2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.4.1《用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）》導(dǎo)學(xué)案(含答案)

1、1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2） 1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)重點(diǎn)：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系 難點(diǎn)：用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系 一、自主導(dǎo)學(xué)空間中直線、平面垂直的向量表示 位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為1,2,則l1l21212=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為,平面的法向量為n,則lnR,使得=n面面垂直設(shè)平面,的法向

2、量分別為n1,n2,則n1n2n1n2=0二、小試牛刀1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.()(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.()(4)若兩平面,的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面,互相垂直.()2.設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量(-2,-4,k),若,則k=()A.2 B.-5 C.4 D.-2一、情境導(dǎo)學(xué)類似

3、空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？二、典例解析例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PEAF.延伸探究本例條件不變,求證:AFBC. 利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)

4、算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn).求證:(1)BD1AC;(2)BD1EB1.例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M平面EFB1. 利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐

5、標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,ABAD,AB=4 ,CD=2, AD=22,PA平面ABCD,PA=4.求證:BD平面PAC. 例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1平面AA1C1C.利用空

6、間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=12AD求證:平面AMD平面CDE.金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC為直角的

7、等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).(1)求cos.(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F,使CF平面B1DF?若存在,求出|AF|;若不存在,請(qǐng)說明理由. 應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個(gè):(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn),根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.1.若直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面的

8、法向量為n=(-3,6,-9),則()A.l B.l C.l D.l與相交2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則()A.平面AED平面A1FD1B.平面AED平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對(duì)3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與的位置關(guān)系是.4.如圖,在四面體ABCD中,AB平面BCD,BC=CD,BCD=90,ADB=30,E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),求證:平面BEF平面ABC.5如圖所示，在長方體中，、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面參考答案：

9、知識(shí)梳理二、小試牛刀1.答案: (1)(2)(3)(4) 2. 答案:B 解析:因?yàn)?所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 學(xué)習(xí)過程例1思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可. 證明:(方法1)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,12,12.E在BC上,設(shè)E(m,1,0),PE=(m,1,-1), AF=0,12,12.PEAF=0,PEAF.無論點(diǎn)E在邊BC上何處,總有PEAF.(方法2)因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上,可設(shè)BE=BC,于是PEAF=

10、(PA+AB+BE)12(AP+AB)=12(PA+AB+BC)(AB+AP)=12(PAAB+PAAP+ABAB+ABAP+BCAB+BCAP)=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此PEAF.故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PEAF.延伸探究 證明:同例題建系,易知AF=0,12,12,BC=(a,0,0),因?yàn)锳FBC=0,所以AFBC. 跟蹤訓(xùn)練1 證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,0,B1(1,1,1).(1)

11、BD1=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0),BD1AC=(-1)(-1)+(-1)1+10=0.BD1AC,BD1AC.(2)BD1=(-1,-1,1),EB1=12,12,1,BD1EB1=(-1)12+(-1)12+11=0,BD1EB1,BD1EB1.例2思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后說明D1M與法向量共線,從而證得結(jié)論.證明:(方法1)因?yàn)镋

12、,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn),所以D1M=D1B1+B1M=DA+DC+12B1B,而B1E=B1B+BE=B1B12DC,于是D1MB1E=(DA+DC+12B1B)(B1B12DC)=0-0+0-12+12140=0,因此D1MB1E.同理D1MB1F,又因?yàn)锽1E,B1F不共線,因此D1M平面EFB1.(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,因此D1MB1E=10+1-

13、12+-12(-1)=0,故D1MB1E;又D1MB1F=1-12+10+-12(-1)=0,故D1MB1E.又B1E,B1F不共線,因此D1M平面EFB1.(方法3)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,設(shè)平面EFB1的法向量為n=(x,y,z),于是nB1E,nB1F,因此-12y-z=0,-12x-z=0,取x=2,則y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=12(2,2

14、,-1),即D1M=12n,所以D1Mn,故D1M平面EFB1. 跟蹤訓(xùn)練2證明:因?yàn)锳P平面ABCD,ABAD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4), D(0,22,0),C(2,22,0),所以BD=(-4,22,0),AC=(2,22,0),AP=(0,0,4).所以BDAC=(-4)2+2222+00=0,BDAP=(-4)0+220+04=0,所以BDAC,BDAP.因?yàn)锳PAC=A,AC平面PAC,AP平面PAC,所以BD平面PAC.例3思路分析要證明兩個(gè)平面垂直,由兩個(gè)平面垂直的條件,可證明這

15、兩個(gè)平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1,n2,證明n1n2=0.解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,則AA1=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1), AE=-2,0,12.設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1).則n1AA1=0,n1AC=0z1=0,-2x1+2y1=0.令x1=1,得y1=1.n1=(1,1,0).設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2

16、=(x2,y2,z2).則n2AC1=0,n2AE=0-2x2+2y2+z2=0,-2x2+12z2=0,令z2=4,得x2=1,y2=-1.n2=(1,-1,4).n1n2=11+1(-1)+04=0,n1n2,平面AEC1平面AA1C1C.跟蹤訓(xùn)練3分析:因?yàn)镕A平面ABCD,所以可以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)AB=1,依題意得A(0,0,0),M12,1,12,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),則AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),可得AMCE=0,CEAD=0,因此CEAM,

17、CEAD.又AMAD=A,CE平面AMD.又CE平面CED,平面AMD平面CED.金題典例 解:(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.AC=2a,ABC=90,AB=BC=2a.B(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(0,0,3a),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),D22a,22a,3a,E0,22a,32a,CA1=(2a,-2a,3a),BE=0,22a,32a.|CA1|=13a,|BE|=112a,CA1BE=0-a2+92a2=72a2.cos=BECA1|BE|CA1|=7143143.(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF

18、平面B1DF.不妨設(shè)AF=b,則F(2a,0,b),CF=(2a,-2a,b),B1F=(2a,0,b-3a),B1D=22a,22a,0.CFB1D=a2-a2+0=0,CFB1D恒成立.由B1FCF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a,當(dāng)|AF|=a或|AF|=2a時(shí),CF平面B1DF.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1. 答案:C 解析:直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面的法向量為n=(-3,6,-9),a=-13n,an,l.故選C.2. 答案:B 解析:以D為原點(diǎn), DA,DC,DD1分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1n2=0,所以n1n2,故平面AED平面A1FD1.3.答案:l解析:因?yàn)閍b,所以l.4. 證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0,32a,a2.BCD=90,CD