有限元復(fù)習與總結(jié)

1、第十講第十講 復(fù)習與總結(jié)復(fù)習與總結(jié) 有限元方法的兩大應(yīng)用：1、科學計算2、數(shù)字設(shè)計/1/1、基本思想、基本思想： 先化整為零，再集零為整先化整為零，再集零為整。 即將原結(jié)構(gòu)劃分為許多小塊即將原結(jié)構(gòu)劃分為許多小塊( (單元），用單元），用這些這些離散單元的集合體代替原結(jié)構(gòu)離散單元的集合體代替原結(jié)構(gòu)用近用近似函數(shù)表示單元內(nèi)的真實場變量，從而給似函數(shù)表示單元內(nèi)的真實場變量，從而給出離散模型的數(shù)值解。能靈活處理和求解出離散模型的數(shù)值解。能靈活處理和求解各種復(fù)雜問題各種復(fù)雜問題, ,應(yīng)用廣泛應(yīng)用廣泛 /2/2、技術(shù)路線、技術(shù)路線1 1）標準化）標準化（理論研究：任意復(fù)雜問題（理論研究：任意復(fù)雜問題 標準

2、化分解，標準化分解， 單元建模單元建模 有限種標準單元）有限種標準單元）2 2） 規(guī)范化規(guī)范化（前處理：（前處理：CADCAD、力學建模、求解，后處理顯示）、力學建模、求解，后處理顯示）3 3）電算化）電算化 （標準程序、模塊）（標準程序、模塊）4 4）應(yīng)用的規(guī)?；⑵占靶裕?yīng)用的規(guī)?；⑵占靶?（可求解大型計算問題）（可求解大型計算問題） 有限元法的基本推導(dǎo)過程是： 假設(shè)單元的位移場模式 代入到幾何方程得到 代入到物理方程得到 代入到虛功方程，得到單元剛度方程 疊加到總剛陣，得到結(jié)構(gòu)的平衡方程 eNfeBeBDeekFeekF3 3、有限單元法的特點、有限單元法的特點一、特點一、特點（1 1

3、）概念簡單，容易理解。）概念簡單，容易理解。（2 2）適應(yīng)性強，應(yīng)用范圍廣泛。）適應(yīng)性強，應(yīng)用范圍廣泛。 1 1）對于復(fù)雜幾何形態(tài)構(gòu)件的適應(yīng)性。）對于復(fù)雜幾何形態(tài)構(gòu)件的適應(yīng)性。（劃分空間有一維梁桿單元，二維有三角形、四邊形，三維（劃分空間有一維梁桿單元，二維有三角形、四邊形，三維單元有四面體、六面體單元有四面體、六面體 等）等） 2 2）對各種構(gòu)型問題都有適應(yīng)性。）對各種構(gòu)型問題都有適應(yīng)性。（桿件問題、彈塑性、粘彈性問題、動力問題，流體力學、（桿件問題、彈塑性、粘彈性問題、動力問題，流體力學、熱力學、電磁學，復(fù)雜非線性問題熱力學、電磁學，復(fù)雜非線性問題）（3 3）采用矩陣形式表達，有利于計算機

4、引入）采用矩陣形式表達，有利于計算機引入, ,具有計算的高效性具有計算的高效性. .（4 4）需編程，前后處理較麻煩。）需編程，前后處理較麻煩。6 6、有限單元法分類、有限單元法分類 位移法：易于實現(xiàn)自動化，應(yīng)用范圍廣。位移法：易于實現(xiàn)自動化，應(yīng)用范圍廣。 力法力法: :單元插值函數(shù)難求單元插值函數(shù)難求 混合法混合法/7/7、有限單元法分析過程、有限單元法分析過程概述概述結(jié)構(gòu)離散化單元分析整體分析變形體單元類型選擇單元劃分結(jié)點編碼選擇位移函數(shù)分析單元力學特征集成整體結(jié)點載荷向量集成整體剛度 方程引入邊界求解8、有限元思路框圖解綜合方程K= P求結(jié)構(gòu)節(jié)點位移計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力系統(tǒng)分析(把單元剛度

5、矩陣集合成結(jié)構(gòu)剛度矩陣K形成等價節(jié)點荷載P )離散（剖分）結(jié)構(gòu)為若干單元單元分析(建立單元剛度矩陣ke形成單元等價節(jié)點力)9 9、單元劃分、單元劃分（i）網(wǎng)格的加密： 網(wǎng)格劃分越細，結(jié)點越多，計算結(jié)果越精確。（ii）單元形態(tài)應(yīng)盡可能接近相應(yīng)的正多邊形或正多面體。如圖1-1，1-2(iii)單元結(jié)點應(yīng)與相鄰單元相連接，不能置于相鄰單元邊界上，如圖1-3示(iv)同一單元由同一種材料構(gòu)成(v) 網(wǎng)格劃分應(yīng)盡可能有規(guī)律，以利于計算機自動生成網(wǎng)格(3)(3)結(jié)點編碼結(jié)點編碼：整體結(jié)點編碼和單元節(jié)點編碼。10、單元分析、單元分析(1)(1)選擇位移函數(shù)選擇位移函數(shù) 對結(jié)構(gòu)離散化成單元的集合體后對結(jié)構(gòu)離散

6、化成單元的集合體后, ,對于單個單元對于單個單元, ,可以遵循某些基本準則，用較之以整體為對象簡可以遵循某些基本準則，用較之以整體為對象簡單得多的方法設(shè)定一個簡單的函數(shù)為位移的近似單得多的方法設(shè)定一個簡單的函數(shù)為位移的近似函數(shù)函數(shù), ,稱為稱為位移函數(shù)位移函數(shù). .一般為多項式形式一般為多項式形式, ,有廣義坐有廣義坐標法和插值法標法和插值法. .(2)(2)分析單元的力學特征分析單元的力學特征 (i)(i)單元單元應(yīng)變應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換矩陣BB： 單元應(yīng)變矩陣反映單元應(yīng)變矩陣反映出單元節(jié)點位移位移與單元應(yīng)變應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由幾何學條件導(dǎo)出，由幾何學條件導(dǎo)出. eeB (ii)(ii)單元應(yīng)

7、力矩陣單元應(yīng)力矩陣SS： 單元應(yīng)力矩陣單元應(yīng)力矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元應(yīng)力反映出單元結(jié)點位移與單元應(yīng)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由物理學條件導(dǎo)出，由物理學條件導(dǎo)出. .(iii)(iii)單元剛度矩陣單元剛度矩陣KKe e 單元剛度矩陣單元剛度矩陣反映出單元結(jié)點位移反映出單元結(jié)點位移 與單元節(jié)點力與單元節(jié)點力 之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,由平衡條件由平衡條件導(dǎo)出，所得到的轉(zhuǎn)換關(guān)系式稱單元剛度方導(dǎo)出，所得到的轉(zhuǎn)換關(guān)系式稱單元剛度方程程 e eF eeeKF eeS思考題1.1.有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本思想是什么？2.2.有限元法的特點是什么？有限元法的特點是什么？3.3.單

8、元的劃分應(yīng)注意哪些問題？單元的劃分應(yīng)注意哪些問題？4.4.有限元法中單元分析的內(nèi)容是什么？有限元法中單元分析的內(nèi)容是什么？5.5.概述有限元方法的分析過程。概述有限元方法的分析過程。平面問題包括：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變和軸對稱平面應(yīng)力問題的基本特征：平面應(yīng)力問題的基本特征：1）幾何特征物體在一個方向（z)的尺寸遠遠小于其它兩個方向（x,y)的尺寸。幾何為均勻薄板。2）受力特征薄板的兩個側(cè)面上無載荷作用邊緣上受到平行于板面且沿板厚均勻分布的面力作用；體力平行于板面且不沿板厚變化（x,y的函數(shù)）yaxaayxvyaxaayxu654321),(),(平面應(yīng)變問題的基本特征：1）幾何特征一個方向（z)尺

9、寸遠遠大于其它兩個方向（x,y)的尺寸,呈現(xiàn)為無限長等截面柱體。2）受力特征外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿縱向不變化。通常用多項式函數(shù)作位移模式，對三節(jié)點三角形單元，有6個待定節(jié)點位移分量，所以單元上的位移函數(shù)只能是含6個待定系數(shù)的完全一次多項式：1111、位、位 移移 TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu 首先，我們來分析一下三角形單元的力學特性，即建立以單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)各點位移的關(guān)系式。設(shè)單元e的節(jié)點編號為i、j、m，如圖3-2所示。由彈性力學平面問題可知，每個節(jié)點在其單元平面內(nèi)的位移可以有兩個分量，所以整個三角形單元將有六個節(jié)點位移分量，即六個自由度。

10、用列陣可表示為：其中的子矩陣（i，j，m 輪換） (a)式中 ui、vi 是節(jié)點i在x軸和y軸方向的位移。(5-7) 從彈性力學平面問題的解析解法中可知，如果彈性體內(nèi)的位移分量函數(shù)已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也就確定了。但是，如果只知道彈性體中某幾個點的位移分量的值，那么就不能直接求得應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。因此，在進行有限元分析時，必須先假定一個位移模式。由于在彈性體內(nèi)，各點的位移變化情況非常復(fù)雜，很難在整個彈性體內(nèi)選取一個恰當?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示位移的復(fù)雜變化，但是如果將整個區(qū)域分割成許多小單元，那么在每個單元的局部范圍內(nèi)就可以采用比較簡單的函數(shù)來近似地表示單元的真實位移，將各單元的位移式連接 在有

11、限單元法中，雖然是用離散化模型來代替原來的連續(xù)體，但每一個單元體仍是一個彈性體，所以在其內(nèi)部依然是符合彈性力學基本假設(shè)的，彈性力學的基本方程在每個單元內(nèi)部同樣適用。uxyvxy123456起來，便可近似地表示整個區(qū)域的真實位移函數(shù)。這種化繁為簡、聯(lián)合局部逼近整體的思想，正是有限單元法的絕妙之處。 基于上述思想，我們可以選擇一個單元位移模式，單元內(nèi)各點的位移可按此位移模式由單元節(jié)點位移通過插值而獲得。線性函數(shù)是一種最簡單的單元位移模式，故設(shè)(b)式中 1、2、6是待定常數(shù)。因三角形單元共有六個自由度，且位移函數(shù)u、v在三個節(jié)點處的數(shù)值應(yīng)該等于這些點處的位移分量的數(shù)值。假設(shè)節(jié)點i、j、m的坐標分別

12、為（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：uxyvxyuxyvxyuxyvxyiiijiijjjjjjmmmmmm123456123456123456 , , , mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxyuyuyuyxuyxuyxu11121 , 11121 , 213212111 xyxyxyiijjmm(c)由 (c) 式左邊的三個方程可以求得 (d)其中(5-8) 從解析幾何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點i、j、m的編排次序必須是逆時針方向，如圖2-2所示。圖2-2 平面三角形單元 u

13、i (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 將 (d) 式代入 (b) 式的第一式，經(jīng)整理后得到 uab xc y uab xc y uab xc y uiiiijjjjmmmm12(e)mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111vab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmm12Nab xc yiiii12其中同理可得若令這樣，位移模式 (e) 和 (f) 就可以寫為（i , j , m輪換） (5-10)（i , j , m輪換）

14、(5-9)( f) 式中 I是二階單位矩陣；Ni 、Nj 、Nm 是坐標的函數(shù)，它們反映了單元的位移狀態(tài)，所以一般稱之為形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。矩陣 N 叫做形函數(shù)矩陣。三節(jié)點三角形單元的形函數(shù)是坐標的線性函數(shù)。單元中任一條直線發(fā)生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節(jié)點處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。 uN uN uN uvN vN vN viijjmmiijjmm eemjiNINININvuf(5-11)也可寫成矩陣形式(5-12)三、應(yīng)三、應(yīng) 變變 xyxyuxvyuyvx 12000000bbbccccbcbcbijmijmiijjmme有了單元的位移模式，就可以利用平面問

15、題的幾何方程求得應(yīng)變分量。將 (e) 、(f) 兩式代入上式，即得：(g) Be BBBBijmBbccbiiiii1200可簡寫成 其中 B 矩陣叫做單元應(yīng)變矩陣，可寫成分塊形式而子矩陣由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩陣B中的諸元素都是常量，因而單元中各點的應(yīng)變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應(yīng)變單元。 （i , j , m輪換） (3-15)(3-14)(3-13)四、應(yīng)四、應(yīng) 力力 D Be SD B Se D 求得應(yīng)變之后，再將（3-13）式代入物理方程 ，便可推導(dǎo)出以節(jié)點位移表示的應(yīng)力。即(4-16)(h)(4-17)令則 SD BBBSSSi

16、jmijm DE11100122對稱 SD BEbcbccbiiiiiiii2 112122其中 S叫做應(yīng)力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣D為(4-18)(i)所以，S的子矩陣可記為（i , j , m輪換） (4-19) DE111211100122 1對稱 SD BEbcbccbiiiiiiii12 11211122 1122 1 對于平面應(yīng)變問題，只要將 (i) 式中的E換成E/1-2 ，換成 /1-，即得到其彈性矩陣(j)（i , j , m輪換）(4-20) SSSiijjmm注意到（4-7）式，則有(4-21) 由（4-19）、（4-20）式不難看出，S中的諸元

17、素都是常量，所以每個單元中的應(yīng)力分量也是常量。 可見，對于常應(yīng)變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變，即在單元的公共邊界上應(yīng)力和應(yīng)變的值將會有突變，但位移卻是連續(xù)的。Nab xc yiiii122111 xyxyxyiijjmm在上節(jié)中，提出了形函數(shù)的概念，即其中（i , j , m輪換）現(xiàn)在我們來討論一下形函數(shù)所具有的一些性質(zhì)。根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式的任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，并注意到（4-9）式中的常數(shù)ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、

18、Nxyab xc yiiiiiiim , 121Nxyab xc yijjiijij , 120Nxyab xc yimmiimim , 120cj 和am 、bm 、cm 分別是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式，我們有 形函數(shù)在各單元節(jié)點上的值，具有形函數(shù)在各單元節(jié)點上的值，具有“本點是本點是1 1、它點、它點為零為零”的性質(zhì)的性質(zhì)，即在節(jié)點i上，在節(jié)點j、m上，( a)(b)(c)NxyNxyNxyNxyNxyNxyjiijjjjmmmiimjjmmm , , , , , , , , , , 101000NxyNxyNxyab xc yab xc yab xc yaaab

19、bbxcccyijmiiijjjmmmimmijmijm , , , 12121類似地有( d) 在單元的任一節(jié)點上，三個形函數(shù)之和等于在單元的任一節(jié)點上，三個形函數(shù)之和等于1 1，即，即(e)NNNijm 1N x yxxxxNx yxxxxNx yiijijijij,10簡記為(5-22)這說明，三個形函數(shù)中只有二個是獨立的。 三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點坐標有關(guān)、而與其它節(jié)點坐標無關(guān)。點坐標有關(guān)、而與其它節(jié)點坐標無關(guān)。例如，在i j 邊上，有(5-23)uN uN uvN vN viijjiijj 例如，對圖5-3所示

20、的單元jm和ijn ，具有公共邊ij。這樣，不論按哪個單元來計算，根據(jù)（5-11）式，公共邊ij上的位移均由下式表示jinmxyo圖 5 -3由(5-23)式可知，在ij邊上式中 Ni , Nj 的表達形式如（5-23）式所示。( i) 利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。mmjjiiLLL由此可見，在公共邊上的位移u、v 將完全由公共邊上的兩個節(jié)點i、j 的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續(xù)的。為了在以后討論問題中能夠比較方便地確定單元中任意一點處的形函數(shù)數(shù)值，這里引入面積坐標的概念。 在圖2-4所示的三角形單元ijm中， 任意一點

21、P(x , y)的位置可 以用 以下三個比值來確定oyxLi =0Li =1/4Li =1/2Li =3/4Li =1Pjim圖2-4 式中 為三角形單元ijm的面積，i 、j 、m 分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。這三個比值就叫做P點的面積坐標。 (2-24)mji1mjiLLLycxbayxyxyxiiimmiii2111121ycxbaLiiiii21顯然這三個面積坐標并不是完全獨立的，由于所以有：而三角形pjm的面積為：故有：Lab xc yjjjjj12Lab xc ymmmmm12類似地有(2-25) (2-26) 由此可見，前述的三角形常應(yīng)變單元中的形函數(shù)Ni 、Nj

22、、Nm 就是面積坐標Li 、Lj 、Lm 。 根據(jù)面積坐標的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平行jm邊的直線上的所有各點，都有相同的坐標Li ，并且該坐標就等于“該直線至jm邊的距離”與“節(jié)點i至jm邊的距離”之比，圖2-4中給出了Li 的一些等值線。 xx Lx Lx Lyy Ly Ly LLLLiijjmmiijjmmijm 1容易看出，單元三個節(jié)點的面積坐標分別為節(jié)點 i： Li =1 Lj =0 Lm =0節(jié)點 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 節(jié)點m： Li =0 Lj =0 Lm =1不難驗證，面積坐標與直角坐標之間存在以下變換關(guān)系：(2-27)一一. . 單元剛度矩陣單元剛度矩陣

23、RRRRUVUVUVeiTjTmTTiijjmmT eiijjmmTuvuvuv 為了推導(dǎo)單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系，可應(yīng)用虛位移原理對圖5-2中的單元e進行分析。單元e是在等效節(jié)點力的作用下處于平衡的，而這種節(jié)點力可采用列陣表示為(a)假設(shè)在單元e中發(fā)生有虛位移，則相應(yīng)的三個節(jié)點i、j、m 的虛位移為且假設(shè)單元內(nèi)各點的虛位移為f *，并具有與真實位移相同的位移模式。 fNe Be ( )eTeR Ttdxdy故有(c)參照（2-13）式，單元內(nèi)的虛應(yīng)變 *為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為(g) tdxdyBDBeTTe)

24、( ( )( )eTeeTTeRBD Btdxdy RBD B tdxdyeTe這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d ）式及（5-16）式代入上式，并將提到積分號的前面，則有根據(jù)虛位移原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項應(yīng)該相等，即得 tdxdyBDBkTe eeekR記(5-32)則有(5-33) 上式就是表征單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間關(guān)系的剛度方程，ke就是單元剛度矩陣。如果單元的材料是均質(zhì)的，那么矩陣D 中的元素就是常量，并且對于三角形常應(yīng)變單元，B矩陣中的元素也是常量。當單元的厚度也是常量時，上式可以簡化為ke =BT DBt

25、(5-34)二二 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 2112nTTnTT iiiTuv 討論了單元的力學特性之后，就可轉(zhuǎn)入結(jié)構(gòu)的整體分析。假設(shè)彈性體被劃分為N個單元和n個節(jié)點，對每個單元按前述方法進行分析計算，便可得到N組形如（5-33）式的方程。將這些方程集合起來，就可得到表征整個彈性體的平衡關(guān)系式。為此，我們先引入整個彈性體的節(jié)點位移列陣 2n1 ，它是由各節(jié)點位移按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列組成，即其中子矩陣( j) (i =1,2, , n ) (k) 是節(jié)點i的位移分量。 RRRRnTTnTT2112 RXYUViiiTieeNieeNT11 繼而再引入整個彈性體的載荷列陣R2n1 ，它是

26、移置到節(jié)點上的等效節(jié)點載荷依節(jié)點號碼從小到大的順序排列組成，即(l)其中子矩陣(i =1,2, , n ) (m)是節(jié)點i上的等效節(jié)點載荷。 nmjinmjikkkkkkkkkkmmmjmijmjjjiimijiinn1 122(q) 同樣，將六階方陣k加以擴充，使之成為2n階的方陣 組裝總剛k的一般規(guī)則：1. 當krs中r=s時，該點被哪幾個單元所共有，則總剛子矩陣krs就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣krse的相加。2. 當krs中r s時，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣krs就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣krse的相加。3. 當krs中r和s不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣k

27、rs=0。 子塊33333231232221131211KKKKKKKKKKe 圖中有兩種編碼：一是節(jié)點總碼：1、2、3、4；二是節(jié)點局部碼，是每個單元的三個節(jié)點按逆時針方向的順序各自編碼為1，2，3。圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系為： 單元1 ： 1，2，3 1，2，3 單元2 ： 1，2，3 3，4，1或： 單元1 ： 1，2，3 1，2，3 單元2 ： 1，2，3 1，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：三三 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) nynxyxyxnnnnnnnnRRRRRRvuvuvukkkkkkkkk221122112,22,21 ,22, 222212, 112

28、11 由總剛度方程可知： 欲使彈性體的某一節(jié)點在坐標軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點上所需要施加的節(jié)點力。 剛度矩陣K中每一列元素的物理意義為：RRRRRRkkkkkkxyxynxnyTnnT1122112131412121 1 ijk 由（5-41）式可以看出，令節(jié)點1在坐標軸x方向的位移u1 =1，而其余的節(jié)點位移v1 = u2 = v2 = u3 = v3 = = u2n = v2n =0，這樣就可得到節(jié)點載荷列陣等于K的第一列元素組成的列陣，即即表示： 是在j節(jié)點有單位位移時，而在I節(jié)點所需施加的力。(s) KkBD BtBD BtkKsrTsrTeNsTr

29、TeNrTseNrseNrs1111 剛度矩陣K中主對角元素總是正的。 例如，剛度矩陣K中的元素k33 是表示節(jié)點2在x方向產(chǎn)生單位位移，而其它位移均為零時，在節(jié)點2的x方向上必須施加的力，很顯然，力的方向應(yīng)該與位移方向一致，故應(yīng)為正號。剛度矩陣K是一個對稱矩陣，即Krs = Ksr T。由（5-32）、（5-36）式得所以，可以只存儲上三角或下三角矩陣。(t) 剛度矩陣K是一個稀疏矩陣。 如果遵守一定的節(jié)點 編號規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附 近呈帶狀。 前面在討論總剛子矩陣的計算時曾指出，總剛中第r雙行的子矩陣Krs ，有很多位置上的元素都等于零，只有當?shù)诙€下標s等于r或者

30、s與r同屬于一個單元的節(jié)點號碼時才不為零，這就說明，在第r雙行中非零子矩陣的塊數(shù)，應(yīng)該等于節(jié)點r周圍直接相鄰的節(jié)點數(shù)目加一?？梢?，K的元素一般都不是填滿的，而是呈稀疏狀（帶狀）。 以圖5-6a所示的單元網(wǎng)格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個子塊為2行2列）的分布情況如圖5-6b所示。 剛度矩陣K是一個奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。 彈性體在R的作用下處于平衡，R的分量應(yīng)該滿足三個靜力平衡方程。這反映在整體剛度矩陣K中就意味著存在三個線性相關(guān)的行或列，所以K是個奇異陣，不存在逆矩陣。 ( ) eTeTTTRfGfq tdsfp tdxdy 在上節(jié)討論整體剛度矩陣時已經(jīng)指出，（在上節(jié)

31、討論整體剛度矩陣時已經(jīng)指出，（5-375-37）式中的載荷列陣）式中的載荷列陣 R R ，是由彈性體的全部單元的等效，是由彈性體的全部單元的等效節(jié)點力集合而成，而其中單元的等效節(jié)點力節(jié)點力集合而成，而其中單元的等效節(jié)點力 R R e e 則是則是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到節(jié)點上，再逐點加以合成求得。根據(jù)節(jié)點上，再逐點加以合成求得。根據(jù)虛位移原理虛位移原理，等效等效節(jié)點力的大小節(jié)點力的大小，應(yīng)按其所做的功與作用在單元上的三種，應(yīng)按其所做的功與作用在單元上的三種力在任何虛位移上所做的功相等這一原則來確定。即力在任何虛位移上所做的

32、功相等這一原則來確定。即 上式中等號的左邊表示上式中等號的左邊表示單元的等效節(jié)點力單元的等效節(jié)點力 R R e e 所做的虛功所做的虛功；等號右邊的；等號右邊的第一項是集中力第一項是集中力 G G 所做的虛所做的虛功功、第二項的積分是沿著單元的邊界進行，表示面力、第二項的積分是沿著單元的邊界進行，表示面力qq所做的虛功、第三項的積分則是遍及整個單元，表所做的虛功、第三項的積分則是遍及整個單元，表示體積力示體積力pp所做的虛功；所做的虛功；t t為單元的厚度，假定為常量為單元的厚度，假定為常量。(a)根據(jù)前面的討論，現(xiàn)以三角形常應(yīng)變單元為例來說明應(yīng)用有限元法求解彈性力學平面問題的具體步驟。力學模

33、型的確定力學模型的確定根據(jù)工程實際情況確定問題的力學模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。將計算對象進行離散化將計算對象進行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對節(jié)點進行編號。確定全部節(jié)點的坐標值，對單元進行編號，并列出各單元三個節(jié)點的節(jié)點號。 計算載荷的等效節(jié)點力計算載荷的等效節(jié)點力（要求的輸入信息）。 由各單元的常數(shù)由各單元的常數(shù)bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ，計算單元剛度矩陣。 組集整體剛度矩陣組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。 處理約束，消除剛體位移處理約束，消除剛體位移。 求解線性方程組求解線性方程組，得到節(jié)點位移。 計算應(yīng)

34、力矩陣計算應(yīng)力矩陣，求得單元應(yīng)力，并根據(jù)需要計算主應(yīng)力和主方向。 整理計算結(jié)果整理計算結(jié)果（后處理部分）。第四章第四章 空間軸對稱問題空間軸對稱問題4.1 彈性力學空間軸對稱問題的描述彈性力學空間軸對稱問題的描述一、柱坐標系一、柱坐標系 由于軸對稱性質(zhì)，采用由于軸對稱性質(zhì)，采用柱坐標系（柱坐標系（ r、z ）分析分析軸對稱問題軸對稱問題xrcosyrsinzz r4.1 彈性力學空間軸對稱問題的描述彈性力學空間軸對稱問題的描述a:a:通過對稱軸的任一平面通過對稱軸的任一平面都是對稱平面都是對稱平面b:b:子午面子午面通過對稱軸的通過對稱軸的任一平面（任一平面（r-zr-z平面）平面）c: c:

35、 如果以對稱軸為如果以對稱軸為z z軸，軸，則位移、應(yīng)變、應(yīng)力都僅則位移、應(yīng)變、應(yīng)力都僅為為r r、z z的函數(shù)而與的函數(shù)而與無關(guān)無關(guān) 空間的三維問題化為平面的二維問題，即空間的三維問題化為平面的二維問題，即空間域回轉(zhuǎn)體簡化為定義在回轉(zhuǎn)體的某個空間域回轉(zhuǎn)體簡化為定義在回轉(zhuǎn)體的某個子午面平面域上的物體。子午面平面域上的物體。 本章小結(jié)：本章小結(jié)： (1)(1)由于軸對稱性質(zhì)由于軸對稱性質(zhì), ,軸對稱問題可簡化為二維問題軸對稱問題可簡化為二維問題處理處理, ,只分析其一子午面只分析其一子午面, ,并在子午面離散并在子午面離散. .(2) (2) 與平面問題中的三結(jié)點三角形平面單元不同，與平面問題中

36、的三結(jié)點三角形平面單元不同，在本章對軸對稱問題的分析中，采用的單元類型為在本章對軸對稱問題的分析中，采用的單元類型為三結(jié)點三角形環(huán)狀的實體單元，采用的坐標系為柱三結(jié)點三角形環(huán)狀的實體單元，采用的坐標系為柱坐標系坐標系. .在單剛及等效載荷的計算中采用的近似積在單剛及等效載荷的計算中采用的近似積分方式是相當簡單也相當有效的，且三結(jié)點三角形分方式是相當簡單也相當有效的，且三結(jié)點三角形環(huán)狀實體單元不是常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。環(huán)狀實體單元不是常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。 (3)(3)軸對稱問題有限元法中軸對稱問題有限元法中, ,剛體位移僅為軸向移動剛體位移僅為軸向移動. .第五章 二維單元本章內(nèi)容一、矩形

37、單元二、二次四邊形單元三、線性三角形單元四、二次三角形單元五、軸對稱單元六、等參單元七、ANSYS中的二維單元二、二次四邊形單元8節(jié)點二次四邊形單元： 4節(jié)點四邊形單元的高階單元。 與線性單元相比，對于同樣數(shù)目的單元，二次單元的結(jié)果更精確。 適合對曲線形邊界問題建模。六、等參單元 在一維問題中存在一個現(xiàn)象：使用單一一組參數(shù)（如形函數(shù)）定義u，v，T等未知變量，并使用同樣的參數(shù)（同一形函數(shù)）表示幾何關(guān)系-等參單元、等參公式 對于二維單元也存在相似情況。6.2 平面四節(jié)點等參單元1 1、局部坐標系與位移模式、局部坐標系與位移模式建立位移模式時的新問題：如果直接用建立位移模式時的新問題：如果直接用x

38、 x，y y坐標系下的雙線性位坐標系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標軸不平行，因此位移移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。l 下圖為一個4節(jié)點任意四邊形單元，單元有8個自由度。將矩形單元 放松為4節(jié)點任意四邊形單元將帶來許多好處。6.2 平面四節(jié)點等參單元稱稱-平面內(nèi)的正方形單元為平面內(nèi)的正方形單元為基本單元或母單元基本單元或母單元。x-yx-y平面內(nèi)的平面內(nèi)的任意四邊形單元稱為任意四邊形單元稱為實際單元或子單元實際單元或子單元。顯然，母單元的節(jié)點對。顯

39、然，母單元的節(jié)點對應(yīng)于不同的應(yīng)于不同的x x，y y坐標就得到不同的任意四邊形單元。坐標就得到不同的任意四邊形單元。該局部坐標系使得在該局部坐標系使得在x-yx-y平面上的任意四邊形與平面上的任意四邊形與-平面上的正平面上的正方形之間形成了方形之間形成了1-11-1對應(yīng)的映射。正方形的對應(yīng)的映射。正方形的4 4個頂點對應(yīng)任意四邊個頂點對應(yīng)任意四邊形單元的四個節(jié)點；形單元的四個節(jié)點； 4 4條邊對應(yīng)任意四邊形單元的條邊對應(yīng)任意四邊形單元的4 4條邊；正方形條邊；正方形內(nèi)任一點內(nèi)任一點p(,)p(,)對應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點對應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點p(x,y)p(x,y)。6.6 等參單元評價1)等參

40、單元形狀、方位任意，容易構(gòu)造高階單元，適應(yīng)性好，精等參單元形狀、方位任意，容易構(gòu)造高階單元，適應(yīng)性好，精度高。度高。2)等參單元列式具有統(tǒng)一的形式，規(guī)律性強，采用數(shù)值積分計算，等參單元列式具有統(tǒng)一的形式，規(guī)律性強，采用數(shù)值積分計算，程序處理方便。程序處理方便。3)由于等參單元涉及單元幾何形狀的變換，對實際單元的形態(tài)有一定由于等參單元涉及單元幾何形狀的變換，對實際單元的形態(tài)有一定要求。單元形態(tài)好壞影響計算結(jié)果的精度。單元形態(tài)應(yīng)滿足：單要求。單元形態(tài)好壞影響計算結(jié)果的精度。單元形態(tài)應(yīng)滿足：單元各方向的尺寸盡量接近；單元邊界不能過于曲折，不能有拐點元各方向的尺寸盡量接近；單元邊界不能過于曲折，不能有

41、拐點和折點，盡量接近直線或拋物線；邊之間夾角接近直角。和折點，盡量接近直線或拋物線；邊之間夾角接近直角。4)高階等參元精度高，描述復(fù)雜邊界和形狀的能力強，所需單元少，高階等參元精度高，描述復(fù)雜邊界和形狀的能力強，所需單元少，在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中應(yīng)用最廣泛。在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中應(yīng)用最廣泛。等參單元的總體評價：等參單元的總體評價：七、ANSYS中的二維單元 ANSYS提供了許多二維單元，這些單元大多數(shù)基于線性、二次四邊形和三角形形函數(shù)。 二維結(jié)構(gòu)力學單元：PLANE2PLANE42PLANE821.該選桿單元（該選桿單元（Link）還是梁單元）還是梁單元(Beam)？ 這個比較容易理解。桿單元只能承受沿著

42、桿件方向的拉力或者壓力，桿單元不能承受彎矩，這是桿單元的基本特點。 梁單元則既可以承受拉，壓，還可以承受彎矩。如果你的結(jié)構(gòu)中要承受彎矩，肯定不能選桿單元。 對于梁單元，常用的有beam3,beam4,beam188這三種，他們的區(qū)別在于： 1)beam3是2D的梁單元，只能解決2維的問題。 2)beam4是3D的梁單元，可以解決3維的空間梁問題。 3)beam188是3D梁單元，可以根據(jù)需要自定義梁的截面形狀。2.對于薄壁結(jié)構(gòu)，是選實體單元還是殼單元？對于薄壁結(jié)構(gòu)，是選實體單元還是殼單元？對于薄壁結(jié)構(gòu)，最好是選用shell單元，shell單元可以減少計算量，如果你非要用實體單元，也是可以的，但

43、是這樣計算量就大大增加了。而且，如果選實體單元，薄壁結(jié)構(gòu)承受彎矩的時候，如果在厚度方向的單元層數(shù)太少，有時候計算結(jié)果誤差比較大，反而不如shell單元計算準確。 實際工程中常用的shell單元有shell63,shell93。shell63是四節(jié)點的shell單元(可以退化為三角形)，shell93是帶中間節(jié)點的四邊形shell單元(可以退化為三角形),shell93單元由于帶有中間節(jié)點，計算精度比shell63更高，但是由于節(jié)點數(shù)目比shell63多，計算量會增大。對于一般的問題，選用shell63就足夠了。除了shell63,shell93之外，還有很多其他的shell單元，譬如shell

44、91,shell131，shell163等等，這些單元有的是用于多層鋪層材料的，有的是用于結(jié)構(gòu)顯示動力學分析的，一般新手很少涉及到。通常情況下，shell63單元就夠用了。課堂總結(jié)二維線性矩形單元和線性三角形單元及其形函數(shù)，以及它們的性質(zhì)和局限性； 二維二次三角形單元和二次四邊形單元及其形函數(shù)，以及它們各自的性質(zhì)和相對線性單元的優(yōu)點； 軸對稱單元的概念；等參單元和公式的意義；ANSYS中的二維單元的例子。一、典型分析過程1. 前處理創(chuàng)建有限元模型 1）單元屬性定義（單元類型、實常數(shù)、材料屬性） 2）創(chuàng)建或讀入幾何實體模型 3）有限元網(wǎng)格劃分 4）施加約束條件、載荷條件2. 施加載荷進行求解 1

45、）定義分析選項和求解控制 2）定義載荷及載荷步選項 2）求解 solve3. 后處理 1）查看分析結(jié)果 2）檢驗結(jié)果ANSYS的分析方法(續(xù))ANSYS GUI中的功能排列按照一種動賓結(jié)構(gòu)，以動詞開始（如Create), 隨后是一個名詞 (如Circle).菜單的排列，按照由前到后、由簡單到復(fù)雜的順序，與典型分析的順序相同. 二、 ANSYS文件及工作文件名一些特殊的文件 數(shù)據(jù)庫文件jobname.db二進制Log 文件jobname.log文本結(jié)果文件jobname.rxx二進制圖形文件jobname.grph 二進制 ANSYS的數(shù)據(jù)庫，是指在前處理、求解及后處理過程中，ANSYS保存在內(nèi)

46、存中的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)庫既存儲輸入的數(shù)據(jù)，也存儲結(jié)果數(shù)據(jù):輸入數(shù)據(jù) - 必須輸入的信息 (模型尺寸、材料屬性、載荷等).結(jié)果數(shù)據(jù) - ANSYS計算的數(shù)值 (位移、應(yīng)力、應(yīng)變、溫度等).ANSYS窗口Objective1-2. ANSYS GUI中六個窗口的總體功能輸入顯示提 示 信 息 ， 輸 入ANSYS命令，所有輸入的命令將在此窗口顯示。主菜單包含ANSYS的主要功能，分為前處理、求解、后處理等。輸出顯示軟件的文本輸出。通常在其他窗口后面，需要查看時可提到前面。應(yīng)用菜單包含例如文件管理、選擇、顯示控制、參數(shù)設(shè)置等功能.工具條將常用的命令制成工具條，方便調(diào)用.圖形顯示由ANSYS創(chuàng)建或傳遞到AN

47、SYS的圖形.ANSYS 有兩個后處理器:通用后處理器 (即 “POST1”) 只能觀看整個模型 在 某 一 時 刻 的 結(jié) 果 ( 如 ： 結(jié) 果 的 照 相 “snapshot”). 時間歷程后處理器 (即 “POST26”) 可觀看模型在不同時間的結(jié)果。 但此后處理器只能用于處理瞬態(tài)和/或動力分析結(jié)果。Objective靜力分析結(jié)果后處理的步驟主要包括:1. 繪變形圖2. 變形動畫3. 支反力列表4. 應(yīng)力等值線圖5. 網(wǎng)格密度檢查GuidelinesObjective介紹靜力分析結(jié)果后處理的五個步驟第三章 ANSYS補充說明一、坐標系1. 工作平面坐標系wpcs：類似于繪圖圖板，缺省時

48、總與總體坐標系重合，能以網(wǎng)格捕捉形式顯示，并可相對當前激活總體坐標系移動或旋轉(zhuǎn)，其編號永遠為“4”2. 總體坐標系 global cs：包括三種形式 總體直角坐標系（x , y , z) 編號為“0” 總體柱坐標系 （r , , z) 編號為“1” 總體球坐標系 （r , , )編號為“2”3. 局部坐標系 local cs：局部坐標系是在任意位置的用戶定義坐標系，即不一定與總體坐標系平行或重合，可以是任意方向，編號為大于等于“11”FEM坐標系4. 節(jié)點坐標系 node cs：所有的力及其他方向的與節(jié)點相關(guān)的載荷都是在節(jié)點坐標系下進行的，例如力的方向等只與節(jié)點坐標系相關(guān) 節(jié)點坐標系上可以輸入

49、力和力矩；位移約束；耦合及約束過程5. 單元坐標系 element cs：即材料坐標系，例如彈性模量在材料為各向異性時每一方向?qū)⒉煌藭r則根據(jù)單元坐標系輸入不同方向的 E 6. 結(jié)果坐標系：結(jié)果的輸出形式位移，支反力，力矩等都是與結(jié)果坐標系相關(guān)的，結(jié)果坐標系即當前激活坐標系，同節(jié)點坐標系一樣，二者可以是任何一種當前激活坐標系 三、網(wǎng)格劃分器自由式 free：對復(fù)雜的拓撲結(jié)構(gòu)無限制， 形狀不定映射式 mapped：拓撲結(jié)構(gòu)有限制，只適用規(guī)則的體 形狀，如四，六面體等，可通過global set 進行密度設(shè)置掃略 sweep：適用于柱體形狀，同mapped一樣可控制密度Smart size：智能

50、尺寸是根據(jù)幾何模型的形狀，確定網(wǎng)格密度，適于free劃分，可通過滑桿確定網(wǎng)格密度網(wǎng)格劃分原則網(wǎng)格劃分的單元形狀四方和六方的沒有可比性Sweep掃略網(wǎng)格須上下面即對應(yīng)面完全一致能用mapped,sweep劃分網(wǎng)格最好先用之，不行再用自由式free網(wǎng)格劃分最好按線，面， 體的順序分配單元屬性千萬不能分配錯誤面盡量用四邊形的網(wǎng)格，體盡量用六面體的網(wǎng)格關(guān)心應(yīng)力結(jié)果的區(qū)域須進行詳細網(wǎng)格劃分僅關(guān)心位移結(jié)果的地方網(wǎng)格可以粗糙些四、ANSYS求解器類型用于求解表征結(jié)構(gòu)自由度的線性方程組 直接消去求解器波前求解器： 最穩(wěn)定，速度慢，小內(nèi)存時用sparse求解器：速度快，非線性最適合 迭代求解器PCG：預(yù)條件共軛

51、梯度求解器ICCG：不完全的喬里斯基共軛梯度求解器JCG：雅可比共軛梯度求解器 位置在求解器/solu中的求解選項analysis options，包括求解精度公差更改六、Animate菜單 Mode shape：變形模態(tài)系列Deformed shape：結(jié)構(gòu)變形動畫Deformed result：結(jié)構(gòu)變形等值線Over time：隨時間變化的變形等值線動畫Over result：某一子步范圍結(jié)果的順序等值線動畫Q-slice contours：變形等值線切片云圖動畫Q-slice vectors：變形等值線切片云圖動畫Isosurfaces：變形等勢面云圖動畫Partice flow：粒子流

52、動或帶電粒子運動的動畫系列第九章 ANSYS程序簡介-動力學分析ANSYS動力學分析是用來確定慣性力和阻尼力不可忽略時的系統(tǒng)動力學特性，研究固有頻率，振動，減振及瞬態(tài)特性動力學控制方程： MU+CU+KU=f(t) 其中 U U U 為節(jié)點位移，速度，加速度 M為質(zhì)量矩陣 C 為阻尼矩陣 K 為剛度矩陣模態(tài)分析即f(t)=0的解諧響應(yīng)分析的f(t),u(t)都為諧函數(shù)，如xsint瞬態(tài)動力學的f(t)為時間歷程載荷動力學建模原則必須定義密度和彈性模量單位制要嚴格統(tǒng)一，如使用英制單位，要定義質(zhì)量密度而不是重力密度靜力學關(guān)于形狀和網(wǎng)格的規(guī)定，動力學一樣遵循關(guān)心應(yīng)力結(jié)果的區(qū)域須進行詳細網(wǎng)格劃分，僅關(guān)

53、心位移結(jié)果的區(qū)域網(wǎng)格可以粗糙些非線性問題在完全瞬態(tài)動力學分析中允許使用，在所有其他動力學分析類型中，非線性將被忽略，也就是說最初的非線性問題將一直保持不變瞬態(tài)動力學時間積分步長T設(shè)置原則： T 即兩個時間點間的時間增量 ，它決定求解的精確度，必須采用相應(yīng)的值才能得到分析現(xiàn)象。通常在每個循環(huán)子步中， T 至少有20個時刻點應(yīng)是足夠的 即 T=1/20(f) f是所關(guān)心的最高響應(yīng)頻率，而施加階梯載荷時，為緊緊跟隨載荷的階躍變化， T也許要小到和1/180f相近接觸分析中T =1/30(fc) fc為接觸頻率 fc=1/2(k/m)1/2 m 為有效質(zhì)量 k 為間隙剛度 各分析類型的簡要敘述模態(tài)分析

54、：分析有/無阻尼系統(tǒng)或液固耦合自由振動，哪個方向的剛度最小，就最先出現(xiàn)模態(tài)有預(yù)應(yīng)力時，做靜力分析和模態(tài)分析必須打開預(yù)應(yīng)力開關(guān)，即讀入預(yù)應(yīng)力矩陣 位置在求解器Analysis options對話框中prestress on 開關(guān)區(qū)分分析類型原則如果在相對較長時間內(nèi)載荷是一個常數(shù)，則選擇靜力分析，否則為動態(tài)分析如果激勵頻率小于結(jié)構(gòu)最低階固有頻率的1/3，則可以進行靜力分析線性分析是假設(shè)忽略載荷對結(jié)構(gòu)剛度變化的影響。典型特征是小變形，彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，無諸如兩物體接觸或分離時的剛度突變等，即應(yīng)力及應(yīng)變?yōu)榫€性變化如加載引起結(jié)構(gòu)剛度的顯著變化必須進行非線性分析，典型因素有應(yīng)變超過彈性范圍（塑性）；大變形；兩體間接觸等第九章 ansys基本應(yīng)用-非線性分析接觸非線性接觸分類：剛體對柔體-剛度差別較大，如金屬成型柔體對柔體-表面剛度差不多，如螺栓，法蘭聯(lián)接等接觸協(xié)調(diào)條件 兩個表面須建立關(guān)系，防止表面相互滲透。即建立接觸面和目標面。防止穿透標準為判斷接觸面的節(jié)點是否進入目標面積分點，如進入目標