0,0,3; 由ax=0得對(duì)應(yīng)的0的特征向量為k,k,l為不全為零的任意常數(shù),由得對(duì)應(yīng)3的特征向量為c,c為任意非零常數(shù)。(2) 將正交化,得,再單位化,得,將單位化得,為所求正交陣。使 七、(本題14分)解:(1)若a是正交矩陣,則a的列向量?jī)蓛烧?,故有解得時(shí)a是正交矩陣。 (2) 八、(本題8分) 證:記矩陣 由于,從而得線(xiàn)性無(wú)關(guān)。考試試卷3閉卷考試時(shí)間:100分鐘一、填空題(本題15分,每小題3分)1、設(shè),矩陣,

9、則 。2、設(shè)為階矩陣,如果有階可逆矩陣,使 成立,則稱(chēng)與相似。3、元非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解的充分必要條件是 。 4、已知二次型,則二次型對(duì)應(yīng)的矩陣。 5、設(shè)4階方陣滿(mǎn)足:,(其中是單位矩陣),則的伴隨矩陣必有一個(gè)特征值為 。二、選擇題(本題15分,每題3分)1、已知4階方陣的伴隨矩陣為,且的行列式,則( )。 (a) 81 (b) 27 (c) 12 (d) 9 2、設(shè)、都是階方陣,且與有相同的特征值,并且、都有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則( )。 (a) 與相似 (b) (c) ,但 (d) 與不一定相似,但3、設(shè)階方陣為正定矩陣,下面結(jié)論不正確的是( )(a)可逆 (b)也是正定矩陣(c)

10、(d)的所有元素全為正4、若階實(shí)方陣,為階單位矩陣,則( )。(a) (b) (c) (d)無(wú)法比較與的大小5、設(shè),其中為任意常數(shù),則下列向量組線(xiàn)性相關(guān)的為( )。(a) ( b) (c) (d) 三、(10分)計(jì)算階行列式,的主對(duì)角線(xiàn)上的元素都為,其余位置元素都為,且。四、(10分) 設(shè)3階矩陣、滿(mǎn)足關(guān)系:,且,求矩陣。五、(10分) 設(shè)方陣滿(mǎn)足(其中是單位矩陣),求。六、(12分) 已知向量組: ,(1)求向量組的秩;(2)求向量組的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,并把不屬于該最大無(wú)關(guān)組的其它向量用該最大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出。七、(14分)設(shè)矩陣與矩陣相似,(1)求;(2)求正交矩陣,使。八、(14分) 設(shè)

11、有線(xiàn)性方程組為(1)證明:若兩兩不等,則此方程組無(wú)解;(2)設(shè),且已知是該方程組的兩個(gè)解,其中,寫(xiě)出此方程組的通解。參考答案二、 填空:(每小題3分,共計(jì)15分)1、; 2、; 3、;4、 ; 5、。二、選擇:(每小題3分,共計(jì)15分)1、b 2、a 3、d 4、c 5、c三、(本題10分)(見(jiàn)教材p44習(xí)題第5題)解:后面列都加到第1列,得四、(本題10分)解:。五、(本題10分)(見(jiàn)練習(xí)冊(cè)p118第五大題第1小題和典型題解p173例7)解: ,或。六、(本題12分)(見(jiàn)教材p89習(xí)題3第2題,或典型題解p178例6)解:將矩陣化為最簡(jiǎn)形階梯形矩陣 , (1); (2)為所求的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,且,。七、(本題14分)(見(jiàn)典型題解p190例14)八、(本題14分)(見(jiàn)

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