金融數(shù)學(xué)畢業(yè)論文歐式期權(quán)定價理論及其數(shù)值計算方法

1、畢 業(yè) 論 文歐式期權(quán)定價理論及其數(shù)值計算方法指導(dǎo)教師 學(xué)院名稱理學(xué)院 專業(yè)名稱統(tǒng)計學(xué)論文提交日期2010年5月 論文答辯日期2010年5月答辯委員會主席 _評 閱 人 _ _摘 要隨著全球金融市場的迅猛發(fā)展，期權(quán)也越來越受到很多人的關(guān)注，有必要對期權(quán)進行更加深入的研究。前人已經(jīng)對歐式期權(quán)定價進行了很深入的研究，在1973年fischer black和myron scholes建立了看漲期權(quán)定價公式并因此獲得諾貝爾學(xué)獎。本文對歐式期權(quán)的定價的討論主要在其定價模型和數(shù)值計算方法兩個方面，探討其理論知識和進行實例分析，并得出簡單的結(jié)論。 本文將從以下六個方面討論。第一：介紹問題的背景和意義，先前的

2、研究成果以及本文框架；第二：討論期權(quán)的基礎(chǔ)知識，了解期權(quán)損益和定價界限；第三：研究二項式模型，由淺入深的分別給出股價運動一期、二期和多期的歐式期權(quán)定價公式；第四：研究black-scholes模型，通過求解black-scholes方程得到black-scholes公式，并探討black-scholes模型和二項式模型的聯(lián)系，即得到波動率，就可以求出與之相匹配的二項式模型中的，和；第五：用數(shù)值計算方法求解歐式期權(quán)定價，分析了二叉樹圖法和有限差分法，有限差分方法又包括內(nèi)含有限差分方法、外推有限差分方法及crank-nicolson差分方法。兩種數(shù)值方法都要求得到末期的期權(quán)值來推出初期的期權(quán)值，然

3、后進行實例分析進行應(yīng)用，并用計算機語言把數(shù)學(xué)內(nèi)容表示出來，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與計算機語言的結(jié)合。第六：通過以上的內(nèi)容得出一些結(jié)論。本文的重心是基于對期權(quán)定價的模型和數(shù)值方法的探討和分析，加以實例輔助突出其應(yīng)用性，不足之處在于理論的突破性不大。關(guān)鍵詞 歐式期權(quán)定價二項式模型black-scholes模型有限差分二叉樹圖目 錄1 前言11.1 選題的背景和意義11.2 前人的研究成果21.3 論文的研究框架32 期權(quán)基本理論32.1 期權(quán)的相關(guān)術(shù)語32.2 期權(quán)的損益與期權(quán)價格的界限42.2.1 期權(quán)的損益42.2.2 歐式期權(quán)價格的界限53 二項式模型63.1 二項期權(quán)定價模型介紹63.2 歐式期權(quán)定

4、價模型73.2.1 一期模型的歐式看漲期權(quán)定價73.2.2 二期模型的歐式看漲期權(quán)定價93.2.3 多期二項式期權(quán)定價公式104 black-scholes模型124.1 股票價格的行為模式124.2 歷史回顧134.3 black-scholes方程144.4 black-scholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價)154.5 二項式模型和black-scholes的模型的關(guān)系175 歐式期權(quán)定價的數(shù)值方法185.1 二項式模型的數(shù)值計算185.1.1 二叉樹圖方法185.1.2 實例分析195.2 black-scholes公式(歐式期權(quán)定價)的數(shù)值計算235.2.1 有限差分方法235.2.

5、2 實例分析266 總結(jié)286.1 本文結(jié)論286.2 展望未來30致 謝31參 考 文 獻32abstract33附 錄34本科專業(yè)畢業(yè)論文成績評定表391 前言1.1 選題的背景和意義 期權(quán)交易的出現(xiàn)已達幾個世紀之久。在17世紀30年代的“荷蘭郁金香熱”時期，郁金香的一些品種堪稱歐洲最為昂貴的稀世花卉。1635年，那些珍貴品種的郁金香球莖供不應(yīng)求，加上投機炒作，致使價格飛漲20倍，成為最早有記載的泡沫經(jīng)濟。同時，這股投機狂潮卻開啟了期權(quán)交易的大門。郁金香交易商向種植者收取一筆費用，授予種植者按約定最低價格向該交易商出售郁金香球莖的權(quán)利。同時，郁金香交易商通過支付給種植者一定數(shù)額的費用，以獲

6、取以約定的最高價格購買球莖的權(quán)利。這種交易對于降低郁金香交易商和種植者的風險十分有用。 1973年4月，芝加哥期權(quán)交易所正式成立，標志著期權(quán)交易進入了標準化、規(guī)范化的全新發(fā)展階段。芝加哥期權(quán)交易所先后推出了股票的買權(quán)(call options)和賣權(quán)(put options)都取得了成功。之后，美國商品期貨交易委員會放松了對期權(quán)交易的限制，有意識地推出商品期權(quán)交易和金融期權(quán)交易。1982年，作為試驗計劃的一部分，芝加哥期貨交易所推出了長期國債期貨的期權(quán)交易。1983年1月，芝加哥商業(yè)交易所推出了s&p 500股票指數(shù)期權(quán)，隨著股票指數(shù)期權(quán)交易的成功，各交易所將期權(quán)交易迅速擴展至其它利率外匯等金

7、融品種上。1984年到1986年間，芝加哥期貨交易所先后推出了大豆、玉米和小麥等品種的期貨期權(quán)。除美國之外，全球有影響的期權(quán)市場還有歐洲期貨交易所(eurex)、倫敦國際金融期貨期權(quán)交易所(liffe)、香港交易所(hkex)、韓國期貨交易所(kofex)等。期權(quán)市場無論從品種上還是地域上都獲得了長足的發(fā)展。 2000年以來，全球期權(quán)交易發(fā)展更為迅猛。美國期貨業(yè)協(xié)會(fututes industry association，fia)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，2001年至2003年，全球期權(quán)的交易量連續(xù)超過了期貨。2003年全球期貨與期權(quán)交易量為81億手，其中期權(quán)51億手，增長率為32，期權(quán)市場呈現(xiàn)出良好

8、的發(fā)展態(tài)勢和前景。2003年分資產(chǎn)的成交量統(tǒng)計表明，股指、利率、股票與農(nóng)產(chǎn)品的期貨與期權(quán)交易量排名靠前。韓國的kospi200指數(shù)期權(quán)合約以28億手的全年成交量成為全球最活躍的合約。韓國期貨交易所亦憑此成為全球交易量最大的交易所。 1973年4月，芝加哥交易所(cbot)成立了一個新的交易所芝加哥期權(quán)交易所，特別用來交易股票期權(quán)。從此以后，期權(quán)交易在投資者當中日益普及。美國股票交易所(amex)和費城股票交易所(phlx)從1975年開始期權(quán)交易。太平洋股票交易所(pse)從1976年開始期權(quán)交易來到了80年代初期，期權(quán)交易規(guī)模越來越大，每日賣出的期權(quán)合約規(guī)定的標的股票總數(shù)超過了紐約股票交易所

9、日交易量。 在80年代，美國期權(quán)合約已經(jīng)擴展到了外匯期權(quán)、股票指數(shù)期權(quán)、期貨期權(quán)等領(lǐng)域。費城期權(quán)交易所主要從事外匯期權(quán)交易；芝加哥期權(quán)交易所交易s&p100和500的股票指數(shù)期權(quán)；美國股票交易所交易主要市場股票指數(shù)(major market stock index)期權(quán)；紐約股票交易所交易nyse指數(shù)期權(quán)?，F(xiàn)在絕大部分提供期貨合約交易的交易所也同時提供期貨期權(quán)交易服務(wù)。芝加哥交易所提供谷物期貨期權(quán)交易；芝加哥商品交易所提供家畜期貨期權(quán)交易服務(wù)。期權(quán)交易所現(xiàn)在已經(jīng)遍布全世界。 改革開放三十年以來，中國同國際金融界的聯(lián)系越來越密切，如何防范和化解金融風險已引起有關(guān)放面的高度重視。自1995年始，中

10、國期權(quán)市場發(fā)展僅有十余年的歷史，但期權(quán)市場需求已相當成熟。如何對期權(quán)風險進行有效的管理控制，已關(guān)系到期權(quán)開發(fā)能否從研究階段過渡到試運行階段。然而，要對期權(quán)風險進行有效的管理和控制，首先就必須對期權(quán)進行合理的定價。因此，對期權(quán)定價方法的研究更為重要了。1.2 前人的研究成果 1900年法國金融專家louis bachelier就發(fā)表了第一篇關(guān)于期權(quán)定價的學(xué)位論文“theorie de la speculation”(投機交易理論)1，它被公認為是現(xiàn)代金融學(xué)的里程碑，他在論文中首次提出用隨機游動思想給出股票價格運行的隨機模型。1964年paul samuelson對louis bachelier的

11、模型進行了修正，以股票的回報代替原模型中的股票價格，他還研究了看漲期權(quán)的定價問題(c.sprenkle(1965)和j.baness(1964)也同樣研究了這個問題)，但是他們都沒有得出的具體的公式。1973年fischer black和myron scholes發(fā)表了論文“the pricing of options and corporate liabilities”2，在文中他們建立了看漲期權(quán)定價公式，并與1997年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。1976年，羅斯和約翰考科斯(john cox)在金融經(jīng)濟學(xué)雜志上發(fā)表論文“the valuation of options for alternati

12、ve stochastic process”，提出了風險中性定價理論。1979年，cox，j.,s.ross和m.rubinstein在金融經(jīng)濟學(xué)雜志上發(fā)表論文“option pricing：a simplified approach”3，該文提出了一種簡單的對離散時間的期權(quán)的定價方法，被稱為cox-ross-rubinstein二項式期權(quán)定價模型。 1979年，cox，j.,s.ross和m.rubinstein對二叉樹圖數(shù)值方法進行了介紹，采用倒退定價法對期權(quán)進行定價，同年rendleman, r., and b. bartter在“two state option pricing,”也對

13、二叉樹法進行了一定的研究。1977年，phelim p. boyle發(fā)表論文”options: a monte carlo approach”將蒙特卡羅模擬方法應(yīng)用到求期權(quán)定價中。同樣是在1977年，brennan，m.j.,and e.s.schwarts發(fā)表了論文“the valuation of american put options”首次將有限差分方法運用到期權(quán)的定價中，有限差分方法主要有內(nèi)含的有限差分方法和外推的有限差分方法。 本文主要基于對基礎(chǔ)知識的研究和探討，研究期權(quán)定價模型的二項式模型和black-scholes模型。分析期權(quán)定價的數(shù)值方法：二叉樹圖法和有限差分方法，詳細說明

14、它們的計算方法和步驟，并進行實例分析，探討方法的有效性和總結(jié)自己的結(jié)論。1.3 論文的研究框架 整篇論文共分為6章，第一章是對整個論文體系的介紹，包括研究背景和意義和論文的框架兩部分；第二章是對期權(quán)的相關(guān)知識和期權(quán)定價的性質(zhì)進行闡述；第三章研究歐式期權(quán)定價模型的二項式模型；第四章主要研究black-scholes模型的發(fā)展和定價公式；第五章就重點分析歐式期權(quán)定價的兩種數(shù)值方法：二叉樹圖方法和有限差分方法，然后舉例進行實例分析；第六章對全文進行總結(jié)。2 期權(quán)基本理論2.1 期權(quán)的相關(guān)術(shù)語 定義1.1：期權(quán)(options)，又稱選擇權(quán)，是一份合約，持有合約的一方有權(quán)(但沒有義務(wù))向另一方在合約中

15、事先指定的時刻(或此時刻之前)以合約中指定的價格購買或出售某種指定數(shù)量的特殊物品。 這些物品大多為戰(zhàn)略物資，如石油、小麥、有色金屬等，也可以是某公司股票，可提前兌換的債權(quán)等。期權(quán)有兩種基本類型，看漲期權(quán)(call options)和看跌期權(quán)(put options)。 定義2.2：看漲期權(quán)指期權(quán)合約中，一方有購買的權(quán)利，另一方有出售的義務(wù)，簡稱call。 定義2.3：看跌期權(quán)指期權(quán)合約中，一方有出售的權(quán)利，另一方有購買的義務(wù)，簡稱put。 定義2.4：執(zhí)行價格(exercise price)，又稱敲定價格就是期權(quán)合約規(guī)定的買賣基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格。 根據(jù)期權(quán)的執(zhí)行方式不同，期權(quán)又分為歐式期權(quán)(eur

16、opean options)和美式期權(quán)(american options)。 定義2.5：歐式期權(quán)指只能在到期日那一天執(zhí)行的期權(quán)。 定義2.6：美式期權(quán)指可在到期日之前(包括到期日)任何時刻執(zhí)行的期權(quán)。 定義2.7：期權(quán)價格是指有購買(或出售)一單位基礎(chǔ)資產(chǎn)權(quán)利的期權(quán)的價格，是由買期權(quán)者支付給賣期權(quán)者(也稱寫期權(quán)者)的。 定義2.8：一個期權(quán)是否執(zhí)行依賴于對期權(quán)持有者有利的機會是否出現(xiàn)，故也稱期權(quán)為相機權(quán)益。 在任何一個時刻,對一個call，如果當時的股票價格，則稱call為價內(nèi)的(in the money)；如果，稱為平價的(at the money)；如果，稱為價外的(out the mo

17、ney)。對put正好把不等式反過來，即如果，則稱此時的put為價內(nèi)的；如果，稱它為平價的；如果，則稱它為價外的。2.2 期權(quán)的損益與期權(quán)價格的界限2.2.1 期權(quán)的損益 在期權(quán)交易市場上，有人買進期權(quán)(稱為期權(quán)持有者)，相應(yīng)地必須有人出售這個期權(quán)(稱為寫期權(quán)者)，一個歐式看漲期權(quán)的持有者希望價格看漲，寫期權(quán)者希望價格看跌，二者的利益是完全對立的。任何時候，一方面獲益必是另一方面的損失。 一個以價格購進一個歐式看漲期權(quán)的持有者，在到期日，如果股票價格，則他就執(zhí)行權(quán)力，以購進，以出售，從而獲利；如果，則他選擇不執(zhí)行買的權(quán)力，從而損失初始投資。因此，有如下命題。 命題2.1：在到期日的“利潤”或損

18、益為 (2.1) 命題2.2：寫期權(quán)者在到期日的損益為 (2.2) 同理，當一個人以價格購進一個歐式看跌期權(quán)，則在到期日，有如下命題。 命題2.3：持有者的利潤函數(shù)為 (2.3) 命題2.4：寫期權(quán)者的利潤函數(shù)為 (2.4)2.2.2 歐式期權(quán)價格的界限 我們先考慮歐式期權(quán)的評價問題。以歐式看漲期權(quán)為例，討論一個期權(quán)“合理”價格應(yīng)該是多少。 一個歐式看漲期權(quán)，如果在到期日，股票價格，則行使權(quán)利的期權(quán)的價為，如果，不行使權(quán)利則期權(quán)價值為零。因此，期權(quán)在時的價值： (2.5) 在當前(時)，是一個隨機變量。如果st不是隨機變量，而是確定性知道的，為了不存在套利機會，時期權(quán)價格c0應(yīng)滿足，其中為年無

19、風險利率，事實上，若實際期權(quán)價，則在時借元并購買期權(quán)，從而在時，行使權(quán)利得。這就是無風險套利，反之，若,則在時，賣期權(quán)并把得來的錢貸出即可無風險套利。當為隨機變量時，自然把時的“合理”價格定義為 (2.6) 此處數(shù)學(xué)期望是以某個適當?shù)母怕史植加嬎愕摹９视帽硎具@個數(shù)學(xué)期望。由此看出，寫在一個標的資產(chǎn)上的期權(quán)的價值依賴于標的資產(chǎn)的價格，故把標的資產(chǎn)稱為基礎(chǔ)證券，把像期權(quán)這類(價值依賴于基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的)證券稱為衍生證券。一般說來，人們并不知道這個概率分布，只能給出的估計結(jié)果。下面命題給出期權(quán)價值的上、下界估計，并且證明如果期權(quán)的價格超過上界或低于下界，就存在套利機會。 命題2.5：歐式看漲期權(quán)開始價

20、值 (2.7) 命題2.6：對一個歐式看漲期權(quán)，若在到期日，有，且，則 (2.8) 命題2.7：對一個歐式看跌期權(quán)，若在時有，且，則有 (2.9)由于歐式看跌期權(quán)的初始價值。所以有 (2.10) 命題2.8：對同一種股票，同一個執(zhí)行價格及同樣到期日且股票在到期日之前不分紅的歐式看漲和看跌期權(quán)價格有如下關(guān)系： (2.11) 介紹了關(guān)于期權(quán)的一些知識和歐式期權(quán)價格的性質(zhì)，接下來就要了解期權(quán)定價的模型。第三章和第四章就是介紹離散型的二叉樹模型和連續(xù)型的black-scholes模型。 原理2.1：風險中性定價原理，任何依附于股票價格的衍生證券可以在風險中性世界的基礎(chǔ)上進行估值。 這個原理在期權(quán)定價中

21、不容忽視，風險中性原理意味著：為了計算期權(quán)的價值，我們可以假設(shè)： (1)所有可交易的證券的期望收益都是無風險利率； (2)未來現(xiàn)金可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)來計算4。3 二項式模型3.1 二項期權(quán)定價模型介紹 二項期權(quán)定價模型最早由考克斯(cox)、羅斯(ross)和魯賓斯坦(rubinstein)提出的一種期權(quán)定價模型，主要用于計算美式期權(quán)的價值。其優(yōu)點在于比較直觀簡單，不需要太多數(shù)學(xué)知識就可以加以應(yīng)用。 二項期權(quán)定價模型假設(shè)股價波動只有向上和向下兩個方向，且假設(shè)在整個考察期內(nèi)，股價每次向上(或向下)波動的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)股價的歷史波動率模擬出該股在整

22、個存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對每一路徑上的每一節(jié)點計算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計算出的權(quán)證價格。3.2 歐式期權(quán)定價模型 二叉樹模型的假設(shè)條件5 (1).股票市場是有效的； (2).存在著股票的賣空機制，但不存在套利機會； (3).股票和期權(quán)合約的買賣不設(shè)計交易成本、也不考慮稅收； (4).市場參與者可按已知的無風險利率無限制地借入借出資金； (5).無風險利率為常數(shù)； (6).金融市場上的投資者都是風險中立者； (7).假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格在離散的或不連續(xù)的時間內(nèi)服從一個倍增的二項式過程。3.2.1 一期模型的歐式看漲期權(quán)定價 為簡單起見，假設(shè)不存在交易費用、稅收等成本，還假設(shè)資本市場上存在

23、一種無風險證券(債權(quán))，人們可以用無風險利率不受限制地借或貸。因為股票的價格下一期的股價只有兩種可能的狀態(tài)：上升或下降，而且可能上升到的概率為，下降到的概率為。其中。所以的運動如圖1所示：圖1 股票價格的一期運動 一個執(zhí)行價格為的歐式看漲期權(quán)在時，以的概率取，的概率取。記這個期權(quán)在的價格。 命題3.1：股票價格運動一期的情況下,期權(quán)在的價格為 證明：構(gòu)造一個在的總投資為的投資組合，在期權(quán)到日，它以概率取值，以概率取值。 選擇使得這個投資組合在的兩種狀態(tài)下取值相等，即由此解出 (3.1)為了不存在套利機會，這個投資組合的期初投資在時的價值必須等于即由此解 (3.2)式(3.2)可改寫為 (3.3

24、)如記： (3.4)則式(3.3)可記為 (3.5) 由命題3.1中的式(3.4)知道：及，從而可把看做一個概率分布，稱它為風險中性(risk neutral)概率或?qū)_概率(hedging probablity)，從而式(3.5)可改寫為 其中是指按風險中性概率，而不是按實際概率計算的數(shù)學(xué)期望。從形式上看，以“概率”取，以“概率” 取。這里概率打引號意指和不是實際概率，是一個人為的概率。一個風險中性的投資者對在任何股票上投資要求的期望回報率都為無風險利率，所以在這種情況下風險中性投資者認為就是股票從上升到的概率。這就是為什么把稱為風險中性概率的原因。 這個證明過程對歐式看跌期權(quán)也成立。因此當

25、股價運動模式如圖1所示，歐式看跌期權(quán)在時的價值 (3.6)式中：；由式(3.4)給出。3.2.2 二期模型的歐式看漲期權(quán)定價 接下來考慮的是二期問題，在時刻時，股價以概率上升到，以概率下降到。在時刻，又在的基礎(chǔ)上分別以概率和上升和下降。二期股價運動的二項式模式如圖2所示。圖1 股票價格的二期運動命題3.2：股票價格運動二期的情況下,期權(quán)在的價格為。 證明：假設(shè)每一期的無風險利率都是。在得知二期期權(quán)價格、和，利用一期的評價公式來求出和，則有： (3.7) (3.8)其中和是式(3.4)的風險中性概率。再用一次一期的評價公式，就推得在時期權(quán)的價值. 把式(3.7) (3.8)代入上式，得 (3.9

26、)注意：命題3.2的證明過程中的式 (3.10)右邊方括號內(nèi)的系數(shù)正好滿足,故如果把，和分別看成取值在，和的概率，則式(3.10)也可以改寫成為其中數(shù)學(xué)期望是按風險中性概率分布，計算的。 和一期模型一樣，此推導(dǎo)過程對二期歐式看跌期權(quán)定價也同樣合適，歐式看跌期權(quán)在時的價值 (3.10)式中：；，由式(3.4)給出。3.2.3 多期二項式期權(quán)定價公式 在了解了一期和二期二項式期權(quán)定價公式，現(xiàn)在來推廣到期的情形。命題3.3：股票價格運動期的情況下,期權(quán)在的價格為 證明：設(shè)在期內(nèi)股價上升次(從而下降了次)，則最終股價為，從而在期權(quán)的價值為. 一個有二項分布的隨機變量，取的概率為，取的概率為,則取值的概

27、率為,其中為風險中性概率，參見式(3.4)。 由于可取值0，1，2，t,所以期權(quán)的期望價值為. 由風險中性評價公式，得期權(quán)在時的價值 (3.11) 命題3.3的證明過程中(3.11)式比較復(fù)雜，所以要對其進行簡化，令為使得的最小正整數(shù)，則當，從而式(3.11)可以改寫為 (3.12)如記，則，從而(3.12)可寫成為 (3.13)這就是期二項式模型歐式看漲期權(quán)的定價公式6。4 black-scholes模型4.1 股票價格的行為模式 在第三章我們討論了期權(quán)的離散模型，它只是假設(shè)股價在離散的時點上才發(fā)生變化沒，而且每次變化只能取兩個可能的狀態(tài)之一。接下來的這部分就要考慮期權(quán)定價的連續(xù)模型，即考慮

28、時間和股價都是連續(xù)的。在本節(jié)，我們將提供一種循序漸進的方法去了解股票價格遵循的隨機過程。 定義4.1：馬爾可夫過程，是一種說明只有變量的當前值和未來的預(yù)測有關(guān)的隨機過程。 人們通常假設(shè)股票價格遵循馬爾可夫過程，所以股票價格行為模型通常采用馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式，即維納過程來表達，也稱布朗運動。 我們要理解遵循wiener過程的變量的行為，可以考慮在小時間間隔上變量值的變化。 定義4.2：設(shè)一個小的時間間隔長度為，定義為在時間內(nèi)的變化。要使遵循wiener過程，必須滿足: (1):與的關(guān)系滿足方程式 (4.1)其中為從n(0，l)分布中抽取的一個隨機值。 (2):對于任何兩個不同時間間隔

29、，的值相互獨立。 從定義4.2中可以看出本身具有正態(tài)分布，即的均值=，的方差=. 變量的一般化wiener過程用定義如下: (4.2)其中，為常數(shù)。方程(4.2)給出的一般性wiener過程其漂移率的期望值為，方差率的期望值為。但是股票期權(quán)的價格是該標的股票價格和時間的函數(shù)。更一般地，我們可以說任何一個衍生證券的價格都是這些標的衍生債券的隨機變量和時間的函數(shù)。所有任何研究衍生證券的嚴謹學(xué)者都必須對隨機變量函數(shù)的行為有所了解，在這一領(lǐng)域內(nèi)的一個重要結(jié)論由一個叫k.ito的數(shù)學(xué)家在1951年發(fā)現(xiàn)。因此稱為ito定理。 定理4.1：假設(shè)變量的值遵循ito過程： (4.3)其中是一個維納過程，和是和的

30、函數(shù)。變量的漂移率為和方差率為.ito定理表明和的函數(shù)遵循如下過程： (4.4)由于是維納過程，所以也遵循ito過程。4.2 歷史回顧 1990年louis bachelier發(fā)表了他的學(xué)位論文“投機交易理論”，在論文中首次利用隨機游動的思想給出了股票價格運行的隨機模型，在這篇論文中，他提到了期權(quán)定價問題。1964年paul samuelson對l.bachelier的模型進行了修正。以股票的回報代替原模型中的股票價格。若表示股票價格，那么表示股票的回報，p.samuelson提出的隨機微分方程是 (4.5)這個模型克服了原先模型中可能使股票價格出現(xiàn)負值的不合理情況。 基于這個模型，p.sam

31、uelson還研究了看漲期權(quán)的定價問題，可表述為：設(shè)是看漲期權(quán)的期權(quán)金，是股價，是敲定價，是到期時間，則 (4.6)其中 (4.7)這里，分別是原生資產(chǎn)價格 和期權(quán)的價格的回報在時刻的期望值。這兩個量依賴于投資人的個人愛好，所以美足不足的是它在實際交易中不能運用。 1973年fischer black和myron scholes建立了看漲期權(quán)定價公式 (4.8)和公式比較，這里用無風險利率代替了，創(chuàng)新之處在于不依賴于投資人的偏好，因此他們獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。4.3 black-scholes方程 基本假設(shè): (1).原生資產(chǎn)價格演化遵循幾何brown運動 (4.9) (2).無風險利率是常數(shù)且

32、對所有到期日都相同。 (3).原生資產(chǎn)不支持股息。 (4).不支付交易費和稅收。 (5).不存在無風險套利機會。 (6).允許使用全部所得賣空衍生證券。 (7).證券交易是連續(xù)的。 (8).在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。 命題4.1：black-scholes方程為。 證明：設(shè)是歐式看漲期權(quán)價格，它在期權(quán)的到期日時，這里是期權(quán)的敲定價，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時間內(nèi)的價值。 利用對沖技巧，我們給出歐式期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型。 形成投資組合，(是原生資產(chǎn)的份額)，選取適當?shù)氖沟迷跁r段內(nèi)，是無風險的。 設(shè)在時刻形成投資組合，并在時間段內(nèi)，不改變份額。那么由于是無風險的，因此在時刻，投資組合的回報是即 (

33、4.10)由于，其中是由隨機微分方程(4.9)確定的方程，因此有ito公式.把它代入式(4.10)得. (4.11)由于等式右端是無風險的，由此等式左端隨機項的系數(shù)必為0，即選取 (4.12)把它帶入式(4.11)，并消去得到這就是刻畫歐式看漲期權(quán)價格變化的偏微分方程black-scholes方程。4.4 black-scholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價) 命題4.2：black-scholes公式為。 證明：為了確定在合約有效期內(nèi)0,t內(nèi)期權(quán)的價值，就是要在區(qū)域上求解定解問題： (4.13) (4.14)作自變數(shù)代換 (4.15)定解問題(4.13)(4.14)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程cau

34、chy問題(初值問題)： (4.16) (4.17) 求解：做函數(shù)變換： (4.18)因為代入(4.16).取，.則(4.16)變?yōu)?(4.19)相應(yīng)的初始值為： (4.20)令 其中為初值，為方程(4.19)的基本解。則 (4.19) (4.20)表示為 通過以上的變換可以得到：，其中令，則，令，則 . 同理得 .由變換(4.15)回到原變量有令 (4.21) (4.22)得到歐式看漲期權(quán)的定價公式為 (4.23)根據(jù)命題4.3的證明過程同樣可得歐式看跌期權(quán)的定價公式： (4.24)這就是black-scholes公式。4.5 二項式模型和black-scholes的模型的關(guān)系 介紹這兩個模

35、型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。 對應(yīng)與時間間隔內(nèi)股票價格變化的均值和標準差，參數(shù)，和必須給出相應(yīng)的正確值。由于處于風險中性的世界中，所以股票的期望收益是無風險利率。因此在時間間隔段末的股票期望值為，其中為該時間間隔段初始股票價格，因此： (4.25) (4.26)在一個小時間段內(nèi)股票價格的方差是，則即 (4.27)cox，ross和rubinstein用的第三個常用的條件是：，則通過以上的式子可得出： (4.28)其中 因此，只要估計出股票回報率的波動度，就可以求出與之相匹配的二項式模型中的，和78.5 歐式期權(quán)定價的數(shù)值方法 在以上兩章內(nèi)容中重點介紹了歐式期權(quán)定價的兩種模型以及

36、兩種模型之間的關(guān)系，但是在實際應(yīng)用中我們掌握這兩種模型是不夠的，他們都只是給出了歐式期權(quán)的顯式解，而其他期權(quán)諸如美式期權(quán)的定價沒有顯式解，所以接下的這一章內(nèi)容將介紹期權(quán)定價的數(shù)值方法，當然對歐式期權(quán)定價同樣適用。這章介紹的的數(shù)值方法分別是二叉樹圖方法和有限差分法。5.1 二項式模型的數(shù)值計算5.1.1 二叉樹圖方法 利用單步和兩步二叉樹圖模型去說明二項式模型是如何對歐式期權(quán)進行估值不太符合現(xiàn)實，所以只能用來說明概念，現(xiàn)實的模型就是假設(shè)股票價格的運動是由大量的小幅度二值運動構(gòu)成的。 使用二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖如圖3所示。時間為零時，已知股票的價格為；時間為時，股票價格按照上升比例和下降

37、比例出現(xiàn)兩種可能：和，以此類推，在一般情況下，時刻，股票價格有種可能，它們是， 期權(quán)的計算是從數(shù)圖的末端(時刻t)開始向后倒退進行的，即t時刻的期權(quán)已知。而前面各個時刻的期權(quán)價格均可以通過，和的值推導(dǎo)出來，這樣我們就能求出零時刻的期權(quán)值。圖3 二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖5.1.2 實例分析 例5.1：2009年10月18日，模擬交易參與者小王認為某只3期股票會上漲，于是決定買看漲期權(quán)，該股票現(xiàn)在市場價格為100元，執(zhí)行價為105元，股票的價格一期只發(fā)生兩個變動，一個是上漲到110元，一個是下降到90元，市場的無風險利率為5%，求該期權(quán)當期的理論價格是多少？我們首先構(gòu)造一個既可以反映三期的

38、股票價格又可以反映三期()的期權(quán)價格的二叉樹圖(如圖4)。圖4 三期的股票和三期的期權(quán)價格二叉樹圖解：由題意得 因為該期權(quán)是看漲期權(quán)，所以當t=3時期權(quán)價格， 由此可求得，。 由公式(3.5)得當時。 同理得 ，。 所以得到當期期權(quán)價格為。 現(xiàn)在用c語言表示這個過程(程序見附錄) 運行程序出現(xiàn)：圖5 c語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖7 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 這個程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時間，股票零時刻價格，利率，股票價格上升比例，股票價格下降比例，最后期權(quán)執(zhí)行價格，自己可以針對任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當期的期權(quán)價格。 在例5.1中我們得

39、知了股票價格上升比例，股票價格下降比例，但是在實際中我們能夠估計的更多是波動率，所以我們來介紹當只知道時期權(quán)的計算。 例5.2：考慮一個不付紅利股票的5個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為50元，執(zhí)行價格為50，無風險利率為每年10%,波動率為每年40%，為構(gòu)造一個二叉樹，我們把期權(quán)的有效期分為十個時間段，每個時間段長度為半個月，(=0.0417年)，則，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計算會比較麻煩，編寫c語言程序去實現(xiàn)這個結(jié)果(程序見附錄)910： 運行程序出現(xiàn)：圖8 c語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖10 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格由圖可讀出期權(quán)

40、的價格為。 在取不同的值時，期權(quán)現(xiàn)值會有所不同，運行結(jié)果如下。表1 取不同值時，期權(quán)的現(xiàn)值34.4854.32103.95 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當取得越大，離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價值越小。5.2 black-scholes公式(歐式期權(quán)定價)的數(shù)值計算5.2.1 有限差分方法 求解衍生證券所滿足的微分方程，可以用有限差分方法，它的方法就是把微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，然后再用迭代法求解這些差分方程。為了說明這種方法，我們考慮用它來估算一個不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。 步驟如下： 步驟1：首先確定該期權(quán)滿足的微分方程： (5.1) 步驟2：假定期權(quán)的

41、期限為，將這一期限分成個等間隔，長度為的時間區(qū)間?？紤]個時間點步驟3：假定為股票的最高價格。定義并同時考慮個股票價格因此，選取的股票價格和時間構(gòu)成了一個共有個點的網(wǎng)格。網(wǎng)格上的點對應(yīng)于時間為，股票價格為。用變量代表點的期權(quán)價格。 步驟4：運用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對上述偏微分方程進行計算，對于網(wǎng)格內(nèi)部的點，可被近似為 (5.2)或 (5.3)被稱為向前差分近似(forward difference approximation)；或稱為向后差分近似(backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個對稱的差分方程 (5.4)對于，

42、采用向前差分近似使得時刻的價格與的價格發(fā)生關(guān)聯(lián) (5.5)在點的向后差分近似 在點，對的有限差分近似為 (5.6) 步驟5：將上面多式結(jié)合，且，得 (5.7)其中 ，經(jīng)過合并得： (5.8) (5.9)時刻看跌期權(quán)的價值為，其中為時刻的股票價格，因此： (5.10)當股票價格為零時，看跌期權(quán)的價值為，因此： (5.11)當股票價格趨于無窮大時，看跌期權(quán)的價值是趨于零。因此用近似值 (5.12)(5.11)(5.12)和(5.10)式定義了三個邊界(即和)的看跌期權(quán)值，還需用(5.8)式來求出左邊界的值，其中的一個格點就是我們所要求的期權(quán)值。利用(5.8)和邊界條件，可以寫出時刻的個聯(lián)立方程：

43、(5.13)且 因此解出每個的值，依次類推，最后可計算出，當?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的就是所要求的期權(quán)價值。 對內(nèi)含有限差分方法略加修改，使用外推外推有限差分方法假設(shè)點處的和與處的對應(yīng)值相等，即 (5.14) (5.15)相應(yīng)的差分方程修改為： (5.16)其中 (5.17) 此即顯性的有限差分方程11。 內(nèi)含和外推有限差分方法在期權(quán)定價中的優(yōu)勢主要在于：當格點有規(guī)律很均勻時，把一個偏微分方程化成差分方程式相對比較簡單的。而內(nèi)含和外推兩種方法各有優(yōu)劣。外推方法計算比較直接方便，無需像內(nèi)含方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。而外推方法卻存在一個缺陷：它的三個概率可能小于零，

44、這導(dǎo)致了這種方法的不穩(wěn)定，它的解有可能不收斂于偏微分方程的解。而下文所提供的crank-nicolson差分格式則是求這兩種方法的平均值。內(nèi)含的有限差分方程(5.8)給出： 外推的有限差分方程(5.16)給出:將這兩個方程式進行平均，得到： (5.18)令，我們得到 (5.19)這說明使用crank-nicolson類似于使用內(nèi)含有限差分方法。crank-nicolson方法的優(yōu)點是它比內(nèi)含的和外推的有限差分方法收斂更快。5.2.2 實例分析 例5.3：考慮一個不付紅利股票的5個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為50元，執(zhí)行價格為50元，無風險利率為每年10%,波動率為每年40%，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少

45、？ 這是一個很簡單的例子，如果運用black-scholes公式計算就可以得出一個數(shù)值，但顯然有更好的方法去解決，用計算機語言把內(nèi)含差分方法描述出來，從而通過計算機解除這個歐式看跌期權(quán)的值。解：令、和的值分別取20，10和5，根據(jù)已知的, . 根據(jù)以上數(shù)值編寫出matlab程序語言(程序見附錄)1213按要求輸入數(shù)值：圖11 輸入程序已知的值 圖12 得出的各個時刻期權(quán)價格的值 從圖就可以讀出該歐式看跌期權(quán)現(xiàn)值為3.9113元。 用black-scholes公式求出來的期權(quán)價格是4.08元，但是發(fā)現(xiàn)這兩者之間的差距還是有點大的，所以有必要繼續(xù)進行實驗，現(xiàn)列出實驗過程中、和取不同值時所得出的期權(quán)

46、價格。表2 不同、和的值，期權(quán)的不同價格201053.9113205053.966240502.54.0395401002.54.04611005014.059510010014.065910020014.0691 從上表中可以發(fā)現(xiàn)當一定時，越大得出的更接近于真實值，當一定，越大，同樣的得出的更接近真實值，說明當期權(quán)的期數(shù)分的越多，股票價格上漲速度越慢，即步長取的越小時，得到的結(jié)果就越接近真實值。 用計算機語言繪制看跌期權(quán)在各個時期的期權(quán)價格(程序見附錄) 運行程序輸入：plot33 得出各期期權(quán)價格的圖如下：圖13 描述期權(quán)價格的圖 可以看出用數(shù)值方法求解期權(quán)價格方便簡單，而且當改變初始值時

47、，我們?nèi)匀豢梢岳眠@個計算機語言求出我們要求的當期的期權(quán)價值，而不需要套用black-scholes公式去求我們想要的結(jié)果，而且這個程序可以求出各個時間段的期權(quán)值，即網(wǎng)格上的點都可以求出來，也許對于歐式期權(quán)沒有意義不大，但求美式期權(quán)價格時，求出這些全部的值就相當有意義了，所以這種方法在現(xiàn)階段中對求期權(quán)價格是相當有用的14。6 總結(jié)6.1 本文結(jié)論 本文探討了兩種期權(quán)定價模型，并得出了兩種模型下歐式期權(quán)的定價公式。 1、二項式模型(1)一期二項式模型的看漲期權(quán)定價公式為：。 (2)二期二項式模型的看漲期權(quán)定價公式為： (3)期二項式模型的看漲期權(quán)定價公式為： 2、black-scholes模型

48、black-scholes模型的看漲期權(quán)定價公式為：。 由于兩種模型的定價公式都是求的歐式期權(quán)定價的顯式解，但現(xiàn)實中有很多期權(quán)的值都只能求近似解，求不出精確解，且不能用上述兩種模型計算，所以就需要用到數(shù)值計算方法去求近似解。本文討論的兩種數(shù)值方法的優(yōu)缺點如下。 1、二叉樹圖法： (1)二叉樹圖方法假設(shè)在每個小的時間間隔內(nèi)，股票價格或者按比例上升，或者按比例下降。的大小和相應(yīng)的概率經(jīng)過仔細的選擇后，可使股票價格的變化在風險中性的變化在風險中性世界中具有正確的均值和標準差。從二叉樹圖的末端開始倒退可以計算出期權(quán)的價格，計算比較簡單，需要的參數(shù)較少。 (2)但是，當最終的盈虧狀態(tài)依賴于狀態(tài)變量的過去歷史以及它們的當前值時，應(yīng)用此方法有很大的困難。并且，當包括三個或更多變量時，計算量相當大。 (3)根據(jù)二項式模型和black-s