第二章格林定理鏡像法

1、2.9 格林定理格林定理 互易定理互易定理2.9.1 格林定理格林定理 SVdSFFdV在上式中，令 則: dSndSdVFdVFSSVV)()()(22F即: SVdSndV)(2 這就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即閉合面的外法向。SVdSndV)(2SVdSnndV)(22該式稱為格林第二恒等式。 格林定理可用于解的唯一性證明和求解泊松方程的積分格林定理可用于解的唯一性證明和求解泊松方程的積分解，在電磁場(chǎng)理論中是很重要的定理之一解，在電磁場(chǎng)理論中是很重要的定理之一 2.9.2 格林互易定理格林互易定理 互易定理是描述不同場(chǎng)及其場(chǎng)源成對(duì)稱關(guān)系的公式，格林定理是不同互易定理是描述不同場(chǎng)

2、及其場(chǎng)源成對(duì)稱關(guān)系的公式，格林定理是不同函數(shù)間成對(duì)稱關(guān)系的互易定理的數(shù)學(xué)表述。兩個(gè)定理的區(qū)別在于：格林定函數(shù)間成對(duì)稱關(guān)系的互易定理的數(shù)學(xué)表述。兩個(gè)定理的區(qū)別在于：格林定理不含具體的物理意義，而互易定理可以看為格林定理的一個(gè)直接推論和理不含具體的物理意義，而互易定理可以看為格林定理的一個(gè)直接推論和應(yīng)用應(yīng)用 它是描述在帶電體系中，空間各處的電荷分布與在其它各電荷分布它是描述在帶電體系中，空間各處的電荷分布與在其它各電荷分布處所產(chǎn)生的電位間存在互易關(guān)系。處所產(chǎn)生的電位間存在互易關(guān)系。 i/iq/i/現(xiàn)測(cè)得各帶電導(dǎo)體的電位為現(xiàn)測(cè)得各帶電導(dǎo)體的電位為 體電荷元處的電位為體電荷元處的電位為體電荷密度變?yōu)轶w

3、電荷密度變?yōu)?，相?yīng)的電位變?yōu)橄鄳?yīng)的電位變?yōu)椋瑒t有則有 當(dāng)各導(dǎo)體的電荷變?yōu)楫?dāng)各導(dǎo)體的電荷變?yōu)楹蚫qdqViiniViini/1/1這是格林互易定理的普遍形式 dSnndSV)()(22證明：/現(xiàn)令：現(xiàn)令：dSnndSV)()(/2/2/()1()()()iiiiiiiSiiiiiiiiiSSiirightdSnndSdSqqnn dleftV)(1/212( )( )rr dleftV)(1/1()iiiiiRightqqdqdqViiniViini/1/1證畢證畢（1）當(dāng)整個(gè)空間除導(dǎo)體外，沒有其它體電荷密度分布）當(dāng)整個(gè)空間除導(dǎo)體外，沒有其它體電荷密度分布 iiniiiniqq/1/1（2）若整

4、個(gè)空間除體電荷密度分布外，沒有其它諸導(dǎo)體）若整個(gè)空間除體電荷密度分布外，沒有其它諸導(dǎo)體 ddVV/2.10 唯一性定理唯一性定理 鏡像法鏡像法 在電磁場(chǎng)問題中，往往需要求解有限區(qū)域中給定邊界條件下在電磁場(chǎng)問題中，往往需要求解有限區(qū)域中給定邊界條件下的電磁場(chǎng)問題。的電磁場(chǎng)問題。 如果只考察空間某如果只考察空間某有限區(qū)域的電磁場(chǎng)，而區(qū)域內(nèi)、外常存在不同有限區(qū)域的電磁場(chǎng)，而區(qū)域內(nèi)、外常存在不同場(chǎng)源，顯然僅僅知道區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)源并不足以能完全確定有限區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)源，顯然僅僅知道區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)源并不足以能完全確定有限區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)，還必須知道區(qū)域外場(chǎng)源的影響，而外域場(chǎng)源的影響可以通過用邊磁場(chǎng)，還必須知道區(qū)域外場(chǎng)

5、源的影響，而外域場(chǎng)源的影響可以通過用邊界面上的等效場(chǎng)來取代，故內(nèi)域場(chǎng)由其內(nèi)部場(chǎng)源和邊界場(chǎng)值唯一確定。界面上的等效場(chǎng)來取代，故內(nèi)域場(chǎng)由其內(nèi)部場(chǎng)源和邊界場(chǎng)值唯一確定。 2.10.1 唯一性定理唯一性定理設(shè)在區(qū)域V內(nèi)， 和 滿足泊松方程，即: )()(2212rr在V的邊界S上 和 滿足同樣的邊界條件， 即: )(|)(|21rfrfSS1212令 =1-2，則在V內(nèi)，2=0，在邊界面S上，|S=0。在格林第一恒等式中，令=，則: SVdSndV)(2由于 2 =0，所以有: SVdSndV2在S上 =0，因而上式右邊為零，因而有: 02dVV或者這樣來證明或者這樣來證明 設(shè)滿足麥克斯韋方程、初始條

6、件和邊界條件的電磁場(chǎng)解不唯一，設(shè)滿足麥克斯韋方程、初始條件和邊界條件的電磁場(chǎng)解不唯一，至少有兩組解至少有兩組解 2121HHHEEEtHEtEEH0 D0 B HEEHHE)(dHEtEJdHEV)()(221221dtdHEdtdEdHEtVtV)()()(020221221dtdnHEdHEtV)()(0221221)()()(EnHnHEnHE0)(221221dHEV式中的被積函數(shù)總為正值，要使上式成立，必有式中的被積函數(shù)總為正值，要使上式成立，必有 0E0H21EE 21HH 和 在有界區(qū)域內(nèi)滿足給定源的場(chǎng)方程、初始條件在有界區(qū)域內(nèi)滿足給定源的場(chǎng)方程、初始條件及不同邊界條件的場(chǎng)解是唯

7、一的及不同邊界條件的場(chǎng)解是唯一的 |0nE邊界|0nH 邊界2.10 鏡像法鏡像法 2.10.1 平面鏡像法平面鏡像法例例4-1 求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。 圖圖4-1 無限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像無限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像 當(dāng) z0 時(shí)，2S=0；當(dāng) z=0時(shí)，=0；當(dāng) z、|x|、|y|時(shí)，0。解：解： rqrq0412/12222/1222)(,)(hzyxrhzyxr3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由Dn=S可得導(dǎo)體表面的面電荷密度： 2/32220)(2hyxqhEzS導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷： qhyxd

8、xdyqhdSqSin2/3222)(2圖圖4-2 相互正交的兩個(gè)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像相互正交的兩個(gè)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 2.10.2 球面鏡像法球面鏡像法 例例4-2 如圖4-3(a)所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。 圖圖4-3 球面鏡像球面鏡像 (a) 球面鏡像原問題；(b) 等效問題 解：解：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷q等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q離球心距離為b(b0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為: nml120例例4-5 兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸

9、線之間的距離是 2d，如圖 4-6，求導(dǎo)體單位長的電容。 圖圖4-6 平行雙導(dǎo)體平行雙導(dǎo)體 解解:設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長帶電分別為l和-l，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷l和-l代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，兩個(gè)導(dǎo)體面的電位分別為1和2。 bdmmammd1112222解之得: aabbm222, 1aabbnabbabbnnmnmUlll2202222021021112)11 (2aabbnUCl2201當(dāng)ba時(shí)， abnC2102.10.4 平面介質(zhì)鏡像法平面介質(zhì)鏡像法 例例4-6 設(shè)兩種介電常數(shù)分別為1、2的介質(zhì)充填于x0 的半空間，在介質(zhì) 2 中點(diǎn)(d, 0, 0)處有一點(diǎn)電荷q, 如圖 4-7(a)所示， 求空間各點(diǎn)的電位。