D對坐標(biāo)曲面積分同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D對坐標(biāo)曲面積分同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)對坐標(biāo)曲面積分同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共27頁1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: )

2、,(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共27頁用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共27頁設(shè) 為光滑

3、的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共27頁引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在

4、有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共27頁(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共27頁定

5、理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共27頁 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),

6、() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)說明說明:如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共27頁yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy機動 目錄 上頁 下

7、頁 返回 結(jié)束 第9頁/共27頁解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共27頁yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機動 目錄 上頁 下頁 返回

8、 結(jié)束 第11頁/共27頁1222zyx的外側(cè) , 計算SxxzyI2cosdd2解解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共27頁ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(i

9、iiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共27頁令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共27頁解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3機動 目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共27頁yxz111,1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共27頁221cosyxx其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2Sdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 機動 目錄 上頁 下頁 返

11、回 結(jié)束 第17頁/共27頁)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共27頁定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共27頁yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)

12、系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共27頁面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共27頁yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyx

13、Dyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共27頁1. P167 題2提示提示: 設(shè),),( ,0:yxDyxz則 取上側(cè)時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下側(cè)時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P184 題 13. P167 題3(3)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共27頁,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示:求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分作業(yè)作業(yè) P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共27頁,ddddddzyxyxzxzyI1:222222czbyax取外側(cè) .解解:zyxdddxdycyxDbyax,2222111