極限存在性的判定與求法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1極限存在性的判定與求法極限存在性的判定與求法2.3 極限存在性的判定和求極限存在性的判定和求法法第1頁(yè)/共67頁(yè)一、極限存在性的判定一、極限存在性的判定1 1、夾逼定理、夾逼定理定理定理有有，使，使若若)(U000 xx)()()(xhxfxgAxfAxhxgxxxxxx)(lim)(lim)(lim000，則，則且且應(yīng)用夾逼定理求極限，關(guān)鍵是找到應(yīng)用夾逼定理求極限，關(guān)鍵是找到g(x)、h(x)，不但要，不但要滿足不等式，而且二者的極限要相等滿足不等式，而且二者的極限要相等。第2頁(yè)/共67頁(yè)設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系:(2),limlimazynnnn則axnnlim(

2、1) yn xn zn , n Z+(或從某一項(xiàng)開始) ;夾逼定理夾逼定理：第3頁(yè)/共67頁(yè)例例1。求極限求極限nnnnn22212111lim答案答案 1第4頁(yè)/共67頁(yè)解解. ,! lim Znnnnn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnnn由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例例2 2第5頁(yè)/共67頁(yè)2 2、單調(diào)有界性定理、單調(diào)有界性定理定義定義 ，則，則，有，有，使，使，若，若對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列MunMunnN0 nu稱稱有界有界。定義定義 ，有，有，若，若對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列Nnun nnnuuu，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列1

3、1單調(diào)遞增單調(diào)遞增； nnnuuu，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列12單調(diào)遞減單調(diào)遞減。第6頁(yè)/共67頁(yè)定理定理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。第7頁(yè)/共67頁(yè) 單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 .第8頁(yè)/共67頁(yè)例例3 ，討，討，且，且，滿足滿足數(shù)列數(shù)列22N11uuununnn 。求求的斂散性性，若收斂，的斂散性性，若收斂，論論nnnuulim答案答案2limnnu第9頁(yè)/共67頁(yè)例例 4. 設(shè), ),2, 1(0iai證證:顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即

4、nx單調(diào)增,又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 法法第10頁(yè)/共67頁(yè)例5. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231則)(xf3x133利用夾逼準(zhǔn)則可知.3)(limxfx第11頁(yè)/共67頁(yè) 1sinlim . 10 xxx重要極限 11lim . 2exxx重要極限第12頁(yè)/共67頁(yè)第13頁(yè)/共67頁(yè)首先看看在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算結(jié)果：sinlim1 xxx0 0第14頁(yè)/共67

5、頁(yè)xxxsin010.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011第15頁(yè)/共67頁(yè)一個(gè)重要極限：1sinlim0 xxx。 第一個(gè)重要極限：第一個(gè)重要極限：其中的兩個(gè)等號(hào)只在其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立

6、時(shí)成立.|,|sin| | |tan|, 2xxxx設(shè)圓心角設(shè)圓心角 過點(diǎn)過點(diǎn)A作圓的切線與作圓的切線與OB的的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，又作，又作,OABD , xAOB 則則sin x =BD，tan x=AC，當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)首先證明不等式首先證明不等式BODACx第16頁(yè)/共67頁(yè)|sin| | |tan|.xxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),OABOABOACSSSDDDD扇扇形形sintan .xxx 即即sin()tan(),xxx sintan .xxx 即即sintan ,xxx111111222222BODACxx0 0 2 2p p，而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 ,從而從而x 0 02

7、 2p px 0 02 2p p即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)有時(shí)有|x 0 02 2p p|sin| | |tan|.xxx這就證明了不等式這就證明了不等式 .x 0 0|sin| | |tan|xxx第17頁(yè)/共67頁(yè)|sin|x用用除除不不等等式式的的各各端端，得得tan| |,sinsinxxxx 1 1,sincosxxx1 1 1 1即即sincos1. xxx從而有從而有|sin| | |tan|.xxxcossin(),xxxx 2 22222 12121 121212222注注意意sin.xxx2 2 11 112 2于于是是有有l(wèi)im(),lim,xxx2 20000 11 11 11 11

8、2 2因因由夾逼準(zhǔn)則，即得由夾逼準(zhǔn)則，即得1sinlim0 xxx第18頁(yè)/共67頁(yè)一個(gè)重要極限：1sinlim0 xxx。 第一個(gè)重要極限：第一個(gè)重要極限： 注意：在極限)()(sinlimxx中，只要(x)是無(wú)窮小量， 就有1)()(sinlimxx。 這是因?yàn)椋顄(x)， )()(sinlimxx1sinlim0uuu)()(sinlimxx1sinlim0uuu。 則u 0，于是( )0 x只要第19頁(yè)/共67頁(yè) 0limxxxtan 解：解： 1cos1limsinlim00 xxxxx。 解：kxkxkxkxxxsinlimsinlim00 kttktsinlim0。 0limx

9、xxtanxxxxcos1sinlim0 kxkxkxkxxxsinlimsinlim00 例 1 求0limxxxtan。 例例3例 2 求xkxxsinlim0(k0)。 例例4 解：解：1sinlim0 xxx，1)()(sinlimxx (x) 0 )。 重要極限重要極限(I)：第20頁(yè)/共67頁(yè)解：0limx2cos1xx0limx2cos1xx22022022sinlim212sin2limxxxxxx22022022sinlim212sin2limxxxxxx 例 3 求0limx2cos1xx。 例例5 解：解：重要極限重要極限(I)：1sinlim0 xxx，1)()(sin

10、limxx (x) 0 )。 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx。 第21頁(yè)/共67頁(yè) , xt令xxxsinlimxxxsinlim求故1sinlim0ttt , 時(shí)則x 0tttt)sin(lim0解例6第22頁(yè)/共67頁(yè)xxxxx1sinsin1lim0(2)xxxxx1sinsin1lim求 (1)請(qǐng)自己動(dòng)手做一下例7第23頁(yè)/共67頁(yè)(1)xxxsin1lim 001sinlim0 xxx) 11sin (是有界量xxxxxx1sinsin1lim 01sinlim0 xxx11sinlimsin1lim00 xxxxxx解第24

11、頁(yè)/共67頁(yè)xxx1sinlim 0sin1limxxx) 1 |sin| (是有界量xxxxxx1sinsin1 lim (2)111sinlimxxx11sinlimsin1limxxxxxx解第25頁(yè)/共67頁(yè)由三角函數(shù)公式33232sin2cos2cos2cos2xxxxnnxxx2cos2cos2coslim2求2222sin2cos2cos2xxx2cos2sin2xxxsinnnnxxxx2sin2cos2cos2cos22例8解故 原式xxxxnnnsin2sin2limnnnxx2sin2sinlimxxsin )()(sinlim 0)(axxax第26頁(yè)/共67頁(yè).4ta

12、n3sinlim0 xxx 解解 利用重要極限，有 xxx4tan3sinlim043xxxxxxxx4coslim4sin4lim33sinlim43000)434cos4sin433sin(lim0 xxxxxx例9第27頁(yè)/共67頁(yè).sintanlim30 xxxx30)cos1 (tanlimxxxx21例例10. 求解解: 原式 第28頁(yè)/共67頁(yè)2. 重要極限第29頁(yè)/共67頁(yè)變量代換xy1下面證明exxx11lim第30頁(yè)/共67頁(yè)其中e是一個(gè)常數(shù)，其近似值為：e2.7182818284590。第二個(gè)重要極限：第二個(gè)重要極限：exxx)11 (lim。 1 1 nn先求數(shù)列的極限

13、第31頁(yè)/共67頁(yè) 可以證明，對(duì)于連續(xù)自變量 x，也有xxx)11 (lime。 為了求極限nnn)11 (lim，我們觀察當(dāng) n時(shí)，數(shù)列 ynnn)11 ( 的變化趨勢(shì)： 可以證明，數(shù)列nn)11 ( 單調(diào)增加有界，所以極限 nnn)11 (lim是存在的，其極限用字母 e 表示。 單調(diào)增加有界，所以極限 ，其極限用字母 e 表示。 下頁(yè)n12345101001000 10000yn22.250 2.370 2.441 2.488 2.597 2.705 2.717 2.718第32頁(yè)/共67頁(yè)1 1 . nn第一步：先證數(shù)列調(diào)減增加 *證證由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開公式321! 3)2)(1(

14、1! 2) 1(1! 1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn第33頁(yè)/共67頁(yè)類似地, 有11111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！第34頁(yè)/共67頁(yè)除前面的展開式可以看出與比較 , 1nnxx并且的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的每一項(xiàng)都小于兩項(xiàng)外 , ,1nnxx因此一項(xiàng)還多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是單調(diào)增加的即nx . 有界第二步：再證nx第35頁(yè)/共67頁(yè)nnnxn2111! 3111 2111

15、！ 112111! 1nnnnn! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比數(shù)列求和 放大不等式 . 有界從而nx每個(gè)括號(hào)小于 1 . *證證第36頁(yè)/共67頁(yè) 綜上所述, 數(shù)列xn是單調(diào)增加且有上界的, 由極限存在準(zhǔn)則可知, 該數(shù)列的極限存在, 通常將它紀(jì)為 e, 即. 11limennne 稱為歐拉常數(shù). 590457182818284. 2e .ln : , , xye記為稱為自然對(duì)數(shù)為底的對(duì)數(shù)以第37頁(yè)/共67頁(yè)xx1 (1+) xlim再求函數(shù)極限第38頁(yè)/共67頁(yè)由它能得到exxx11 lim嗎？如果可行, 則可以利用極限運(yùn)算性質(zhì)axf

16、xfaxfxxx)(lim)(lim )(lim得到所需的結(jié)論嗎？進(jìn)一步可得exxx11 lim嗎？第39頁(yè)/共67頁(yè)* * * 證明證明 因?yàn)?x +, 故不妨設(shè) x 0.exxx11 lim 1111111 nxn1111111111111 nxxxnnnxnn由實(shí)數(shù)知識(shí), 總可取 n N, 使 n x n+1,故第40頁(yè)/共67頁(yè)111limnnnnnn111lim , 111111lim1ennnn , 1111limennnn .11limexxx , , , nx 而時(shí)故由夾逼定理得第41頁(yè)/共67頁(yè)exxx11 lim 我們作變量代換, 將它歸為 x + 的情形即可.想想, 作一

17、個(gè)什么樣的代換？. , , txtx時(shí)則令* * *再證明再證明第42頁(yè)/共67頁(yè), tx令xx11tt111 , 1 tu再令xxx11lim, , tx時(shí)則且時(shí)則 , , utttt1ttt1111111111ttteuuuu1111limtt11第43頁(yè)/共67頁(yè)exxx11 lim由exxxxxx11lim11lim exxx11 lim 最后證明最后證明第44頁(yè)/共67頁(yè)現(xiàn)在證明exxx101 lim . 的情形轉(zhuǎn)化為x第45頁(yè)/共67頁(yè)exxx10)1 (lim令,1tx t ,則 x 0時(shí), 11lim)(1 lim10etxttxx故exxx10)1 ( lim于是有證第46頁(yè)

18、/共67頁(yè)綜上所述綜上所述, 得到以下公式得到以下公式ennn11 limexxx11 limexxx10)1 ( lim第47頁(yè)/共67頁(yè)exxx11 limexxx11 lim第48頁(yè)/共67頁(yè)exxx10)1 ( limexxx10)1 ( lim第49頁(yè)/共67頁(yè) .)( 0)(的極限為零表示在某極限過程中xx .)( )(的極限為表示在某極限過程中xx第50頁(yè)/共67頁(yè)兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式第51頁(yè)/共67頁(yè)第52頁(yè)/共67頁(yè)思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_

19、1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第53頁(yè)/共67頁(yè)重要極限重要極限(II)：exxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 例例1.求下列極限521(1).lim(1);xxx 10(2).lim(12 ) ;xxx 525511.lim(1)lim(1) xxxxexx 1122200lim(1 2 )lim(1 2 )xxxxxxe 第54頁(yè)/共67頁(yè)1(3).lim(1) ;2xxx (2) 211lim(1)lim(1)22xxxxexx 3101tan(4).lim();1sinxxxx 331

20、1001tantansin lim()lim(1)1sin1sinxxxxxxxxx 3020tansin1 lim1sinsin1cos11 limcos (1sin )2xxxxxxxxxxxx 1201tan lim()1 sin xxex 第55頁(yè)/共67頁(yè) e1e1。xxxx)1(lim22xxxxxx)11(limxxxxxxxx)1(lim)1(lim 1)1(1)1()111 (lim)111 (limxxxxxx1)1(1)1()111 (lim)111 (limxxxxxx 例 2 求xxxx)1(lim22。 例例2 解：xxxx)1(lim22xxxxxx)11(lim

21、xxxxxxxx)1(lim)1(limxxxx)1(lim22xxxxxx)11(limxxxxxxxx)1(lim)1(lim 解：解：重要極限重要極限(II)：exxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 第56頁(yè)/共67頁(yè)例例3思考題：思考題： 求極限求極限 xxx1201lim 解解 原式原式 11lim1lim11lim11lim1101011010 eexxxxxxxxxxxxxxx第57頁(yè)/共67頁(yè)xxx2cot20)tan31(lim3tan33202)tan31(limexxx例4xxx2cot20)tan31 (lim求解重要極限重要極限(II)：e

22、xxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 第58頁(yè)/共67頁(yè)xxxx11 lim)1(121ln1explimxxxxx2)1(121lnlim1limexpexxxxxx1)1(121 limxxxxx( 1 )xxxx11 lim求xxx121 lim例5解第59頁(yè)/共67頁(yè)xxxx11 limxxxxx1111limxxxxxx11lim11 lim 21eee解第60頁(yè)/共67頁(yè).)2sin1 (lim10 xxx求例例6 6 解解xxx10)2sin1 (lim)2(22sin2sin10)2sin(1 limxxxxx2 e 注意：注意：2)2(22sinlim0 xxx第61頁(yè)/共67頁(yè)1cos 0 xx，時(shí)2211 )1(cos1 )(cos xxxx21cos1cos1 )1(cos1 xxxx210 )(coslimxxx求) 1 ( 例7解 , 211coslim , )1(cos1 lim201cos10 xxexxxx又2110 )(cos lim2 exxx故常用的方法第62頁(yè)/共67頁(yè)例例8 8 設(shè)有本金設(shè)有本金10001000元，若用連續(xù)復(fù)利計(jì)算，年利元，若用連續(xù)復(fù)利計(jì)算，