第三章數(shù)學物理定解問題1

1、2021-10-121第三章第三章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題3.1 數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的導出3.2 定解條件定解條件3.3 數(shù)學物理方程的分類數(shù)學物理方程的分類3.4 無限長弦的定解問題無限長弦的定解問題-達朗伯公式達朗伯公式（計劃授課（計劃授課6學時）學時）第三章 數(shù)學物理定解問題12021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題12第三章第三章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題n 物理量物理量u(x,y,z,t) (各種場、聲壓、雜質(zhì)濃度等各種場、聲壓、雜質(zhì)濃度等) 隨時間、空間隨時間、空間變化規(guī)律，稱為變化規(guī)律，稱為物理規(guī)律物理規(guī)律；物理規(guī)律用；物理規(guī)律用偏微分方程偏微分

2、方程表達出來，表達出來，叫做叫做數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程(數(shù)理方程數(shù)理方程)。n 求解具體問題需要求解具體問題需要(空間上的空間上的)邊界條件邊界條件以及以及(時間上的時間上的)初始初始條件條件，二者合稱為，二者合稱為定解條件定解條件。n 數(shù)理方程本身數(shù)理方程本身(不帶定解條件不帶定解條件)給出同類物理現(xiàn)象的共性，稱給出同類物理現(xiàn)象的共性，稱為為泛定方程泛定方程。n 給定給定定解條件定解條件，求解數(shù)理，求解數(shù)理方程，叫做數(shù)學物理的定解問題，方程，叫做數(shù)學物理的定解問題，簡稱簡稱定解問題定解問題。2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題133.1 數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的導出導出步驟

3、：導出步驟：(1) 確定研究的確定研究的物理量物理量u；(2) 從研究的系統(tǒng)中劃出一小部分作為研究對象從研究的系統(tǒng)中劃出一小部分作為研究對象(隔離法隔離法)；(3) 根據(jù)根據(jù)物理規(guī)律物理規(guī)律分析這一小部分和鄰近部分的相互作用；分析這一小部分和鄰近部分的相互作用；(4) 分析相互作用對物理量分析相互作用對物理量u的影響；的影響；(5) 將這種影響簡化成數(shù)學表達式。將這種影響簡化成數(shù)學表達式。2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題14常見的數(shù)理方程分為三類：常見的數(shù)理方程分為三類：1.雙曲型雙曲型：utt=a2 du.2.拋物型拋物型：ut=a2 du.3.橢圓型橢圓型： du=0.1.波動

4、方程波動方程2.輸運方程輸運方程3.穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程物理物理數(shù)學數(shù)學其中，其中，a為參數(shù)，為參數(shù)，d=1, 2, 3為體系維數(shù)，一些符號為為體系維數(shù)，一些符號為22122222222322222, , , , .tttuuuuttxxyxyz d稱為稱為d維維laplace算符。算符。2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題151、均勻弦的微小振動、均勻弦的微小振動設一根繃緊的均勻、柔軟彈性弦，弦上相鄰小段之間有設一根繃緊的均勻、柔軟彈性弦，弦上相鄰小段之間有沿切線沿切線方向的張力方向的張力。靜止狀態(tài)下將弦視為無重量的直線。靜止狀態(tài)下將弦視為無重量的直線(線密度線密度為為 )，取為取為

5、x軸。軸。n 研究對象：選取研究對象：選取x到到x+dx的一小段的一小段b，弧長為，弧長為ds。n 物理量：弦上各點的垂直于物理量：弦上各點的垂直于x的的橫向位移橫向位移，記為，記為u=u(x,t)，utt為為橫向加速度橫向加速度。abc1t2t21xxdxuxds弦的每個小段沒有縱向運動弦的每個小段沒有縱向運動(即即x方向方向)，縱向合力為零。，縱向合力為零。2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題16僅考慮僅考慮微小振動微小振動，即，即 1和和 2為小量，則有為小量，則有1211122212cos1, cos1,sintan, sintan,tan,tan.xxxx dxuu因此弧長可

6、近似為因此弧長可近似為22221/1 ().xdsdxdudu dxdxudxdx22112211coscos0,sinsin. ttttttds u-(1)由牛頓第二定律由牛頓第二定律可見微小振動也指可見微小振動也指(ux)21.2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題1721210,.xxttx dxxttt ut uudx-(2)式式(2)說明張力不隨說明張力不隨x變化，記為變化，記為t1= t2=t，因此，因此.xxttx dxxt uuudx-又因為又因為 ，所以，所以- xxxxxx dxxuuux dxu dx20,ttxxua u-其中參數(shù)其中參數(shù)a2=t/ ，量綱為，量綱

7、為 ，因此因此a就是振動在弦上傳播速度就是振動在弦上傳播速度.2222/ /nm lalsm lsm l(3)在微小振動的條件下，即在微小振動的條件下，即(ux)20為為“源源”;f0為為“匯匯”.2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題117熱傳導現(xiàn)象熱傳導現(xiàn)象：輸運過程之一。由于溫度不均勻，熱量從溫度：輸運過程之一。由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象。高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象。此外，熱傳導過程還需滿足此外，熱傳導過程還需滿足能量守恒定律能量守恒定律。qk u - 其中其中k是比例系數(shù)，叫做是比例系數(shù)，叫做熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù)，與物質(zhì)類型有關(guān)。，與物質(zhì)類型

8、有關(guān)。4、熱傳導方程、熱傳導方程研究的物理量有：研究的物理量有：1)溫度溫度 u(x,y,z,t)，它的梯度，它的梯度 u給出溫度不給出溫度不均的程度；均的程度；2) 熱流強度熱流強度 ，即單位時間內(nèi)通過單位截面的，即單位時間內(nèi)通過單位截面的熱熱量量。根據(jù)半經(jīng)驗公式，熱傳導過程遵從根據(jù)半經(jīng)驗公式，熱傳導過程遵從熱傳導定律熱傳導定律q(11)與擴散方程的推導完全類似，研究與擴散方程的推導完全類似，研究3d空間一個空間一個體元體元dxdydz的的熱量流動情況。熱量流動情況。2021-10-12第三章 數(shù)學物理定解問題118沿沿x、y、z方向，單位時間內(nèi)的方向，單位時間內(nèi)的凈增熱量凈增熱量分別為分別

9、為112233,.xx dxyy dyzz dzuqqdydzkdxdydzxxuqqdxdzkdxdydzyyuqqdxdykdxdydzzz- -在沒有在沒有“熱源熱源”或或“熱匯熱匯”時，根據(jù)能量守恒，上面時，根據(jù)能量守恒，上面凈凈“增增”熱量熱量等于等于體元溫度變化所需吸取的熱量體元溫度變化所需吸取的熱量，即，即() ,tcdxdydz u(12)(13)其中其中c為比熱，為比熱， 為體密度，為體密度， dxdydz為體元的質(zhì)量，為體元的質(zhì)量，ut為單位為單位時間內(nèi)溫度改變時間內(nèi)溫度改變.2021-10-1219于是得到于是得到3維維熱傳導方程熱傳導方程0.txyzc ukukukux

10、yz-對均勻物體，對均勻物體，c, , k是常數(shù)，上式簡化為是常數(shù)，上式簡化為n比熱比熱：單位質(zhì)量的某種物質(zhì)溫度升高：單位質(zhì)量的某種物質(zhì)溫度升高1吸收的熱量，叫做這種物質(zhì)的吸收的熱量，叫做這種物質(zhì)的比熱，記為比熱，記為c。 n公式公式： q=cm t，其中，其中 q為溫度改變?yōu)闇囟雀淖?t所需熱量，所需熱量，m為質(zhì)量。為質(zhì)量。(14a)220, .tdkuauac-(14b)其中其中d是維數(shù)。是維數(shù)。第三章 數(shù)學物理定解問題12021-10-1220有有“源源”有有“匯匯”的情況，相應的熱傳導方程的情況，相應的熱傳導方程(14a)式修改為式修改為, , ,txyzc ukukukuf x y

11、z txyz-對于均勻物體，對于均勻物體，熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù)k為常數(shù)，則為常數(shù)，則eq. (14b)改為改為2, , ,tuauf x y z t- 其中其中, , , , ,/.f x y z tf x y z tc其中，其中， f(x,y,z,t)為為熱源強度熱源強度，為單位時間、單位體積中產(chǎn)生的，為單位時間、單位體積中產(chǎn)生的熱量熱量.(15a)(15b)第三章 數(shù)學物理定解問題12021-10-1221擴散問題中，若擴散源強度擴散問題中，若擴散源強度f不隨時間改變，經(jīng)過足夠長的時不隨時間改變，經(jīng)過足夠長的時間，濃度間，濃度u將不隨時間變化，即將不隨時間變化，即 ut=u/t=0，于是有

12、擴散方程，式于是有擴散方程，式(9a) 寫為寫為, ,d uf x y z -若若d為常數(shù)，得到為常數(shù)，得到泊松方程泊松方程, ,dud uf x y z -(16b)沒有源或匯，得到?jīng)]有源或匯，得到拉普拉斯方程拉普拉斯方程0.u (16c)5、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定濃度分布(16a)第三章 數(shù)學物理定解問題12021-10-1222如果熱源強度如果熱源強度f不隨時間變化變化不隨時間變化變化,經(jīng)過足夠長的時間，溫度經(jīng)過足夠長的時間，溫度將不隨時間變化，即將不隨時間變化，即 ，則熱傳導方程，則熱傳導方程0tu , ,.k uf x y z -若若k為常數(shù)，得到泊松方程：為常數(shù)，得到泊松方程：, ,.k uf x y z -如果沒有如果沒有“熱源熱源”，則方程化為拉普拉斯方程：，則方程化為拉普拉斯方程：0.u 6、穩(wěn)定溫度分布、穩(wěn)定溫度分布第三章 數(shù)學物理定解問題12021-10-1223由靜電場無旋性，存在一個標量函數(shù)由靜電場無旋性，存在一個標量函數(shù)u，使得，使得, ,eu x y z -其中其中u稱為稱為電勢函數(shù)電勢函數(shù)。將。將eq. (16)代入代入 e=