35.關(guān)于數(shù)列{(1+1÷n)^n}的三個問題

1、中國高考數(shù)學母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題(楊培明關(guān)于數(shù)列(1+)n的三個問題利用指數(shù)、對數(shù)不等式研究數(shù)列(1+)n 數(shù)列(1+)n是微積分中的一個重要數(shù)列,也是高考命題的一個重要支點,利用指數(shù)、對數(shù)不等式可以解決該數(shù)列的三個問題.母題結(jié)構(gòu):己知數(shù)列an:an=(1+)n和bn=(1+)n+1(nn,n1),則:()(單調(diào)性)an+1an,bn+1bn;()(有界性)ane-1)f(x)=在(-1,0)和(0,+)上遞減(由(x)= -ln(1+x)f()(n+1)ln(1+)nln(1+)an+1an;g(x)=在(-1,0)和(0,+)

2、上遞增(由(x)=x-ln(1+x)0,即證)g()g()(n+2)ln(1+)(n+1)ln(1+)bn+1bn;()由ln(1+x)x(令x=)ln(1+)nln(1+)1(n+1)ln(1+)anebn;()由(1+)n+ae(n+a)ln(1+)1a-n;令x=(0,1,f(x)=-,則(x)=-+=ln2(1+x)-,由0ln(1+x)(x)0f(x)在(0,1上單調(diào)遞減fmin(x)=g(1)=-1a的最大值=-1;由0)f(x)=-anp;()an+1anp.解析:令g(x)=ln(x+1)-(0x1),則()當p0g(x)g(0)=0(x)=-ln(x+1)+f()an+1an

3、;同理可證().點評:本題是對數(shù)列an單調(diào)性的最佳加強,關(guān)于數(shù)列an的單調(diào)性問題也應(yīng)是高考的一個命題點. 2.有界性 子題類型:(2007年四川高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1+)x(nn,且n1,xr).()當x=6時,求(1+)x的展開式中二項式系數(shù)最大的項;()對任意的實數(shù)x,證明:(x)(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù));()是否存在an,使得an(a+1)n恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.解析:()最大的項是第4項,這項是c63()3=;()由(x)=(1+)xln(1+),f(2x)+f(2)=(1+)2x+(1+)22=2(1+)x(1+);又由ln(1+

4、x)xln(1+)2(1+)xln(1+)=2(x);()由an+1anana1=2,又由ane32n3n,即存在a=2,使得an(a+1)n恒成立.點評:數(shù)列an的有界性,即2an(x)-=-0f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增;當x(0,+)時,由ln(1+x)(x)-=-0f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減; ()a的最大值=-1.點評:關(guān)于數(shù)列an有界性的最優(yōu)解,應(yīng)掌握最大值的求法,而最小值的求法是一個難點問題. 4.子題系列:1.(2015年湖北高考試題)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),bn=n(1+)nan(nn+),e為自然對數(shù)的底數(shù).()求函數(shù)f(x)=1+x-ex的單調(diào)區(qū)間,并比較(1

5、+)n與e的大小;()計算,由此推測計算的公式,并給出證明;()令cn=(a1a2an,數(shù)列an,cn的前n項和分別記為sn,tn,證明:tn-1時,(1+x)m1+mx;()對于n6,已知(1-)n,求證:(1-)n()m,m=1,2,n;()求出滿足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n. 5.子題詳解:1.解:()由(x)=1-exf(x)在(-,0)上遞減,在(0,+)上遞增exx+1,令x=(1+)ne;()=2,=32,=43,由此推測:=(n+1)n(用數(shù)學歸納法易證);()由ck=(a1a2ak=(-)(b1+b2+bk)tn(1-)b1+(-)(b1+b2)+(-)(b1+b2+bn)=(1-)b1+(-)b2+(-)bn+=(1+)1a1+(1+)2a2+(1+)nanesn.2.解:()略;()由(