變分法及其在最優(yōu)控制中的應用

1、一、泛函的定義 如果變量J對于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù)x(t)，都有一個 與之對應，那么就稱變量J為依賴于函數(shù)x(t)的泛函，記為：J=Jx(t)。確定的值說明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解為“函數(shù)的函數(shù)”。例1.1.1 函數(shù)的定積分10)( dttxJ是泛函。因為變量J的值是由函數(shù)的選取而確定的。例1.1.2 在平面上連接給定兩點A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲線的弧長J是一個泛函，如圖1-1所示。 當曲線方程x=x(t)（滿足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）給定后，可算出它在A、B兩點間的弧長為：A(ta

2、,xa)x(t)B(tb,xb)xot圖11dtdtdxJbatt21例1.1.3 函數(shù)的不定積分 不是泛函。dxyt0)( 泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個函數(shù)的泛函的情況，例如：10)()(dttytxJ從例1.1.2可以知道，連接A、B兩點的曲線之弧長的泛函，其被積函數(shù) 是未知函數(shù)導數(shù)的函數(shù)。在一般情況下，被積函數(shù)是自變量t，未知函數(shù)x(t)及其導數(shù) 的函數(shù)。所以最簡單的一類泛函可表示為： 求函數(shù)的極值時，微分或?qū)?shù)起著重要的作用。求泛函的極值時，變分起著類似的作用。我們將求泛函的極值問題稱為變分問題，其相應的方法稱為變分法。21x )(tx dtttxtxLtxJftt0),(),(

3、)()()()(0txtxtx（1.1.1）如圖1-2所示。二、泛函宗量的變分 泛函Jx(t)的宗量是函數(shù)x(t)，其變分是指在同一函數(shù)類中的兩個函數(shù)間的差：x(t)xot圖12x0(t)x(t)t1t2x(t)xot圖13x0(t)t1t2)(tx )(0tx )()(, )()(00txtxtxtxx(t)xot圖 1 4x0(t)t1t2注意：一階相近的兩個函數(shù)，必然是零階相近，反之不成立。)()(, )()(, )()()(0)(00txtxtxtxtxtxkk)()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(, )()(, )()(max)(),()(0)(000txtxt

4、xtxtxtxtxtxdkkbta顯然，式（1.1.5）定量地表示兩個函數(shù)之間的零階相近度，而式（1.1.6）定量地表示兩個函數(shù)之間的k階相近度。 連續(xù)泛函如果滿足下列條件： （1） Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t) （2） Jcx(t)=c Jx(t)其中，c是任意常數(shù)，就稱為線性泛函。例如21)()(sin)()(ttdttxtttxtxJ21)()()()()(ttdttxtqtxtptxJ2)()(ttxtxJ都滿足上述兩個條件，故均為線性泛函。五、泛函的變分如果連續(xù)泛函Jx(t)的增量可以表示為：（泰勒級數(shù)）)()()()(txJtxtxJtxJ)(),()

5、(),(txtxrtxtxL其中，Lx(t)，x(t)是關于x(t)的線性連續(xù)泛函，而rx(t)，x(t)是關于x(t)的高階無窮小。 Lx(t)，x(t)稱為泛函的變分，記為（1.1.9）)(),(txtxLJ（1.1.10）也就是說，泛函的變分是泛函增量的線性主部。當一個泛函具有變分時，即泛函的增量可以用式（1.1.9）來表示時，稱該泛函是可微的。例如，泛函dttxtxJ)()(102的增量為：101022)()()(dttxdttxtxJ102)()()(2dttxtxtx10102)()()(2dttxdttxtx于是，其變分為：10)()(2dttxtxJ可以證明，泛函的變分是唯一的

6、。因為，若泛函的變分不是唯一的，則泛函的增量可以寫為：)(),()(),()(),()(),(2211txtxrtxtxLtxtxrtxtxLJ)(),()(),()(),(21txtxLtxtxLtxtxL引理1.1.1 泛函Jx(t)的變分為：0)()(txtxJJ證明：如上所述，泛函Jx(t)的增量為：)()()(txJtxtxJJ)(),()(),(txtxrtxtxL其中，（0 1）是一個參變量。由于Lx(t)， x(t)是關于 x(t)的線性連續(xù)泛函，根據(jù)線性泛函的性質(zhì)（2），有（1.1.11）)(),()(),(txtxLtxtxL又由于rx(t)， x(t)是關于 x(t)的高

7、階無窮小，所以0)()()(),(lim)(),(lim00txtxtxtxrtxtxr利用上述兩點結論，便得JtxtxJ00lim)()(根據(jù)偏微分的定義)()()(lim0txJtxtxJ)(),()(),(lim0txtxrtxtxL)(),(lim)(),(lim00txtxrtxtxL)(),(lim0txtxL)(),(txtxL因為泛函Jx(t)的變分為：)(),(txtxLJ所以0)()(txtxJJQED0)()(txtxJJ0102)()(dttxtxdttxtx0102)()(dttxtxtx010)()()(210)()(2dttxtx例1.1.4 求泛函 的變分。10

8、2)( dttx根據(jù)式（1.1.11），該泛函的變分為：0)()(txtxJJ例1.1.5 求泛函 的變分 fttdtttxtxLJ0),(),(根據(jù)式（1.1.11），所求泛函的變分為：00),()(),()(fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(),()(dttxtxtxttxtxtxtxLtxtxtxttxtxtxtxLftt0)()()(),()(),()()()()(),()(),()(0fttdttxtxttxtxLtxtxttxtxL0)()(),(),()()(),(),(若設 222)()(),(),(ttxtxttxtxL則dttxtxt

9、xtxJftt0)()()()(2六、泛函的極值 如果泛函Jx(t)在函數(shù)空間中點x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：0)()(0txJtxJJ就稱泛函Jx(t)在點x0(t)處達到極小值；如果泛函Jx(t)在函數(shù)空間中點x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：0)()(0txJtxJJ就稱泛函Jx(t)在點x0(t)處達到極大值； x0(t)的鄰域包含滿足條件： 的所有點x(t)的球（即以x0(t) 為圓心，以為半徑的球）。)(),(0txtxd) )()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(0txtx注意：所采用的函數(shù)間的距離的定義的不同，點 x0(t)的鄰域內(nèi)所包含的函數(shù)也不同。

10、 若強極值若) )()(, )()(max)(),(000txtxtxtxtxtxdbta)()()()(00txtxtxtx弱極值 顯然，如果泛函Jx(t)在點x0(t)處達到強極值，那么它在點x0(t)處也一定達到弱極值。反之不成立。定理1.1.1（必要條件）（必要條件） 若泛函Jx(t)是連續(xù)可微的，并且在點x0(t)處達到極值，則泛函在點x0(t)處的變分等于零，即0)(),(0txtxJ（1.1.12）證明： 對于任意給定的x(t)，Jx0(t)+ x(t)既是函數(shù)x(t)的泛函，又是變量的函數(shù)。 泛函Jx0(t)+ x(t)在x0(t)處達到極值，也可看成是函數(shù)Jx0(t)+ x(

11、t)在 =0處達到極值，所以函數(shù)Jx0(t)+ x(t)對變量的偏導數(shù)在 =0處應等于零，即0)()(00txtxJ而由式（1.1.11）有000)()()(),(txtxJtxtxJ比較上面兩式，又考慮x(t)是任意給定的，所以，0)(),(0txtxJQED 從定理1.1.1的推證中可見，泛函達到強極值與弱極值的必要條件是相同的。應當指出：本節(jié)所討論的定義、引理和定理，稍加變動就可以應用于含有多個未知函數(shù)的泛函：Jx1(t)， x2(t)， xn(t) 最優(yōu)控制問題中，根據(jù)性能指標的類型（積分型性能指標、終值型性能指標、復合型性能指標）的不同，分別對應了古典變分法中的三類基本問題。fttd

12、tttxtxLtxJ0),(),()(),()(ffttxtxJfttffdtttxtxLttxtxJ0),(),(),()(固定端點的Lagrange問題問題描述：假定點A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要尋求的泛函（1.2.1）的極值曲線x(t)的兩個固定端點，如圖1-5所示，其坐標為：ffxtxxtx)()(00（1.2.4）現(xiàn)在的問題是：從滿足邊界條件（1.2.4）的二階可微的函數(shù)中，選擇使泛函（1.2.1）達到極小值的函數(shù)x(t)。 解： 設x*(t)是使泛函（1.2.1）達到極小值且滿足邊界條件（1.2.4）的極值條件。現(xiàn)用)()(*)(txtxtx表示滿足邊界條件（1.2.4

13、）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線。其中（1.2.5）x(t)是泛函宗量x(t)的變分，(01)是一參變量。為使x(t)是滿足邊界條件（1.2.4）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線， x(t)應具有連續(xù)導數(shù)且滿足條件： x(t0)= x(tf)=0 (1.2.6)于是，由式（1.2.5）得到)()(*)(txtxtx（1.2.7） 由于x*(t)是極值曲線，所以泛函（1.2.1）在極值曲線x*(t)上的變分等于零（定理1.1.1），即0J由引理1.1.1知，泛函的變分為0)()(*txtxJJ（1.2.8）（1.2.9）將式（1.2.1）代入式（1.2.9），得0)()(*txtxJJ00),()

14、(*),()(*fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(*),()(*fttdttxtxttxtxLtxtxttxtxL0)()(),(*),(*)()(),(*),(*xLxLfttxxdttxLtxL0)()(1.2.10) 對式（1.2.10）右端第二項進行分部積分dttxLdtdtxLdttxLxttttxttxfff)()()()(000（1.2.12）將式（1.2.11）代入式（1.2.10），并考慮式（1.2.8）得ffttttxxxtxLdttxLdtdL000)()()(利用條件（1.2.6），則上式變?yōu)椋?.2.13）fttxxdttxLd

15、tdL00)()(（1.2.11）考慮到泛函宗量的變分x(t)是任意的函數(shù)，不妨選擇xxLdtdLtwtx)()(（1.2.14）其中w(t)是任一滿足下列條件的函數(shù)：)(, 0)(020為某一函數(shù)ctttctttttwff將式（1.2.14）代入式（1.2.13），可得0)(20dtLdtdLtwfttxx由上式可見，一個非負的函數(shù)的定積分為零，只能是被積函數(shù)恒等于零，因此有0 xxLdtdL（1.2.15）將上式左端第二項展開，可得0 xxxxt xxLxLxLL （1.2.16）歐拉(Euler)方程歐拉方程式中2222,xLLxxLLxtLLxxxxt x 若 時，歐拉方程是一個二階微

16、分方程。0 xxL 定理1.2.1 若給定曲線x(t)的始端x(t0)= x0和終端x(tf)= xf，則泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(達到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程0 xxLdtdL其中x(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)， 則至少應是二次連續(xù)可微的。),(),(ttxtxLx ),(txLL ),(txLL),(xxLLcLxLxxxxxxxxxLxxLxLxLxLxLxLdtd 2)(0)(xxxxxLxLxLx 式（1.2.16）cLxLxx xtxtxL),(),( 對于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不過是歐拉方程組（即向量歐拉方程）。定理1.2.2 在

17、n維函數(shù)空間中，若極值曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和終端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是給定的，則泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(達到極值的必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程0XXLdtdL其中X(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)，而 則至少應是二次連續(xù)可微的。),(),(ttXtXL（1.2.18）例1.2.1 求泛函 滿足邊界條件 的極值函數(shù)。2022212121)2()(),(dtxxxxtxtxJ1)2(, 0)0(, 1)2(, 0)0(2211xxxx解：由式（1.

18、2.18）得：0022211211xxxxLdtdLxx 0022122122xxxxLdtdLxx )4(11xx 其特征方程為：014s特征根為：js, 1從而得tctcececxtctcececxttttcossincossin4321243211由給定的邊界條件得1, 03421cccc于是得極值函數(shù)：ttxttxsin)(sin)(*2*1可以利用MATLAB符號工具箱求解，求解過程如下： syms x1 x2；s=dsolve(D2x1-x2=0,D2x2-x1=0,x1(0)=0,x1(pi/2)=1,x2(0)=0, x2(pi/2)=-1,t)；x1=s.x1x2=s.x2運

19、行結果如下:x1 =sin(t)x1 =-sin(t)例1.2.2 最速降線(又稱捷線)問題 所謂最速降線問題是:設在豎直平面內(nèi)有兩點A和B，它們不在同一條鉛垂線上，現(xiàn)有一質(zhì)點受重力的作用自較高的A點向較低的B點滑動，如果不考慮各種阻力的影響，問應取怎樣的路徑，才能使所經(jīng)歷的時間最短？解：在A、B兩點所在的豎直平面內(nèi)選擇 一坐標系，如圖16所示。 A點為坐標原點 ，水平線為x軸，鉛垂線為y軸。設質(zhì)點的初速度為零，則由力學的知識可知，質(zhì)點在重力的作用下，不考慮各種阻力的影響，從A點向B點下滑的速度的大小為gydtdl2（1.2.19）xoyA(0,0)B(xf,yf)dxdydl圖16由圖16得

20、dxydydxdl2221)()(（1.2.20）將式（1.2.20)代入式（1.2.19）中，并變換，得dxgyydt212對上式兩邊進行積分，可得質(zhì)點自點A(0，0)滑動到點B(xf，yf)所需的時間為dxgyyxytfx0221)(（1.2.21） 設y=y(x)是連接點A(0，0)和點B(xf，yf)的任一光滑曲線,則最速降線問題的數(shù)學提法是:在XOY平面上確定一條滿足邊界條件ffyxyy)(, 0)0(（1.2.22）的極值曲線y=y(x)，使泛函dxgyyxyJfx0221)(（1.2.23）達到極小值。這時被積函數(shù)為：gyyL212不顯含自變量x，由(1.2.17)知，它的首次積

21、分為cygyygyyLyLy)1 (221222化簡上式得212121,1gccycy這種方程宜于利用參數(shù)法求解，為此，令ctgy 于是，)2cos1 (2sin112121ccctgcy又由dcdcctgdcydydx)2cos1 (sin2cossin21211對上式積分，得2121)2sin2(2)22sin(ccccx由邊界條件y(0)知，c2=0，于是)2cos1 (2)2sin2(211cycx令2,211cr最后得)cos1 ()sin(ryrx 這是圓滾線的參數(shù)方程。式中r是滾動圓半徑，其值由另一邊界條件y(xf)=yf確定。所以，最速降線是一條圓滾線。當極值曲線x*(t)的端

22、點變化時，要使泛函 達到極小值， x*(t)首先應當滿足歐拉方程：fttttxtxLtxJ0),(),()(0 xxLdtdL若端點固定,可以利用端點條件:ffxtxxtx)()(00確定歐拉方程中的兩個待定的積分常數(shù)。問題：若端點可變，如何確定這兩個積分常數(shù)？橫截條件推導過程問題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的，而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線)()(ffttx（1.3.1）變動，如圖17所示。現(xiàn)在的問題是需要確定一條從給定的點A(t0，x0)到給定的曲線(1.3.1)上的某一點B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲線x(t) ，使得泛函fttttxtxLtxJ0),

23、(),()(達到極小值。（1.3.2）txA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t)(ft圖17解：設x*(t)是泛函（1.3.2）的極值曲線。 x*(t)的鄰域曲線可表示為：)()(*)()()(*)(txtxtxtxtxtx（1.3.3）（1.3.4）由圖1-7可見，每一條鄰域曲線x(t)都對應一個終端時刻tf ，設極值曲線x*(t)所對應的終端時刻為tf *，則鄰域曲線x(t)所對應的終端時刻tf可以表示為：fffdttt*（1.3.5）將式（1.3.3）（1.3.5）代入式（1.3.2），得ffdtttdtttxtxtxtxLJ*0),()(),()(*0),()(),()

24、(*fttdtttxtxtxtxLfffdtttdtttxtxtxtxL*),()(),()(*（1.3.6）根據(jù)泛函達到極值的必要條件0)()(0txtxJJ則有：0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL0),()(),()(0*fffdtttdtttxtxtxtxL（1.3.7）式（1.3.7）左邊第一項相當于tf固定時的泛函的變分，按照上一節(jié)推導的結果可得0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL*0*0)()()(ffttttxxxtxLdttxLdtdL（1.3.8）式（1.3.7）左邊第二項先利用中值定理，然后求導，則得fttdtttdtttxtxLd

25、tttxtxtxtxLffff*),(),(),()(),()(*0*（1.3.9）將式（1.3.8）和式（1.3.9）代入式（1.3.7），得0),(),()()()(*0*0*fttttttxxxdtttxtxLtxLdttxLdtdLfff考慮到歐拉方程和始端固定0)(, 00txLdtdLxx所以0),(),()(*fttfttxdtttxtxLtxLff（1.3.10）若x(t*f)與dtf互不相關，則由上式得00ffttttxLL（1.3.11）但是，終端點沿曲線（1.3.1）變動，所以x(t*f)與dtf相關。為了進一步簡化式（1.3.10），應當求出x(t*f)與dtf之間的關

26、系。 根據(jù)終端約束條件（1.3.1），應有)()()(*ffffffdttdttxdttx將上式對取偏導數(shù)，并令=0，利用式（1.3.4），整理得fffffffffdttxttxdtttxdttx)()()()()()(*將上式代入式（1.3.10），可得0)(*fttxdtLxLf由于dtf是任意的，所以0)(*fttxLxL（1.3.12）橫截條件定理1.3.1 若曲線x(t)由一給定的點(t0，x0)到給定的曲線x(tf)=(tf)上的某一點(tf，xf)，則泛函fttttxtxLtxJ0),(),()(達到極值的必要條件是， x(t)滿足歐拉方程0 xxLdtdL和橫截條件0)(*ft

27、txLxL其中x(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)， 則至少應是二次連續(xù)可微的，而(t) 則應有連續(xù)的一階導數(shù)。),(),(ttxtxL若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線)()(00ttx(1.3.13)變動，則同樣可以推導出始端的橫截條件0)(*0ttxLxL(1.3.14) 根據(jù)定理1.3.1和式（1.3.14），可得到端點可變時，Lagrange問題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件：(1)始端、終端可變，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，則橫截條件為：0)(*0ttxLxL0)(*fttxLxL(2) 當t0、 tf 可變，而x(t0) 與x(tf)固定時，則橫截條件為：, 0

28、*0ttxLxL0*fttxLxL(3)當t0、 tf 固定，而x(t0) 與x(tf)可變時，即始端與終端分別在t=t0、t=tf上滑動，則橫截條件為：0*0ttxL0*fttxL定理1.3.1和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣到n維函數(shù)向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。定理1.3.2 在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而終端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可變的，且在曲面X(tf)=(tf)上變動，則泛函fttdtttXt

29、XLtXJ0),(),()(達到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程0XXLdtdL其中X(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)，而 則至少應是二次連續(xù)可微的，而(t)=1(t)， 2(t)， n(t)T則應有連續(xù)的一階導數(shù)。),(),(ttXtXL和橫截條件0)(*fttXTLXL 若曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而是可變的，并在給定的曲面)()(00ttX上變動，其中 ，則同樣可以推導出始端的橫截條件為： Tntttt)(,),(),()(0020100)(*0ttXLXL例1.3.1 求t-x平面上由給定A(0,1)至給定直線x=2t的弧長最短的曲線方程

30、。o1212txA(0,1)dsx*(t)圖18解：由圖18，弧長dtxdxdtds2221)()(根據(jù)題意，目標泛函應選為：dtxJft021這是一個始端固定，終端可變的泛函的變分問題。由于泛函的被積函數(shù) 中不顯含x(t)，所以Euler方程為：21xL2112221101ctcxcccxcxxxxdtd由初始條件x(0)=1，得c2=1，從而有11tcx由橫截條件（1.3.12），得01)1(122xxxx經(jīng)整理得 ，所以c1=1。最優(yōu)軌線方程為：1x 1)(* ttx最優(yōu)軌線與給定直線垂直。泛函二階變分推導過程： 給定泛函為其一階變分為fttdtttxtxLtxJ0),(),()(0),

31、()(),()(ttxtxtxtxJJdttxtxttxtxLtxtxttxtxLdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLffftttttt000)()(),(),()()(),(),(),()(),()(),()(),()(00（1.4.1）（1.4.2）而二階變分為)(2JJdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLttxtxtxtxJfftttt000)()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()(),()(),()(00dttxtxtxt

32、txtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxLtxtxdttxtxttxtxLtxtxtxtxttxtxLtxtxttxtxLfftttt)()()(),(),()()(),(),()()(),(),()(),(),( )()()()(),(),()()()()(),(),(2)()(),(),(222222222222200（1.4.3） 于是，為使泛函（1.4.1）在曲線x(t)上達到極?。ɑ驑O大）值，其一階變分（1.4.2）應為零，而其二階變分（1.4.3）必須為正（或負）。由此，得到下面的定理。定理1.4.1 若泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(的一

33、階變分0J則Jx(t)達到極小值的充分條件是二階型矩陣)(),(),()()(),(),()()(),(),()(),(),(222222txttxtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxL（1.4.4）是正定的或半正定的；而Jx(t)達到極大值的充分條件是式（1.4.4）是負定的或半負定的。 定理1.4.1可以推廣到含有n個未知函數(shù)的泛函的情形。一、回顧等式約束條件下函數(shù)極值問題的解法 設有函數(shù)),(yxfZ （1.5.2）現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在約束條件為0),(yxg（1.5.1）情況下的極值。（1）消元法：從約束條件（1.5.2）中將y解出來。用x表示y，即 y=y(x)

34、然后將y(x)代入f(x,y)中，得到 Z=fx, y(x) （1.5.3）這樣，函數(shù)Z就只含有一個自變量x了，在等式（1.5.2）約束條件下的函數(shù)(1.5.1)的極值問題，就變成無約束條件的函數(shù)（1.5.3）的極值問題了。但是，消元法存在兩個問題：從方程（1.5.2）中將y解出來往往是很困難的；對x和y這兩個自變量未能平等看待。（2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 步驟如下： 作一個輔助函數(shù) F=f(x,y)+g(x,y) 式中， 是待定的常數(shù)，稱為拉格朗日乘子； 求輔助函數(shù)F的無條件極值，即令0, 0yFxF(1.5.4) 聯(lián)立求解方程（1.5.2）和（1.5.4），求出

35、駐點（ x0 ，y 0）和待定常數(shù)值; 判斷（ x0 ，y 0）是否是函數(shù)f(x,y)的極值點。 拉格朗日乘子法對于求n元函數(shù) y=f（x1，x2，xn）在多個約束方程 gi（x1，x2，xn） =0，i=1，2， ，m； m n條件下的極值問題，同樣適用。二、等式約束條件下泛函極值問題的解法求泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.5）在約束方程為, 0),(),(0ftttttXtXf（1.5.6）和端點條件為ffXtXXtX)()(00（1.5.7）情況下的極值曲線。這里 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T， f=f1,f2,fmT，m n。而 是x1(t),x2

36、(t),xn(t)和t的標量函數(shù)。),(),(ttXtXLdtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.8）),(),()(),(),(ttXtXftttXtXLFT0XXFdtdF說明： 利用拉格朗日乘子法求得的函數(shù)X(t)，如果（1.5.8）達到極值，就一定是原泛函（1.5.5）的極值函數(shù)。因為由約束方程（1.5.6）和歐拉方程（1.5.10）聯(lián)立解出的向量函數(shù)X(t)和(t)一定滿足約束方程（1.5.6），所以必有J0=J，另外，當將所解出的(t)代入輔助泛函（1.5.8）時，函數(shù)X(t)將使輔助泛函（1.5.8）達到無條件極值，因為函數(shù)X(t)是輔助

37、泛函（1.5.8）的歐拉方程（1.5.10）的解。 上面的論述僅僅指出了利用拉格朗日乘子法求出的輔助泛函（1.5.8）的無條件的極值函數(shù)，一定是原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）約束條件下的極值函數(shù)。但是，卻沒有說明原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）約束條件下的所有極值函數(shù)是否都能利用拉格朗日乘子法求出來？下面的定理將回答這個問題。定理1.5.1 如果n維向量函數(shù) X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T （1.5.11）能使泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.15）在等式約束, 0),(),(0ftttttXtXf（1.5.12）條件下達到極值，這里f是m維

38、向量函數(shù)， m n，必存在適當?shù)膍維向量函數(shù) (t)= 1(t), 2(t), m (t)T （1.5.14）使泛函dtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.13）達到無條件極值。即函數(shù)X(t)是泛函（1.5.15）的歐拉方程0XXFdtdF的解，其中（1.5.16）( ),( ), ( ) ( ),( ), TFL X tX t tt f X tX t t而X(t)和(t)由歐拉方程（1.5.16）和約束方程（1.5.13）共同確定。說明： 定理1.5.1表明，泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t) ，同時也使泛函（1.

39、5.15）達到無條件極值。這就進一步說明泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t) 都可通過拉格朗日乘子法求得。 如果不僅將X(t) ，而且連函數(shù)(t)在內(nèi)，都看成是泛函（1.5.15）的宗量，那么，約束方程（1.5.13）也可以看成是泛函（1.5.15）的歐拉方程。方程（1.5.13）和（1.5.16）共有n+m個方程，恰好可以解出n維和m維未知函數(shù)X(t) 和(t)。 當約束方程中（1.5.13）中的函數(shù)f不包括有 X(t)的導數(shù) 時，則式（1.5.13）便成為一種代數(shù)方程約束。定理1.5.1仍然成立。例1.5.1 已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結構如圖19所示。求最優(yōu)控制

40、u*(t)，使目標泛函202)(21dttxJ 取極小值。給定的邊界條件為0)2(, 1)0(, 0)2(, 1)0(xxxxx(t)u(t)21s圖19 雙積分對象解：令)()(),()(21txtxtxtx則得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：)()()()(221tutxtxtx現(xiàn)在的目標泛函為202)(21dttuJ應用拉格朗日乘子法，構造輔助泛函（1.5.17）202122120)()()()()()()(21dttxtutxtxtttuJ令)()()()()()()(21221212txtuttxtxttuF則向量形式的歐拉方程為111)(0)(11cttFdtdFxx21221)(0)()(22

41、ctctttFdtdFxx212)(0)()(ctctuttuFdtdFuu根據(jù)狀態(tài)方程（1.5.17），得3221221221ctctcxctcx4322311212161ctctctcxxx利用邊界條件，可得1, 1,27, 34321cccc所以，最優(yōu)控制273)(* ttu 對于最優(yōu)控制問題來說，當狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即 X(t)Rn，U(t) Rm時，是個在等式約束條件下求泛函極值的變分問題，因此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘子法來求解。在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)控制問題時，將引入哈密頓（Hamilton）函數(shù)，推導出幾種典型的最優(yōu)控制問題應滿足的必要條件

42、。1.6.1 拉格朗日問題的解問題1.6.1 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程),(),()(ttUtXftX(1.6.2)初始條件00)(XtX(1.6.1)終端條件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(1.6.3)要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（1.6.1）從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函（1.6.3）達到極小值。這是拉格朗日問題，又稱為積分型最優(yōu)控制問題。 解：將狀態(tài)方程（1.6.1）改寫為0)(),(),(tXttUtXf(1.6.4)于是，上述最優(yōu)控制問題就變成為在微分方程（1.6.4）約束條件下求泛函（

43、1.6.3）極值的變分問題。利用拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量 (t)= 1(t), 2(t), n (t)T (t)稱為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對應。 構造輔助泛函fttTdttXttUtXftttUtXLJ0)(),(),()(),(),(0(1.6.5)dtttUttXtXFftt0),(),(),(),(其中，)(),(),()(),(),(),(),(),(),(tXttUtXftttUtXLttUttXtXFT(1.6.6)于是，求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）約束條件下的極值問題，就轉變成為求泛函（1.6.5）的無約束條件的極值問題。定義哈密頓（Hamilto

44、n）函數(shù)為),(),()(),(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXtXHT(1.6.7)它是一標量函數(shù)，則式（1.6.6）變?yōu)?()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttXtXFT)()(),(),(),(ttXttUttXHT 利用變分法可以寫出輔助泛函（1.6.5）的歐拉方程(1.6.8)000UFdtdUFFdtdFXFdtdXF將式（1.6.8）代入上式，得0),(),()()(UHttUtXfHtXXHt（1.6.11）（1.6.10）（1.6.9） 協(xié)態(tài)方程（或共軛方程）狀態(tài)方程規(guī)范方程（或正則方程）控制方程（1

45、.6.12）初始狀態(tài)為00)(XtX由于終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為 0fttXF考慮式（1.6.8），得0)(ft（1.6.13） 式（1.6.9）（1.6.13）就是式（1.6.1）（1.6.3）所給定的最優(yōu)控制問題的解應滿足的必要條件。這些條件也可以由求輔助泛函J0對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分中推導出來。 聯(lián)立求解規(guī)范方程（1.6.9）和（1.6.10）可以得到兩個未知函數(shù)X(t)和 (t)，其一個邊界在始端（1.6.12），另一個邊界在終端（1.6.13），故稱為混合邊界問題或兩點邊界值問題。,),(),(),()(ttttXUtXftX,),

46、(),(),()(ttttXUtXHXt說明： （1）對于兩點邊界值問題，一般難以求得其解析解，通常需要采用數(shù)值計算方法求其數(shù)值解。 （2）利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制問題，是將求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）約束條件下對控制函數(shù)U(t)的條件極值問題轉化為求哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)的無條件極值問題。這種方法稱為哈密頓方法。定理1.6.1 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ),(),()(ttUtXftX則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)00)(XtX轉移到終端時刻 tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個終態(tài)，并使性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必

47、要條件是 （1）設U*(t)是最優(yōu)控制， X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應的n維協(xié)態(tài)變量(t) ，使得X(t)與(t) 滿足規(guī)范方程),(),()(ttUtXfHtXXHt)(其中),(),()(),(),(ttUtXftttUtXLHT （2）邊界條件為00)(XtX0)(ft （3）哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即0UH* 沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H對時間t求全導數(shù)，得UUHHXXHtHdtdHTTTUUHXHHHXHtHTTTtH若H不顯含t時，則有 H(t)=常數(shù) tt0，tf; 也就是說，當H不顯含t時，

48、哈密頓函數(shù)H是不依賴于t的常數(shù)。例1.6.1 已知 系統(tǒng)方程和邊界條件為,2221uxxxx,1)0(1)0(21xx0) 1 (0) 1 (21xx求使性能泛函102)(21dttuJ為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線。 解：這是一個最小能量控制問題。其哈密頓函數(shù)為uxxuH22221221由控制方程02uUH得2u協(xié)態(tài)方程為01212解協(xié)態(tài)方程，得11c122212cecct于是teccu21由狀態(tài)方程teccxxxx212221解得tteccecx2132214213121cectcecxtt利用邊界條件0) 1 (, 0) 1 (, 1)0(, 1)0(2121xxxx求得積分常數(shù)為23

49、09.11,0335. 5,5288.30,2979.194321cccc于是，最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線分別為tetu5288.302979.19)(*2309.112644.152979.190335. 5)(*1ttetetxtteetx2644.152979.190335. 5)(*2可以利用MATLAB符號工具箱求解上述微分方程，程序如下：syms l1 l2 x1 x2; s=dsolve(D1l1=0,D1l2=-l1-l2,D1x1=x2,D1x2=x2-l2,x1(0)=1, x2(0)=1,x1(1)=0,x2(1)=0,t)l1=s.l1, l2=s.l2,x1=s.x1,x2=

50、s.x2運行結果為：s = l1: 1x1 sym l2: 1x1 sym x1: 1x1 sym x2: 1x1 syml1 =-2*exp(1)/(exp(1)-3)l2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-2*exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)x1=-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)+2*exp(1)/(exp(1)-3)*t+exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+exp(-t)*exp(1

51、)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(t)x2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)-exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+exp(t) 例1.6.2 問題同例1.6.1，只是終端條件為x1(1)=0，x2(1)自由，求該最優(yōu)控制問題。解：問題的規(guī)范方程和控制方程均與例1.6.1相同，但邊界條件變?yōu)?) 1

52、 (, 0) 1 (, 1)0(, 1)0(2121xxx由這些邊界條件求得的積分常數(shù)為1623. 6,2880. 0,7486. 9,5863. 34321cccc于是，所求得的最優(yōu)解為teu7486. 95863. 3*1623. 68743. 45863. 32880. 0*1ttetextteex8743. 45863. 32880. 0*2 由例1.6.1和例1.6.2可見，對于兩個相同的最優(yōu)控制問題，只是部分終端狀態(tài)不相同，所得到的最優(yōu)解則完全不同。1.6.2 波爾扎問題的解問題1.6.2 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程),(),()(ttUtXftX(1.6.18)初始條件00)(XtX(1.

53、6.17)和性能泛函fttffdtttUtXLttXJ0),(),(),(1.6.19)要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（1.6.17）從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函（1.6.19）達到極小值。這是波爾扎問題，又稱為復合型最優(yōu)控制問題。 由于給定的端點條件不同，上述最優(yōu)控制問題的解將不同。下面根據(jù)三種不同的端點條件，分別予以討論。 1. 終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf) 自由的情況 構造輔助泛函為：),(0ffttXJfttTTdttXtttUtXftttUtXL0)()(),(),()(),(),(若令哈密頓函數(shù)為),(),()

54、(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHHT（1.6.20）（1.6.21）并對式（1.6.20）積分號內(nèi)第三項進行分部積分，則輔助泛函變?yōu)閒fttTttTfftXtdttXtttUttXHttXJ00)()()()(),(),(),(),(0dtXtttUttXHtXttXtttXfttTTffTff0)()(),(),(),()()()()(),(00（1.6.22）求上式對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得fttTTTTffTfTfffdtXUUHXXHtXttXttXtXttXJ0)()()()()()(),(000（1.6.24）由于泛函J0

55、達到極值的必要條件為00J（1.6.23）由于X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，則由式（1.6.23）和（1.6.24）可得上述波爾扎型最優(yōu)控制問題的解應滿足的必要條件為00)(),(),()(0)(XtXttUtXfHtXUHXHt這些關系與拉格朗日型最優(yōu)控制問題的完全相同，所不同的只是橫截條件，即協(xié)態(tài)變量的終端值)(),()(fffftXttXt 2. 終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf) 受約束的情況 設終端狀態(tài)受到如下等式的約束0),(ffttX（1.6.25）其中為r（當L=0，rn-1；當L0，rn）維向量，即Tr,21這時，終端狀態(tài)X(tf)即不是固定的

56、，也不是完全自由的，只能在終端流型（1.6.25）上變動。在構造輔助泛函時，應考慮終端約束條件（1.6.25），為此，需要引入待定的拉格朗日乘子向量Tr,21于是，所構造的輔助泛函為),(),(0ffTffttXttXJfttTTdttXtttUtXftttUtXL0)()(),(),()(),(),(考慮到哈密頓函數(shù)為),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHHT（1.6.26）并對式（1.6.26）積分號內(nèi)第三項進行分部積分，則輔助泛函變?yōu)閐tXHtXttXtttXttXdtXHtXtttXttXJfffttTTffTffTffttTttTffTff000)()()()(),(),()()(),(),(000求J0對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得ffttTTTTffTTfffTTfffttTTTTffTfTfffTfTfffdtXUUHXXHtXttXttXttXtXttXdtXUUHXXHtXttXttXtXttXtXtXttXJ00)()()()()(),()(),()()()()()()(),()()(),(00000考慮到 J0=0, X(t0)=0， X(tf