Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析

1、Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析1 8.1 定義、收斂域（書定義、收斂域（書8.1、8.2、8.3） 8.2 逆逆Z變換計算方法（書變換計算方法（書8.4） 8.3 Z變換性質(zhì)（書變換性質(zhì)（書8.5） 8.4 Z變換與變換與 L 變換的關系（書變換的關系（書8.6） 8.5 Z變換解差分方程（書變換解差分方程（書8.7） 8.6 系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù)、BIBO穩(wěn)定（書穩(wěn)定（書8.8）Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析2 1. Z 變換定義：變換定義： nnx nX zx nx n z雙序邊列的變換：Z ZZ Z 0 nnx nX zx nx n z單邊序列的變換：Z ZZ ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析3 (1) (

2、2) Z是復平面上的點是復平面上的點 (3) 因果序列：單邊因果序列：單邊 Z變換變換 = 雙邊雙邊 Z變換變換。 1010LaurLaurentLaurenttennnnnnnnnnnXzx n zx n zx n zx n zzx n z雙邊為，其中 是級數(shù)的，級數(shù)正即 的正指數(shù)項是級數(shù)的。則部主部：； Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析4 2. 逆逆 Z變換定義：變換定義： 對雙邊對雙邊 Z變換變換: nnX zx n z 11CC1C11dd2 j2 j1 d2 j mmnnm nnzX zzzx n zzx nzzx m 1C11 d02 jCm nmnzzmn 由柯西積分公式為包圍原點的閉曲

3、線，：，。Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析5 定義（雙邊逆定義（雙邊逆Z變換）：變換）： 11C11d2 j Resinnz Pix nzX zzX zzX zZ ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析6 3. 收斂域收斂域 (1) 定義：定義： (2) 判別方法：判別方法： nnx nX zx n zz一致。 有界，使的 的集合 nnnnX zx n zax n z，,可令 1limnnnaa達郎貝爾法：1/lim |limnnnnnnaa：柯西法111 若則收斂若則發(fā)散若則不定，；，；，。Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析7 4. 序列的分類與收斂域序列的分類與收斂域 (1) 右邊序列右邊序列( (因果序列因果序列)

4、)： 1x nnn， 111limlim1limnn nnnnnnnxnX zx n zx n zx nzzx nR，圓外111100 xxnRznRz， Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析8 (2) 左邊序列左邊序列( (逆因果序列逆因果序列) )：22220 00 0 xxnzRnzR， 2x nnn ， 2221lim1limnnnnnnnnnxnX zx n zxn zxnzzxnR，圓內(nèi)Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析9 (3) 雙邊序列：雙邊序列： ,x nn ， 10 12 nnnnxxz Rz RX zx n zx n z 右邊序列左邊序列1212xxxxRRRR若環(huán)狀收斂域若沒有收斂域 ，。

5、，。Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析10 5. 典型序列典型序列 Z變換變換 (1) (2) (3) 1 0nz，全平面收斂！Z Z 101 11nnu nzzz，Z Z 20 11nnzn u nn zzz，Z Z Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析11 (4) (5) (6) nza u nazza，Z Z 00jj 1nzeu nzze，Z Z 1 1 nnza unzazaza unzaza ，Z ZZ Z 111tnzea u nsza；注意：因式分解求 變換與求 變換不同Z ZL LL LZ ZThe SameZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析12 1. 留數(shù)方法留數(shù)方法 101111111 d2 j11dd

6、2 j2 jRes|Res|1ijnnnRLnnnnCnnRLCCnnRLppijX zx n zx n zx n zXzXzx nX zzX zzzXzzzXzzzXzu nzXzun 極點極點Z ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析13 (1) 正包圍：逆時針方向走，正包圍：逆時針方向走，極點都在圍線的左側(cè)；極點都在圍線的左側(cè)； (2) 負包圍：逆時針方向走，負包圍：逆時針方向走，極點都在圍線的右側(cè)。極點都在圍線的右側(cè)。 (3) 11111111dRes1 ! d Res1mmmmnmrrnnmrz zz znnmz zz zzX zzr zX zzX zzzrzzX zzzrX zz ，：，若有一

7、極點 為 階其所對應的序列為當時注：注：回顧：回顧：LT逆變換的留數(shù)方法逆變換的留數(shù)方法Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析14 3221 1?10.5zzX zzx nz zz：， 例求 321211232322210.52110.5210.5212120.518 130.52nnnnnzznzzx nx n u nzX zzzznzX zzzzzzzx nzzu nzzu n：；（1）， ：、解當時有兩個一階極點 1,2,311, 0.5, 0513.1nznx（2），：；三個極點 1,2,3 01, 0.05, 0 xnzn（3），：；二階三個極點 3.518 130.52nx nnnu n：綜上Z

8、變換與離散系統(tǒng)Z域分析15 11nnzanuauazn， 或Z Z 10111011rrrrnnnnN zbb zbzb zX zD zaa zaza z：一般地 01 1d! dMsijmjsjsisjmijmjiz zBABzzzzs zX zX zzzsjzzzz ，若還存在 階極點 0 Resmz zmmmmmKX zzAAzzzzX z，： ，=一階極點展開 2. 部分分式展開法部分分式展開法Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析16 21221221121.50.51 1.50.5zzzzX zzzzz例： 110 2 .5.51 3 0zznzx求：？ ； 120111 0.51AAX zAz

9、z：解 201221 0.51 0.51X zzzzz zzAAAzzz：或Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析17 00010.50.52111 1 Res02 Res0.59 Res18 290.58zzzzzznzX zX zAzzzX zX zAzzzX zX zAzzzx nnu nu n ，右邊序列 90.5181nx nnu nu n ：留數(shù)法Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析18 0122 0.5 298 290.5181nzAAAx nnunun ， 。左邊序列與留數(shù)法相同 0123 0.51 298 290.581nzAAAx nnu nun ， 。雙邊序列與留數(shù)法相同Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析1

10、9 1. 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 2. 位移位移 (1) 雙邊序列位移：雙邊序列位移： 11nniiiiiix nx nZ ZZ Z 00 mmmmmX zx nx nmzx nzzmmmmmzx nx nmx nmzx nzX zX z是序列的雙邊 變換收斂域右移(延遲) 步左移(導前) 步引入 步延遲算子注注。,：，；，12；：Z ZZZZZ ZZ ZZ思考題：雙邊序列位移后的思考題：雙邊序列位移后的Z變換是否改變收斂域？變換是否改變收斂域？Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析20 (2) 因果序列右移的因果序列右移的 Z 變換：變換： (3) 雙邊序列位移的單邊雙邊序列位移的單邊 Z變換變換 mx nx

11、n u nx n u nX zx nm uXmzzn，則：Z ZZ Z 10mmkkx n u nx nx nm u nzX zxzXkz為雙邊序左移列的單邊 變換性質(zhì)：Z ZZ ZZ Z思考題：為什么不討論因果序列左移性質(zhì)？思考題：為什么不討論因果序列左移性質(zhì)？ 1mkkmx nm u nzX zx k z性右質(zhì)移：Z ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析21 3. Z域微分：域微分： 4. Z域尺度變換：域尺度變換： 5. 初值定理初值定理： ddnx nzX zz Z Z nza x nXazz a收斂域不等式中的 變?yōu)?。 Z Z 0120lim 012 0limznnzx nxX zX zx

12、n zxxzxzxX z若為因果序列，則：。證明：Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析22 6. 終值定理：終值定理： 7. 卷積定理：卷積定理： 111 limlim1nzX zx nzX zzx nzX z 若 為因果序列, 在單位圓上及外部解析（單位園上可以在 點為極任點）意階，則: H zh nX zx nx nh nX z H z設，則：關于收斂域的問題：（1）公共收斂域；（2）收斂域可能擴大Z ZZ ZZ Z舉例舉例Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析23 8. Z 域卷積定理：域卷積定理： 12121112221C1C11d2 j1 d2 j xxxhhxhhzx n h nXH v vvvzX v H

13、vvvX zH zzzXH v vRRR RzR RvvRvR 的收斂域收斂域: 。 即：Z ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析24 2jjjj-jCj-jjjdjd1d21d2vezrerverx n h nXeHerXeHeXeHe 令 ，常數(shù)，常數(shù)則 ，則序列相乘的變換為：此式即為 與的卷積。Z ZZ ZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析25 9. Paserval定理：定理： *1*Cj11d2 j 1 jnTj Tx n hnX z HzzzX zH zzzeTe 注：1）、的收斂域包含單位園；2）單位園的表示： 圍線C為單位園，dz = dZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析26 *j*j22j, d2 4 d

14、2j Tj TTTTnTTTnTejTeTTx n hnX eHex nh nTx nX e 注：3）內(nèi)積不變： z=, dz = d由：）能量不變：取Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析27 1. zs 的關系：的關系： (1) 物理屬性：物理屬性： (延遲延遲)1 lnsTzeszTS 域域Z 域域時時域域Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析28 (2) S域域 Z域的演化：域的演化： 02Tsnsxtx tx nTtntTT ，理理想想采采樣取取右右邊 0snTssnXsxtx nT eL L 0| TnsnsezXsX zx nT zx nTZ Z1lnsTzeszT， TnttnT其中：Z變換與離散系統(tǒng)Z域

15、分析29 2.jj2j2j2 sssTssTTTjzeresTzereeeee ， 0 10 10 1 szzszzsz虛軸單位圓，周期為左半開平面單位圓內(nèi)右半開平面單位圓外平面多點 平面一點域個域，個2jj2/ sssszeezrzzen ， 是 的函數(shù)，周期為s ss s- -2 2n n Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析30jj2j2j2 sssTssTTTjzeresTzereeeee ， S 平面橫條帶平面橫條帶 Z 全平面全平面2jj2/ sssszeezrzzen ， 是 的函數(shù)，周期為s ss s- -2 2n n Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析31 3. 信號信號 L 變換變換 采樣后作采

16、樣后作 L 變換變換 Z 變換變換 問題的提出：問題的提出： 0+jj1Re( )01112 j111d2 j1sTnsTTsTnsssTsp Txtx ttteseXsxtX seXppe ， L LL LZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析32 (1) (2) ilx tX pp是穩(wěn)定信號的極點 1Re0ReRe1sp Tsppse: 的收斂域 11ln11d2 j11 Res1 1|iissp TCpiX psszpipTipTssTpXsXppeX zXXpXpepspexnz的極點一階極點則：因此有：Z Z回顧回顧Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析33 111111Res1 1ijJjjjJjpTijjp

17、pJjp Tjx tX sJAXpppAX zppz eAz eZ例：穩(wěn)定信號的拉氏變換有 個一階極點： 求 變換的一種 （方法而已）。Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析34 0000001100 NMkrkrNMkrkrNMkrkrNMklrmkrklkrmra y nkb x nra y nkb x nray nkbx nra zY zy l zb zX zx m z差分方程：ZZZZZZZZZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析35 優(yōu)點：可直接帶入初值優(yōu)點：可直接帶入初值 當系統(tǒng)零狀態(tài)：當系統(tǒng)零狀態(tài)： 因果序列輸入：因果序列輸入： 則有：則有： 00 x nn， 00y nn， 00MrrrNkkkb zY

18、zX za zZ變換與離散系統(tǒng)Z域分析36 1. 2. 離散系統(tǒng)的特征函數(shù)離散系統(tǒng)的特征函數(shù) H zh n 稱為離系散系統(tǒng)的。統(tǒng)函數(shù)Z Z nn mmnnmmnnnx nzy nh nx ny nh m zh m zzH z zy nLzH z zz對于輸入即可見， 是線性定常離散系統(tǒng)特。征數(shù)的函 ，：?；仡櫥仡橺變換與離散系統(tǒng)Z域分析37 3. 系統(tǒng)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定：離散系統(tǒng)穩(wěn)定：離散系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定 1nnnnnh nh nH zh n zHh nH zh nh n u nH z , 。，。由 有 的收斂域包含單位圓對于因果系統(tǒng)=為右邊序列則說明的極點在單位圓內(nèi)Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析

19、38 例題例題8-19： ( )0.2 (1)0.24 (2)( )(1)BIBO( )( )y ny ny nx nx nH zH zh nu ny n已知零狀態(tài)系統(tǒng)輸入因果序列：求： (1) =？ (2) 因果系統(tǒng)的收斂域、穩(wěn)定性？ (3) ？ (4) 輸入為，求零狀態(tài)響應Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析39Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析40 jj01dd2 jRes1 ed R siiiststCRstspiip tsstCRtipiisf tF s esF s eCppF p espFF s esF s eu tN sF sF ssDs essu t LT： （）（），：圍線 內(nèi)全部極點的留回顧當 為的一階極點則數(shù)和逆變換 0112 Res 1d1 ! diiiip tirrstirsprppF p espF s ersN sF sr F ssDsu t（ ），：當 為的 階極點則返回返回Z變換與離散系統(tǒng)Z域分析41 2111000212 0103 1lim1lim1lim115coscoscos2 connzzzx nu nzxx na u naxx na u nzax nn u nxzzxzX zzzzx nnu nz znu nzz 1），1）， ，），。4），：），在處有一階極點，其它點解析，則則極點不宜用終值定理顯然終值定理