中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講義 二次函數(shù)

1、第二十六章 二次函數(shù)本章小結(jié)小結(jié)1 本章概述本章從實際問題的情境入手引出基本概念，引導(dǎo)學(xué)生自主探索變量之間的關(guān)系及其規(guī)律，認(rèn)識二次函數(shù)及其圖象的一些基本性質(zhì)，學(xué)習(xí)怎樣尋找所給問題中隱含的數(shù)量關(guān)系，掌握其基本的解決方法本章的主要內(nèi)容有兩大部分：一部分是二次函數(shù)及其圖象的基本性質(zhì)，另一部分是二次函數(shù)模型通過分析實例，嘗試著解決實際問題，逐步提高分析問題、解決問題的能力二次函數(shù)綜合了初中所學(xué)的函數(shù)知識，它把一元二次方程、三角形等知識綜合起來，是初中各種知識的總結(jié)二次函數(shù)作為一類重要的數(shù)學(xué)模型，將在解決有關(guān)實際問題的過程中發(fā)揮重要的作用 小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點【本章重點】 通過對實際問題情境的分析，確

2、定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會二次函數(shù)的意義；會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象中認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；會根據(jù)公式確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能解決簡單的實際問題；會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解 【本章難點】 會根據(jù)公式確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能解決簡單的實際問題 【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】 1在學(xué)習(xí)本章的過程中，不要死記硬背，要運用觀察、比較的方法及數(shù)形結(jié)合思想熟練地畫出拋物線的草圖，然后結(jié)合圖象來研究二次函數(shù)的性質(zhì)及不同圖象之間的相互關(guān)系，由簡單的二次函數(shù)yax2(a0)開始，總結(jié)、歸納其性質(zhì)，然后逐步擴展，從yax2k，ya(xh)2一直到y(tǒng)ax2

3、bxc，最后總結(jié)出一般規(guī)律，符合從特殊到一般、從易到難的認(rèn)識規(guī)律，降低了學(xué)習(xí)難度 2在研究拋物線的畫法時，要特別注意拋物線的軸對稱性，列表時，自變量x的選取應(yīng)以對稱軸為界進(jìn)行對稱選取，要結(jié)合圖象理解并掌握二次函數(shù)的主要特征3有關(guān)一元二次方程與一次函數(shù)的知識是學(xué)習(xí)二次函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，通過觀察、操作、思考、交流、探索，加深對教材的理解，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中學(xué)會與他人交流，同時，在學(xué)習(xí)本章時，要深刻理解兩種思想和兩種方法，兩種思想指的是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，兩種方法指的是待定系數(shù)法和配方法，在學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)思想和方法要認(rèn)真總結(jié)并積累經(jīng)驗小結(jié)3 中考透視近幾年來，各地的中考試卷中還出現(xiàn)了設(shè)計新穎、

4、貼近生活、反映時代特點的閱讀理解題、開放性探索題和函數(shù)的應(yīng)用題，尤其是全國各地中考試題中的壓軸題，有三分之一以上是這一類題，試題考查的范圍既有函數(shù)的基礎(chǔ)知識、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)方法，還越來越重視對學(xué)生靈活運用知識能力、探索能力和動手操作能力的考查，特別是二次函數(shù)與一元二次方程、三角形的面積、三角形邊角關(guān)系、圓的切線以及圓的有關(guān)線段組成的綜合題，主要考查綜合運用數(shù)學(xué)思想和方法分析問題并解決問題的能力，同時也考查計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力.知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函數(shù)的最大(小)值在實際問題中的應(yīng)用二次函數(shù)的概念二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的應(yīng)用

5、二次函數(shù)開口方向二次函數(shù)的性質(zhì)對稱軸頂點坐標(biāo)增減性專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)【專題解讀】 對二次函數(shù)yax2bxc的圖象與性質(zhì)的考查一直是各地中考必考的重要知識點之一，一般以填空題、選擇題為主，同時也是綜合性解答題的基礎(chǔ)，需牢固掌握 例1 二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖2684所示，則下列結(jié)論：a0；c0；b24ac0其中正確的個數(shù)是 ( ) a0個 b1個 c2個 d3個 分析 拋物線的開口向下，a0；拋物線與y軸交于正半鈾，c0;拋物線與x軸有兩個交點，b24ac0故正確故選c 【解題策略】 解此類題時，要注意觀察圖象的開口方向、與y軸

6、交點的位置以及與x軸交點的個數(shù) 例2 若yax2bxc，則由表格中的信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ( )x-101ax21ax2+bx+c83ayx24x3 byx23x4cyx23x3 dyx24x8分析 由表格中的信息可知，當(dāng)x1時，ax21，所以a1當(dāng)x=1時，ax2bxc8，當(dāng)x0時，ax2bxc3，所以c3，所以1(1)2b(1)38，所以b4故選a【解題策略】 本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解決此題的突破口是x1時，ax21，x0時，ax2bxc3和x1時，ax2bxc8例3 已知二次函數(shù)yax2bx1的大致圖象如圖2685所示，則函數(shù)yaxb的圖象不經(jīng)過 ( ) a

7、第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 分析 由圖象可知a0，0，則b0，所以yaxb的圖象不經(jīng)過第一象限故選a 【解題策略】 拋物線的開口方向決定了a的符號，b的符號由拋物線的開口方向和對稱軸共同決定 例4 已知二次函數(shù)yax2bxc(其中a0，b0，c0)，關(guān)于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法：圖象的開口一定向上；圖象的頂點一定在第四象限；圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側(cè)其中正確的個數(shù)為 ( ) a0個 b1個 c2個 d3個 分析 由a0，得拋物線開口向上，由0，得對稱軸在y軸左側(cè)，由c0可知拋物線與y軸交于負(fù)半軸上，可得其大致圖象如圖2686所示，因此頂點在第三象限，故正確故選

8、c. 【解題策略】 此題考查了二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點等性質(zhì)，解題時運用了數(shù)形結(jié)合思想 例5 若a，b，c為二次函數(shù)yx24x5的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 ( ) ay1y2y3 by2y1y3 cy3y1y2 dy1y3y2 分析 因為yx24x5的圖象的對稱軸為直線x2，所以x=與x的函數(shù)值相同，因為拋物線開口向上，所以當(dāng)時，y2y1y3故選b 【解題策略】 此題考查了拋物線的增減性和對稱軸，討論拋物線的增減性需在對稱軸的同側(cè)考慮，因此將x=的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值例6 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yx1與y(x1)2的圖象大致是(如圖2687所示) ( ) 分析

9、直線yx1與y軸交于正半軸，拋物線y(x1)2的頂點為(1，0)，且開口向下故選d專題2 拋物線的平移規(guī)律【專題解讀】 當(dāng)二次函數(shù)的二次項系數(shù)a相同時，圖象的形狀相同，即開口方向、大小相同，只是位置不同，所以它們之間可以進(jìn)行平行移動，移動時，其一，把解析式y(tǒng)ax2bxc化成ya(xh)2k的形式；其二，對稱軸左、右變化，即沿x軸左、右平移，此時與k的值無關(guān)；頂點上、下變化，即沿y軸上、下平移，此時與h的值無關(guān)其口訣是“左加右減，上加下減” 例7 把拋物線y2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是 ( ) ay2(x1)2 by2(x1)2 cy2x21 dy2x21 分析 原拋物線的頂點為(0，

10、0)，向上平移一個單位后，頂點為(0，1)故選c 【解題策略】 解決此題時，可以用“左加右減，上加下減”的口訣來求解，也可以根據(jù)頂點坐標(biāo)的變化來求解 例8 把拋物線yx2bxc向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為yx23x5，則 ( ) ab3，c7 bb6，c3 cb9，c5 db9，c21 分析 yx23x5變形為y5，即y，將其向左平移3個單位，再向上平移2個單位，可得拋物線y2，即yx23x7，所以b3，c7故選a 【解題策略】 此題運用逆向思維解決了平移問題，即拋物線yx2bxc向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到y(tǒng)x23x5，那么拋物線yx23x5則向左

11、平移3個單位，再向上平移2個單位，可得到拋物線yx2bxc專題3 拋物線的特殊位置與函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【專題解讀】若拋物線經(jīng)過原點，則c0，若拋物線的頂點坐標(biāo)已知，則和的值也被確定等等，這些都體現(xiàn)了由拋物線的特殊位置可以確定系數(shù)a，b，c以及與之有關(guān)的代數(shù)式的值 例9 如圖2688所示的拋物線是二次函數(shù)yax23axa21的圖象，則a的值是 . 分析 因為圖象經(jīng)過原點，所以當(dāng)x0時，y0，所以a21=0，a1，因為拋物線開口向下，所以a1.故填1:專題4 求二次函數(shù)的最值【專題解讀】 在自變量x的取值范圍內(nèi)，函數(shù)yax2bxc在頂點處取得最值當(dāng)a0時，拋物線yax2bxc開口向上，頂點最低，當(dāng)x時

12、，y有最小值為；當(dāng)a0時，拋物線yax2bxc開口向下，頂點最高，當(dāng)x時，y有最大值為 例10 已知實數(shù)x，y滿足x22x4y5，則x2y的最大值為 . 分析 x22x4y5，4y5x22x，2y(5x22x)，x2y(5x22x)x，整理得x2yx2.當(dāng)x0時，x2y取得最大值，為故填專題 5 二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系【專題解讀】 二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間有著密切的聯(lián)系，可以用函數(shù)的觀點來理解方程的解和不等式的解集已知函數(shù)值，求自變量的對應(yīng)值，就是解方程，已知函數(shù)值的范圍，求對應(yīng)的自變量的取值范圍，就是解不等式 例11 已知二次函數(shù)yax2bx的圖象經(jīng)過

13、點(2，0)，(1，6) (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)不用列表，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，寫出當(dāng)y0時x的取值范圍 分析 (1)列出關(guān)于a，b的方程組，求a，b的值即可(2)觀察圖象求出y0的解集解：(1)由題意可知，當(dāng)x2時，y0，當(dāng)x1時，y6，則解得 二次函數(shù)的解析式為y2x24x(2)圖象如圖2689所示，由圖象可知，當(dāng)y0時，x0或x2 【解題策略】 求二次函數(shù)的解析式，其實質(zhì)就是先根據(jù)題意尋求方程組，并解方程組，從而使問題得到解決二、規(guī)律方法專題專題6 二次函數(shù)解析式的求法【專題解讀】 用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)的解析式一般需要三個獨立的條件，根據(jù)不同的

14、條件，選擇不同的設(shè)法 (1)設(shè)一般式：yax2bxc(a0) 若已知條件是圖象經(jīng)過三個點，則可設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為yax2bxc，將已知條件代入，即可求出a，b，c的值 (2)設(shè)交點式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)分別為(x1，0)，(x2，0)，則可設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為ya(xx1)(xx2)，將第三點(m，n)的坐標(biāo)(其中m，n為已知數(shù))代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般式 (3)設(shè)頂點式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，則可設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為ya(xh)2k，將已

15、知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般式 (4)設(shè)對稱點式：ya(xx1)(xx2)m(a0) 若已知二次函數(shù)圖象上的對稱點(x1，m)，(x2，m)，則可設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為ya(xx1)(xx2)m(a0)，將已知條件代入，求得待定系數(shù)a,m，最后將解析式化為一般式 例12 根據(jù)下列條件求函數(shù)解析式 (1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，6)，(1，2)和(2，3)，求這個二次函數(shù)的解析式； (2)已知拋物線的頂點為(1，3)，與y軸的交點為(0，5)，求此拋物線的解析式； (3)已知拋物線與x軸交于a(1，0)，b(1，0)兩點，且經(jīng)過點m(0，1)，求此拋物線的解析式； (

16、4)已知拋物線經(jīng)過(3，4)，(1，4)和(0，7)三點，求此拋物線的解析式 分析 (1)已知圖象上任意三點的坐標(biāo)，可選用一般式，從而得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值，即可得到二次函數(shù)的解析式(2)已知拋物線的頂點坐標(biāo)，應(yīng)選用頂點式(3)由于a(l，0)，b(1，0)是拋物線與x軸的兩個交點，因此應(yīng)選用交點式(4)顯然已知條件是拋物線經(jīng)過三點，故可用一般式，但由于(3，4)，(1，4)是拋物線上兩個對稱點，因此選用對稱點式更簡便 解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc 將(1，6)，(1，2)和(2，3)分別代入， 得解得 所求的二次函數(shù)的解析式為yx22x5 (2)拋物線

17、的頂點為(1，3)， 設(shè)其解析式為ya(x1)23，將點(0，5)代入 ，得5a3，a2，所求拋物線的解析式為y2(x1)23 即y2x24x5 (3)點a(1，0)，b(1，0)是拋物線與x軸的兩個交點， 設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x1)， 將點m(0，1)代入，得1a，a1， 所求拋物線的解析式為y(x1)(x1)， 即y=x21 (4)拋物線經(jīng)過(3，4)，(1，4)兩點， 設(shè)拋物線的解析式為ya(x3)(x1)4， 將點(0，7)代入，得7a3(1)4，a1， 所求拋物線的解析式為y(x3)(x1)4， 即yx22x7【解題策略】 (1)求二次函數(shù)解析式的4種不同的設(shè)法是指根據(jù)不

18、同的已知條件尋求最簡的求解方法，它們之間是相互聯(lián)系的，不是孤立的. (2)在選用不同的設(shè)法時，應(yīng)具體問題具體分析，特別是當(dāng)已知條件不是上述所列舉的4種情形時，應(yīng)靈活地運用不同的方法來求解，以達(dá)到事半功倍的效果 (3)求，函數(shù)解析式的問題，如果采用交點式、頂點式或?qū)ΨQ點式，最后要將解析式化為一般形式 三、思想方法專題專題7 數(shù)形結(jié)合思想【專題解讀】 把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考查，根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來討論，也可以把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究 例13 二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖2690所示，則點a(a，b)在 ( ) a第一象限

19、 b第二象限 c第三象限 d第四象限 分析 由圖象開口方向向下可知a0，由對稱軸的位置可知x0，所以b0，故點a在第二象限故選b【解題策略】 解決此題的關(guān)鍵是觀察圖象的開口方向以及對稱軸的位置專題8 分類討論思想【專題解讀】 分類討論是對問題的條件逐一進(jìn)行討論，從而求得滿足題意的結(jié)果 例14 已知拋物線yax2bxc與y軸交于點a(0，3)，與x軸交于b(1，0)，c(5，0)兩點 (1)求此拋物線的解析式； (2)若點d為線段oa的一個三等分點，求直線dc的解析式； (3)若一個動點p自oa的中點m出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點(設(shè)為點e)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點f)，最后運動到點a，求

20、使點p運動的總路徑最短的點e，f的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長 分析 (1)用待定系數(shù)法求a，b，c的值(2)用分類討論法求直線cd的解析式(3)根據(jù)軸對稱解決最短路徑問題.解：(1)根據(jù)題意，得c=3，所以解得所以拋物線的解析式為yx2x3 (2)依題意可知，oa的三等分點分別為(0，1)，(0，2)， 設(shè)直線cd的解析式為ykxb， 當(dāng)點d的坐標(biāo)為(0，1)時，直線cd的解析式為yx1， 當(dāng)點d的坐標(biāo)為(0，2)時，直線cd的解析式為yx2 (3)由題意可知m，如甲2691所示， 點m關(guān)于x軸的對稱點為m， 點a關(guān)于拋物線對稱軸x3的對稱點為a(6，3)， 連接am，根據(jù)軸對稱性及兩點間

21、線段最短可知，am的長就是點p運動的最短總路徑的長 所以am與x軸的交點為所求的e點，與直線x3的交點為所求的f點 可求得直線am，的解析式為yx 所以e點坐標(biāo)為(2，0)，f點坐標(biāo)為，由勾股定理可求出am 所以點p運動的最短總路徑(meeffa)的長為【解題策略】 (2)中點d的位置不確定，需要分類討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想(3)中的關(guān)鍵是利用軸對稱性找到e，f兩點的位置，從而求出其坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題專題9 方程思想【專題解讀】 求拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)時，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y0或x0，通過解方程解決交點的坐標(biāo)問題求拋物線與x軸的交點個數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程根的情況 例15 拋

22、物線yx22x1與x軸交點的個數(shù)是 ( ) a0個 b1個 c2個 d3個 分析 可設(shè)x22x10，(2)24110，可得拋物線yx22x1與x軸只有一個交點故選b 【解題策略】 拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點的個數(shù)可由一元二次方程ax2bxco(a0)的根的個數(shù)來確定專題10 建模思想【專題解讀】 根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系式，再用二次函教的性質(zhì)來解決實際問題 例16 某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每箱50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱 (1)求平均每天的銷售量y(箱)

23、與銷售價x(元箱)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元箱)之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤?最大利潤是多少? 分析 (1)原來每箱售價50元，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱，若提高(x50)元，則平均每天少銷售3(x50)箱，所以提價后每天銷售903(x50)箱，即y903(x50).(2)每天的銷售利潤可用(x40)903(x50)來表示(3)建立w和x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值求利潤的最值 解：(1)y903(x50)，即y3x240 (2)w(x40)(3x240)3x2360x9600，

24、(3)a30，當(dāng)x60時，w有最大值， 又當(dāng)x60時，y隨x的增大而增大， 當(dāng)x55時，w取得最大值為1125元， 即每箱蘋果的銷售價為55元時，可獲得1125元的最大利潤 【解題策略】 求實際問題的最值時，可通過建立二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值來求解 例17 某公司經(jīng)銷某品牌運動鞋，年銷售量為10萬雙，每雙鞋按250元銷售，可獲利25，設(shè)每雙鞋的成本價為a元 (1)試求a的值； (2)為了擴大銷售量，公司決定拿出一定量的資金做廣告，根據(jù)市場調(diào)查，若每年投入廣告費為x(萬元)，則產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間的關(guān)系如圖2692所示，可近似看作是拋物線的一部分 根據(jù)圖象提供

25、的信息，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； 求年利潤s(萬元)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系式，并計算廣告費x(萬元)在什么范圍內(nèi)時，公司獲得的年利潤s(萬元)隨廣告費的增多而增多(注：年利潤s年銷售總額成本費廣告費) 解：(1)由題意得a(125)250，解得a200(元)(2)依題意可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yax2bx1，則，解得 y0.01x20.2x1 s(0.01x20.2x1)1025010200x, 即s25x2499x500， 整理得s=25(x9.98)22990.01 當(dāng)0x998時，公司獲得的年利潤隨廣告費的增多而增多 例18 某賓館有客房100間供游客居住，當(dāng)每間客房的定

26、價為每天180元時，客房會全部住滿當(dāng)每間客房每天的定價每增加10元時，就會有5間客房空閑(注：賓館客房是以整間出租的) (1)若某天每間客房的定價增加了20元，則這天賓館客房收入是 元； (2)設(shè)某天每間客房的定價增加了x元，這天賓館客房收入y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是 ； (3)在(2)中，如果某天賓館客房收入y17600元，試求這天每間客房的價格是多少元 分析 本題是用二次函數(shù)解決有關(guān)利潤最大的問題，由淺入深地設(shè)置了三個問題 解：(1)18000 (2)y=x210x18000 (3)當(dāng)y17600時， x210x400=0， 即x220x8000 解得x20(舍去)或x40 180402

27、20， 所以這天每間客房的價格是220元 例19 （09泰安）如圖2693(1)所示，oab是邊長為2的等邊三角形，過點a的直線yxm與x軸交于點e (1)求點e的坐標(biāo)；(2)求過a，o，e三點的拋物線的解析式解：(1)如圖2693(2)所示，過a作afx軸于f，則of=oacos 60=1，af=oftan 60=， 點a(1，) 代入直線解析式，得1m，m， y=x. 當(dāng)y=0時，x=0， 解得x4，點e(4，0) (2)設(shè)過a，o，e三點的拋物線的解析式為yax2bxc， 拋物線過原點，c0， 解得拋物線的解析式為yx2x. 例20 如圖2694所示，在平面直角坐標(biāo)系中，oboa，且ob

28、2oa，點a的坐標(biāo)是(1，2) (1)求點b的坐標(biāo)；(2)求過點a，o，b的拋物線的表達(dá)式解：(1)如圖2695所示，過點a作afx軸，垂足為點f，過點b作bex軸，垂足為點e，則af2，of1 oaob， aofboe90 又boeobe90， aofobe rtafortoeb 2 be2，oe4 b(4，2) (2)設(shè)過點a(1，2)，b(4，2)，o(0，0)的拋物線的表達(dá)式為yax2bxc 則解得 所求拋物線的表達(dá)式為yx2x.例21如圖2696所示，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過a(1，0)，b(0，2)兩點，頂點為d (1)求拋物線的解析式； (2)將oab繞點a順時針旋轉(zhuǎn)90后，點

29、b落到點c的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點c，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式 解：(1)已知拋物線yx2bxc經(jīng)過a(1，0)，b(0，2)兩點， 解得 所求拋物線的解析式為yx23x2 (2)a(1，0)，b(0，2)，oa1，ob2， 可得旋轉(zhuǎn)后c點的坐標(biāo)為(3，1)當(dāng)x3時，由y=x23x2得y2， 可知拋物線yx23x2過點(3，2) 將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點c 平移后的拋物線的解析式為yx23x1 例22 如圖2697所示，拋物線yax2bx4a經(jīng)過a(1，0)，c(0，4)兩點，與x軸交于另一點b (1)求拋物線的解析式； (2)已知點d(m，m1)在第一象限的拋物線

30、上，求點d關(guān)于直線bc對稱的點的坐標(biāo) 解：(1)拋物線y=ax2bx4a經(jīng)過a(1，0)，c(0，4)兩點， 解得 拋物線的解析式為yx23x4 (2)如圖2698所示，點d(m，m1)在拋物線上，m1m23m4， 即m22m30，m1或m3 點d在第一象限，點d的坐標(biāo)為(3，4) 由(1)得b點的坐標(biāo)為(4，0)， oc=ob，cba45 設(shè)點d關(guān)于直線bc的對稱點為點e c(0，4)，cdab，且cd3， ecbdcb45， e點在y軸上，且cecd3 oe1，e(0，1) 即點d關(guān)于直線bc對稱的點的坐標(biāo)為(0，1)2011中考真題精選一、選擇題1. （2011內(nèi)蒙古呼和浩特，8，3）已

31、知一元二次方程x2+bx-3=0的一根為-3，在二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象上有三點、，y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）a、y1y2y3 b、y2y1y3 c、y3y1y2 d、y1y3y2考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一元二次方程的解分析：將x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函數(shù)y=x2+bx-3的解析式，再根據(jù)拋物線的對稱軸，開口方向確定增減性，比較y1、y2、y3的大小關(guān)系解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3，拋物線開口向上，對稱軸為x=-1，y1y2y3故選a點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上

32、點的坐標(biāo)特點，一元二次方程解的意義關(guān)鍵是求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，開口方向判斷函數(shù)值的大小2. （2011黑龍江牡丹江，18，3分）拋物線y=ax2+bx3過點（2，4），則代數(shù)式8a+4b+1的值為（）a、2b、2c、15d、15考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；代數(shù)式求值。分析：根據(jù)圖象上點的性質(zhì)，將（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案解答：解：y=ax2+bx3過點（2，4），4=4a+2b3，4a+2b=7，8a+4b+1=27+1=15，故選：c點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及代數(shù)式求值，根據(jù)題意得出4a+2b=7是解決問題的關(guān)鍵二、解答題1

33、. （2011泰州，27，12分）已知二次函數(shù)y=x2+bx3的圖象經(jīng)過點p（2，5）（1）求b的值并寫出當(dāng)1x3時y的取值范圍；（2）設(shè)p1（m，y1）、p2（m+1，y2）、p（m+2，y3）在這個二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)m=4時，y1、y2、y3能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；三角形三邊關(guān)系。專題：計算題。分析：（1）把（2，5）代入二次函數(shù)y=x2+bx3，求出b，根據(jù)圖象的對稱軸即可得出y的范圍；（2）不能，因為代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合

34、三邊關(guān)系定理；求出y1+y2y3的值即可解答：（1）解：把（2，5）代入二次函數(shù)y=x2+bx3得：5=42b3，b=2，y=x22x3=（x1）24，拋物線的開口方向向上，對稱軸是直線x=1，把x=1代入得：y=4，把x=3代入得：y=0，當(dāng)1x3時y的取值范圍是4y0，答：b的值是2，當(dāng)1x3時y的取值范圍是4y0（2）答：當(dāng)m=4時，y1、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長理由是當(dāng)m=4時，p1（4，y1）、p2（5，y2）、p（6，y3），代入拋物線的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，5+1221，當(dāng)m=4時，y1、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長理由是：（m1）2

35、4+（m+11）24（m+21）24=（m2）2，m5，（m2）20，當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，能正確根據(jù)定理進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵一、選擇題1. （2011江蘇宿遷，8，3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（）a、a0b、當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大 c、c0d、3是方程ax2+bx+c=0的一個根考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。專題：計算題。分析：根據(jù)圖象可得出a0，c0，對稱軸x=1，在對稱軸

36、的右側(cè)，y隨x的增大而減小；根據(jù)拋物線的對稱性另一個交點到x=1的距離與1到x=1的距離相等，得出另一個根解答：解：拋物線開口向下，a0，故a選項錯誤；拋物線與y軸的正半軸相交，c0，故b選項錯誤；對稱軸x=1，當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小；故c選項錯誤；對稱軸x=1，另一個根為1+2=3，故d選項正確故選d點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握2. （2011江蘇無錫，9，3分）下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對稱軸、且經(jīng)過點（0，1）的是（）ay=（x2）2+1 by=（x+2）2+1 cy=（x2）23 dy=（x+2）23考點：二次

37、函數(shù)的性質(zhì)。專題：計算題。分析：采用逐一排除的方法先根據(jù)對稱軸為直線x=2排除b、d，再將點（0，1）代入a、c兩個拋物線解析式檢驗即可解答：解：拋物線對稱軸為直線x=2，可排除b、d，將點（0，1）代入a中，得（x2）2+1=（02）2+1=5，錯誤，代入c中，得（x2）23=（02）23=1，正確故選c點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸，點的坐標(biāo)與拋物線解析式的關(guān)系，逐一排除3. （2011江蘇無錫，10，3分）如圖，拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點a的橫坐標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式+x2+10的解集是（）ax1bx1 c0x1d1x0考點：二次函數(shù)與不等式（組）。專題：數(shù)形

38、結(jié)合。分析：根據(jù)圖形雙曲線y=與拋物線y=x2+1的交點a的橫坐標(biāo)是1，即可得出關(guān)于x的不等式+x2+10的解集解答：解：拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點a的橫坐標(biāo)是1，關(guān)于x的不等式+x2+10的解集是1x0故選d點評：本題主要考查了二次函數(shù)與不等式解答此題時，利用了圖象上的點的坐標(biāo)特征來解雙曲線與二次函數(shù)的解析式4. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，8，2分）已知二次函數(shù)yx2x，當(dāng)自變量x取m時對應(yīng)的值大于0，當(dāng)自變量x分別取m1m+1時對應(yīng)的函數(shù)值為y1y2，則y1y2必須滿足（）ay10y20by10y20cy10y20dy10y20考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征專

39、題：計算題分析：根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，利用自變量x取m時對應(yīng)的值大于0，確定m1m+1的位置，進(jìn)而確定函數(shù)值為y1y2解答：解：令yx2x=0，解得：x=，當(dāng)自變量x取m時對應(yīng)的值大于0，m，m1，m+1，y10y20故選b點評：本題考查了拋物線與x軸的交點和二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與橫軸的交點坐標(biāo)5. （2011山西，12，2分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）a b方程的兩根是 c d 當(dāng)x 0時，y隨x的增大而減小ox1 3第12題y考點：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)專題：二次函數(shù)分析：由二次函數(shù)的圖象知， ，所以故a

40、錯由，知c錯由二次函數(shù)的圖象知當(dāng)x 1時，y隨x的增大而減小，所以d錯，故選b解答：b點評：此題是針對學(xué)生的易錯點設(shè)計的掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6.（2011陜西，10，3分）若二次函數(shù)的圖像過三點，則大小關(guān)系正確的是（ ）a b c d考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征。專題：函數(shù)思想。分析：根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將分別代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x26x+c求得y1，y2，y3，然后比較它們的大小并作出選擇解答：解：根據(jù)題意，得y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c； y2=412+c=8+c，即y2=8+c； y3=9+2+6186+c=7+c，即y3=7+c；878，

41、7+c7+c8+c，即y1y3y2故選b點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（圖象上的點都在該函數(shù)的圖象上）解答此題時，還利用了不等式的基本性質(zhì)：在不等式的兩邊加上同一個數(shù)，不等式仍成立7. 拋物線y=-（x+2）2-3的頂點坐標(biāo)是（）a、（2，-3） b、（-2，3） c、（2，3） d、（-2，-3）考點：二次函數(shù)的性質(zhì)專題：計算題分析：已知拋物線解析式為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點求頂點坐標(biāo)解答：解：拋物線y=-（x+2）2-3為拋物線解析式的頂點式，拋物線頂點坐標(biāo)是（-2，-3）故選d點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)拋物線y=a（x-h）2+k的頂點坐標(biāo)是（h，k）8. （20

42、11四川廣安，10，3分）若二次函數(shù)當(dāng)l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） al bl cl dl考點：二次函數(shù)的性質(zhì)專題：二次函數(shù)分析：二次函數(shù)的開口向上，其對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，在對稱軸的左側(cè)，當(dāng)時，隨的增大而減小因為當(dāng)l時，隨的增大而減小，所以直線應(yīng)在對稱軸直線的左側(cè)或與對稱軸重合，則解答：c點評：解決該題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用性質(zhì)判斷圖象的增減規(guī)律來進(jìn)行判斷，要注意直線與拋物線的對稱軸之間的位置關(guān)系，這是解決問題的突破口9.（2011臺灣19，4分）坐標(biāo)平面上，二次函數(shù)y=x26x+3的圖形與下列哪一個方程式的圖形沒有交點（）a、x=50b、x=50 c、y=

43、50d、y=50考點：二次函數(shù)的性質(zhì)。專題：計算題。分析：用配方法判斷函數(shù)y的取值范圍，再對x、y的取值范圍進(jìn)行判斷解答：解：y=x26x+3=（x3）266，而函數(shù)式中，x可取全體實數(shù)，二次函數(shù)圖象與方程y=50無交點故選d點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵是運用配方法求y的取值范圍10. （2011臺灣28，4分）如圖為坐標(biāo)平面上二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖形，且此圖形通（1，1）、（2，1）兩點下列關(guān)于此二次函數(shù)的敘述，何者正確（）a、y的最大值小于0b、當(dāng)x=0時，y的值大于1c、當(dāng)x=1時，y的值大于1d、當(dāng)x=3時，y的值小于0考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征。專題：數(shù)形結(jié)合。

44、分析：根據(jù)圖象的對稱軸的位置在點（1，1）的左邊、開口方向、直接回答解答：解：a、由圖象知，點（1，1）在圖象的對稱軸的右邊，所以y的最大值大于0；故本選項錯誤；b、由圖象知，當(dāng)x=0時，y的值就是函數(shù)圖象與y軸的交點，而圖象與y的交點在（1，1）點的右邊，故y1；故本選項錯誤；c、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（1，1）、（2，1）兩點，該函數(shù)圖象的對稱軸x=0，ab+c=1；而當(dāng)x=1時，y=a+b+c1；故本選項錯誤d、當(dāng)x=3時，函數(shù)圖象上的點在點（2，1）的右邊，所以y的值小于0；故本選項正確；故選d點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解答此題時，須熟悉二次函數(shù)圖象

45、的開口方向、對稱軸、與x軸的交點等知識點11. （2011臺灣，6，4分）若下列有一圖形為二次函數(shù)y2x28x6的圖形，則此圖為（）ab cd考點：二次函數(shù)的圖象。專題：函數(shù)思想。分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)2x28x6求得函數(shù)圖象與y軸的交點及對稱軸，并作出選擇解答：解：當(dāng)x0時，y6，及二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，6）；二次函數(shù)的圖象的對稱軸是：x2，即x2； 綜合，符合條件的圖象是a；故選a點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象解題時，主要從函數(shù)的解析式入手，求得函數(shù)圖象與y軸的交點及對稱軸，然后結(jié)合圖象作出選擇12. （2010重慶，7，4分）已知拋物線yax2bxc(a0)在平面直角坐標(biāo)系中的

46、位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )o1xy7題圖a a0 b b0 c c0 d abc0考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系分析：根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的正負(fù)；根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，得到a，b異號，可判斷b的正負(fù)；根據(jù)拋物線與y軸的交點為（0，c），判斷c的正負(fù)；由自變量x=1得到對應(yīng)的函數(shù)值為正，判斷a+b+c的正負(fù)解答：解：拋物線的開口向下，a0；又拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號，b0；又拋物線與y軸的交點在x軸上方，c0，又x=1，對應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c0；所以a，b，c選項都錯，d選項正確故選d點評：本題考查了拋物線y=ax2

47、+bx+c（a0）中各系數(shù)的作用：a0，開口向上，a0，開口向下；對稱軸為x=，a，b同號，對稱軸在y軸的左側(cè)；a，b異號，對稱軸在y軸的右側(cè)；拋物線與y軸的交點為（0，c），c0，與y軸正半軸相交；c0，與y軸負(fù)半軸相交；c=0，過原點13. 已知函數(shù) y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)，若使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）a、0 b、1 c、2 d、3考點：二次函數(shù)的圖象專題：數(shù)形結(jié)合分析：首先在坐標(biāo)系中畫出已知函數(shù) y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三個的k值解答：解：函數(shù) y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)的圖象如圖：， 根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時，對應(yīng)成立的x有恰好有三個， k=3 故選d點評：此題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點問題，解題的關(guān)鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點的問題14. （2011河池）把二次函數(shù)y=x2的圖象沿著x軸向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得到的函數(shù)圖象的解析式為（）a、y=（x+2）2+3b、y=（x2）2+3c、y=（x+2）23d、y=（x2）23考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換。專題：動點型。分析：易得新拋物線的頂點，根據(jù)