第四章 振動(dòng)和波PPT

1、12 振動(dòng)可分為機(jī)械振動(dòng)和電磁振動(dòng)（電磁振蕩）振動(dòng)可分為機(jī)械振動(dòng)和電磁振動(dòng)（電磁振蕩）兩大類。兩大類。 一、機(jī)械振動(dòng)：物體在某個(gè)位置附近來回往一、機(jī)械振動(dòng)：物體在某個(gè)位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)叫做機(jī)械振動(dòng)。復(fù)的運(yùn)動(dòng)叫做機(jī)械振動(dòng)。 波（波動(dòng)）是振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程。波（波動(dòng)）是振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程。 二、機(jī)械波：機(jī)械二、機(jī)械波：機(jī)械 振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播形振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波成機(jī)械波 3 物體或物體的某一部分在一定位置物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng) 實(shí)例實(shí)例: 心臟的跳動(dòng)，心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂器，鐘擺，樂器， 地震等地震等1 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)平衡位置平衡位置 4

2、.1 4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)一一 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)諧振子諧振子 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)5kl0 xmoAA 彈簧振子的振動(dòng)彈簧振子的振動(dòng)00Fx6振動(dòng)的成因：振動(dòng)的成因：回復(fù)力回復(fù)力+慣性慣性7mk2令令 xxFm3 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析xtx222dd得得2ax 即即omakxF簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：加速度加速度 與位移的大小與位移的大小x成正比，方向相反成正比，方向相反a8mk2令令 xxFm

3、3 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析xtx222dd得得2ax 即即omakxF簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：加速度加速度 與位移的大小與位移的大小x成正比，方向相反成正比，方向相反a9簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAx解方程解方程設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為:解得解得xtx222dd00txx0 vv 時(shí)時(shí)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程其確定通解的積分常數(shù)。其確定通解的積分常數(shù)。10)cos(dd222tAtxa)cos(tAx由由得得dsin()dxvAtt 其中其中220000()arctan()vAxvx簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)

4、諧運(yùn)動(dòng)方程11簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程)2cos()cos(tTAtAx 1 1 振幅振幅maxxAtx圖圖AA xT2Tto -表示振動(dòng)在空間的限度或更一般地表示振動(dòng)在空間的限度或更一般地講振動(dòng)中物理量出現(xiàn)的最大值（質(zhì)點(diǎn)離講振動(dòng)中物理量出現(xiàn)的最大值（質(zhì)點(diǎn)離平衡位置平衡位置 的最大值）的最大值）二二 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量12)cos(tAx2 2 周期、頻率周期、頻率kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2T 周期周期)(cosTtA注意注意tx圖圖AA xT2Tto1321T 頻率頻率T22 圓頻率（角頻率）圓頻率（角頻率） 周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身本身的的物理

5、性質(zhì)有關(guān)物理性質(zhì)有關(guān)tx圖圖AA xT2Tto)cos(tAx)(cosTtA14頻率為頻率為Hz33.1/1T例如，例如，心臟的跳動(dòng)心臟的跳動(dòng)80次次/分分s 75. 0) s (8060(min801）T周期為周期為大象大象 0.40.5 馬馬 0.70.8豬豬 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.3 鯨鯨 0.13動(dòng)物的心跳頻率動(dòng)物的心跳頻率(參考值參考值,單位單位:Hz) 15 昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率（昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 蒼蒼 蠅蠅 330 黃黃 蜂蜂 22016 相位的意義相位的意義: 表征任意時(shí)刻（表征任意時(shí)刻（t

6、）物體振物體振動(dòng)狀態(tài)動(dòng)狀態(tài). 物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變 2 . 3 3 相位和初相相位和初相)cos(tAx相相 位位tt)()(0tt時(shí)，初相位初相位1722002vAx00tanvx三三 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000txxvv初始條件初始條件sin()vAt )cos(tAx 對(duì) 給 定 振 動(dòng)對(duì) 給 定 振 動(dòng)系統(tǒng)，周期由系系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初振幅和初相由初始 條 件 決 定始 條 件 決 定 . .18cos0A2 00,0,0txv已知已知 求求討論討論)2 cos(tAxxvotx圖圖AA xT2Tto

7、0sin0vA 0sin取取219 （2）一諧振動(dòng)狀態(tài)決定其振幅）一諧振動(dòng)狀態(tài)決定其振幅A、頻率、頻率 （或（或T或或 ）初相）初相 。這三者稱為振動(dòng)。這三者稱為振動(dòng)三要素。三要素。理解注意：理解注意： （1）周期、圓頻率都是決定系統(tǒng)本身的物理）周期、圓頻率都是決定系統(tǒng)本身的物理量，量， 稱為稱為固有周期、固有頻率。固有周期、固有頻率。20)cos(111tAx)cos(222tAx（3）在比較同頻率的諧振動(dòng)時(shí)，往往用到）在比較同頻率的諧振動(dòng)時(shí)，往往用到相位差的概念。相位差的概念。1212)()(tt121221振動(dòng)振動(dòng)“2”超前超前“1”振動(dòng)振動(dòng)“2”落后落后“1”振動(dòng)振動(dòng)“1”和振動(dòng)和振動(dòng)

8、“2”同相；同相；規(guī)定：規(guī)定：21tx 圖圖vt圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取取2T)2cos(tAsin()vAt )cos(2tA)cos(2tAaT位移、速度、加速度的相位關(guān)系位移、速度、加速度的相位關(guān)系22例：如圖為物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的例：如圖為物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的xt曲線，已曲線，已知振幅為知振幅為0.1m,周期周期0.5s。求初相位和簡(jiǎn)諧振動(dòng)。求初相位和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。的運(yùn)動(dòng)方程。解：分析，從圖可知解：分析，從圖可知t=0 時(shí)：時(shí)：20Axx設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為)cos(tAxx2At23以以t=0代入：代入：3;2cos0AAx ?

9、;0sin0Av由由3所以所以由題意知由題意知4,5.0sT所以振動(dòng)方程為所以振動(dòng)方程為)cos(tAx)(34cos(1 .0mtx設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為)cos(tAx0sin 所以所以24例：一彈簧振子，重物的質(zhì)量為例：一彈簧振子，重物的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系，彈簧的勁度系數(shù)為數(shù)為k，該振子作振幅為，該振子作振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)重物通過的簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)重物通過平衡位置且向規(guī)定的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，開始計(jì)時(shí)則平衡位置且向規(guī)定的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，開始計(jì)時(shí)則其振動(dòng)方程為：其振動(dòng)方程為：)21/(cos) 1 (tmkAx)21/cos()2(tmkAx)21/(cos) 3(tkmAx1(4)cos(/)

10、2xAm kt 2 251、角速度、角速度 物體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角位移與所經(jīng)歷的時(shí)間的比值物體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角位移與所經(jīng)歷的時(shí)間的比值叫做角速度，即叫做角速度，即 = =/t t。在國(guó)際單位制中，。在國(guó)際單位制中，它的單位是弧度它的單位是弧度/ /秒。當(dāng)所取時(shí)間秒。當(dāng)所取時(shí)間t t較長(zhǎng)時(shí)，這一比較長(zhǎng)時(shí)，這一比值是平均角速度；當(dāng)所取時(shí)間值是平均角速度；當(dāng)所取時(shí)間t0t0時(shí)，這一比值的時(shí)，這一比值的極限就是即時(shí)角速度。極限就是即時(shí)角速度。 角速度是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢物理量。一般不角速度是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢物理量。一般不考慮角速度的方向性，而將它作為標(biāo)量來處理。繞考慮角速度的方向性，而將它作為標(biāo)量來處理。繞固

11、定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，任意點(diǎn)的角速度固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，任意點(diǎn)的角速度和線速度和線速度v v的關(guān)系為的關(guān)系為v= rv= r。如果物體每秒轉(zhuǎn)動(dòng)周數(shù)為。如果物體每秒轉(zhuǎn)動(dòng)周數(shù)為n n或者或者它轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需時(shí)間為它轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需時(shí)間為t t，則有，則有 = 2n =2/t = 2n =2/t 。 262、角頻率、角頻率 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，在單位時(shí)間內(nèi)物體完成在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，在單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)叫頻率，用全振動(dòng)的次數(shù)叫頻率，用f表示，頻率的表示，頻率的2倍叫角頻率，即倍叫角頻率，即 =2f。在國(guó)際單位制中，。在國(guó)際單位制中，角頻率的單位也是弧度角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體秒。頻率是描述物體

12、振動(dòng)快慢的物理量，所以角頻率也是描述物振動(dòng)快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動(dòng)快慢的物理量。頻率、角頻率和周期體振動(dòng)快慢的物理量。頻率、角頻率和周期的關(guān)系為的關(guān)系為 = 2f = 2/t。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，角頻率與振動(dòng)物體間的速度角頻率與振動(dòng)物體間的速度 v 的關(guān)系為的關(guān)系為v =Asin( t + )。 27若以一質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若以一質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，比較角速度比較角速度 與角頻率與角頻率的異同的異同 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的 名名 稱稱 角速度角速度 角頻率角頻率 定定 義義 單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)

13、動(dòng)的角度單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度 單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)次數(shù)的單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)次數(shù)的2倍倍 單單 位位 弧度弧度/秒秒 弧度弧度/秒秒 性性 質(zhì)質(zhì) 描述轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢描述轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢 描述振動(dòng)的快慢描述振動(dòng)的快慢 與與n或或 的關(guān)系的關(guān)系 = 2n = 2 與周期的關(guān)系與周期的關(guān)系 = 2/t = 2/t 與哪些因素有關(guān)與哪些因素有關(guān) 與物體所受向心力有關(guān)與物體所受向心力有關(guān) 只由振動(dòng)系統(tǒng)本身性質(zhì)決定只由振動(dòng)系統(tǒng)本身性質(zhì)決定 與速度的關(guān)系與速度的關(guān)系 = v/r ( v為線速度為線速度) v = Asin( t + ) 28附：二階常系數(shù)微分方程的解附：二階常系數(shù)微分方程的解022r其特征方程為其特征

14、方程為xtx222dd解之解之，即0 ir于是方程的通解為于是方程的通解為12e(cossin)xxCtCt)sincos( )sincos(2221222211222121tCCCtCCCCCtCtCx)cos(tAx29Ax2AtobavA四四 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法問題：若圖中振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為T,則質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到B的最短時(shí)間為多少？30 xoAcos0Ax 0t0 x旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 自自O(shè)x軸的原點(diǎn)軸的原點(diǎn)O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振動(dòng)的它的模等于振動(dòng)的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)平面內(nèi)繞點(diǎn)O作作逆時(shí)針逆時(shí)針方向的方向的勻角

15、速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角其角速度速度 與振動(dòng)的角與振動(dòng)的角頻率相等頻率相等，這個(gè)矢這個(gè)矢量就叫做量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量. AA31 以以 為原為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在的端點(diǎn)在 軸軸上的投影點(diǎn)的上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xAooAtt t)cos(tAxx32)cos(tAx 以以 為原為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在的端點(diǎn)在 軸軸上的投影點(diǎn)的上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xAo33)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaamvAsin()vAt2nAa 速率速率在在ox方向的投影：方向的投影：在在ox方向的投影：方向的投影：向

16、心加速度向心加速度 各象限的速度各象限的速度方向很好確定。方向很好確定。34用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx 反相反相35討論討論 相位差：表示兩個(gè)相位之差相位差：表示兩個(gè)相位之差 （1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間)()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx36Ax2Atobaat3TTt61232AvAxAoAbt37 （2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間差表示它們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異（解決振動(dòng)合成（解決振動(dòng)合成

17、問題）問題）. .12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt380 xto同步同步xto為其它為其它超前超前落后落后12txo反相反相39 例：一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示則振動(dòng)周例：一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示則振動(dòng)周期是期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s 答案：答案： B x (cm) t (s) O 4 2 1 56xAoA3040 例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為0.01 kg的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為其振幅為0.08 m，周期為周期為4 s，起始時(shí)刻物體在起始時(shí)刻物體在x=0.04 m處，處，向向ox軸負(fù)方向

18、運(yùn)動(dòng)（如圖）軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）. .試求試求 （1）t=1.0 s時(shí)，物體所處的位置和所時(shí)，物體所處的位置和所受的力；受的力； o08. 004. 004. 008. 0m/xv41o08. 004. 004. 008. 0m/xm 04.00 xt，代入代入)cos(tAxA303v0解解1s 22Tm 08. 0As 4,m 08. 0,kg 01. 0TAm已知已知0,0.04 m,0txv0求（求（1）Fxt, s 0 . 1342o08. 004. 004. 008. 0m/xvkg 01. 0ms 0 . 1t代入上式得代入上式得m 069. 0 xxmkxF2)32cos(08

19、. 0txN 1070. 13可求（可求（1）Fxt, s 0 . 1343 （2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到由起始位置運(yùn)動(dòng)到x = -0.04 m處所需處所需要的最短時(shí)間要的最短時(shí)間. . 法一法一 設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x= -0.04 m處所處所需要的最短時(shí)間為需要的最短時(shí)間為to08. 004. 004. 008. 0m/xv4423)21(arccosts 667. 032o08. 004. 004. 008. 0m/xv)32cos(08. 0tx)32cos(08. 004. 0t45o08. 004. 004. 008. 0m/x法二法二3起始時(shí)刻起始時(shí)刻 時(shí)刻時(shí)刻tt3t

20、s 667. 032t1srad 2346lsinmgmgFmgmgsxllsin5，時(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)分析：動(dòng)力學(xué)分析：222d0dxxtAQ 五五 單擺的振動(dòng)單擺的振動(dòng)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)正正向向即：?jiǎn)螖[在擺動(dòng)角度很小時(shí)，其作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。即：?jiǎn)螖[在擺動(dòng)角度很小時(shí)，其作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。OTmgFs2,=mgkglml令k則此時(shí)，回復(fù)力此時(shí)，回復(fù)力F可看作與位移可看作與位移x成正比成正比。47lg2由由glT2gllTmgOAm轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)正正向向它的角頻率為它的角頻率為它的振動(dòng)周期為它的振動(dòng)周期為48 3 3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程和特征簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程和特征 xtx222dd （2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程kxF

21、（1）物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 xsin()vAt )cos(tAx （3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程xa2 （4）加速度與位移成正比而方向相反加速度與位移成正比而方向相反491、諧振動(dòng)的能量、諧振動(dòng)的能量 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程中，由于回復(fù)力作功，在簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程中，由于回復(fù)力作功，必然伴隨著能量形式的轉(zhuǎn)化。簡(jiǎn)諧振動(dòng)必然伴隨著能量形式的轉(zhuǎn)化。簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)系統(tǒng)的能量，包括動(dòng)能和勢(shì)能兩部分。以彈簧振的能量，包括動(dòng)能和勢(shì)能兩部分。以彈簧振子為例。子為例。)cos(tAx)sin(tAdtdxv六六 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量50（1） 動(dòng)能動(dòng)能( (以彈簧

22、振子為例以彈簧振子為例) ) O x Xmk2m22k22211sin()221sin ()2EmvmAtmAt)(sin2122tkA51（2） 勢(shì)能勢(shì)能 線性回復(fù)線性回復(fù)力是力是保守力。保守力。O x Xm)(cos2121222ptkAkxE（3） 機(jī)械能機(jī)械能222pk2121AmkAEEE振動(dòng)過程機(jī)械能守恒說明了什么？振動(dòng)過程機(jī)械能守恒說明了什么？52簡(jiǎn)簡(jiǎn) 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 能能 量量 圖圖tkAE22pcos21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx vt, x vtoTtAxcossinvAt 221kAE 053簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線kEpExAA

23、pExOEBC222p11cos ()22EkxkAt54能量守恒能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出導(dǎo)出222111222EmvkxkA22d11()0d22mvkxtdd0ddvxmvkxtt0dd22xmktx解之得：解之得：)cos(tAx結(jié)合初始條件可求出運(yùn)動(dòng)方程結(jié)合初始條件可求出運(yùn)動(dòng)方程.55 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為 ，求：求：kg 10.0m 100 . 12（1）振動(dòng)的周期；振動(dòng)的周期； （2）通過平衡位置的動(dòng)能；通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？物體在何處

24、其動(dòng)能和勢(shì)能相等？2sm 0 . 456Aamaxs 314. 02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm，T；( (2) )maxk,E求求:( (1) )57（4）pkEE 時(shí)時(shí) J 100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105 . 0總能量總能量E；（3）max, kEE J 100 . 23解解( (4) )何處動(dòng)勢(shì)能相等何處動(dòng)勢(shì)能相等? ?求求:( (3) )cm 707. 0 x已知已知2max2sm 0 . 4m

25、 100 . 1kg 10. 0aAm，58 一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)其偏離平衡一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)其偏離平衡位置的位移的大小為振幅的位置的位移的大小為振幅的1/4時(shí)，其動(dòng)能時(shí)，其動(dòng)能為振動(dòng)總能量的（）為振動(dòng)總能量的（） ( (A）1/2 ( (B）11/16 ( (C）13/16 ( (D）15/16 解解Ax41sum22psumk16151612121EkAkAEEE22p1612121kAkxE59 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以頻率當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以頻率 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的變化率為的變化率為242/( (A) )( (B) )( (C) )( (D) )222k211sin ()22

26、11cos(2222EmvkAttkA）222解解60一一 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：)cos(111tAx)cos(222tAx兩振動(dòng)的位相差兩振動(dòng)的位相差 =常數(shù)常數(shù)12 4.2 4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成61 代數(shù)方法：設(shè)兩個(gè)振動(dòng)具有相同頻率，代數(shù)方法：設(shè)兩個(gè)振動(dòng)具有相同頻率，同一直線上運(yùn)動(dòng)，有不同的振幅和初相位同一直線上運(yùn)動(dòng)，有不同的振幅和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)

27、coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA合振幅合振幅62 兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成后仍后仍為為同同頻率的頻率的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng))cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAA 幾何方法幾何方法)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx63too212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx同方向同方向特殊情況特殊情況64xto

28、)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox反方向反方向65（3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA21AAA加強(qiáng)加強(qiáng)減弱減弱小結(jié)小結(jié)（1）相位差相位差212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k（4）合振動(dòng)的初相與振幅較大的分振動(dòng)相同。合振動(dòng)的初相與振幅較大的分振動(dòng)相同。66 二二 兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成的合成67 頻率頻率較大較大但頻率之但頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方同方向向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

29、，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx討論討論 , , 的合成情況的合成情況 21AA 2112假設(shè)兩振動(dòng)的振幅相等。假設(shè)兩振動(dòng)的振幅相等。68合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率tAtAxxx2111212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA69拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）121T12ttAx22cos)22cos2(12121由于余弦函數(shù)的絕對(duì)值以由于余弦函數(shù)的

30、絕對(duì)值以為周期，所以為周期，所以212111211212cos 22cos(2)221 = 2cos 2()2vvvvAtAtvvAtvv即：合振幅變化的周期為即：合振幅變化的周期為具體應(yīng)用放在后面的章節(jié)學(xué)習(xí)。具體應(yīng)用放在后面的章節(jié)學(xué)習(xí)。70 例題例題 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程分別為：諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程分別為： 畫出兩運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合運(yùn)畫出兩運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程m)314cos(10521txm)614sin(10322tx71x/cmo532 33解解)324cos(103)21614cos(103)61

31、4sin(1032222tttx) 314cos(10521txm) 314cos(102221txxx72 三三 兩個(gè)相互垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧兩個(gè)相互垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)的合成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡 （橢圓方程）（橢圓方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx73 附：運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)附：運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即11cos();xAt22cos()yAt111coscossinsinxttA222cosco

32、ssinsinyttA212112coscossinsin()xytAA74212112coscossinsin()xytAA212112sinsincossin()xytAA221222212sincos2AAxyAyAx)cos)(sin(sin)sinsincos(cos222122121221222212ttAAxyAyAx75（1） 或或2012xAAy12討討論論（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx76tAxcos1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(2122122

33、1222212AAxyAyAx討討論論1A2Aoxy77 垂直方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成垂直方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌道不是封閉曲線，一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。(1) 視為同頻率的合成，不視為同頻率的合成，不過兩個(gè)振動(dòng)的相位差在緩慢地變化，過兩個(gè)振動(dòng)的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道將不斷地從下圖所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。所示圖形依次的循環(huán)變化。012120212當(dāng)當(dāng) 時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)；時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)； 時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。下面就兩種情況討論下面就兩種情況討論780124

34、12431247452122379 (2) 如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。為李薩如圖形。用李薩如圖形在無線電用李薩如圖形在無線電技術(shù)中可以測(cè)量頻率：技術(shù)中可以測(cè)量頻率： 在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。

35、就可得知另一個(gè)未知的頻率。2:1:yxTT80 用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖81實(shí)驗(yàn)中很難得到穩(wěn)定的利薩如圖形，而只能得到實(shí)驗(yàn)中很難得到穩(wěn)定的利薩如圖形，而只能得到重復(fù)變化的某一組利薩如圖形。為什么？重復(fù)變化的某一組利薩如圖形。為什么？因?yàn)樗脙蓚€(gè)信號(hào)的位相差是變化的，而不是固定的。因?yàn)樗脙蓚€(gè)信號(hào)的位相差是變化的，而不是固定的。 實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)李薩如圖形與理論預(yù)期情況有一定差別，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)李薩如圖形與理論預(yù)期情況有一定差別，比如本來應(yīng)該是橢圓，但不是很規(guī)則的橢圓。為什么？比如本來應(yīng)該是橢圓，但不是很規(guī)則的橢圓。為什么？因?yàn)樾∽儔浩鬏敵龅碾娦盘?hào)不是非常規(guī)則的正弦波。因?yàn)樾∽儔浩?/p>

36、輸出的電信號(hào)不是非常規(guī)則的正弦波。82一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻阻尼尼振振動(dòng)動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。 4.3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振83阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動(dòng)力學(xué)方程振子動(dòng)力

37、學(xué)方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)84t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。慢，周期越接近于諧振動(dòng)。0 0cos()txA et220 0220222 T阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)

38、周期阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期85臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位置并停下來0 te )tcc(x 21過阻尼過阻尼t(yī))(tx過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 86二、二、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程22cosPd xdxmkxH

39、tdtdt 22022cosPd xdxxhtdtdt令令0,2kHhmmm周期性外力周期性外力策動(dòng)力策動(dòng)力cosPFHt87穩(wěn)定解穩(wěn)定解cos()PxAt(2)振幅振幅: :22222 1/20()4PPhA (3)初相初相: :2202tanPP 特點(diǎn)特點(diǎn): :穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化0(cos)cos()tPxA etAt阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1)頻率頻率: : 等于策動(dòng)力的頻率等于策動(dòng)力的頻率 P88三、三、共振共振在一定條件下在一定條件下, , 振幅出現(xiàn)極大值振幅出現(xiàn)極大值, , 振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。1 1、位移

40、共振、位移共振(1)共振頻率共振頻率 : :2202P(2)共振振幅共振振幅 : :22002 fAr22222 1/20()4PPhA 892、速度共振、速度共振一定條件下一定條件下, , 速度振幅極大的現(xiàn)象。速度振幅極大的現(xiàn)象。速度共振時(shí)，速度與速度共振時(shí)，速度與策動(dòng)力同相，一周期策動(dòng)力同相，一周期內(nèi)策動(dòng)力總作正功，內(nèi)策動(dòng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能量最大。量最大。 0P 20fvmr sin()PvpAt 0222220()4PmPPPfvA 90波動(dòng)波動(dòng)是一切微觀粒子的屬性，是一切微觀粒子的屬性，與微觀粒子對(duì)應(yīng)的波稱為與微觀粒子對(duì)應(yīng)的波稱為物質(zhì)波物質(zhì)波。各種類型的波

41、有其特殊性，但也有普遍的共性，各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有類似的波動(dòng)方程。有類似的波動(dòng)方程。機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波機(jī)械波。聲波、水波聲波、水波 4.4 4.4 機(jī)械波機(jī)械波91振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系：振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系： 機(jī)械波、電磁波、物質(zhì)波機(jī)械波、電磁波、物質(zhì)波振動(dòng)振動(dòng)波動(dòng)的成因波動(dòng)的成因波動(dòng)波動(dòng)振動(dòng)的傳播振動(dòng)的傳播 波動(dòng)的種類：波動(dòng)的種類：4.4.1 波波的基本概念的基本概念92一一 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 能傳播機(jī)械振動(dòng)的媒質(zhì)能傳播機(jī)械振動(dòng)的媒質(zhì)（空氣、水、鋼鐵等）（空氣、水、鋼鐵等）2 介質(zhì)介質(zhì)作機(jī)械振動(dòng)的物體作機(jī)械振動(dòng)的物體

42、（聲帶、樂器等）（聲帶、樂器等） 1 波源波源 波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.注意注意機(jī)械波產(chǎn)生的條件：機(jī)械波產(chǎn)生的條件：93二二 橫波與縱波橫波與縱波1 橫波橫波94特點(diǎn)：特點(diǎn)： 波傳播方向上各點(diǎn)的振動(dòng)方波傳播方向上各點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向垂直向與波傳播方向垂直2 縱波縱波（又稱疏密波）（又稱疏密波） 例如：彈簧波、例如：彈簧波、 聲波聲波95 縱波縱波 特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向一致特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向一致963 復(fù)雜波復(fù)雜波 （本章研究對(duì)象）（本章研究對(duì)象）特點(diǎn)：波源及介質(zhì)中各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)特點(diǎn)：波源及介質(zhì)中各點(diǎn)均

43、作簡(jiǎn)諧振動(dòng)特點(diǎn)：復(fù)雜波可分解為橫波和縱波的合成特點(diǎn)：復(fù)雜波可分解為橫波和縱波的合成例如：地震波例如：地震波 簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波97三三 波線波線 波面波面 波前（用于波的幾何描述）波前（用于波的幾何描述）不同波線上振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面不同波線上振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面1 波線波線2 波面波面沿波的傳播方向畫一些帶有箭頭的線。沿波的傳播方向畫一些帶有箭頭的線。3 波前（波陣面）波前（波陣面） 把某一時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的各點(diǎn)所連成的把某一時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的各點(diǎn)所連成的曲面叫做波前（最前面的波面）曲面叫做波前（最前面的波面）4 波場(chǎng)波場(chǎng)波傳播到的空間。波傳播到的空間。98波線波線波面波面波面

44、波面波線波線平面波平面波球面波球面波波面波面波線波線波線波線波波面面四四 球面波與平面波球面波與平面波99性質(zhì)性質(zhì)（3）各向同性介質(zhì)中，波線垂直于波陣面各向同性介質(zhì)中，波線垂直于波陣面.（2）波陣面的推進(jìn)即為波的傳播波陣面的推進(jìn)即為波的傳播.（1）同一波陣面上各點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同同一波陣面上各點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同.100五五 描述波的特性的幾個(gè)物理量描述波的特性的幾個(gè)物理量OyA A ux 波傳播方向上相鄰兩波傳播方向上相鄰兩振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)完全相同完全相同的質(zhì)點(diǎn)間的距離的質(zhì)點(diǎn)間的距離（一完整波的長(zhǎng)度一完整波的長(zhǎng)度）. 1 波長(zhǎng)波長(zhǎng)101橫波：橫波：相鄰相鄰 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 縱波：

45、縱波：相鄰相鄰 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密 1022 周期周期 T 波前進(jìn)一波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間（波波前進(jìn)一波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間（波的周期等于波源的振動(dòng)周期）的周期等于波源的振動(dòng)周期）uT3 頻率頻率 單位時(shí)間內(nèi)波向前傳播的完整波的單位時(shí)間內(nèi)波向前傳播的完整波的數(shù)目數(shù)目. （1 內(nèi)向前傳播了幾個(gè)波長(zhǎng)）內(nèi)向前傳播了幾個(gè)波長(zhǎng)）s103決定于介質(zhì)的性質(zhì)（彈性模量和密度）決定于介質(zhì)的性質(zhì)（彈性模量和密度）振動(dòng)狀態(tài)（或相位）在介質(zhì)中傳播的速度振動(dòng)狀態(tài)（或相位）在介質(zhì)中傳播的速度 4 波速波速 u鋼鐵中鋼鐵中 水水 中中例如，聲波在空氣中例如，聲波在空氣中1sm3401sm50011sm00051

46、04四個(gè)物理量的聯(lián)系四個(gè)物理量的聯(lián)系T1TuTuu注意注意因此因此 ，固體內(nèi)橫波和縱波的傳播速度分別為，固體內(nèi)橫波和縱波的傳播速度分別為 ( GEuu橫波）（縱波）G切變模量一般比楊氏模量要大切變模量一般比楊氏模量要大105m m=Tu T為弦中張力，為弦中張力，為弦的線密度為弦的線密度在弦中傳播的在弦中傳播的橫波橫波波速為波速為: :在液體和氣體中只能傳播在液體和氣體中只能傳播縱波縱波，其波速為：，其波速為：/Kur r=K為介質(zhì)的容變彈性模量為介質(zhì)的容變彈性模量為密度為密度理想氣體理想氣體縱波縱波聲速聲速: :g gg gr r=pRTuM 為氣體的摩爾熱容比，為氣體的摩爾熱容比，M為氣體

47、的摩爾質(zhì)量，為氣體的摩爾質(zhì)量，T為熱力學(xué)溫度，為熱力學(xué)溫度， R為氣體的普適常數(shù)，為氣體的普適常數(shù)， 為氣體的密度為氣體的密度g gr r106物體的彈性形變物體的彈性形變彈性形變彈性形變：物體在一定限度的外力作用下形狀和：物體在一定限度的外力作用下形狀和體積發(fā)生改變，當(dāng)外力撤去后，物體的形狀和體體積發(fā)生改變，當(dāng)外力撤去后，物體的形狀和體積能完全恢復(fù)原狀的形變。積能完全恢復(fù)原狀的形變。(1)(1)長(zhǎng)變長(zhǎng)變FFSll 稱稱為為應(yīng)應(yīng)變變或或脅脅變變ll 稱稱為為應(yīng)應(yīng)力力或或脅脅強(qiáng)強(qiáng)SF在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比llESF 稱稱為為楊楊氏氏彈彈性性模模量量E

48、107(2) 切變切變FFSbd S 相對(duì)面發(fā)生相對(duì)滑移相對(duì)面發(fā)生相對(duì)滑移切切變變的的應(yīng)應(yīng)變變或或脅脅變變 bdarctan 切切變變的的應(yīng)應(yīng)力力或或脅脅強(qiáng)強(qiáng) SF在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比 GSF 稱稱為為切切變變彈彈性性模模量量G108(3) 容變?nèi)葑內(nèi)萑葑冏兊牡膽?yīng)應(yīng)變變 VV VVBp pp ppp ppp ppp p在彈性限度范圍內(nèi)，在彈性限度范圍內(nèi)，壓強(qiáng)的改變與容變應(yīng)變壓強(qiáng)的改變與容變應(yīng)變的大小成正比的大小成正比稱稱為為容容變變彈彈性性模模量量B109一一 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)tAyOcos 設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波沿設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波

49、沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 波速為波速為 ，坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為xuOyxuAAOPx4.4.2 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程110 表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn) 在在 時(shí)刻離開平衡位置的距離時(shí)刻離開平衡位置的距離.OyyxuAAOPxtAyOcostO 考察波線上考察波線上 點(diǎn)點(diǎn)( (坐標(biāo)坐標(biāo) ),), 點(diǎn)比點(diǎn)比 點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)落后振動(dòng)落后 , , 點(diǎn)在點(diǎn)在 時(shí)刻的位移是時(shí)刻的位移是 點(diǎn)在點(diǎn)在 時(shí)刻的位移，由此得時(shí)刻的位移，由此得uxt ttPxPOPtO考察考察P點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)？振動(dòng)狀態(tài)？111( )cosPO ttyyA ttuxtA cos 由

50、于由于 為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振動(dòng)，述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振動(dòng)，具有一般意義，即為沿具有一般意義，即為沿 軸正方向傳播的軸正方向傳播的平平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程.Px即即:波函數(shù)實(shí)際上是波在傳播過程中質(zhì)點(diǎn)的振波函數(shù)實(shí)際上是波在傳播過程中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。則波動(dòng)方程還可以有其他形式。動(dòng)方程。則波動(dòng)方程還可以有其他形式。112可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：利用利用c o sc o s2 xyAtutxATT22uT和和即：任意一點(diǎn)即：任意一點(diǎn)x處質(zhì)點(diǎn)比已知點(diǎn)的相

51、位落后處質(zhì)點(diǎn)比已知點(diǎn)的相位落后2x（因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期為（因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期為2）cos2xAt113波函數(shù)波函數(shù))(cosuxtAy質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度sin ()yxvAttu )(cos222uxtAtya114二二 波函數(shù)的物理含義波函數(shù)的物理含義（波具有時(shí)間的周期性）（波具有時(shí)間的周期性）()()x tx tTyy,tAycos 則則x2令令xtAy2cosOyt 1 一定，一定， 變化變化 xt表示表示 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ty x115波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖116Ct 令令（定值）（定值） xAy

52、2cos則則 y o xxtAy2cos 2 一定一定 變化變化xt 該方程表示該方程表示 時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的位移的位移, 即即 時(shí)刻的波形（時(shí)刻的波形（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ttxy 117 方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播.yxuO3 、 都變都變xt118tAyOcosyxuAAOPx如圖，設(shè)如圖，設(shè) 點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為Ouxt 點(diǎn)振動(dòng)比點(diǎn)振動(dòng)比 點(diǎn)超前了點(diǎn)超前了PO4 沿沿 軸方向傳播的波動(dòng)方程軸方向傳播的波動(dòng)方程 x119從形式上看：從形式上看：波動(dòng)是波形的傳

53、播波動(dòng)是波形的傳播.從實(shí)質(zhì)上看：從實(shí)質(zhì)上看：波動(dòng)是振動(dòng)的傳播波動(dòng)是振動(dòng)的傳播. 對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從物理意義上去理解和把握物理意義上去理解和把握. 故故 點(diǎn)的振動(dòng)方程（點(diǎn)的振動(dòng)方程（實(shí)際是波動(dòng)方程實(shí)際是波動(dòng)方程）為：）為：P()cos ()o ttxyyAtu 求波動(dòng)方程是否一定要波源的振動(dòng)方程？求波動(dòng)方程是否一定要波源的振動(dòng)方程？120 xuOaXybdu)cos(tAyb)(costtAy)(cosudxtAy已知已知b點(diǎn)振動(dòng)方程：點(diǎn)振動(dòng)方程：任一點(diǎn)任一點(diǎn)a比比b點(diǎn)晚振動(dòng)點(diǎn)晚振動(dòng)udxt/)(其波動(dòng)表達(dá)式方程：其波動(dòng)表達(dá)式方程：即：即：若是左行波：若

54、是左行波：a點(diǎn)只不過比點(diǎn)只不過比b點(diǎn)早振動(dòng)一段時(shí)間：點(diǎn)早振動(dòng)一段時(shí)間：其波動(dòng)表達(dá)式方程：其波動(dòng)表達(dá)式方程：)(cosudxtAy121 例例1 一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿 軸正向軸正向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). 求：求： ( (2) ) 波形圖；波形圖；s0 .1t( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖. m5 . 0 x( (1) )波動(dòng)方程；波動(dòng)方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫出波動(dòng)方程

55、的標(biāo)準(zhǔn)式)(2cosxTtAy12220,0tyyv00 xt)(2cosxTtAyyAO2)0 . 20 . 2(2cosxty(m)123 ( (2) )求求 波形圖波形圖s0.1t2cos0 .1xy波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 時(shí)刻波形圖時(shí)刻波形圖s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xtyxsin(m)124 ( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖 m5 . 0 x2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xty 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程m5 .0 xcos ty(m)0m/y1.0-1.0s/t2.0O

56、y*處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線m5 .0 x123412341.0125111234例2 如圖所示，有一平面0 5t. s簡(jiǎn)諧波在 時(shí)的波形， 此時(shí)P點(diǎn)振動(dòng)速率14Pvm s ,求波動(dòng)方程。解： 由圖可知：14Am,m,且14PvA(m s)求得14 rad s ,且182um s126設(shè)波動(dòng)方程為xyA costu111234圖中，o點(diǎn)：000 5x, y,t. s,求得2 由下一瞬間o點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)將向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，則取2 故波動(dòng)方程為：482xycostm127 例例3 一平面簡(jiǎn)諧波以速度一平面簡(jiǎn)諧波以速度 沿直線傳播，波線上點(diǎn)沿直線傳播，波線上點(diǎn) A 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方 程程-

57、1sm20u)4cos(1032tyA求求: :( (1) )以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；( (2) )以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；( (3) )求傳播方向上點(diǎn)求傳播方向上點(diǎn)C、D 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程( (4) )分別求出分別求出 BC ，CD 兩點(diǎn)間的相位差兩點(diǎn)間的相位差. .uABCD5 m9 mxo8 m單位分別為單位分別為m，s).yt, ,; (128( (1) ) 以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程m10 uTm1032As5 . 0T0)(2cosxTtAyuABCD5 m9 m

58、xo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m)129ABABxx 21052B)4cos(1032tyB( (2) ) 以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程)4cos(1032tyAuABCD5 m9 mxo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m)130 ( (3) ) 寫出傳播方向上點(diǎn)寫出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)點(diǎn)C 的相位比點(diǎn)的相位比點(diǎn)A 超前超前)24cos(1032ACtyCm10uABCD5 m9 mxo8 m)4cos(1032tyA)5134cos(1032t(m)131點(diǎn)點(diǎn) D 的相位落后于點(diǎn)的相位落后于點(diǎn) A )2c

59、os(41032ADtyDm10uABCD5 m9 mxo8 mm10)4cos(1032tyA(m)59cos(41032t132( (4) )分別求出分別求出 BC ，CD 兩點(diǎn)間的相位差兩點(diǎn)間的相位差4 . 4102222CDDCxx6 . 110822BCCBxxm10uABCD5 m9 mxo8 mm101331 1波動(dòng)波動(dòng)能量的傳播能量的傳播 波不僅是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振波不僅是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振動(dòng)能量的傳播。動(dòng)能量的傳播。有一平面簡(jiǎn)諧波有一平面簡(jiǎn)諧波cos ()xyAtuwjwj=-+質(zhì)量為質(zhì)量為在在x處取一體積元處取一體積元dVdmdVr r=質(zhì)點(diǎn)的振

60、動(dòng)速度質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度 sin()yxvAttuw ww wj j= -+4.4.34.4.3波的能量波的能量體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為212kdEv dm=2221sin ()2xAtdVur rw ww wj j=-+134體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能為222111()()222pESdydEk dydyESdxdxdxxxOxdxOyyyd該體積元所受的彈性力為該體積元所受的彈性力為由由 FdyESdx得得 dyFESkdydx故體積元的彈性勢(shì)能為故體積元的彈性勢(shì)能為1352221sin()d2PxdEAtVu2211ddd ()22dpydEk