小波分析及其應(yīng)用綜述

1、淮陰工學(xué)院考試材料專(zhuān)用紙小波分析及其應(yīng)用期末大作業(yè)班級(jí):計(jì)科1141姓名：666學(xué)號(hào)：1144101120題目：二進(jìn)小波指導(dǎo)教師：評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)原理20%方法20%重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)30%總結(jié)體會(huì)20%參考資料10%答辯分總評(píng)得分?jǐn)?shù)理學(xué)院2017年6月15目錄緒論 2小波分析產(chǎn)生的背景 4一連續(xù)小波變換 4二二進(jìn)小波的構(gòu)造 52.1二進(jìn)小波濾波器的設(shè)計(jì) 52.2提升二進(jìn)小波的構(gòu)造 52.3樣條二進(jìn)小波的構(gòu)造 6三離散二進(jìn)小波變換的快速算法 6四二維二進(jìn)小波變換及其快速算法 74.1二維二進(jìn)小波變換的構(gòu)造 7五二維離散二進(jìn)小波變換的快速算法 85.1二維離散二進(jìn)小波的快速算法 85.2仿真實(shí)驗(yàn) 10六 二進(jìn)小波

2、變換的模極大與多尺度邊緣檢測(cè)及圖像多尺度邊緣提取 .116.1重構(gòu)信號(hào)的快速算法： 11七模極大值語(yǔ)音去燥算法改進(jìn) 127.1實(shí)驗(yàn)仿真 13八二維平穩(wěn)小波變換 14九離散快速算法 15學(xué)習(xí)總結(jié) 17參考文獻(xiàn) 18附錄 19緒論今天，人類(lèi)社會(huì)己經(jīng)進(jìn)入數(shù)字化的信息時(shí)代，高效率、超大容量、實(shí)時(shí)地獲取各種 有用信息已成為現(xiàn)代社會(huì)的一個(gè)典型特征。以計(jì)算機(jī)作為工具的Intemet網(wǎng)絡(luò)、電視、電話則構(gòu)成人們獲取信息的重要組成部分。盡管信息的表現(xiàn)形式可以多種多樣，但圖像、 圖形、語(yǔ)音信息構(gòu)成其最基本的要件。例如，統(tǒng)計(jì)資料表明，人類(lèi)獲取的信息量有70%以上來(lái)自于圖像。因此，與圖像相關(guān)的信息處理研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)、

3、電子學(xué)、計(jì)算機(jī)科 學(xué)、通信等多學(xué)科領(lǐng)域的跨學(xué)科熱門(mén)研究課題。圖像邊緣是一種重要的視覺(jué)信息，是圖像最基本的特征之一。邊緣表示為圖像信息 的某種不連續(xù)性（如灰度突變、紋理及色彩的變化等）。邊緣檢測(cè)主要用于圖像處理、機(jī) 器視覺(jué)和模式識(shí)別中，是至今未得到圓滿解決的經(jīng)典技術(shù)難題之一，它的解決對(duì)于進(jìn)行 高層次的特征描述、識(shí)別和理解有著重大影響。隨著人工智能、特別是計(jì)算機(jī)視覺(jué)的發(fā) 展，模式識(shí)別不僅形成了一系列理論和應(yīng)用技術(shù)，而且扮演著重要角色。其應(yīng)用領(lǐng)域很 多，如遙感醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)分析、自動(dòng)視覺(jué)檢驗(yàn)、指紋識(shí)別、簽章識(shí)別、圖文識(shí)別等。一個(gè)完 整的模式識(shí)別系統(tǒng)包括數(shù)據(jù)獲取、數(shù)據(jù)預(yù)處理、特征提取和分類(lèi)四個(gè)階段，而邊緣檢

4、測(cè) 是數(shù)據(jù)預(yù)處理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。由于邊緣檢測(cè)在許多方面都有著非常重要的實(shí)用價(jià)值， 所以人們一直在致力于研究和解決如何構(gòu)造出具有良好性質(zhì)和好的效果的邊緣檢測(cè)算子 的問(wèn)題。在從實(shí)際景物轉(zhuǎn)換成圖像信息的過(guò)程中， 在圖像的生成、編碼、傳輸、甚至是重現(xiàn)的 過(guò)程中，由于設(shè)備的非線性，設(shè)備噪聲，環(huán)境兼容性等多種隨機(jī)因素的影響， 輸出圖像質(zhì) 量不可避免的有所降低或者是退化，在圖像的生成和傳輸過(guò)程中，各種噪聲源的干擾和影 響，是引起圖形輸出質(zhì)量降低的一個(gè)重要的原因， 這些噪聲源包括電傳感器噪聲、相片顆 粒噪聲、電磁波干擾，信道誤差和其他噪聲等等。因此圖像信號(hào)中的噪聲濾除一直是數(shù)字圖像處理中的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。去噪

5、是圖像恢復(fù)中的經(jīng)典問(wèn)題，然而去噪與保持圖像特征是一對(duì)矛盾的關(guān)系：圖像在去除噪聲的過(guò)程中， 不可避免的對(duì)邊界產(chǎn)生模糊，而人類(lèi)視覺(jué)對(duì)圖像的高頻成分（細(xì)節(jié)、邊緣）敏感，而且圖像 的重要信息主要存在于邊緣和輪廓部分。傳統(tǒng)的去噪方法很難處理這類(lèi)問(wèn)題，因此，大量 研究致力于既能去噪又能保持邊緣和小尺度特征的算法。小波分析產(chǎn)生的背景信號(hào)實(shí)際上是傳遞信息的某種具體物理過(guò)程。 最常用的信號(hào)分析方法是尋找一種簡(jiǎn)單 有效的變換，使信號(hào)所包含的重要特征在變換域能更直接地顯示出來(lái)。傳統(tǒng)的用于信號(hào)處理和信號(hào)分析的主要工具是傅里葉(F ourier )1分析。傅里葉變換實(shí)際上是將信號(hào)展開(kāi) 為不同頻率正弦信號(hào)的線性疊加。從信

6、號(hào)的傅里葉變換，能看出信號(hào)各種不同頻率的成分 的強(qiáng)弱，信號(hào)能量在頻率域的分布。一維信號(hào)傅里葉變換定義為：tooF 二 f tedta傅里葉變換度量了信號(hào)在所有不同頻率的振蕩信息由于傅里葉變換的核函數(shù)ei!t在時(shí)域是無(wú)限的，為了計(jì)算F (!)，必須在信號(hào)的整個(gè)持續(xù)時(shí)間內(nèi)積分。即為了獲得信號(hào)中某 一特定頻率分量的信息，必須知道信號(hào)在整個(gè)時(shí)間過(guò)程中的變化情況。 也就是說(shuō)傅里葉變 換在時(shí)域內(nèi)是非局部的。從上述分析還可以看到，時(shí)間函數(shù)f(t)描述了信號(hào)的時(shí)域特征， 其傅里葉變換F (!)描述了信號(hào)的頻域特征。也就是說(shuō)，傅里葉變換要么在時(shí)域，要么在 頻域描述信號(hào)的特征，而不能對(duì)信號(hào)同時(shí)在時(shí)-頻域內(nèi)進(jìn)行聯(lián)合

7、分析。但在許多實(shí)際問(wèn)題 中,我們關(guān)心的卻是信號(hào)在局部范圍的特征：例如音樂(lè)和語(yǔ)音信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí) 候演奏什么音符，發(fā)出什么樣的音節(jié)；對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣 的反射波；圖像處理中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部位的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。尤其對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的處理，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻率特性都很重要。如柴油機(jī)缸蓋表面的振動(dòng) 信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬間信號(hào)，僅從時(shí)域或頻域上分析都是不夠的。 針對(duì) 瞬變的、非平穩(wěn)的信號(hào)的分析，導(dǎo)致了小波的產(chǎn)生。一連續(xù)小波變換定義連續(xù)二進(jìn)小波變換:Wf(2J,u) = 22(/* 率設(shè)函數(shù)+ 1 ：| - 1，如果存在正常數(shù)二與K，且；m.

8、 n ，使得引3 E R 0, A V Bjez創(chuàng)1巧(2加)| |詁砂月I；jeZ且存在滿足E R（0）,0 * （機(jī)（加）=1jeZ使得原信號(hào):可由二進(jìn)小波變換重構(gòu):吋 9 * 20 (t)F(t)=f 二F小波,滿足為二進(jìn)小波。二進(jìn)小波j的穩(wěn)定條件當(dāng)A=B時(shí)稱(chēng)為最穩(wěn)定條件二二進(jìn)小波的構(gòu)造2.1二進(jìn)小波濾波器的設(shè)計(jì)如果濾波器h,g,h,g的傅里葉變換滿足：h() = (一 岳-j工=1,2 和 r = *；由二進(jìn)完全重構(gòu)條件有喜（3）= （-丁72*（血號(hào)）ZtS 丐尸由二尺度關(guān)系有- 宀、-i(2+r71. sin (tjj/41.幽(Q=(-) eH()ra+r+1T三離散二進(jìn)小波變換

9、的快速算法令 吧仇）旳E2,其中取a； ?(t -n)其中宀.：,而*:的傅里葉變換為=_、一。對(duì)任意一,記an = 22(f 樂(lè) 0)(n)f n G Z而當(dāng),在整數(shù)格點(diǎn)上，二進(jìn)小波系數(shù)為:化=Wf(2rn) = 2(/ * neZ則對(duì)任意尺度：1,離散信號(hào)序列小波變換。離散二進(jìn)小波變換的快速算法為：為(0 =2丸門(mén)勵(lì)巧=2(f*砂)0)求其傅里葉變換可得：(8)= A2j-t(tcj)A * (2J tq5(w) = A2j-i(o)g * )2JA鬲S=2J小- = m稱(chēng)為 J的離散二進(jìn)對(duì)應(yīng)時(shí)域表達(dá)式：:貝疝-iff -2J，令：二得( =(* 碼 nU+1 = (*)n爲(wèi)(t) =土矗

10、衛(wèi)2彌(上一倉(cāng)D曲；fezJez由此可得離散二進(jìn)小波變換的快速算法。四二維二進(jìn)小波變換及其快速算法4.1二維二進(jìn)小波變換的構(gòu)造A設(shè)q(w)是序列的離散傅里葉變換，使得：- 的傅里葉變換滿足V) =Xq 律)?(辛)V2 22定義兩個(gè)二維可分離函數(shù)：梓弋熱卩)=p(x)v(y)lpz(xjy) = p()Y(y)設(shè) 是序列的離散傅里葉變換，使得：-的傅里葉變換滿足*, t 1亠B 亠3定義另外兩個(gè)二維可分離函數(shù)和-二：蘋(píng)（“）=0（嘆（刃審（芯y）=啟（直并（刃若 - ： - _ 且 H ，=；則對(duì)與上面定義的兩組函數(shù)所定義的廠；二二一分別是它們的重構(gòu)小波。若 打二兼鼠加;二一一 ,貝U億， 從

11、 而-門(mén)-.:二.可以證明，在這種情況下，蘭上用沁汽匯曲一定是二 維二進(jìn)小波，且與其重構(gòu)小波是相同的。由此我們可得IW2+I）P7.特別的當(dāng)：-由 %3卡3曠甘皿定義時(shí)可得|i（3）F +（CO丐嚴(yán)212ttl(a)eLda)ff是關(guān)于0對(duì)稱(chēng)的濾波器。五二維離散二進(jìn)小波變換的快速算法5.1二維離散二進(jìn)小波的快速算法 記靄（切）=刃（f *夠）（勒0D；j&）=2J（/* 碼J （熱y）Dff（xty） = （f 求二維傅里葉變換得：如（畋嗎）=A滬1（必線）匸* （囚7嗎）碼（吆?jiǎn)幔?矗-1（叫氣）0 * （勿-心）$ * （2s _1wy） 焉（吟）=為“（3步氣） * （2日必）& * （

12、茁訂取逆傅里葉變換得對(duì)應(yīng)時(shí)域?yàn)锳2j(xty)巧(押)hkhpA(x 2Jlp)囚T/fj_ 刃 Tg)將各整數(shù)點(diǎn)代入由小波變換定義式得fipn- 0)，其二進(jìn)小波變換幅度隨著尺度的增加而增加。相反的，當(dāng) (Lipschitz (y)礦() =0(理(刃I沢訕=0(步(y)對(duì)于任意的-_，定義它在尺度下的二維二進(jìn)小波變換為/ k1U - X V - VWkf(2j,x,y) j . .r2 f(u,v)- ( 2j，2jV)dudv=2(f 宀 2j)(x, V)其中町(X, V)=屮；j (-x,-V)= 2?屮 *(一赤一2)，k = 1,2,3稱(chēng)該式定義的小波變換為二進(jìn)小波的二維平穩(wěn)小波

13、變換。貝Ua k3 亠k遲遲寧(2嘰,2嘰)申* (2嘰,20)=1kN j -滿足該式的從信號(hào)f(x,y)可以有它的二進(jìn)小波變換重構(gòu)，即士 口廠稱(chēng)為，-的重構(gòu)小波。：3 i k“1叭丸丸其中，-表示連續(xù)函數(shù)與-的卷積；表示函數(shù)的復(fù)共軛。九離散快速算法設(shè)原始輸入信號(hào)是一個(gè)能量有限的二維離散信號(hào)或圖像u ，其采樣間隔為1。設(shè) *y) = 0(x)0(y)，相應(yīng)地，有則存在一個(gè)二維函數(shù)0 ,:,對(duì)任意，記27an,m =2j(f * 2j)(n,m)對(duì)，在整數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)匸匚上，記d；m=Wkf(2j, n, m) =2j (f *町)(n,m), k =1,2,3為二維二進(jìn)平穩(wěn)小波變換在整數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)(n

14、, m)地小波系數(shù)。對(duì)任意尺度】 亠，由 ：計(jì)算其小波變換八廠=的二維離散二進(jìn)平穩(wěn)小波分解公式為j + an ,mhk hpanjk,md pk, pd j 1,1d n, md j 1,1d n, mhkg Pan 2k,m/j p k, phkg pajk,j p k, pdn,mg kh panjk,m/j pk, p円宀3_亍小 _- jdn,m gk gpanJ2jk,mJ2jpk,paj十=aj * (hj,hj) aj+ =aj*(hgJ)j十,2j *廠ja =a * (g , h ) a =a *(g , g )二維小波二進(jìn)平穩(wěn)小波重構(gòu)公式j(luò) j j jaj 二一aj 1*

15、(h ,h ) d j 1,1 * (h ,g )4 J J J Jdj 1,2* (g ,h ) dJ 1,3* (g ,g ) 1總結(jié)經(jīng)過(guò)這學(xué)期在路老師的帶領(lǐng)下，我知道了一些小波變換理論，由于本門(mén)課程 是研究生才開(kāi)設(shè)的課程，所以對(duì)于現(xiàn)階段的我們想深刻理解全部的內(nèi)容還是很困 難的，但是老師說(shuō)我們現(xiàn)在需要了解知道一些經(jīng)典的理論，估計(jì)首當(dāng)其沖的就是傅里葉變換了。由于我的選題是二進(jìn)小波，所以我重點(diǎn)關(guān)注有關(guān)其中的內(nèi)容， 大 概分為連續(xù)二進(jìn)小波變換，二進(jìn)小波的構(gòu)造，離散二進(jìn)小波變換的快速算法，二 維二進(jìn)小波變換及其快速算法，二維小波變換模極大與圖像多尺度邊緣提取。對(duì) 五方面進(jìn)行瀏覽后，我發(fā)現(xiàn)自己其實(shí)對(duì)

16、小波變換模極大值與圖像的邊緣提取最感 興趣。當(dāng)信號(hào)(Lipschitz 0)，其二進(jìn)小波變換幅度隨著尺度的增加而增加。當(dāng)(Lipschitz 0)，二進(jìn)小波變換幅度隨著尺度增加而迅速減少。因此通過(guò)對(duì)相鄰的尺度二進(jìn)小波變換相乘得到的積函數(shù)來(lái)加強(qiáng)邊緣和抑制噪聲。雖然尺度積函數(shù)可以加強(qiáng)邊緣的輪廓，但是單純的相鄰尺度二進(jìn)小波變換相乘也存在不足。 為了加強(qiáng)邊緣和削弱噪聲同時(shí)避免錯(cuò)位現(xiàn)象，相鄰尺度積算法需要做進(jìn)一步改 進(jìn)。特別是對(duì)在相鄰區(qū)域有兩個(gè)以上的邊緣存在的情況，改進(jìn)尺度積方案比尺度積方案更能體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。因?yàn)橄噜弲^(qū)域存在兩個(gè)邊緣的話，在大尺度的情況下邊 緣的錯(cuò)位現(xiàn)象會(huì)發(fā)生。如果采用改進(jìn)尺度積方案，可以

17、很好的平衡邊緣錯(cuò)位和噪 聲敏感。類(lèi)比于這件事，其實(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中我們遇到許多的事情都是利用慣性思維去 解決，最先想到的是經(jīng)常使用的方法，但是往往受制于這種想法，優(yōu)化問(wèn)題的解 決方法是我們需要終身學(xué)習(xí)的。節(jié)省時(shí)間和金錢(qián)又何樂(lè)而不為呢。慢一點(diǎn)，多想 想在下手可以最大程度的減少錯(cuò)誤率和提高方案的完美率。其實(shí)對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的我們來(lái)說(shuō)，嚴(yán)謹(jǐn)是最難能可貴也是最需要積累的素質(zhì)。多看多聽(tīng)多做來(lái)切切實(shí)實(shí) 提高我們的水平。參考文獻(xiàn)1 齊翠麗基于小波閾值法和模極大值法的語(yǔ)音去噪算法研究D.燕山大學(xué),2012.2 郭佳盼基于二次規(guī)劃的小波模極大值信號(hào)重構(gòu)D.西安電子科技大學(xué)，2012.3 彭園園.小波分析在一維信號(hào)去噪中

18、的應(yīng)用D.北京郵電大學(xué),2011.,2010,20054 劉麗梅，劉齊躍，張靜.基于小波變換模極大值的去噪方法研究J.河北工業(yè)科技黃成勇.二進(jìn)小波在圖像處理中的應(yīng)用D.上海交通大學(xué),2010.6 郭顯久，賈鳳亭.基于小波多尺度乘積的信號(hào)去噪算法J.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)7 孫延奎.小波變換與圖像，圖形處理技術(shù).北京：清華大學(xué)出版社， 2012附錄加載信號(hào)程序：clear all ; load cuspamax;f=cuspamax;len gth of s_ =len gth(f);s=awg n( f,3);len gth of s =len gth(s);arous算法程序：h=sqrt(2

19、).40.125 0.375 0.375 0.125 0;g=sqrt(2).CJ0.5 ?0.5 0;hb=sqrt(2).QP 0.125 0.375 0.375 0.125 ;gb=sqrt(2).Cf0?0.03125?0.21875 ?0.6875 0.6875 0.21875 0.03125 ;len gth of hb=le ngth(hb);len gth of gb=le ngth(gb);len gth of h=le ngth(h);len gth of g=le ngth(g);J=3;a(1:J+1,1:length of s )=0;d(1:J+1,1:length

20、 of s )=0; sj=conv(s,h);wj=c onv (s,g);a (1,:) =sj(round(length of h+1)/2): length(sj)?oor(length of h?1)/2);d (1,:) =wj(round(length of g+1)/2): length(wj)?oor(length of g?1)/2); for j=1:Jlength of hj =2Aj C(length of h?1)+1;length of gj =2Aj C(length of g?1)+1;hj (1: length of hj )=0;gj (1: len gt

21、h of gj )=0;for n=1:le ngth of hhj(2Aj Qn?1)+1)=h(n);endor n=1:le ngth of ggj(2Aj Qn?1)+1)=g(n);endsj=co nv(a(j,:) , hj);wj=co nv (a(j,:),gj);a(j+1,:)=sj(round(length of hj+1)/2): length(sj)?or( length of hj ?1)/2); d(j+1,:)=wj( round(length of gj+1)/2): length(wj) ?or(length of gj?1)/2); endab(1:J+1,1:length of s )=0;db(1:J+1,1:length of s)=0;for k=1:J+1j=J+1?k;length of hbj=2Aj C(length of hb?1)+1;length of gbj=2Aj C(length of gb?1)+1;hbj=0;gbj=0;hbj(1: len gth of hbj )=0;gbj(1: len gth of gbj )=0;for n