第4章最小二乘法

1、211)(xxf101000111001110( )( ) ( )()()()()( )()()()()iiiiiiiiiiiiLxf x l xxxxxxxxxl xxxxxxxxx解：畫出的圖形如圖所示。4.4 分段插值法 給定 (x-5,5)。取等距節(jié)點xi=-5+i(i=0,1,10), 試建立插值多項式L10(x), 并作圖形, 觀察L10(x)對f(x)的逼近效果。 分段三次埃爾米特插值為了避免Runge現(xiàn)象的發(fā)生, 很自然地會想到把區(qū)間-5, 5等分為10個小區(qū)間, 在每一個小區(qū)間內(nèi)應用低次插值。但由于每個小區(qū)間只有兩個端點（插值節(jié)點）, 按照已知的方法, 得到的將是一個分段線性

2、插值函數(shù)。 已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值函數(shù)H(x)滿足 H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi)i=0,1,n為了得到插值函數(shù),考慮任意子區(qū)間xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用Lagrange插值函數(shù)結構, 在第i個子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 這樣，就把H(x)的構造問題轉化為四個插值基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構造問題。 4.5 三次樣條插值三次樣條插值 “樣條”一詞本來是指在飛機或輪船設計過程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一

3、個具有彈性的細長木條。事實上，在作了某些近似簡化后，樣條的數(shù)學模型并不復雜，它只是分段的三次多項式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。 定義 給定a,b的分劃：a=x0 x1xn=b, 如果函數(shù)s(x)在區(qū)間a,b上滿足以下條件： （1）在每一個子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多項式； （2） s(x)在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導數(shù)； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n),s(x0)=y0,s(xn)=yn。稱s(x)為三次樣條函數(shù)。 曲線擬合法曲線擬合法 設一組觀測數(shù)據(jù)為 xx0 x1 x2 x3 xnyy

4、0 y1 y2 y3 yn 其中xixj(ij),我們要根據(jù)這一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關系y=f(x)。 若用插值函數(shù)(x)代替函數(shù)關系f(x),要求滿足插值原則 (xi)=f(xi), i=0,1,2,n 由于觀測點和觀測數(shù)據(jù)本身就有誤差,就會使函數(shù)保留這些誤差,而影響逼近函數(shù)的精度。 在實際問題中,往往并不要求近似函數(shù)(x)所表示的曲線通過這些觀測點,而只要求由已知數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=0,1,n)找出x,y之間的依賴關系,使得近似函數(shù)(x)能充分地反映函數(shù)y=f(x)的大致面目,也即與f(x)有最好的擬合(或逼近)。這就是曲線擬合問題。 例如,已知數(shù)據(jù) x0 1 2 3 4 5y1 1.6

5、 2.1 2.4 3.2 3.4我們可以用近似函數(shù)011( )12xaa xx 圖 4.4 因為曲線擬合問題并不要求滿足插值原則 (xi)=yi, i=0,1,2,n 故在節(jié)點x0,x1,x2,xn上(x)與f(x)有誤差 ri=(xi)-yi, i=0,1,2,n 稱ri為用(x)擬合f(x)的偏差。 我們僅對(x)為多項式情形進行討論。 當由實驗提供了大量數(shù)據(jù)時,不能要求擬合函數(shù) 在數(shù)據(jù)點 處的偏差, (i=1,2,m) 嚴格為零,但為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢 ,需對偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即稱為最小二乘原理),(yxiiyxiii)( mimiiyxii

6、1212)(|)(x 最小二乘法的求法yxxxxyxxaxyxaayyaaaaaaiimijjikimijkjminkmiijiijikkmiijinkikkjmiiinnnfxxxy)(,)()(,:)()()()()(:min)(),.,()(.)()(:* 11101101210110002 :020,n)mm若引入記號得可得求偏導數(shù)并令其為零對函數(shù)組數(shù)據(jù)且共有設近似方程為 就是所求的擬合函數(shù)存在唯一解線性無關時當可知可得矩陣則有 niiinnnnnnnnnjkjkxnixxxfffnjfaaaaa0i101010101110101000n0k10 ,10:a)(),.,()(),.()

7、,(,.,.,.,.,.,.,),.,(,最小二乘法的幾種特例)(),.,1 , 0(.n)mm(,.)(:,. 11021122210 xnimxxayxyxyaaaxxxxxxxxxaxaaaiiniiiinninininiiiniinn即可求得擬合函數(shù)由此可得到相應的系數(shù)組數(shù)據(jù)且共有的相應法方程組則以同樣原理即擬合函數(shù)式擬合函數(shù)常為代數(shù)多項見情況作為曲線擬合的一種常即可解得即對于擬合函數(shù)擬合這就是用途最廣的線性時特別的當bayxybaxxxxbayiiiiiim0000200,.,1n. 2例 題 下面舉個例子以說明用最小二乘法解題的步驟。例例 電流通過 2電阻，用伏安法側得的電壓電流如

8、表 I(A)1246810 V(V)1.83.78.212.0 15.8 20.2用最小二乘法處理數(shù)據(jù)。解解 1.確定 V=(I)的形式。 將數(shù)據(jù)點描繪在坐標上 （如下圖） ，可以看出這些點在一條直線的附近，故用線形擬合數(shù)據(jù)，即 2.建立方程組。IaaV10 例 設有一組數(shù)據(jù)表 x1345678910y2781011111098試用二次多項式來擬合這組數(shù)據(jù)。解 首先算出 999999922341111111,iiiiiiiiiiiiiiiixyx yxx yxx 的值分別為53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正則方程組 90+531+3812=76 530+38

9、11+30172=489 3810+30171+253172=3547 解得 0=-1.4597,1=3.6053,2=-0.2676 因此所求的二次多項式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 給出的數(shù)據(jù)和二次多項式表示的曲線見圖4.5。 圖 4.5 最后必須指出,在實際問題中,近似函數(shù)(x)的選取只能憑經(jīng)驗得到。例 (1)加速度與時間的關系是線性關系,可選取 (x)=0+1x (2) 炮彈在空中的高度與時間的關系近似于拋物線,可選取 (x)=0+1x+2x2此外,當(x)不是多項式時,如 (1)冪函數(shù) (x)=axb(2)指數(shù)函數(shù) (x)=aebx(3)對數(shù)函數(shù) (x)=a+blnx 例 求一個經(jīng)驗函數(shù) (x)=aebx (a,b為常數(shù)) 使它能和下面給出的數(shù)據(jù)相擬合。 x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解 對經(jīng)驗公式兩邊取對數(shù)得 ln(x)=lna+bx 令 A=lna,B=b u=ln(x) 則 u=A+