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1、2 延續(xù)小波變換延續(xù)小波變換根本小波根本小波延續(xù)小波變換的定義延續(xù)小波變換的定義延續(xù)小波變換的性質(zhì)延續(xù)小波變換的性質(zhì)常用的根本小波常用的根本小波延續(xù)小波變換的逆變換延續(xù)小波變換的逆變換延續(xù)小波變換的再生核延續(xù)小波變換的再生核小波時(shí)頻分析小波時(shí)頻分析CWT的變換過程例如的變換過程例如延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延續(xù)小波變換的運(yùn)用延續(xù)小波變換的運(yùn)用根本小波根本小波定義:定義:2|( )|Cd| 那么稱)(t為根本小波,或母小波。2( )( )tL R,其Fourier變換為 ()滿足設(shè)允許條件性質(zhì):性質(zhì):(1) 帶通性質(zhì)(2) 零均值和動(dòng)搖性(3) 部分化特性t)a
2、b-t(t)|a |b) )(a,(21 -dffW尺度因子平移因子歸一化因子a,ba,b (W f )(a, b)f (t)(t)dtf (t), (t)延續(xù)小波變換的定義延續(xù)小波變換的定義定義:定義: 對恣意,它的延續(xù)小波變換定義為:2( )( )f tL R-1/2a,bt-b(t)|a|(): aR, a0; bR a稱為小波基函數(shù)普通可簡記為延續(xù)小波變換的性質(zhì)延續(xù)小波變換的性質(zhì) (4)自類似性:對應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同的平移參數(shù)b的延續(xù)小波變換之間是自類似的 線性性: 一個(gè)多分量信號的延續(xù)小波變換等于各個(gè)分量 的小波變換之和(2)平移不變性:假設(shè)的小波變換為( )f t( , )fW
3、 ab()f t,那么( ,)fW ab的小波變換為(3)伸縮共變性:假設(shè)的小波變換為( )f t的( , )fW ab,那么( )f ct1( , ),0fW cacbcc小波變換為(5)冗余性: 延續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余延續(xù)小波變換的逆變換延續(xù)小波變換的逆變換 逆變換存在的能夠性: 窗口寬度恣意調(diào)理,在時(shí)域上或頻域上能完全恢復(fù)出信號的信息。 延續(xù)小波變換結(jié)果有很大的冗余度。 以a,b(t)為變換核的延續(xù)小波變換的逆變換: 假設(shè) f(t)、(t) L2(R):(t) (t),t(t)(t)b) )(a,( ba,ba,fdffWbaa(t)b) )(a,(C(t)2ba,1 -ddf
4、Wf 2|( )| Cd|其中:常用的根本小波常用的根本小波 Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 2. Daubechies小波小波D4尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 常用的根本小波常用的根本小波 3、雙正交小波、雙正交小波雙正交雙正交B樣條小波樣條小波5-3、 9-7小波濾波器小波濾波器bior2.2, bior4.47-5小波濾波器小波濾波器: 11 1 3 1 1,8 2 4 2 82
5、h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164 162h常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次個(gè)三次B樣條。樣條。常用的根本小波常用的根本小波 4. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波不存在尺度函數(shù)小波不存在尺度函數(shù); 快速衰減但非緊支撐快速衰減但非緊支撐. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morl
6、et小波1,5常用的根本小波常用的根本小波 5. 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的運(yùn)用。這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的運(yùn)用。主要運(yùn)用于階梯型邊境的提取。主要運(yùn)用于階梯型邊境的提取。 特性:特性: 指數(shù)級衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率部分化;指數(shù)級衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率部分化; 關(guān)于關(guān)于0軸反對稱。軸反對稱。常用的根本小波常用的根本小波 6. Marr小波也叫墨西哥草帽小波小波也叫墨西哥草帽小波 這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的
7、運(yùn)用。這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的運(yùn)用。主要運(yùn)用于屋脊型邊境和主要運(yùn)用于屋脊型邊境和Dirac邊緣的提取。邊緣的提取。 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e 特性:特性: 指數(shù)級衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率部分化;指數(shù)級衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率部分化; 關(guān)于關(guān)于0軸對稱。軸對稱。( ) t常用的根本小波常用的根本小波 7. Meyer小波小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)展定義的。詳細(xì)定義如下: 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttt
8、tt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 常用的根本小波常用的根本小波 8. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt /21, 20, ie 其它在時(shí)域,在時(shí)域,Shannon小波是無限次可微的,具有無窮階消逝矩,不是小波是無限次可微的,具有無窮階消逝矩,不是緊支的,具有漸近衰減性但較緩慢;在頻域,緊支的,具有漸近衰減性但較緩慢;在頻域,Shannon小波是頻率小波是頻率帶限函數(shù),具有好的部分化特性。帶限函數(shù),具有好的部分化特性。 t常用的根本小波常用的根本小波 9. Battle-Lemarie樣條小波樣條小波 224222412sin1
9、64sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige t常用的根本小波常用的根本小波 延續(xù)小波變換的再生核延續(xù)小波變換的再生核 尺度和位移延續(xù)變化的延續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過度完全基,小波展開系數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系可表示為,1( , ; , )( )( )aaRKaatt dtC 1. CWT系數(shù)具有很大的冗余,計(jì)算量比較大2. 利用冗余性可以實(shí)現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的目的。重建核方程重建核方程daaKaWadaaWff),;,(),(),(000200重建核小波時(shí)頻分析小波時(shí)頻分析 小波分析能提供隨頻率改動(dòng)的時(shí)小波分析能提供隨頻率改動(dòng)的時(shí)-頻窗頻窗(自順應(yīng)窗口自順
10、應(yīng)窗口)。 假設(shè) 是任一根本小波,并且 與都是窗函數(shù),它們的中心 與半徑分別為 ,t和。無妨設(shè)和尺度 a都是正數(shù)。1( , )( )()b atafb atatbWTa bf tdtaa ,1( , ),( )()22ibfa baWTa bffead給出了 ft在頻域窗 ( , )fWTa b內(nèi)的部分化信息。 ,aaaa給出了 ft在時(shí)間窗 ( , )fWTa b內(nèi)的部分化信息。 ,batabata 小波時(shí)頻分析小波時(shí)頻分析 內(nèi)的部分化信息, /a( , )fWTa b假設(shè)用作為頻率變量,那么,那么給出了信號t在時(shí)間頻率平面(平面中一個(gè)矩形的時(shí)間頻率窗 ,batabataaaaa 即小波變換
11、具有時(shí)頻部分化特征。 120aa2a窗寬窗寬:面積面積:,a b的寬度是寬度的a倍。對信號 f t的高頻成分需用尺度較小的分析小波。信號進(jìn)展分析。 這時(shí)時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變窄,并在高頻區(qū)域?qū)? “恒Q性質(zhì): 小波函數(shù)a,b(t)的頻率具有帶通特性,帶通濾波特性的質(zhì)量因數(shù)Q為NoImage*/*2/2aQa小波時(shí)頻分析小波時(shí)頻分析 各種變換的比較各種變換的比較 小波變換的特性小波變換的特性分解種類:時(shí)間分解種類:時(shí)間-尺度或時(shí)間尺度或時(shí)間-頻率頻率分析函數(shù):具有固定震蕩次數(shù)的時(shí)間有限的波。分析函數(shù):具有固定震蕩次數(shù)的時(shí)間有限的波。 小波函數(shù)的伸縮改動(dòng)其窗口大小。小波函數(shù)的伸縮改動(dòng)其窗口大小。變量:變量
12、: 尺度,小波的位置尺度,小波的位置 信息:窄的小波提供好的時(shí)間部分化及差的頻率信息:窄的小波提供好的時(shí)間部分化及差的頻率 部分化,寬的小波提供好的頻率部分化部分化,寬的小波提供好的頻率部分化 及差的時(shí)間部分化。及差的時(shí)間部分化。順應(yīng)場所:非平穩(wěn)信號順應(yīng)場所:非平穩(wěn)信號短時(shí)短時(shí)Fourier變換的特性變換的特性 分解種類:時(shí)間分解種類:時(shí)間-頻率頻率 分析函數(shù):由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時(shí)間有限的波分析函數(shù):由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時(shí)間有限的波 變量:頻率,窗口的位置變量:頻率,窗口的位置 信息:信息: 窗口越小,時(shí)間部分化越好,其結(jié)果是濾掉低頻成分;窗口越小,時(shí)間部分化越好,其結(jié)果是濾掉低頻成
13、分; 窗口越大,頻率部分化越好窗口越大,頻率部分化越好, 此時(shí)時(shí)間部分化較差此時(shí)時(shí)間部分化較差. 順應(yīng)場所:次穩(wěn)定信號順應(yīng)場所:次穩(wěn)定信號 Fourier變換變換的特性變換變換的特性分解種類:頻率分解種類:頻率分析函數(shù):正弦函數(shù),余弦函數(shù)分析函數(shù):正弦函數(shù),余弦函數(shù) 變量:變量: 頻率頻率信息:組成信號的頻率信息:組成信號的頻率 順應(yīng)場所:平穩(wěn)信號順應(yīng)場所:平穩(wěn)信號CWT的變換過程例如的變換過程例如CWT的變換過程例如,見圖,可分如下5步小波 (t)和原始信號f(t)的開場部分進(jìn)展比較 計(jì)算系數(shù)C該部分信號與小波的近似程度;C值越高表示信號與小波類似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為 (t-k
14、) ,然后反復(fù)步驟1和2,直到信號終了 擴(kuò)展小波,如擴(kuò)展一倍,得到的小波函數(shù)為 (t/2) 反復(fù)步驟14 圖2-1 延續(xù)小波變換的過程 對于含噪聲的周期性信號noissin進(jìn)展延續(xù)小波分解,首先運(yùn)用db4小波對比小波對信號進(jìn)展不同尺度的分解,重新選擇分解尺度后腳明顯地顯示出了信號的周期性特征,最后運(yùn)用復(fù)小波cgau4對信號進(jìn)展分解,分別得到信號的實(shí)部、虛部、模和相位。結(jié)果如圖2-2、2-3和圖2-4所示。延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示01002003004005006007008009001000-1.5-1-0.500.511.5延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延
15、續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示圖2-2 原始信號延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 .time (or space) bscales a2004006008001000 1 4 710131619222528313437404346Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50
16、 58 66 74 82 90 98106114122圖2-3 不同尺度下的延續(xù)小波分解延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示延續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示Real part of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122Imaginary part of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 4
17、2 50 58 66 74 82 90 98106114122Modulus of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122Angle of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122圖2-4 信號的復(fù)延續(xù)小波分解 正弦信號在位置
18、正弦信號在位置500處有一延續(xù)點(diǎn),由于延續(xù)點(diǎn)繼續(xù)的處有一延續(xù)點(diǎn),由于延續(xù)點(diǎn)繼續(xù)的時(shí)間很短,因此在波形圖中無法辨識出延續(xù)點(diǎn)來。如圖時(shí)間很短,因此在波形圖中無法辨識出延續(xù)點(diǎn)來。如圖2-5。延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析020040060080010001200-101正 弦 信 號 x102004006008001000120000.050.1間 斷 信 號 x2020040060080010001200-101含 間 斷 點(diǎn) 的 正 弦 信 號 x圖2-5 原始信號 對該信號進(jìn)展快速對該信號進(jìn)展快速Fourier變換,得到信號的頻譜圖。察看變換,得到信號的頻譜圖。察看信號的頻譜
19、,除了正弦信號的基頻之外,無任何額外的信息。信號的頻譜,除了正弦信號的基頻之外,無任何額外的信息。如圖如圖2-6。 延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析0501001502002503003504004505000100200300信 號 x1的 頻 譜 圖0501001502002503003504004505000100200300信 號 x的 頻 譜 圖圖2-6 頻譜圖 選取選取db4小波,尺度小波,尺度a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,對信號實(shí)施延續(xù)小波變換,得到小波系數(shù)分布圖。在空間位對信號實(shí)施延續(xù)小波變換,得到小波系數(shù)分布圖。在空間位置置500處延續(xù)點(diǎn)的信息
20、一目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為處延續(xù)點(diǎn)的信息一目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為1處,處,在整個(gè)時(shí)間范圍空間位置內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號在整個(gè)時(shí)間范圍空間位置內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號的基頻信息。而空間位置的基頻信息。而空間位置500處的延續(xù)點(diǎn)在時(shí)間上是部分的,處的延續(xù)點(diǎn)在時(shí)間上是部分的,小波系數(shù)集中發(fā)生在延續(xù)位置的各個(gè)尺度上,將延續(xù)信息凸小波系數(shù)集中發(fā)生在延續(xù)位置的各個(gè)尺度上,將延續(xù)信息凸現(xiàn)了出來。如圖現(xiàn)了出來。如圖2-7。延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析 傳統(tǒng)的快速Fourier變換對此卻無能為力,究其緣由在于延續(xù)分布的能量在整個(gè)信號中所占的比例太小,而Fourier變換并無時(shí)間部分化才干。延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析延續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析信 號 x的 連 續(xù) 小 波 變 換time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 1 2 3 4 5 6 7 8 910圖2-7 延續(xù)小波變換延續(xù)小波變換用于自類似性檢測延續(xù)小波變換用于自類似性檢測 直觀上講,小波分解可經(jīng)過計(jì)算信號和小波之間的自相似指數(shù)(小波系數(shù))得到。自類似指數(shù)大,那么信號的自類似程度就高;反之
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