Chapter14曲線曲面積分課件

1、Chapter14曲線曲面積分第十四章 曲線積分與曲面積分1 第一類曲線積分第一類曲線積分Chapter14曲線曲面積分xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧AB上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn) BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無(wú)無(wú)限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段iiMM1 都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)， 此此折折線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).1、平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念重溫

2、曲線的弧長(zhǎng)重溫曲線的弧長(zhǎng)11lim|niiilMM Chapter14曲線曲面積分設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .22( )( )dstt dt 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 2 2 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形類似的三維情形空間曲線！類似的三維情形空間曲線！定理定理 光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的。上冊(cè)。上冊(cè)P319定理定理7.4.1弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素Chapter14曲線曲面積分 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxd

3、xx dy弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 3 直角坐標(biāo)情形dxyds21 Chapter14曲線曲面積分曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( r在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . sin)(cos)(ryrx由由)( ds,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 4 4 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分.),(lim),(,)(),(,),(10 niiiiiLLLsfdszyxfdsPfdsyxfLyxf 即即或或記記作作線線積積分分第第一

4、一類類曲曲上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分或或在在曲曲線線弧弧稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)被積函數(shù)被積函數(shù)積分路徑積分路徑積分和式積分和式Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分問(wèn)題思考問(wèn)題思考（1） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中 的符號(hào)可能為負(fù)嗎？的符號(hào)可能為負(fù)嗎？iS （2） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是否與曲線方對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是否與曲線方向有關(guān)？向有關(guān)？（3） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義是什么？對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義是什么？Chapter14曲線曲面積分思考題解答思考題解答iS 的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度.由第

5、一型曲線積分的定義知，其積分與積分路由第一型曲線積分的定義知，其積分與積分路徑方向無(wú)關(guān)。徑方向無(wú)關(guān)。幾何意義是表示以幾何意義是表示以L為準(zhǔn)線，平行于為準(zhǔn)線，平行于z軸的直軸的直線為母線，且在線為母線，且在(x,y)處母線高度為處母線高度為f(x,y)的柱面的柱面的面積。的面積。Chapter14曲線曲面積分思考思考:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).Chapter14曲

6、線曲面積分szyxfd),() 1 ( （ , 為常數(shù)為常數(shù))szyxfd),()2( 由由 組成組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分 ,iiif xyzfx ty tz tsChapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分Chapter14曲線曲面積分xyOxdydsd說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足!(

7、2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. .,),().3(而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf( , )x y且是滿足L的曲線方程。Chapter14曲線曲面積分L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( ) 計(jì)算：計(jì)算：曲線積分曲線積分定積分定積分Chapter14曲線曲面積分.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(

8、12dyyds 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ()ab（以（以x為參數(shù)）為參數(shù)）（以（以y為參數(shù)）為參數(shù)）Chapter14曲線曲面積分例例1.1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中其中 L 為為y2=2x自點(diǎn)自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)到點(diǎn)(2, 2)的一段弧的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31Chapter14曲線曲面積分解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd

9、1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx Chapter14曲線曲面積分例例2.2. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(L: 連接連接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線的閉折線OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx1Chapter14曲線曲面積分10d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=2 2x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1Chapter14曲線曲面積分例例3cos , :()sin.,LxatIxydsLybt求其中橢圓第 象限解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos 222220sin cossincosabtt atbtdt2222220()sin (sin)2ababtbdt,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t LxydsChapter14曲線曲面積分.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023222222si