等比數(shù)列教學(xué)內(nèi)容分析

1、等比數(shù)列內(nèi)容分析組長(zhǎng)：賈富杰小組成員：王嬌，魏紅艷，吳菲菲，馬永勝，陳扶祿（一） 結(jié)構(gòu)分析1.單科結(jié)構(gòu)分析知識(shí)結(jié)構(gòu)：（1）等比數(shù)列的定義；（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（3）前n項(xiàng)和公式；（4）等比中項(xiàng)的概念及意義；（5）等比數(shù)列的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)。教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題，在具體問(wèn)題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)鍵點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的基本掌握。教學(xué)安排：回顧舊知、導(dǎo)入新課通過(guò)感性材料的引入，比如：給我一張紙，我能夠?qū)⑺鄢晌鍖訕悄敲锤撸僭O(shè)我的力氣足夠大），這可能嗎？你如果能將一張報(bào)

2、紙對(duì)折38次，我就能順著它在今晚爬上月球，將一張紙對(duì)折會(huì)有那么大的高度嗎？通過(guò)上述興趣材料的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而讓學(xué)生帶著疑問(wèn)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。2、講授新課，構(gòu)建新知給出一組數(shù)字，讓學(xué)生觀察這組數(shù)字的共同特點(diǎn)，從而導(dǎo)出等比數(shù)列的概念；由等比數(shù)列的概念給出數(shù)組判斷其是否為等比數(shù)列；推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（遞推法、連乘法等）。3、例題講解、梳理知識(shí)通過(guò)相關(guān)應(yīng)用題目使所學(xué)知識(shí)得到進(jìn)一步提升，或者通過(guò)概念型例題引發(fā)學(xué)生思考從而對(duì)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式熟練掌握例題：一個(gè)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第四項(xiàng)分別為12和18，求它的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)。4、自我檢測(cè)、形成技能5、給出一些生活中的實(shí)際例子，使本節(jié)所學(xué)理論

3、上升到實(shí)踐：。通過(guò)對(duì)上述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的分析即可使本課與實(shí)際相聯(lián)系。（二）數(shù)學(xué)思想方法分析1. 函數(shù)思想。將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)函數(shù)的分析計(jì)算，讓學(xué)生逐步解決等比數(shù)列的問(wèn)題。掌握等比數(shù)列的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用函數(shù)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)各種函數(shù)計(jì)算，解決問(wèn)題。2. 待定系數(shù)法和配方法。等比數(shù)列運(yùn)用函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，函數(shù)這一部分用到許多數(shù)學(xué)方法，由已知條件求等比數(shù)列表達(dá)式的問(wèn)題，很多都是用待定系數(shù)法來(lái)解的。通過(guò)已知條件，轉(zhuǎn)化條件，列出方程組，解方程組求得等比數(shù)列。（三）功能分析1. 智力價(jià)值理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。2. 思想教育價(jià)值提高學(xué)

4、生的建模意識(shí)，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。3. 應(yīng)用價(jià)值培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。（四）背景分析1.人類(lèi)在古代隨著自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念和四則運(yùn)算的產(chǎn)生，為了生產(chǎn)與生活的需要，就產(chǎn)生了數(shù)列的知識(shí). 在世界數(shù)學(xué)史上，對(duì)級(jí)數(shù)(數(shù)列)的討論具有悠久的歷史，中國(guó)、巴比倫、古希臘、埃及和印度等，都曾經(jīng)研究過(guò)級(jí)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著周髀算經(jīng)九章算術(shù)孔子算經(jīng)張邱建算經(jīng)等，對(duì)等差級(jí)數(shù)a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+a(n1)b和等比級(jí)數(shù)aaqaq2aq3aqn1都列舉出計(jì)算的例子，說(shuō)明中國(guó)古代對(duì)級(jí)數(shù)的研究曾作出過(guò)一定的

5、貢獻(xiàn). 古老的易經(jīng)一書(shū)中寫(xiě)道：“是故易有太極，是生兩儀；兩儀生四象，四象生八卦”，實(shí)際上，這種分割，已經(jīng)寓有數(shù)學(xué)中等比數(shù)列的思想. 著于東漢(25年220年)初年的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)均輸章中，第19題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升.問(wèn)中間兩節(jié)欲均容，各多少？”解得各節(jié)的容量是1 ，1 ，1 ，1 ，1 ， ， ， ，源于古代的一些實(shí)際問(wèn)題古埃及國(guó)王拉阿烏斯有位能干的文書(shū)阿默斯他用象形文字寫(xiě)了一部算書(shū)，記錄了公元前2000年前1700年間數(shù)學(xué)研究的一些成果其中有這樣一題，題中畫(huà)了一個(gè)階梯，其各級(jí)注數(shù)為7，49，343，2401，16807并在數(shù)旁依次畫(huà)了人、貓、鼠、大麥和量器原

6、書(shū)上并無(wú)任何說(shuō)明，遂成為數(shù)學(xué)史上的一個(gè)難解之謎2000多年中無(wú)人能解釋 直到中世紀(jì)，意大利斐波那契在1202年發(fā)表了算盤(pán)全書(shū)，書(shū)中這樣一題： 今有七老婦人同往羅馬，每人有七騾，每騾負(fù)七袋，每袋盛有七個(gè)面包，每個(gè)面包有七小刀隨之，每小刀配有七鞘，問(wèn)列舉之物全數(shù)共有幾何？ 顯然這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問(wèn)題 由此也基本解開(kāi)了阿默斯之謎原來(lái)阿默斯問(wèn)題的意思是：今有七人，每人有七貓，每貓食七鼠，每鼠食七只大麥穗，每穗可長(zhǎng)成大麥七量器，由此可得之?dāng)?shù)列如何？當(dāng)然這僅僅是推測(cè) 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家也早就研究過(guò)等比數(shù)列的問(wèn)題孫子算經(jīng)中有一個(gè)有趣的題目“出門(mén)望九堤”： 今有出門(mén)重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九

7、禽，禽有九雛，維有九毛，毛有九色，問(wèn)各幾何？國(guó)際象棋起源于印度，據(jù)說(shuō)國(guó)王舍罕為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者西薩.班.達(dá)依爾 ，讓他提出一個(gè)要求，于是這位聰明的發(fā)明者說(shuō)：“尊敬的陛下，請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1格里放上1顆麥粒，第2格里放上2顆麥粒，在第3格里放上4顆麥粒，以此類(lèi)推，每一格里的麥粒是前一格里放的2倍，直至64格，請(qǐng)陛下把這些麥粒賞給您的仆人吧”。國(guó)王覺(jué)得這事不難，就欣然同意了。請(qǐng)問(wèn)：國(guó)王能辦到嗎？大約公元前320年，歐幾里得的幾何原本第五卷詳細(xì)探討了關(guān)于比例的理論，并且把它們推廣到各種量，此外還證明了它可以應(yīng)運(yùn)到可通約的量，也可應(yīng)運(yùn)到不可通約的量。希思認(rèn)為，希臘沒(méi)有什么更好的發(fā)現(xiàn)比這個(gè)理論更能令人夸耀了。一

8、般都公認(rèn)，該卷中大部分是歐多克索斯和泰阿泰德的工作，但是把它們編排的合乎邏輯次序，應(yīng)該歸功于歐幾里得。書(shū)中關(guān)于比值和比例的基本概念是這樣定義的： 各個(gè)量在被乘時(shí)仍能保持各量間的相應(yīng)比數(shù)稱(chēng)為彼此間有一比值。（定義4） 所謂成等比的諸量，如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之比，是指在以等倍數(shù)乘第一量與第三量，并以任何等倍數(shù)乘第二量和第四量時(shí)，前者的等倍數(shù)必相同地大于，或相同地等于，或相同地小于后者相應(yīng)的倍數(shù)。（定義5） 成等比的諸量稱(chēng)為比例量。（定義6） 第六卷把第五卷已經(jīng)建立起來(lái)的關(guān)于比例的一般理論應(yīng)運(yùn)到平面圖形上去。 第七，八，九卷與算術(shù)即關(guān)于數(shù)的理論有關(guān)。單位的定義是，用它把每個(gè)存在的事

9、物稱(chēng)為1,。奇數(shù)和偶數(shù)，素?cái)?shù)和合數(shù)，平方數(shù)和立方數(shù)。完全數(shù)等都有了定義，例如一個(gè)完全數(shù)就是“等于它的各部分之和的數(shù)”，即等于它的所有因子（包括1）之和。第七卷中的命題1指出，“若在兩個(gè)等數(shù)中，每當(dāng)從大數(shù)中盡可能地減去小數(shù)，再?gòu)男?shù)中盡可能地減所得余數(shù)，又從前一余數(shù)中盡可能地減去下一余數(shù)，如此下去，并且任何余數(shù)都不是前一余數(shù)的約數(shù)，直至達(dá)到1為止，則此二位給定數(shù)互為素?cái)?shù)”。這個(gè)命題是用歸謬法來(lái)證明的，從它可以得出求不是互素的兩個(gè)或三哥數(shù)的最大公約數(shù)的方法?！钡诰啪恚}35）提出一個(gè)巧妙的方法來(lái)求幾何級(jí)數(shù)的和：如果有任意多個(gè)數(shù)成連比例，并且第二個(gè)和最后一個(gè)數(shù)都可以減去第一個(gè)數(shù)，則第二個(gè)數(shù)的增量與

10、第一個(gè)數(shù)之比，將等于最后一個(gè)數(shù)的增量與最后一個(gè)數(shù)前面的所有數(shù)之和的比。例如，若級(jí)數(shù)a1 a2 a3,. an an+1且 an+1an=anan-1=a2a1即 an+1-anan=an-an-1an-1=a2-a1a1 現(xiàn)在，如果有任意多個(gè)數(shù)成比例，則由于任前一項(xiàng)和后一項(xiàng)之比等于所有前項(xiàng)的和與所有后項(xiàng)的和之比，故將所有前項(xiàng)與所有后項(xiàng)相加，既得： an+1-a1an+an-1+a1=a2-a1a1從這個(gè)關(guān)系即可確定Sn2.等比數(shù)列與其他知識(shí)的聯(lián)系等比數(shù)列與極限3.等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1產(chǎn)值模型2產(chǎn)值模型3分期付款模型4存儲(chǔ)模型（五）要素分析1.感性材料：通過(guò)引入“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，

11、導(dǎo)出等比數(shù)列。2.概念和命題概念：(1)數(shù)學(xué)概念名稱(chēng)：等比數(shù)列（2）數(shù)學(xué)概念定義：等比數(shù)列是說(shuō)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q 表示(q0)，等比數(shù)列a1 0。注：q=1 時(shí)，an為常數(shù)列。(3)數(shù)學(xué)概念例子an=2n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。命題：1.若an是等比數(shù)列，公比為q1，bn也是等比數(shù)列，公比是q2，則a2n，a3n是等比數(shù)列，公比為q12，q13can，c是常數(shù)，an*bn，an/bn是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。2. 若m、n、p、qN*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq

12、。3. 若“G是a、b的等比中項(xiàng)”則“G2=ab（G0）3.例題a. 設(shè)ak，al，am，an是等比數(shù)列中的第k、l、m、n項(xiàng)，若k+l=m+n，求證：ak*al=am*an證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則：ak=a1q(k-1)，al=a1q(l-1)，am=a1q(m-1)，an=a1q(n-1)所以：ak*al=a2*q(k+l-2)，am*an=a2*q(m+n-2)，故：ak*al=am*an例題分析：這個(gè)例題是等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，它在解題中常常會(huì)用到。它說(shuō)明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項(xiàng))距離等遠(yuǎn)的兩項(xiàng)的乘積等于首末兩項(xiàng)的乘積，即：a(1+k)a(n-k)=a1an對(duì)于

13、等差數(shù)列，同樣有：在等差數(shù)列中，距離兩端等這的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和。即：a(1+k)+a(n-k)=a1+anb. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2，12a3，a1成等差數(shù)列，則a4a5a3a4的值為()A.512 B.512C.152 D.512或512答案B解析設(shè)an的公比為q，則q0.a2，12a3，a1成等差數(shù)列，a3a1a2，a1q2a1a1qa10，1qq2，又q0，q512， a4a5a3a4q512例題分析：本題結(jié)合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)4.習(xí)題a.等比數(shù)列an,前n項(xiàng)和為Sn,Sn=48,S2n=60,S3n=?解：設(shè)等比數(shù)列的公比是q, 顯然q不等于1.則Sn=

14、a1*(1-qn)/(1-q)=48 S2n=a1*(1-q(2n)/(1-q)=60把上面兩式相比得到qn=1/4所以s3n=a1*(1-q(3n)/(1-q)S3n/Sn=(1-q(3n)/(1-qn)=1+qn+q(2n)=1+1/4+1/16=21/16所以S3n=21/16*Sn=(21/16)*48=63.b. 已知等比數(shù)列an的公比q12.(1)若a314，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和；(2)證明：對(duì)任意kN，ak，ak2，ak1成等差數(shù)列解:(1)由a3a1q214及q12，得a11，所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(2)證明：對(duì)任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q12得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，對(duì)任意kN，ak，ak2，a k1成等差數(shù)列(六)學(xué)習(xí)結(jié)果、形式類(lèi)型與任務(wù)分析1.學(xué)習(xí)結(jié)果類(lèi)型分析a.數(shù)學(xué)事實(shí)：數(shù)學(xué)符號(hào)有，及q，數(shù)學(xué)名稱(chēng)有等比數(shù)列，等比中項(xiàng)公比及首項(xiàng)。b.數(shù)學(xué)概念：等比數(shù)列及公比的定義。c.數(shù)學(xué)原理：數(shù)學(xué)歸納法d.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決：運(yùn)用等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式會(huì)求公比q，前n項(xiàng)和與數(shù)列中具體的某一項(xiàng)。e.數(shù)學(xué)思想方法分析：歸納法、疊乘法、迭代法與類(lèi)比法。f數(shù)學(xué)技能：運(yùn)算、推導(dǎo)與數(shù)學(xué)交流。g.數(shù)學(xué)認(rèn)知策略：通過(guò)聯(lián)系等差數(shù)列的推導(dǎo)，