《微積分》各章習(xí)題及詳細(xì)答案

1、第一章函數(shù)極限與連續(xù)1、填空題 f(sin )1 cosx，貝y f (cosx)2、lim匕葺x x(1 x )3、x 0時，tanx sinx是x 的階無窮小。4、lim xk sin 10成立的k為x 0 x5、lim exarctanxx6、7、lim 32x 0 6xex 1 x 0f(x)在x 0處連續(xù)，那么bx b, x 0設(shè)f(x)的定義域是0,1，貝y f(lnx)的定義域是9、函數(shù)y 1 In(x 2)的反函數(shù)為10、設(shè)a是非零常數(shù)，那么lim (。x x a111、 當(dāng)x 0時，(1 ax2)3 1與cosx 1是等價無窮小，那么常數(shù)a 3x12、 函數(shù)f(x) arcs

2、in的定義域是 。1 x13、lim(.x22、x22)。x14、 設(shè) lim ()x 8，貝U a 。x x a15、lim ( n . n 1)( . n 2、n)=。n二、選擇題1、設(shè)f(x), g(x)是l,l上的偶函數(shù)，h(x)是l,l上的奇函數(shù)，貝y 中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。(A)f(x)g(x) ； (B) f (x)h(x) ； (C) f (x)g(x)h(x) ； (D) f (x)g(x)h(x)。2、(x)1 x1 x,(x) 13x ,那么當(dāng)x1時有。(A)是比高階的無窮??；(B)是比低階的無窮?。?x13、函數(shù)f(x)31 xk0(x1)在x 0x 0處連續(xù)，那么k

3、(A) 2 ；(B)(C) 1；(D) 0。4、數(shù)列極限lim nIn( nn1)Inn(A) 1 ;(B)(C)(D)不存在但非。sin x5、f(x)x01xcos-x(A)連續(xù)點；(B)0是f (x)的可去間斷點;(C)跳躍間斷點;(D)振蕩間斷點。6、以下各項中f(x)和g(x)相同的是(A) f (x) lg x2, g(x) 2lg x ；(B)f(x)x , g(x) . x2 ；(C) f (x) Vx4x,g(x)xV x 1 ；(D)f(x)2 2g(x) sec x tan x。7、lim 沁x 0 | x |(A) 1 ;(B)-1 ;(C)(D)不存在。1x)x(A)

4、 1 ;(B)-1 ；(C)(D)9、f(x)在X。的某一去心鄰域內(nèi)有界是limX xqf (x)存在的(A)充分必要條件；(B)充分條件;(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條件10、2lim x(、x 1 x)x(A)(B) 2(C)(D)0。11、設(shè)an, bj, Cj均為非負(fù)數(shù)列,lim ann0, lim 0n1,lim Cn，那么必有( )n(A)bn對任意n成立;(B)bncn對任意n成立;(C)極限lim anCn不存在； n(D)極限lim bnCn不存在。n12、當(dāng) x21時，函數(shù)1門的極限()(A)等于2;(E)等于0;(C)為(D)不存在但不為三、計算解答1計算以下極

5、限(1)limn2nsin 2X(2)cscx cot x1(3) lim x(ex 1)；x(4)limx2x2x 13x2/l、8 cos x 2cosx 1(5) limx _ 2 cos x cosx 13,1 xsin x.cosx . ; xta n x(7)nim門1n(n 1)(8)limn(132X) x 2 arctanQ ?3、試確定a,b之值，使limxx21x 1ax b4、利用極限存在準(zhǔn)那么求極限11111(1)lim 23nn 1。n1111123n(2)設(shè)x1a0 ,且Xn 1.axn(n 1,2,)，證明lim xn存在，并求此極限值。nxx5、討論函數(shù)f(x

6、) lim nx n x的連續(xù)性，假設(shè)有間斷點，指出其類型。n n n6、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且a f (x) b，證明在(a, b)內(nèi)至少有一點，使f()第一單元 函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答、填空題21 2sin xx2 x2 xf (sin )1 (1 2 si n )22 si n ,2 2 2f(x) 2 2x2 2f (cos x) 2 2 cos x 2sin x。2、2 lim3x)_ x x(1 x )limx29x224 x 163x x3、高階tan x sin x limx 0tan x(1 cosx) limx 0lim (1 cosx) 0,x 0sin 1為有界函

7、數(shù)，所以要使lim xk sin -xx 0 xx 1y 1 In (x 2)的反函數(shù)為ye 2。10、2a11、a1由(1 ax2)31丄ax23(利用教材P58(1x)a1 21 : ax)與 cosx 1 x，以2及xm1(1 ax2)3cosx 1xm1 2axJtan x sin x是x的高階無窮小。4、 k 05、0。lim e2a2a 原式=lim (1) 2a X a e a。 x a arctanxx0 (lim exx0, arcta nx(2,2)。6、b2。limf(x)lim (x b)b，lim f(x)lim(ex 1)2x 0x 0x 0x 0f(0)b, b2

8、。7、1limln(3x 1).3x lim1。2x 06xx 06x2&1x e根據(jù)題意要求0ln x 1，所以1 xe。9、yX 1e2y 1ln(x 2),(y 1)ln(x 2)，x2ey 1，0，只要 lim xkx 00，即 k 0。x1ey2，12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得13、14、15、3x1x解不等式組可得limXlimXln2二、選擇題1、選DF( x)2、lim-X 1 (13、選A4、選E5、選ClimXx22 (X22)lim(X即:3alimnlimnf (x)的定義域為1 x 1 o42( . X22X2 2)( . X2 2X22)x 2a )Xx ali

9、m(x xlim(1X2a)Xa_JL)X,令 t= a，所以 x=3at ax a3atim(1 J)t3ag(1 J)a=e3a 8ln8 a 1ln8 ln32(1.11)_ H _ nJ21令 F(x) f (x)g(x)h(x)，由ln2。n)limn(.n 一 n 1) 2f x,gx是l,l上的偶函數(shù)，hx是l,l上的奇函數(shù),f ( x)g( x)h( x) f(x)g(x)h(x) F(x)。lim limx 1 (1x)(13 x) x1 (1x)13 1(1X)1 X-_1X) 3(1 X)3X叫 fxxm利用教材P581x)a 1 : ax)X X1 - 21 3moH

10、X-(利用教材P58(1 x)a1 : ax)lim nln( n 1) In nlim ln(1 -) nnf(0 ) 1 , f(0 ) 0f(0) 06、選(C)在(A)中2f (x) ln x的定義域為x 0,而g (x)2 In x的定義域為x 0, f (x) g(x)故不正確在(B)f(x) x的值域為(),g(x)x2的值域為x 0，故錯在(D)中f(x) 1的定義域為R g(x)sec2 x tan x的定義域為x R, xk ?,f(x)g(x),故錯7、選(D)limx 0sin xlim沁0 xlim0sin xlim1x 0 xsin x 十亠 lim 不存在 x 0

11、 | x |8、選(D)0(11x)xlim1x 01 ( x) x1)9、選(C)由函數(shù)極限的局部有界性定理知，limX x0f(x)存在，那么必有X。的某一去丿心鄰域使 f (x)有界,而f (x)在x0的某一去心鄰域有界不一定有l(wèi)im f (x)存在，例如x x01lim sin ，函數(shù)x 0 x1sin 1有界,x但在x 0點極限不存在10、選(C)Vx11、選(D)(A)、x2 1 x)limx11/ 121 2 1limx(Qlim xxx(Jx21 x)(Jx2 1 x)x21 xlim x , x21 x(E)顯然不對，因為有數(shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)n充分大時的情況

12、，不可能得出“對任意 n成立的性質(zhì)。(C)也明顯不對，因為“無窮小無窮大是未定型，極限可能存在也可能不存在。12、選(D)1 x 1e1lim (xx 111)e 蘆2 002lim xx 1當(dāng)x1丄丄ex1x 11時函數(shù)沒有極限,lim (xx 111)ex 1也不是三、計算解答1、計算以下極限:(1)解：lim 2n sin lim 2nn2n2x。mozcscx cotxxmoIK1 cosxsinx sinx1 cosxxsin x2xlim x 0 x21(3)解：lim x(ex 1)xo11 - XXmHx(4)解：lim (紅)3x lim (1-)3xx 2x 1 x 2x

13、11 xH 3 lim(1 ) 2 23。1x 2(5)解:lim(1X1%3T) 2 lim(1Ixx21円31丿x 28 cos2 x 2 cosx limx 2cos x cosx3(2 cos x 1)( 4 cosx 1) limx _ (2cosx 1)(cos x 1)4cosx 1 limx _ cosx 1314 -21 12mozxsin x cosxxta nxlim1 xsinx cosxxta nx(1 xsinx cosx)xsi nx 1 cosxxsin x2x21 cosx lim2x 0 2x1 132 44limx 02x2limx 0Q lim(1xsi

14、n xcosx)2(7)解：lim111 x 1223n(n 1)lim(11)(23)(11)x223n n1lim (11)10xn1ln(1 3 2 x)112 x呢-)3xm2arctanz 43、解:limxax b)limxx 1 ax (a b)x bx 1lim (1 a)x2 (a b)x (1 b)丄xx 121(ab)4、( 1)而limxlimx111 12(2)先證有界(數(shù)學(xué)歸納法)n 1 時，X2ax1設(shè) n k 時，xk a ,Xkaxka2數(shù)列xj有下界,再證Xn單調(diào)減，Xn 1XnXn 0XnXn即Xn單調(diào)減,lim Xn存在，設(shè)limnnXn那么有(舍)或A

15、limnXn5、解:先求極限得 f(x)2x i n nim弓 n nlim f (x)x 01 limX 0f(x)6、解:f (x)的連續(xù)區(qū)間為(0為跳躍間斷點。令 F(x) f(x) x,而 F(a) f (a),0)(0,F(x)在f(0)a, b上連續(xù)F(b) f(b)由零點定理，0(a,b)使 F(第二章導(dǎo)數(shù)與微分、填空題1 f (3)2，那么 lim f(3 h)一竺=h 0 2h2、 f (0)存在，有 f(0)0,那么 limx 0f(x) =x3、 y1沖arcta n ，貝U yx 14、 f (x)二階可導(dǎo)，y f(1 sin x)，那么 y=； y =5、 曲線y e

16、x在點處切線與連接曲線上兩點(0,1), (1,e)的弦平行。6、 yInarctan(1 x)，那么 dy =。2 4 dydy7、 y sin x ，貝y=，2 =。dxdx18、假設(shè) f (t) lim t(1-)2tx,那么 f (t) =。xx29、 曲線y x 1于點處的切線斜率為2。x10、設(shè) y xe ,貝U y (0)。11、設(shè)函數(shù)y y(x)由方程ex y cos(xy) 0確定，那么。dx2212、設(shè)x 1 t那么孕 。y costdx二、單項選擇1 21、設(shè)曲線y 和y x在它們交點處兩切線的夾角為，那么tan =()。x(A)1 ；(B) 1 ；(C)2 ；(D)3。

17、3、函數(shù)f(x)ktan xe ，且 f ()4e,那么k()。(A)1 ；(B)1；(C)1 .；(D) 2 o24、f (x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且limf(1x)f(1)2，那么曲線y f (x)在(1,2)處切線的方程x 02x是O(A) y 4x 6 ； (B) y 4x 2 ； (C) y x 3 ;(D) y5、設(shè)f (x)可導(dǎo)，那么limf2(xx 0xx) f2(x)_(A) 0 ;(B) 2f (x) ;(C)2f (x);(D)2f(x) f (x) o6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f (x) f(x)2，那么f(n)(x) =(A) nf(x)n1; (B)n!f(x)n

18、1; (C) (n 1)f(x)n1 ; (D) (n 1)! f(x)2 。7、假設(shè) f(x) x2，那么 lim f(x02x)心)x 0(A)2x;(B) X。;(C)4xo ；(D) 4x 。8、設(shè)函數(shù)f (x)在點x0處存在f (Xo)和 f(xo)，那么f(X。)f(X。)是導(dǎo)數(shù)f (x)存在的()(A)必要非充分條件;充分非必要條件;(C)充分必要條件;(D)既非充分又非必要條件。9、設(shè) f (x) x(x 1)(x2)(x99)那么 f (0)(A) 99;(B)99(C) 99!;(D) 99! o10、假設(shè)f (u)可導(dǎo)，且yf(2x )，那么有dy (A) xf ( x2

19、)dx ; (b) 2xf2(x )dx ; (C)2 f ( x2)dx; (D) 2xf ( x2)dx。11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0，使得(A) f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加;(B)f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減少;x (0,)有 f(x)f (0) ; ( D)對任意的x,0)有 f(x) f(0) o12、設(shè)f(x)2x sinxxax bx(A) a1,b0 ;(B)(C) a0,b0 ;(C)(C)對任意的0aa0在x 0處可導(dǎo)，那么三、計算解答0, b為任意常數(shù);1, b為任意常數(shù)。1、計算以下各題(1).2 1 sin - e x，求 dy;(2)yx叮求t3d2yd

20、x2(3)arcta ny(4) y sin x cosx，求(50)y ;(5)(6) f (x) x(x 1)(x 2) (x 2005)，求 f (0);(7) f(x) (x a) (x) ,(x)在 x a 處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f (a)、f (a);(8) 設(shè)f(x)在x 1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(1) 2，求lim f (cos x 1)。x 1 dxb( 1 sin x) a 2 x 02、試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)f(x)處處可導(dǎo)。eax 1x 03、證明曲線x2 y2 a與xy b ( a,b為常數(shù))在交點處切線相互垂直。500米空中時,4、 一氣球從距離觀察員 50

21、0米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到問觀察員視角的傾角增加率為多少。f (x)。5、 假設(shè)函數(shù) f (x)對任意實數(shù) x-1 ,x2 有 f (x-i x2 ) f (x-i) f (x2)，且 f (0) 1，證明 f (x)6、 求曲線y x3 3x2 5上過點(1, 3)處的切線方程和法線方程。第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答9、(ln(e 1),e 1)弦的斜率x y (e )xe e 1dxarcta n(1 x)21(1 x)dyd arcta n( 1arcta n(1x)dxarcta n(12x) 1 (1 x)4x3 sin 2x4， 2x2 sin 2x4

22、k5、x6、x)7、dydxln(e1)，當(dāng) xarcta n(12sin xx)4cosxln(e1(14x31)時，y e護(1 x)4x3sin 2x4dydx2e2t2te2t(1,2)2x2si n2x42xdx1 2txf(t) lim t(1一)Xxte2tf (t)e2t2te2t2x，由 2x02Xo1，y。121、1lim f(3 h)f(3)lim f(3h 0h) f(3)( 1)1f(3)h221h 02h2、f (0).f(x) limlim f (x)f(0)f (0)x 0 xx0x03、In xxyln1xy lx 1ln x4、f (1sin x) cos

23、x ，f(1 sin2x) cos xf (1 sin x) sin x一、填空題2f (1sin x) sin xf (1 sin x) cosx， y f (1 sinx) cos xox 1在點(1,2)處的切線斜率為210、 2xx xxxe ， y e e xeex yF7y (0) y sin(xy) xsin( xy)e02方程兩邊對x求導(dǎo)得ex y(1y) sin (xy)(yxy) 0解得ex y ysin(xy) ex y xsin(xy)12、1、3、4、5、6、7、8、9、sint tcost4t3由參數(shù)式求導(dǎo)公式得巴dxytsi nt2t ，再對x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

24、法得d2ydx2%)dx(yx)t1 tcost sint 1xtt22tsint tcosto4t3選擇題選D交點為(1,1),k11 , k2(x2)|x1 2tan|tan(1)|選Cf (x)tan e|1kxk2k-iIk1k2ktanx sec x由 f4選A由 lim 4!x 0 2xf(1)limxf( 10x) f(x1)切線方程為：y 24(x1)即 y1)(4x2 2選(D) m f (x x) f (x)嚴(yán)(沏x 0x選(E) f (x) f(x)22 f (x) f (x)2 f ( 1)42f(x) f (x)2f3(x)f (x) 2f3(x)2 3f 2(x)

25、f (x) 2 3f 4(x)設(shè) f (n)(x) n! fn 1(x)，那么 f(n 1(x) (n 1)! f n(x) f (x)(n 1)! fn 2(x)f(n)(x) n!fn1(x)選Cf(x2 x) f(x)f(x2 x) f(x)2f (x)又 f (x) (x2)2x,2f(x) 4x選Cf x在X。處可導(dǎo)的充分必要條件是f x在X。點的左導(dǎo)數(shù)fX。和右導(dǎo)數(shù)fX。都存在且相等。選Df (x) (x1)( x 2) (x 99) x(x 2) (x99) x(x 1)( x 3)(x 99)f (0) (099!x(x 1)(x2) (x 98)991)(0 2)(0 99)

26、( 1)99 99!另解：由定義，f (0)99(1)99!99!10、選Ef( xdy2xf(由導(dǎo)數(shù)定義知11、2)f(x) f(0) i0f ( x2)(x2)dx12、lim (x 1)(x 2) (x 99)x 0)2f (x2)f(0) limx 0f(x)xf(0)再由極限的保號性知0,當(dāng) x (從而當(dāng) x (,0)(x(0,)時，f(x)f(0) 0(0，因此C成立，應(yīng)選C。由函數(shù)fx在x 0處可導(dǎo)，知函數(shù)在x0處連續(xù).1sinx. 2x 0*lim f(x) lim xX cc0, lim f (x) lim (ax b)x 0x 0b，所以b 0。(0)lim f(x)x 0

27、f(0)lim0所以0。應(yīng)選Co、計算解答1、計算以下各題(1)dy.2 1 sin 一 e xd (si n2 丄)x.2 1 sin -x(2)dydx3t21t3t3d2ydx29t2Tt(3)兩邊對x求導(dǎo):2y 3 y2y3 (ysin xcosx1丄sin 2x2cos2x sin (2x)2設(shè) yn2n1sin(2x ni)那么 y(n 12n cos(2x n )22 . 1 x sinx0, f (0)12si nx1cos-x9t3,d2ydx21)lim f(x)f(。)x 0axa,x1-y)dxxIt 1(丄2y y2cos(2x2ns in (2x (n1)2)12

28、sin2 -2 sin exdxxx2sin(2x 2 i)又 f (a)limx a注：因d旦(x)x a(x)在x a處是否二階可導(dǎo)不知,(a)(a)2 (a)故只能用定義求。-J1 (8) lim f(cos .x 1) lim f (cos . xx 1 dxx 11)(sin . x 1)12、x1lim f (cos_1) lim si_x 1x 1x 12x2、易知當(dāng)x 0時，f (x)均可導(dǎo)，要使f (1)1f (x)在 x(i) 10處可導(dǎo)f (0) f (0)，且 f (x)在 x0處連續(xù)。即lim f (x)x 0limx 0f(x) f(0)(50)49y2sin( 2

29、x502)2sin 2x(5)兩邊取對數(shù)：ln yxlnx ln(1x)兩邊求導(dǎo)：1-yln xln(1 x)1 xy1 x(x y (.)xlnxln(1x) 11 x1 x(6)利用定義：f (0) lim -f(x)f(0)lim (x1)(x2)(x 3) (x 2005)2005!x 0xx 0(7)f (x)(x)(x a)(x)f (a)(a)lim f (x) b ax 0f(x) 0limx 0f (0)lim f(x)x 0f(0)x 0lim0(1 si nx)(0)axlim 03、證明：設(shè)交點坐標(biāo)為對 x2y22曲線xlim0(X0, y)，那么 x：a兩邊求導(dǎo)：2x

30、 2yaxe 12y。2ya在(X0，y)處切線斜率k1limx 0xyaxax|x xgy。又由x yb2X曲線xy b在Xo,y處切線斜率k2 y |x x0b2Xo又 ki k20 2yoxo兩切線相互垂直。b1約0x500兩邊對t求導(dǎo)2 secd1dx1407dt 500dt50025d72cosdt25當(dāng)x500 m時，4當(dāng)x500 m時，d717弧度/分dt 25 2504、設(shè)t分鐘后氣球上升了 x米，貝Utan5、證明:叫Hh叫HhmoHhXh fXfh叫 f(x)f(h) f(0)hf(x) f (0) f(x)26、解：由于y 3x 6x，于是所求切線斜率為2& 3x6x |

31、x 13,從而所求切線方程為y 33x 1，即 3x y 6 01 1又法線斜率為k2-k131所以所求法線方程為 y 3丄x 1，即3y x 803第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題1、lim xln x 。x 02、函數(shù)fx2x cosx在區(qū)間單調(diào)增。3、函數(shù)fx4 8x3 3x4的極大值是。4、 曲線y x4 6x2 3x在區(qū)間是凸的。5、函數(shù)fxcosx在x 0處的2m1階泰勒多項式是 。6、 曲線y xe 3x的拐點坐標(biāo)是 。7、 假設(shè)f x在含xo的a, b (其中a b)內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且 ,那么f x是f x在a,b上的 最大值。8、y x32x 1在 ， 內(nèi)有個零點。c1

32、1、9、 lim cot x( 一) 。x 0 sin x x1 110、 lim (-2) 。x 0 x xta nxx211、曲線y e 的上凸區(qū)間是。12、 函數(shù)y ex x 1的單調(diào)增區(qū)間是。二、單項選擇1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f(0) 0, f (0) 1, f (0)2,那么 0f(x) X2x(A)不存在 ;(E)(C) -1;(D) -2。2、設(shè) f (x) (x 1)(2x1),x1),那么在(丁)內(nèi)曲線f(x)(A) 單調(diào)增凹的;(E)單調(diào)減凹的;(C) 單調(diào)增凸的;(D) 單調(diào)減凸的。3、f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),x (a,b), f (x)f (x)0,那么

33、f(x)在處(A)取得極大值;(E) 取得極小值;(C) 一定有拐點(X0,f(X0) ;(D)可能取得極值，也可能有拐點。4、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么I：在(a,b)內(nèi)f (x) 0與n：在(a,b)上f (x) f (a)之間關(guān)系是()5、設(shè)f(x)、g(x)在a,b連續(xù)可導(dǎo),f(x)g(x) 0,且 f (x)g(x) f(x)g (x)，那么當(dāng) a xb時，那么有()(A) f(x)g(x) f(a)g(a)；(C) f(X) f(a)； g(x) g(a)6、方程x3 3x 10在區(qū)間(A)無實根；(C)有兩個實根；(B) f (x)g(x) f (b)g

34、(b)；g(x) g(a)(D)出f(x) f(a)內(nèi)()(B) 有唯一實根；(D)有三個實根。7、f (x)在x0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f (0)0 , lim U2 2 ,那么在點 x 0 處 f(x) X 01 cosx(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo)，且 f(0)0 ；(C) 取得極大值;(D) 取得極小值。8、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0 , lim 匸兇 1，那么(X 0 | x |(A) f(0)是f(x)的極大值;(B) f(0)是f(x)的極小值;(C) (0, f (0)是曲線y f (x)的拐點;(D) f (0)不是f (x)的極值點。9、設(shè)a,b為方程f(x) 0的二

35、根，f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么f(x)在(a,b)內(nèi)(A)只有一實根；(B)至少有一實根；(C沒有實根；(D至少有2個實根。10、 在區(qū)間1,1上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是()(A) f(x)丄；(B) f(x) |x| ；x2 2(C) f(x) 1 x ；(D) f (x) x 2x 1o11、函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)f(x)0是函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的(A)必要但非充分條件；(B)充分但非必要條件；(C)充分必要條件；(C)無關(guān)條件。12、 設(shè)yf (x)是滿足微分方程y y esnx0的解，且f (x0) 0,那么f (

36、x)在()(A) X0的某個鄰域單調(diào)增加；(B) X0的某個鄰域單調(diào)減少；(C) X0處取得極小值；(D) X0處取得極大值。三、計算解答 1、計算以下極限J parccosx lim x 1x 1x sin x e e lim 廠 x 0 x ln(1 x)ln cot x limx 0 ln xlim - 42ln(1x 0 x x2x)；limx 0arcta n x3xlim業(yè)回x 0 ln tan(bx)證明以下不等式、設(shè) b a e，證明 ab ba 。、當(dāng)0 x時，有不等式tanx 2sinx 3x。2y x3sinx，利用泰勒公式求 y(6)(0)。2、3、4、5、6、7、試確

37、定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使得當(dāng) x0時，axn與ln(1 x3) x3為等價無窮小。設(shè)f (x)在a,b上可導(dǎo)，試證存在(a b)，使1 b3b a f (a) f (b)23f()作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積V最小，并求出該體積最小值。假設(shè)f (x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且 f (0)f (1)0,設(shè)F(x) x3f(x)，試證：在(0,1)內(nèi)至少存在一個，使 F( )0。1、2、3、4、5、6、7、89、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答填空題10lim xlnx limln x limXlim(x) 0x 0x 01x 01x 0X2 X(,)f (X)2 sin

38、 x0f(x)在(,上單調(diào)增20f (x)24x212x312x2(x2)令 f(x) 0X0, x22當(dāng)j x 2 時，f (x)0 ;當(dāng)x2時，f (x)0極大值為f(2)20(1,1) y4x3 12:x 3，y12x21212(x1)(x 1)當(dāng)J x1 時,y 0當(dāng)x (1,1)時,y0 ；當(dāng)x (1,)時，y 0曲線在1,1上是凸的11 11 * / 1mx2m見教材P13頁泰勒公式.2223x3x 3x.(,e ) ye 3xe e (1 3x)， 3 3y3e 3x(13x)3e 3xe 3x(9x6)9e 3x(x令y2220 x當(dāng)X一時，y0 ；當(dāng)x時y 0333而當(dāng)x -

39、時,y2 2 e拐點為2,2 e2)3333fx 0,fx lim fXfX。o 3 。 x x。v Vx 用 7 77 7入 入o入 入o入 入o當(dāng)x X。時，fX。 0, f x單調(diào)增加；當(dāng)x X。時，f x 0, fx單調(diào)減少1 y 3x220， y在，上單調(diào)增加又lim y lim y . 在，內(nèi)有1個零點。XX-原式6cosx(x sin x).2 xsin xx sin x 1 cosx 1 lim cosxlim 3 lim 廠x 0 x 0 x x 0 3x 610、1tan x x原式=lim 2lim3x 0 x ta n xx 0tan x xsec2 x 1limx 0

40、x33x21lim3 x 0tan2x 1 ox2311、2 2、 x2(牙，云)2xe x , y(2x)2ex2令y、2 . 2 亠，云)時,12、y 0,上凸，其它區(qū)間y 0,上凹,故應(yīng)填入(子(0,)函數(shù)y exx 1的定義區(qū)間為()，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo),1，因為在(0,)內(nèi)y 0 ,所以函數(shù)y e1在(0,)上單調(diào)增加。二、選擇題1、選(C)lim葉訕丄x 0x2x 0 2x2、選(E)x P 時，f(x)0 ,又 f (x) 4x 14(x1x (-J)f (x)在,1)上單調(diào)減且為凹的。3選(D ) f (x) x，那么 f(0)f(0)0 , xf(x)的拐點；設(shè)f (x)

41、x4 ,那么f(0) f (0)0,而 x 0 是 f (x)x4的極值點。4、選(C)由f (x)在(a,b)內(nèi)f (x)0的充分必要條件是在(a,b)內(nèi) f (x)C ( C為常數(shù))，又因為f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，所以C f (a)，即在(a,b)上f(x)f(a)。5、選(C)由 f (x)g(x) f(x)g (x) f (x)g(x) f (x)g (x)器0瑤單調(diào)減少，x (a,b)f (x) f(a)g(x) f(b)6、選(D)23x 1，那么 f (x) 3x233(x1)(x 1)；當(dāng)x1 時，f(x) 0,f (x)單調(diào)增加，當(dāng)x(1,1)時，f (X)0 , f (x)

42、單調(diào)減少當(dāng)x(1,)時，f(x)0 , f(x)單調(diào)增加而f(1)3 , f (1)1limxf (x), limxf(x)令 f(x)3 xf (x)在(，1)上有一實根，在1,1上有一實根，在(1,)上有一實根。7、選(D) 利用極限的保號性可以判定 f(X)的正負(fù)號:lim2 0U必 0 (在x 0的某空心鄰域)；x 01 cosx1 cosx由1 cosx 0,有f(x) 0 f (0)，即f(x)在x 0取極小值。8、選(E)由極限的保號性：lim 空!x 0 | x |匚血 0 (在X 0的某空心鄰域)|X|;由此f (X)0 (在x 0的某空心鄰域),由極值第一充分條件，x 0是

43、f (x)的極9、選(B)由羅爾定理保證至少存在一點(a,b)使 f()10、(C), A選項f (x)在X 0不連續(xù)，B選項f (x)在X0處不可導(dǎo)，D選項f f( 1)。11、3(B),如 y x 在()單增，但f(0)0 ,故非必要條件。12、(C)，由 f(xo)0有 y(X0)sin Xq ey(xo)esinX00,所以f(x)在xo處取得極小值。、計算解答1、計算極限f(x)單調(diào)增，又由f(0)0 ,f(x)在x 0由負(fù)變正,(1)解:limX 1廠 varccosx(2)解:3)(4)解:(5)解:limX 1limX 0lim -x 012、arccosx . 1 x21ln cotxln x2、x 1十(lim0limX 1. arccosxcsc2 x)limX 0x sin xcosx sinx sin xsin x x sin xe e . e (e 1) 2lim3x2ln(1x) x 0 x31Tln(1xarcta nxsin xmoH XCOSX 13x26x)limxln(12xx)2xlimx 01 lim -x 011 X23x2xm2x3x2 (1 x2)小點。解:lim ln tan(ax)x 0 In tan(bx)limx 0sec2(ax) atan (ax)sec (bx) b ta n(bx)