10.7 傅立葉級(jí)數(shù)

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-121 第七八節(jié)第七八節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 第十章第十章 一、三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 二、收斂定理與函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)二、收斂定理與函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 四、周期為四、周期為2 l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 五、小結(jié)與思考練習(xí)五、小結(jié)與思考練習(xí) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-122 一、三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 簡單的周期運(yùn)動(dòng)簡單的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy (諧波函數(shù)諧波函數(shù)) (

2、A為為振幅振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 為為角頻率角頻率,為為初相初相 ) (諧波迭加諧波迭加) 稱上述形式的級(jí)數(shù)為稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù). 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-123 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx

3、 證證: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0dsinsin xxnxk 同理可證同理可證 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交正交 , ,上的積分等于上的積分等于 0 . 即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在 0dsincos xxnxk )(nk 定理定理 1 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-124 上的積分不等于上的積分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2,

4、 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-125 二、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù) (Expanding to Fourier series) 定理定理 2 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有則有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxx

5、fan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 證證: 由定理?xiàng)l件由定理?xiàng)l件, 1 0 dsindcosd 2 )( n nn xxnbxxnax a dxxf 0 a ,對(duì)對(duì)在在 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-126 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)( 0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k ( (利用正交性利用正交性) ) ),2, 1(dsin)( 1 kxxkxfbk xxfad)( 1 0 類似地類似地, 用

6、用 sin k x 乘乘 式兩邊式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得再逐項(xiàng)積分可得 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-127 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為稱為 的的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式由公式 確定的確定的 nn ba , 以以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅的傅里里 的的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) . 稱為函數(shù)稱為函數(shù) )(xf 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-128 設(shè)設(shè) f (x) 是周期

7、為是周期為2 的的 周期函數(shù)周期函數(shù), 并滿足并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件: 1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn); 2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)收斂葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn) 其中其中 nn ba ,( 證明略證明略 )為為 f (x) 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn) 注意注意: 函數(shù)展成函數(shù)展成 傅傅里里葉

8、級(jí)數(shù)的條葉級(jí)數(shù)的條 件比展成冪級(jí)數(shù)件比展成冪級(jí)數(shù) 的條件低得多的條件低得多. 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-129 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 先求傅先求傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) xnxxfandcos)( 1 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). o y x 1 1 例例1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 20

9、21-6-1210 xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 1 sin ) 1(1 2 )( n n nx n xf x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 ),2,0,(xx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xsin 4 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1211 ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根據(jù)收斂定理可知根據(jù)收斂定理可知, 時(shí)時(shí), ,級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂

10、于 0 2 11 2) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 ), 2, 1, 0(kkx當(dāng) f (x) 的情況見右圖的情況見右圖. 說明說明: 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1212 x o y上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 ), x xx xf 0,0 0, )( 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 解解: : xxfad)( 1 0 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 d 1 xx 0 2 2 1x 2 0 2 cossin1 n nx n nxx

11、22 ) 1(1cos1 nn n n 2332 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 例例2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1213 xnxxfbndsin)( 1 n n 1 ) 1( 0 dsin 1 xnxx 1 1 2 sin ) 1( cos ) 1(1 4 )( n nn nx n nx n xf 4 cos x 2 xsinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 2 3 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 2 5 2 5 1 ),2,1,0,) 12(,(kkxx 說明說明: 當(dāng)當(dāng)) 12(kx

12、時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于 22 )(0 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1214 , )(xxf 周期延拓周期延拓 )(xF 傅傅里里葉展開葉展開 ,)(在xf上的傅上的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) ), , )(xxf , )2(kxf其它其它 定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1215 xx xx xf 0, 0, )( 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) . o y x 則則 xxFad)( 1 0 xxfd)( 1 0 d 2 xx 0 2 2 2 x xnxxFandcos)( 1 xnxxfdcos)(

13、1 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 將將 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里葉葉 2 為為周期周期的函數(shù)的函數(shù) F(x) , 例例3 將函數(shù)將函數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1216 x3cos 3 1 2 n a 22 1) 1(2 )1cos( 2 n n n n xnxxFbndsin)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 1 2 cos 1) 1(2 2 )( n n nx n xf 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )(x 利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.

14、 當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (0) = 0 , 得得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8n 說明說明: 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1217 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 設(shè)設(shè), 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又又 21 213 6248 222 12248 222 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1218 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 1. 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)的

15、概念正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)的概念 定理定理4 對(duì)周期為對(duì)周期為 2 的的奇奇函數(shù)函數(shù) f (x) , 其傅里葉其傅里葉級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 周期為周期為2 的的偶偶函數(shù)函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 它的傅它的傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù),它的傅它的傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為 (Sine series and cosine series) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-12

16、19 的的表達(dá)式為表達(dá)式為 f (x)x ,將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 是是周期為周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在上),)(xf 解解: 若不計(jì)若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx 是則)(xf 周期為周期為 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù), y xo 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n 例例4 設(shè)設(shè) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1220 n1 根據(jù)收斂定理可得根據(jù)收斂定理可

17、得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù)的正弦級(jí)數(shù): )(xf ,(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 ),1,0,) 12(kkx y x o 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 n2n3n4 上在), 逼近逼近 f (x) 的情況見右圖的情況見右圖. n5 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1221 ,0),(xxf )(xF 周期延拓周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在在 0 , 上展成上展成 周期延拓周期延拓 F (x) 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓 xo y 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) f (x) 在在 0

18、, 上展成上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x )0,(),(xxf ,0(),(xxf )0,(),(xxf 2. 函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1222 1 x y o )0(1)(xxxf分別展成正弦級(jí)分別展成正弦級(jí) 數(shù)與余弦級(jí)數(shù)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù)先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn)去掉端點(diǎn), 將將 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 0 2 cossincos2 n nx n nx n nxx nn n c

19、oscos1 2 n nn ) 1() 1(1 2 例例5 將函數(shù)將函數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1223 2 xsin)2(x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端點(diǎn)在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和為0 , 與給定函數(shù)與給定函數(shù) 1 x y o 因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 1 sin ) 1() 1(1 2 1 n nn nx n x 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1224 x 1 y 將將)(xf則有則有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a 0 dco

20、s) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 0 2 sincossin2 n nx n nx n nxx 1cos 2 2 n n 2 1) 1(2 n n 作偶周期延拓作偶周期延拓 ,再求余弦級(jí)數(shù)再求余弦級(jí)數(shù). 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1225 1 2 cos 1) 1(2 1 2 1 n n nx n x xcos x3cos 3 1 2 )0( x x5cos 5 1 2 4 1 2 1 y o x 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1226 四、周期為四、周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 周期為周期為 2l 函數(shù)函數(shù)

21、 f (x) 周期為周期為 2 函數(shù)函數(shù) F(z) 變量代換變量代換 l x z 將將F(z) 作傅氏展開作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式的傅氏展開式 lz x lz f 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1227 設(shè)周期為設(shè)周期為2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件滿足收斂定理?xiàng)l件, 則它的傅里葉展開式為則它的傅里葉展開式為 1 0 sincos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) n a x l xn xf l b l l n dsin)( 1 其中其中 l 1 x l xn xf l l

22、 dcos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 定理定理5 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1228 1 )( n n bxf ),2, 1(dsin)( nx l xn xfbn 其中其中 (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) l xn sin l 2 0 l 如果如果 f (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有則有 (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) 2 )( 0 a xf ),2, 1,0(dcos)( nx l xn xfan 其中其中 1n n a l xn cos 注注: 無論哪種情況無論哪種情況 , ).()( 2 1 xfxf 在在 f (x)

23、的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) x 處處, 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 收斂于收斂于 l 2 0 l 如果如果 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有則有 說明說明: 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1229 展開成展開成)20()(xxxf (1) 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù). 解解: (1) 將將 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 則有則有 2 o y x ),2, 1,0(0nan 2 0 2 2 xbnx xn d 2 sin 0 2 2 2 sin 2 2 cos 2xn n xn x n n n cos 4 ),2, 1() 1( 4 1 n n n 1 4 )(

24、 n xf 2 sin ) 1( 1 xn n n )20( x 在在 x = 2 k 處級(jí)數(shù)處級(jí)數(shù) 收斂于何值收斂于何值? 例例6 把把 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1230 2 o y x 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf ),2, 1(0nbn 2 0 2 2 xanx xn d 2 cos 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2xn n xn x n 1) 1( 4 22 n n xxf)( 2 0 0 d 2 2 xxa2 則有則有 1 22 2 cos 1) 1(4 1 n n xn n )20( x (2) 將將 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1231 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 周期為周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理 )sincos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n )(間斷點(diǎn)x 其中其中 xxnxfandcos)( 1 xxnxfbndsin)( 1 ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若若 0 x為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于則級(jí)數(shù)收斂于 2 )()( 00 xfxf 2. 周期為周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-