多周期庫存問題

1、多周期庫存冋題是指庫存物資是多次進(jìn)貨，形成進(jìn)貨一消耗一進(jìn)貨一消耗多個周期的庫存控制冋題。本節(jié)將著重說明幾種隨機(jī)型情況下多周期庫存控制策略。(1) (Q,s)庫存控制策略(Q,s)庫存控制策略的庫存量變化如圖1所示。消耗量是隨機(jī)變化的，有時高，有時低，如圖 1中實線所示。消耗量大時，曲線變陡，即庫存在單位時間內(nèi)下降很快，消耗量小時，曲線變緩，即庫存量在單位 時間內(nèi)下降較慢。 名義庫存雖在庫庫存塹圖1 (Q,s)庫存控制策略當(dāng)庫存量下降到訂貨點 s時，要發(fā)出訂貨通知單，進(jìn)行采購以補充消耗了的庫存。因為訂貨量總是 Q,所以名義庫存量上升為 s+Q ,但此時并未到貨，所以庫存貨的實際變化用實線表示，而

2、名義庫存雖的變化 用虛線表示。由采購開始，經(jīng)過供貨廠商備料、運輸?shù)瘸绦颍瑢⒔?jīng)過訂貨提前期L2才能到貨、驗收入庫。此時，在庫庫存量(實線)上升Q,然后又逐漸消耗，庫存量再一次下降，到s點又一次訂貨。如此循環(huán)無窮。由圖1所表示的四個周期可以看到，第三次發(fā)生缺貨。這是因為消耗量D與訂貨提前期L2這兩個隨機(jī)變量在這個周期中增大，不但超過了平均消耗量還超過s值。這說明s值必須滿足訂貨提前期間的平均消耗量外，還要考慮訂貨提前期間消耗量可能發(fā)生的波動量。正確地確定s值是一個十分重要的問題。采用這種庫存控制策略，必須確定兩個庫存控制參數(shù)Q與s。這種庫存控制策略在庫存量下降到s時再進(jìn)行采購或訂貨。這種庫存控制策

3、略的安全庫存量最少，但管理工作量最大。(2) (s,9庫存控制策略(S,s)庫存控制策略實際上是(Q,s)制的變種，只是在訂貨時略有不同。因此，在介紹(S，s)制時，著重說明它與(Q,s)的區(qū)別。(S,s)的庫存量變化特性如圖2所示。由于領(lǐng)料的批量很難預(yù)計，很難在某一次領(lǐng)料后，庫存達(dá)恰好陣為 s,而是必然比s要低。有時因為領(lǐng)料量很多，庫存會比s低很多。這種瞬間下降如圖2中用a表示。如果采取(Q,s)制，每次進(jìn)貨量 Q是常數(shù)，那么，補充訂貨后，名義庫存量會比s+Q低很多。因而用不了多少時候，庫存量又會下降到s處，造成過分頻繁的訂貨。改用 (S,s)后不管庫存量下降到何點，總是發(fā)出訂貨貨單，使名義

4、庫存量恢復(fù)到S。因此，每次訂貨批量是不同，如圖2所示。而(Q,s)制中Q是常量。這種策略要確定S與s兩個參數(shù)。名義庫存量一卜在庫庫存量圖2 （S,9的庫存量變化特性（3）（R, S, 3庫存控制策略前面介紹的（Q,s）與（39屬于連續(xù)監(jiān)控機(jī)制。即天天檢查、及時控制?，F(xiàn)在介紹的 控制，即每隔R檢查，并加以控制。這種控制策略的庫存量變化如圖3所示。（R, S, 3策略屬于間隔圖3 （R, S, S庫存控制策略如圖3,每隔R天檢杳庫存水平，如庫存量高于S點，不必采取措施。如庫存量低于或等于S點，貝U發(fā)出訂貨單，使名義庫存量恢復(fù)到S點。（R, S, S策略與（S,s）策略的不同，僅在于 R天檢查。（R

5、, S, S策略的管理工作量可以大大減少。顯然，這種策略適用于較次要的（如C類物資）。R可以是一周、十天或半月，最多不應(yīng)超過一個月。每隔R天檢查一次，必然會有相當(dāng)多的品種同時低于各自的s,這些品種可以同時發(fā)出訂購申請，因此可以進(jìn)一步減少管理工作量。 訂貨點s的數(shù)量不但要滿足訂貨提前期 L2期間的平均需求量與波動增量，還要考慮R期間的需求量。因為有可能在檢查時庫存量雖在s之上，但已非常接近。檢查后不久，庫存量便低于s,但一直要經(jīng)過 R天第二次檢查時才能發(fā)現(xiàn)，而庫存量已消耗了R天。這時發(fā)出訂貨單，剩余的庫存量還要能滿足訂貨提前期L2期間的消耗。因此，(R, S, s)策略的安全庫存童與平均庫存量比

6、采用(S,s)策略或(Q,s)策略時的庫存量要大。這種策略要計算三個庫存控制參數(shù)：R, S, s。以上介紹了三種隨機(jī)型庫存控制策略。它們稍加變化，便可成為一種新的策略。例如，如(R, S, s)策略每隔R天檢查一次，在庫存量低于 s時補充訂貨。這種策略可以改變?yōu)?(R, S)策略，即每隔R天必定 補充訂貨一次，使名義庫存量補充 S到為止。這種變化要根據(jù)用戶的意圖及物資供應(yīng)的特殊性質(zhì)抉擇。前面已經(jīng)介紹了若干種多周期隨機(jī)型庫存的控制策略，本節(jié)將進(jìn)一步說明這些策略中控制參數(shù)：Q, S,s, R, K等的計算方法。4.2.2訂貨批量Q的確定方法在多周期模型中，經(jīng)濟(jì)訂貨量Q的計算是十分復(fù)雜的。它是訂貨費

7、、存儲費與缺貨損失費的總和期望最小時的訂貨量。為了計算這些費用項的數(shù)學(xué)期望，必須討論消耗量的概率分布規(guī)律，利用概率密度函數(shù) 與分布函數(shù)進(jìn)行較復(fù)雜的運算。實際應(yīng)用中，極大多數(shù)場合都采用確定型模型中的經(jīng)濟(jì)訂貨量Q的計算方法。這時求出的訂貨量Q*是近似最優(yōu)的。因此，多周期隨機(jī)模型中，訂貨批量Q可以用下式計算24AD_Q。式中A 訂貨費，元/次，D 月需求量的均值，r存儲費，元/元*年；C-該品種物資的單rc價。4.2.3訂貨點s的確定方法訂貨點s在四種模型中均出現(xiàn)，但其計算方法并不一致。s的計算在(Q, S)與(S, s)策略中采用一種算法，在(R, S, s)策略模型中，其計算方法又略有過別。下面

8、先介紹前者的計算方法，然后再說明后者計算 的區(qū)別。在(Q, S)與(S, s)模型中，s的意義如下。當(dāng)庫存量下降到s點時，發(fā)出補充訂貨申請。由于聯(lián)系、廠商備料、運輸?shù)男枰截洉r間比訂貨時間滯后L2,稱為訂貨提前期。在訂貨提前期L2期間，需求繼續(xù)發(fā)生。s的數(shù)量要能滿足訂貨提前期間的需求量，盡量不使缺貨出現(xiàn)。由子需求量D與訂貨提前期L2都是隨機(jī)變量，因此，二者的乘積訂貨提前期間需求量DL2也是隨機(jī)變量。由歷史資料可以統(tǒng)計出需求量D的均值為D，標(biāo)準(zhǔn)差為二，訂貨提前期L2的均值為L2，標(biāo)準(zhǔn)差為二l2。于是，可以求得訂貨提前期需求量DL2的均值DL2, DL2標(biāo)準(zhǔn)差、7dl2DL2 =DL2二DL =

9、丸2；叫D2L2s的數(shù)量要滿足訂貨提前期間的需求量，首先要滿足訂貨提前期間需求量的均值DL2，還要滿足訂貨提前期間需求量的波動值二dl2。為滿足這部分波動量而設(shè)置的庫存量稱為安全庫存量，它與訂貨提前期間需求量的標(biāo)準(zhǔn)差二dl2與要求倉庫達(dá)到的服務(wù)水平有關(guān)。因此，s = DL2 ss = DL2 km?式中，s一安全庫存量；K安全系數(shù)，安全系數(shù)大，倉庫的服務(wù)水平就高，即缺貨的可能性降低。這樣確定的s在庫存控制過程中可能出現(xiàn)如圖4所示的幾種情況。在庫存量下降為s點時，發(fā)出訂貨申請。圖a所示情況是：訂貨提前期 L2期問的需求量小于s,不發(fā)生缺貨，庫存未降為 0時，訂貨到達(dá)。 圖b所示的情況是：訂貨提前

10、期L2期間的需求量恰好等于 s，在庫存量降為0時，訂貨到達(dá)，不發(fā)生缺貨。 圖c所示的情況是：訂貨提前期間 L2的需求量大于s，發(fā)生缺貨，K值越大，s越大，圖c這種狀況出現(xiàn)的 機(jī)會減少。圖4訂貨點s的作用圖5 ( R , s , S )訂貨點s的作用(R，S, s)策略模型與(Q，S)與(S, s)策略模型略有不同。每隔R檢查庫存，如庫存量大于s，不必采取措施，如庫存量小于 s，才發(fā)出訂貨。因此，要經(jīng)過R時間，這就可能出現(xiàn)如圖5所示的情況。在第一次檢查庫存量時，庫存量比s多一點，因此，不必采取任何措施。于是又要經(jīng)過R時間才去檢查庫存量。在R時間內(nèi)，發(fā)生了若干消耗，因此，第二次檢查庫存量時，庫存量

11、已遠(yuǎn)低于s，這才發(fā)生了訂貨。由于有訂貨提前期L2,庫存量繼續(xù)消耗，直到進(jìn)貨時，庫存量才得到補充。所以，s必須滿足R+L2期間的需求量 D(R+L2)。s =D(R L2) ss 二 D(R L2) Kd(r l2)=D(R L2) K. D?： (R L?)；：2。式中D，二D，L2，-L2分別為月需求量D和訂貨提前期L2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，二RJ為R+L2時間的標(biāo) 準(zhǔn)差，由于R為常數(shù)，故6 L 。由此可知，(R，S, s)策略的s必然大于(Q，S)與(S, s)策略，而(R，S, s)策略的平均庫存量與安全庫 存量也必然大于(Q, S)與(S, s)策略的平均庫存量與安全庫存量。這說明，每隔 R

12、時間檢查，管理工作量 少得多，但庫存量要提高，才能保持同樣的安全系數(shù)。424訂貨后名義庫存量 S的確定方法(S, s)策略與(R, S, s)策略模型中都有參數(shù) S。為了求S,先求出Q,用前而介紹的方法求得 s,于是 S =Q +s。必須說明，在(S, s)策略與(R，S，s)策略模型中，訂貨量都不是Q，而是一個不確定數(shù)，其數(shù)量每次訂貨都不同，要能使名義庫存量恢復(fù)到So4.2.5檢查間隔期R的確定方法檢查間隔期R是人為確定的，可以是一周、十天或半月，最多不應(yīng)超過一個月。物資的單位時間消耗 量越低，單價越低，越不重要，其檢查間隔期R可以越長。R僅在(R, S, s)策略模型中出現(xiàn)，可以如下估算，

13、S sR =(1/ 41/ 2)-D求得的R取整成一周、十天或半月。4.2.6安全系數(shù)K的確定方法為了求安全庫存量ss,都要引用安全系數(shù) K。在這些計算式中，標(biāo)準(zhǔn)差在特定物資條件下是常數(shù)，那 末，K越大，安全庫存量ss就越大，越不容易缺貨。這就說明，不愿意缺貨，不愿支付缺貨損失費，就應(yīng) 該加大K。但是，K大，ss大，卻使庫存量加大，于是增加了存儲費。因此，無限增大安全系數(shù)也是不允 許的。確定合理的安全系數(shù)K，既不使安全庫存量太大和存儲費過高，也不使缺貨次數(shù)太多和缺貨損失費過高。根據(jù)主管人員認(rèn)可的缺貨概率來確認(rèn)安全系數(shù)K。所謂服務(wù)水平，即倉庫能滿足顧客價要的百分率。服務(wù)水平十缺貨概率=1。服務(wù)水

14、平訂得越高，安全系數(shù)就越大，也就意味著要支付較多的存儲費用，將保 持較高的庫存占用金額，安全系數(shù)K常根據(jù)服務(wù)水平來確定。需求滿足率Pi,即顧客需求100次中，能及時得到滿足的次數(shù)。Pi與滿足的數(shù)量無直接關(guān)系。缺貨間隔期Ts,即每隔多少月發(fā)生缺貨一次。Ts比Pi直觀，易于為管理人員理解與接受。事實上，Ts與Pi是等價的。如果已知訂貨間隔期T,或者已由月需求量均值 D與訂貨量Q求得T=Q/B，那末，1_r =T/Ts 或者 1 P =Q/(DTS)數(shù)量需求滿足率P2,即顧客需求的總數(shù)中，能及得到滿足的數(shù)量百分比。P2與滿足的次數(shù)無直接的關(guān)系。本節(jié)的問題是根據(jù)主管人員確定的服務(wù)水平來確定安全系K值。

15、因為顧客的需求量是一個隨機(jī)變量，而且不同物資的需求量有不同的分布性質(zhì)，因此，在根據(jù)既定服務(wù)水平來確定安全系數(shù)K時，與物資的需求量的隨機(jī)分布特性密切相關(guān)。下面的計算中，將涉及物資需求量的概率函數(shù)、均值與標(biāo)準(zhǔn)差等。本節(jié)將首先討論根據(jù)三種服務(wù)水平來確定安全系數(shù)K的原理，然后討論幾種概率密度函數(shù)條件下， 如何由三種服務(wù)水平具體計算安全系數(shù) K。下面將分別討論由三種服務(wù)水平來確定安全系數(shù)K的原理。為此，定義隨機(jī)變量x為某間齡期間的需求量。 其概率密度函數(shù)為f(x),分布函數(shù)為P(x),均值為x ,標(biāo)準(zhǔn)差為匚x。x是某間隔時間的需求量，它既可以表示備運期需求量DL ,也可以表示記帳間隔期與各運期間需求D(

16、R+L2)或兩次到貨期間需求量 D(T+L1)。(1) 用第一種服務(wù)水平 Pi確定K第一種服務(wù)水平Pi,即次數(shù)需求滿足率，Pi越大，服務(wù)水平越高。當(dāng) Pi=1時，全部需求求得到滿足，1-Pi為次數(shù)缺貨概率。用圖6來說明Pi與K的關(guān)系。圖6中曲線分別表示該種物資在某間隔期間需求量x的概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)P(x)。x為均值，二為標(biāo)準(zhǔn)差，取訂貨點 s=x K；z，其中K；z為安全庫存量SS。橫坐標(biāo)為需求量x,當(dāng)xs時，需求得不到滿足，發(fā)生缺貨。因此，f(x)圍成的面積中，陰影部分代表缺貨概率 i-Pi ； S處的 P(X)=P(xW S)=Pi，而 P(xS)=i-Pio因此，Pi與K之間

17、具有如下關(guān)系qQP(X s) =f(x)dx=i -R主管人員根據(jù)該項物資的 ABC分級及重要性，憑經(jīng)驗確定服務(wù)水平 Pi,代入上式，由于f(x)，x z 都是已知的，因此可以求得 Ko(2) 用缺貨間隔期Ts確定K所謂缺貨隔期Ts，是指兩次缺貨之間的時間期望值。即每隔Ts時間，平均將發(fā)生一次缺貨。Ts與Pi可以互換：設(shè)該品種的月需求量均值為D，每次訂貨批量為 Q，則年進(jìn)貨次數(shù)為i2D/Q。發(fā)生一次缺貨平均間隔時間為Ts月，那末，每年將發(fā)生i2/Ts次缺貨。因此，P上叵亠i Ts QDTs只要主管人員根據(jù)該品種物資的重要程度規(guī)定了該物資允許缺貨間隔期Ts，就可以換算得到Pi，再用Pi求K?？梢?，Ts與Pi沒有根本的區(qū)別。不過，Ts更直觀，易被領(lǐng)導(dǎo)機(jī)關(guān)理解與接受。(3) 用第二種服務(wù)水平P2確定KPi是次數(shù)需求滿足率，只能指出i00次訂貨中發(fā)生缺貨的次數(shù)，并不能給出缺貨的數(shù)量。如果要控制缺貨數(shù)量，就要用第二種服務(wù)水平P2來求K。P2是數(shù)量需求滿足率。如果用戶的全年需求量為i00件，主管人員要求95件能及時滿足，則P2=0.95。而缺貨率為i-P2=0.05。用圖7說明P2與K的關(guān)系。圖7中f