第六章定積分應(yīng)用

1、 定積分應(yīng)用定積分應(yīng)用 上一章，已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了定積分的基本上一章，已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了定積分的基本理論和計(jì)算方法。在這一章中，將利用這些知理論和計(jì)算方法。在這一章中，將利用這些知識(shí)來分析解決一些實(shí)際問題。定積分的應(yīng)用很識(shí)來分析解決一些實(shí)際問題。定積分的應(yīng)用很廣泛，在自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中有許多實(shí)際問廣泛，在自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中有許多實(shí)際問題最后都?xì)w結(jié)為定積分問題。本章不僅對一些題最后都?xì)w結(jié)為定積分問題。本章不僅對一些幾何物理量導(dǎo)出計(jì)算公式，更重要的是介紹運(yùn)幾何物理量導(dǎo)出計(jì)算公式，更重要的是介紹運(yùn)用用“微元法微元法”將所求的量歸結(jié)為計(jì)算某個(gè)定積將所求的量歸結(jié)為計(jì)算某個(gè)定積分的分析方法。分的分析方法。

2、重點(diǎn)重點(diǎn)微元法，面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，定積分在微元法，面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用， 微元法，參數(shù)方程確定的曲線所圍的微元法，參數(shù)方程確定的曲線所圍的面積，定積分經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用。面積，定積分經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用?；疽蠡疽笳_理解和掌握微元法的基本思想，并正確理解和掌握微元法的基本思想，并會(huì)靈活運(yùn)用它。會(huì)靈活運(yùn)用它。會(huì)用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程所給出會(huì)用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程所給出的三種求積公式求出一些常見圖形的面積。的三種求積公式求出一些常見圖形的面積。會(huì)求旋轉(zhuǎn)體的體積會(huì)求旋轉(zhuǎn)體的體積(4)會(huì)用定積分解決經(jīng)濟(jì)方面的實(shí)際問題。會(huì)用定積分解決經(jīng)濟(jì)方面的實(shí)際問

3、題。難點(diǎn)難點(diǎn) 通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）的分析，采用變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）的分析，采用“分分割、近似代替、求和、取極限割、近似代替、求和、取極限”四個(gè)基本四個(gè)基本步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢？么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢？我們先來回顧一下前章中講過的方法和步我們先來回顧一下前章中講過的方法和步驟是必要的驟是

4、必要的。定積分的微元法定積分的微元法求的步驟求的步驟分分 用分點(diǎn)用分點(diǎn)bxxxxann 110將將區(qū)間分成區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間11, iiiiixxxxx 粗粗把在小區(qū)間上的局部量把在小區(qū)間上的局部量iu 用某個(gè)函數(shù)用某個(gè)函數(shù) f ( x) 在在),(1iiiixx 的值與的值與ix 之積代替之積代替iiixfu )( 和和 把局部量的近似值累加得到總量把局部量的近似值累加得到總量的近似值的近似值即即 niiiniixfuu11)( 設(shè)量非均勻地分布設(shè)量非均勻地分布 a ,b 上上ixni max1 nibaiidxxfxfu10)()(lim 由此可知，若某個(gè)非均勻量在區(qū)間由此可知，若

5、某個(gè)非均勻量在區(qū)間a,b上上滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件： （1） 總量在區(qū)間上具有總量在區(qū)間上具有可加性可加性，即把區(qū)間，即把區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間時(shí)總量就等于各個(gè)小區(qū)間上分成幾個(gè)小區(qū)間時(shí)總量就等于各個(gè)小區(qū)間上的局部量之和，的局部量之和，（2）局部量可用）局部量可用iixf )(近似表示近似表示它們之間只相差一個(gè)它們之間只相差一個(gè)ix 的的高階無窮小高階無窮小不均勻量就可以用定積分來求得不均勻量就可以用定積分來求得精精分析其實(shí)質(zhì)，不難將四步簡化為兩步分析其實(shí)質(zhì)，不難將四步簡化為兩步第一步第一步 “分割取近似分割取近似”含含“分分”、“粗粗”兩步即將區(qū)間分成子區(qū)間兩步即將區(qū)間分成子區(qū)間在其上用均勻變

6、化近似代替非均勻變化在其上用均勻變化近似代替非均勻變化求得局部量的近似值求得局部量的近似值iiixfu )( 它對應(yīng)著積分表達(dá)式中的被積式它對應(yīng)著積分表達(dá)式中的被積式dxxf)(第二步第二步“求和取極限求和取極限”含含“和和”、“精精”兩步兩步: 各局部量的近似各局部量的近似值相加并取極限得到總量的準(zhǔn)確值值相加并取極限得到總量的準(zhǔn)確值這是建立所求量的積分式的基本方法這是建立所求量的積分式的基本方法即對被積式作積分即對被積式作積分 badxxfu)(。求微元。求微元寫出典型小區(qū)間寫出典型小區(qū)間 ,badxxx 上的局部量上的局部量 u 的近似值的近似值dxxfdu)( 這就是局部量的微元這就是局

7、部量的微元。求積分。求積分即把微元即把微元 du在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上上 相當(dāng)于把相當(dāng)于把 dxxf)(作積分表達(dá)式作積分表達(dá)式求它在求它在 a , b 上的定積分上的定積分 即即 badxxfu)(這就是這就是微元法微元法 “無限積累無限積累”起來起來 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 作為一般情況討論，設(shè)平面圖形由作為一般情況討論，設(shè)平面圖形由 a , b 上連續(xù)的兩條曲線上連續(xù)的兩條曲線 y = f ( x ) 與與 y = g ( x ) )()(xgxf 及兩條直線及兩條直線 x =a ,x =b 所圍成所圍成在在 a

8、 ,b 上任取典型小區(qū)間上任取典型小區(qū)間 x ,x+dx 與它相對應(yīng)的小曲邊梯形的面積為局部量與它相對應(yīng)的小曲邊梯形的面積為局部量dada 可用高為可用高為)()(xgxf 底為底為 dx 的矩形面積的矩形面積近似表示近似表示即即dxxgxfda)()( 故故 badxxgxfa)()(ab)(xfy )(xgy xdxx 當(dāng)當(dāng) dx 很小時(shí)很小時(shí) 122 xy2xy 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積例例1 求兩曲線求兩曲線 例例2 計(jì)算計(jì)算 xy22 4 xy所圍圖形的面積所圍圖形的面積求平面圖形的面積一般分為幾步求平面圖形的面積一般分為幾步？一般分為（一般分為（1）畫圖）畫圖,（2）選

9、定選定積分變量并給出積分區(qū)間積分變量并給出積分區(qū)間,（3）確定被積函數(shù)并寫出積分表達(dá)式）確定被積函數(shù)并寫出積分表達(dá)式,（4）計(jì)算定積分求）計(jì)算定積分求得面積四個(gè)步驟得面積四個(gè)步驟 由此可見在面積計(jì)算中應(yīng)根據(jù)平面區(qū)域的具體由此可見在面積計(jì)算中應(yīng)根據(jù)平面區(qū)域的具體特征恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量找出相應(yīng)的面積微元可使特征恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量找出相應(yīng)的面積微元可使計(jì)算簡化計(jì)算簡化上述問題的一般情況是上述問題的一般情況是平面區(qū)域由平面區(qū)域由 c,d 上連續(xù)的曲線上連續(xù)的曲線)(),(yxyx )()(yy 及直線及直線y = c ,y = d 所圍成所圍成 則其面積為則其面積為 dcdyyya)()( cddyy

10、 y)(yx )(yx 當(dāng)直角坐標(biāo)系下的平面區(qū)域的邊界曲線當(dāng)直角坐標(biāo)系下的平面區(qū)域的邊界曲線由參數(shù)方程的形式給出時(shí)，只須對面積計(jì)算由參數(shù)方程的形式給出時(shí)，只須對面積計(jì)算公式作變量代換即可。公式作變量代換即可。)( t|( ) ( )|baaydxy t x t dt計(jì)算時(shí)應(yīng)注意積分限在換元中應(yīng)保持與原積計(jì)算時(shí)應(yīng)注意積分限在換元中應(yīng)保持與原積分限相對應(yīng)。分限相對應(yīng)。( )( )xx tyy t例例3 求橢圓求橢圓 sincosbyax)20( 的面積的面積2 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計(jì)算是比較方便的某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計(jì)算是比較方便的若曲線由極坐標(biāo)方程若曲線由極坐標(biāo)方程 )(

11、),( rr給出給出極坐標(biāo)系下研究面積的基本圖形不是曲邊梯形極坐標(biāo)系下研究面積的基本圖形不是曲邊梯形而是由射線而是由射線 與所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域有有關(guān)關(guān)與與 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) d的的變變化化不不大大)( ra 可用半徑為可用半徑為)( r圓心角為圓心角為 d由于曲邊扇形的面積分布由于曲邊扇形的面積分布及曲線及曲線( )rr故面積元素為故面積元素為 dra)(212 drda)(212 d d的圓扇形的面積來近似的圓扇形的面積來近似( )rr例例 6 6 求心形線求心形線)cos1( ar所圍平面圖形的所圍平面圖形的面積面積)0( a. 例例 5 5 求雙紐線求雙

12、紐線 2cos22a 所圍平面圖形所圍平面圖形的面積的面積. 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)體體 積積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄

13、邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdv2)( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfvba2)( xyo)(xfy xdxx 0,),( xdycyyx及直線及直線 所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為為 dcdyyv)(2 xyo)(yx cd例例1 求橢圓求橢圓 12222 byax 所圍成的平面圖形分別繞所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積類似地，由連續(xù)曲線類似地，由連續(xù)曲線 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xa表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，xoab)(xa