人教A版高中數(shù)學選修4-5 1.1不等式的基本性質

1、第一講第一講 不等式和不等式和 絕對值不等式絕對值不等式必修必修 45 45 不等式選講不等式選講第一節(jié)第一節(jié). . 不等式的基本性質不等式的基本性質最低限速60km最低限50km/hv50km/h最高限速120km小汽車限速范圍60kmv120km/h橫看成嶺側成峰遠近高低各不同雷聲大，雨點小雷聲大，雨點小 撿了芝麻，丟了西瓜撿了芝麻，丟了西瓜 道高一尺，魔高一丈道高一尺，魔高一丈 三個臭皮匠，抵過一個諸葛亮三個臭皮匠，抵過一個諸葛亮你你能發(fā)現(xiàn)下列成語、諺語中反映的不等關系嗎能發(fā)現(xiàn)下列成語、諺語中反映的不等關系嗎? ? 我們生活中的到處都有不等關系我們生活中的到處都有不等關系說一說說一說 在

2、數(shù)學中我們如何表示不等關系在數(shù)學中我們如何表示不等關系? 我們用數(shù)學符號我們用數(shù)學符號“”“”，“”，“” a+1-(1) a+33a-(2) 3x+12x+6-(3) xa-(4)同向不等式同向不等式：在兩個不等式中在兩個不等式中,如果每一個的左邊都大于右邊如果每一個的左邊都大于右邊, 或每一個的左邊都小于右邊（不等號的方向相同）或每一個的左邊都小于右邊（不等號的方向相同）.異向不等式：異向不等式：在兩個不等式中在兩個不等式中,如果一個不等式的左邊大于右如果一個不等式的左邊大于右 邊邊,而另一個的左邊小于右邊（不等號的方向相反）而另一個的左邊小于右邊（不等號的方向相反）.同解不等式：同解不等

3、式：形式不同但解相同的不等式。形式不同但解相同的不等式。其它重要概念：其它重要概念： 絕對不等式、絕對值不等式、條件不等式絕對不等式、絕對值不等式、條件不等式、矛盾不等式、矛盾不等式（一）情景導入（一）情景導入 現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的相等則是局部的、相對的 “自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢方的呢?”、 “為什么糖水加糖甜更甜呢為什么糖水加糖甜更甜呢?” （二）合作探究（二）合作探究 研究不等式的出發(fā)點是實數(shù)的大小關系。研究不等式的出發(fā)點是實數(shù)的大小關系。數(shù)軸上

4、的點與實數(shù)一一對應，因此可以利用數(shù)數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，因此可以利用數(shù)軸上點的左右位置關系來規(guī)定實數(shù)的大?。狠S上點的左右位置關系來規(guī)定實數(shù)的大?。?.實數(shù)在數(shù)軸上的性質實數(shù)在數(shù)軸上的性質:0 x 設設a,b是兩個實數(shù)是兩個實數(shù),它們在數(shù)軸上所對應的點分別是它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A,B,那么那么,當點當點A在點在點B的左邊時的左邊時,ab.ababx1.實數(shù)在數(shù)軸上的性質實數(shù)在數(shù)軸上的性質: 設設a,b是兩個實數(shù)是兩個實數(shù),它們在數(shù)軸上所對應的點分別是它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A,B,那么那么,當點當點A在點在點B的左邊時的左邊時,ab.ababx用數(shù)學式子表示為用數(shù)學式子表示為:

5、關于關于a,b的大小關系的大小關系,有以下有以下基本事實基本事實:如果如果ab,那么那么a-b是正數(shù)是正數(shù);如果如果a=b,那么那么a-b等于零等于零;如果如果ab,那么那么a-b是負是負數(shù)數(shù);反過來也對反過來也對.0baba0baba0baba 上式中的左邊部分反映的是實數(shù)的大小順序，上式中的左邊部分反映的是實數(shù)的大小順序，而右邊部分則是實數(shù)的運算性質，合起來就成而右邊部分則是實數(shù)的運算性質，合起來就成為實數(shù)的大小順序與運算性質之間的關系。這為實數(shù)的大小順序與運算性質之間的關系。這一性質不僅可以用來比較兩個實數(shù)的大小，而一性質不僅可以用來比較兩個實數(shù)的大小，而且是推導不等式的性質、不等式的證

6、明、解不且是推導不等式的性質、不等式的證明、解不等式的主要依據(jù)。等式的主要依據(jù)。0baba0baba0baba思考思考 從上述事實出發(fā)，你認為可以用什么方法從上述事實出發(fā)，你認為可以用什么方法比較兩個實數(shù)的大?。勘容^兩個實數(shù)的大?。?要比較兩個實數(shù)要比較兩個實數(shù)a與與b的大小，可以轉化為比的大小，可以轉化為比較較它們的差它們的差a - - b 與與0的大小。的大小。在這里，在這里，0為為實數(shù)實數(shù)比較大小提供了比較大小提供了“標桿標桿”。 要比較兩個實數(shù)要比較兩個實數(shù)a與與b的大小，可以轉化為比的大小，可以轉化為比較較它們的差它們的差a - - b 與與0的大小。的大小。在這里，在這里，0為為實

7、數(shù)實數(shù)比較大小提供了比較大小提供了“標桿標桿”。判斷兩個實數(shù)判斷兩個實數(shù)a、b的大小，歸結為判斷它們的大小，歸結為判斷它們 的差的差a - -b的符號（至于差本身是多少，在此的符號（至于差本身是多少，在此 無關緊要）無關緊要）為了判定差式的符號，常常要對差式進行為了判定差式的符號，常常要對差式進行因因 式分解式分解，配方配方，通分通分，再利用平方式、，再利用平方式、絕對絕對 值值、立方因子立方因子a2 ab +b2 均為非負均為非負的性質來的性質來 判斷判斷這是本章的基礎，是證明不等式與解不等式這是本章的基礎，是證明不等式與解不等式 的重要依據(jù)的重要依據(jù)說明：說明：例例1.1.比較比較(x+3

8、)(x+7)和和(x+4)(x+6)的大小的大小.解：解：(x+3)(x+7) (x+4)(x+6)作差作差變形變形定號定號結論結論= (x2+10 x+21) (x2+10 x+24)= 3 0(x+3)(x+7) 0，若若x 1 那么那么 (x1)2 0則則 2x4+1 2x3+x2 ，若若 x =1 那么那么(x1)2 = 0 則則 2x4+1 = 2x3+x2，試比較試比較 2x4 + 1 和和 2x3 + x2 的大小的大小.解：解：練習練習 (2x4+1) (2x3+x2 ) = = (x1) ( 2x3 x1) = (x1)(2x32x2) + (2x22x) + (x1) =

9、(x1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x1)2 2 (x + 1/2)2 + 1/2.xR 2 (x + 1/2)2 + 1/2 0,若若x 1 那么那么 (x1)2 0則則 2x4+1 2x3+x2 ,若若 x =1 那么那么(x1)2 = 0 則則 2x4+1 = 2x3+x2,綜上所述綜上所述: 若若 x = 1 時時 2x4+1 = 2x3+x2 ; 若若 x 1 時時 2x4+1 2x3+x2. 作差作差變變形形定定號號結結論論本題中的技能本題中的技能： 分組組合；添項、拆項；配方法分組組合；添項、拆項；配方法。求差比較求差比較大小的一般步驟：大小的一般步驟：作差；變形；定

10、號；作差；變形；定號； 下結論。下結論。常見的變形方法是：常見的變形方法是：因式分解、配方、通分、有理化法等；因式分解、配方、通分、有理化法等；變形的結果是常數(shù)、若干個因式的積或變形的結果是常數(shù)、若干個因式的積或完全平方式等完全平方式等. 2、不等式的基本性質：思考？思考？類比等式的基本性質，不等式有哪些基本性質呢？類比等式的基本性質，不等式有哪些基本性質呢？性質性質1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即性質性質2:如果如果ab,bc,那么那么ac.即即性質性質3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即abbacacbba ,cbcaba傳遞性傳遞性對稱性對稱性同向可加性同向可加

11、性推論推論: :如果如果a b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)性質性質1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即性質性質2:如果如果ab,bc,那么那么ac.即即性質性質3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即abbacacbba ,cbcababcaccbabcaccba0,0,性質性質4: 如果如果ab,c0,那么那么acbc. 如果如果ab,c0,那么那么ac b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)推論推論: :如果如果a b0,0,c d0, 0, 那么那么ac bd. .性質性

12、質5 5: :如果如果a b 0, , 那么那么an bn,( ,(nN, ,n2). ).性質性質6 6: :如果如果a b 0, , 那么那么 ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 乘法法則乘法法則乘方法則乘方法則開方法則開方法則(P.4)思考思考 上述結論是用類比的方法得到的，它們一上述結論是用類比的方法得到的，它們一定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？證明：證明：性質性質1:如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即abba對稱性對稱性a b同理可證同理可證ab 0(ab )0ba 0b a ;a b .b a abba性質性質2:如果

13、如果ab,bc,那么那么ac.即即cacbba ,傳遞性傳遞性性質性質3:如果如果ab,那么那么a+cb+c.即即cbcaba同向可加性同向可加性推論推論: :如果如果a b, ,c d, , 那么那么a+ +c b+ +d. .加法法則加法法則(P.4)bcaccbabcaccba0,0,性質性質4: 如果如果ab,c0,那么那么acbc. 如果如果ab,c0,那么那么ac b0,0,c d0, 0, 那么那么ac bd. .乘法法則乘法法則(P.4)證明：證明：即即 a b . 性質性質6 6: :如果如果a b 0, , 那么那么 ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 開方法則開方

14、法則(反證法）反證法）假設假設 (nN，n2)，則由性質則由性質5得得nnba nnnnba)()( ,這與已知條件這與已知條件ab矛盾，矛盾，假設不成立，假設不成立， ,( ,(nN, ,n2). ).nnba 1. .注意公式成立的條件，要特別注意注意公式成立的條件，要特別注意“符號問題符號問題”;2. .要會用自然語言描述上述基本性質；要會用自然語言描述上述基本性質；3. .上述基本性質是我們處理不等式問題的理論基礎上述基本性質是我們處理不等式問題的理論基礎注意：注意：練習：練習：1已知已知 ，求證：，求證： 2在三角形在三角形ABC中，求中，求A- -B的取值范圍的取值范圍dcba ,dbca（，）例例2 2已知已知ab0，cd0，求證：，求證： .證明：證明：cbda注意：證明不等式時要依據(jù)不等式的性質注意：證明不等式時要依據(jù)不等式的性質 進行，不能自己進行，不能自己“制造制造”性質來做性質來做(P.4)例例3 3則則 A、B 、C 、D 的大小關系是（的大小關系是（ ） A、ABCD; B、DABC; C、DBAC; D、BDAC解：解：本題采用了賦值法，使問題得以簡化、明朗本題采用了賦值法，使問題得以簡化、明朗賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法它將復雜問題簡單化，是我們常