非線方程不動點(diǎn)算法及研究本科生

1、 本科生畢業(yè)論文論 文 題 目： 非線性方程求解的 不動點(diǎn)算法及研究 （20 14屆） 本科生畢業(yè)論文非線性方程求解的不動點(diǎn)算法及研究 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 使用授權(quán)說明本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收

2、集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名：

3、 日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。作者簽名：日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日注 意 事 項(xiàng)1.設(shè)計(jì)（論文）的內(nèi)容包括：1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒

4、論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時(shí)）2.論文字?jǐn)?shù)要求：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等），文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于1.2萬字。3.附件包括：任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。4.文字、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代寫2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫3）畢業(yè)論文須用a4單面打印，論文50頁以上的雙面打印4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上5）軟件

5、工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔5.裝訂順序1）設(shè)計(jì)（論文）2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂3）其它摘 要 非線性方程在工程實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)學(xué)信息安全和動力學(xué)等方面的大量實(shí)際問題中有著極為廣泛的應(yīng)用，而不動點(diǎn)迭代算法作為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)新方向，是求解非線性方程問題的一個(gè)最基本而又重要的方法. 本文主要介紹了非線性方程求解的不動點(diǎn)算法及其研究，首先，綜述了非線性方程求解的不動點(diǎn)算法的研究背景、并闡述了本文的主要工作以及介紹了誤差、有限差等基本知識；然后，詳細(xì)介紹了不動點(diǎn)迭代算法的基本思想、在什么條件下方程存在不動點(diǎn)的收斂定理、不動點(diǎn)的收斂階定理和atiken加速

6、公式；最后，考慮到方程可能會不滿足不動點(diǎn)迭代收斂定理的兩個(gè)條件的情況提出了反函數(shù)法、牛頓迭代法、steffensen迭代法和松弛法這四中處理方法.關(guān)鍵詞：非線性方程，不動點(diǎn)原理，迭代法ivabstracta large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of applications.as a new direction

7、in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.this paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. first, the research background of solving nonlinear equations fixed point algor

8、ithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; last, inverse function method, the newton iterative method,steffensen

9、iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.keywords: nonlinear equation, fixed point theorem, iterative method 目 錄摘 要iabstracti第1章 緒 論11.1 研究背景11.2 預(yù)備知識21.2.1 誤差21.2.2 有限差3第章 非線性方程求解的不動點(diǎn)迭代算法52.1不動點(diǎn)迭代算法的基

10、本思想62.2 不動點(diǎn)迭代算法的收斂性72.3 不動點(diǎn)迭代算法的收斂速度112.4 加速不動點(diǎn)迭代算法及其收斂性12第3章 非收斂不動點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法與比較143.1 非收斂不動點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法153.1.1 反函數(shù)法153.1.2 牛頓迭代法153.1.3 steffensen迭代法153.1.4 松弛法163.2 數(shù)值實(shí)例17結(jié) 論21參考文獻(xiàn)23附 錄24致 謝3537 第1章 緒 論1.1 研究背景 非線性數(shù)值解的問題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究課題之一，這不僅是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，而且也是由于計(jì)算技術(shù)的高速發(fā)展提供了解決這類問題的可能，利用計(jì)算機(jī)解決非線性問題時(shí)，最終總是

11、將其化成為有限維非線性問題，或稱為非線性代數(shù)問題對于求解非線性方程，無論從理論上還是從計(jì)算機(jī)上，都比解線性問題要復(fù)雜的多，一般的非線性方程是很難求出精確解的，往往只能求出近似解、數(shù)值解，而長期以來，人們?yōu)榱说玫綕M足條件的近似值，許多計(jì)算工作者致力于研究求解非線性方程的有效方法，尤其是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后函數(shù)方程求根的數(shù)值解法得到了蓬勃發(fā)展，十七世紀(jì)，微積分出現(xiàn)時(shí)，newton和halley發(fā)明了各自的新的數(shù)學(xué)工具去解非線性方程，十八世紀(jì)，隨著微積分的快速蓬勃發(fā)展，euler和lagrange分別找到了一個(gè)無窮級數(shù)來表示方程解，并以各自的名字來命名，十九世紀(jì)，人們開始注重問題分析的嚴(yán)密性，柯西建立了優(yōu)級

12、數(shù)技巧，該技巧不斷的被以后的事實(shí)證明對于研究方程近似解序列的收斂性是很有成效的，在分析嚴(yán)密性發(fā)展的時(shí)代，ostrowski對newton迭代法的收斂性問題規(guī)定了一個(gè)合理的假設(shè)和一個(gè)令人滿意的解法，在軟件分析完善的年代，kantorovich把newton迭代法和ostrowski的結(jié)果推廣到banach空間，從而使許多用硬分析去做非常棘手的有關(guān)問題被輕輕松松地推論中得到了令人滿意的解決，等等，總之，這些方法不斷地被后人完善，但在目前，實(shí)際問題中可能還需要求方程的負(fù)根，求非線性方程（組）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法還需要更深入的研究，同時(shí)意味著迭代法的發(fā)展空間將會更廣闊本文將著重介紹

13、求解非線性方程的不動點(diǎn)算法，其中文獻(xiàn)3是由王則柯先生于1988年總結(jié)的單純不動點(diǎn)算法，他簡述了不動點(diǎn)在非線性方程數(shù)值解、微分方程初值問題、邊值問題、分支問題等許多應(yīng)用問題方面的十多年的發(fā)展，以及對單值連續(xù)映射的不動點(diǎn)或零點(diǎn)問題進(jìn)行了討論，在文獻(xiàn)4中，許炎先生簡單的闡述了國內(nèi)外有關(guān)不動點(diǎn)理論的發(fā)展?fàn)顩r，并主要討論了l-lipschitz映射的不動點(diǎn)迭代逼近定理，34這兩篇文獻(xiàn)都總結(jié)出了不動點(diǎn)問題的研究和解決在實(shí)際問題中起到了至關(guān)重要的作用，這一系列的文獻(xiàn)還有5678，而秦小龍先生在文獻(xiàn)9中介紹了迭代法的發(fā)展情況以及相關(guān)定理，為本篇論文提供了大量的基礎(chǔ)信息，王公俊先生在文獻(xiàn)10中分別介紹了常用的求

14、解非線性方程的方法以及收斂性，在文獻(xiàn)11中，張卷美主要研究了一類不動點(diǎn)迭代法的求解，在迭代格式不滿足迭代條件的情況下，運(yùn)用的幾種處理方法，并且用語言編程上機(jī)進(jìn)行了計(jì)算，對迭代收斂結(jié)果進(jìn)行了分析和比較，為本文提供了大量的信息，另外，本文還借鑒了2本不同出版社的數(shù)值分析教材的大量內(nèi)容本文主要介紹了非線性方程求解的不動點(diǎn)算法及其應(yīng)用，第一章為緒論部分，主要介紹了為什么要研究本文的一些原因、目的，以及價(jià)值，也準(zhǔn)備了一些預(yù)備知識作為對正文的補(bǔ)充；第二章介紹迭代法與不動點(diǎn)的相關(guān)思想原理、定理以及迭代法的收斂條件，是本文的一個(gè)主要章節(jié)和工作重心，并且舉出了幾個(gè)實(shí)例來輔助證明了運(yùn)用不動點(diǎn)迭代法求解非線性方程的

15、方便以及準(zhǔn)確性；第三章作為對第二章節(jié)的一個(gè)完善，非常具有實(shí)用性，主要討論了非收斂不動點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法，并通過數(shù)值實(shí)例給予了證明.1.2 預(yù)備知識1.2.1 誤差 誤差的來源有多個(gè)方面，主要有模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差等 例1.1 可微函數(shù)用泰勒(taylor)多項(xiàng)式 近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是 在0與之間也就是說，截?cái)嗾`差就是近似值與精確值之間的誤差 例1.2 用3.14159近似代替，表示舍入誤差. 同樣，可以定義舍入誤差是指由于計(jì)算機(jī)字長有限在表示時(shí)產(chǎn)生的誤差 定義1.11設(shè)為準(zhǔn)確值，為的一個(gè)近似值，稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差然而，在實(shí)際中，人們是無法準(zhǔn)確計(jì)算

16、出誤差的精確值的，一般是根據(jù)需要估計(jì)出誤差的絕對值不超過某正數(shù)，也就是誤差絕對值的一個(gè)上界，叫做近似值的誤差限，它總是正數(shù) 對于一般情形，即 (1.1)這個(gè)不等式有時(shí)也表示為 (1.2)誤差的大小有時(shí)還不能完全表示近似值的好壞，例如，有兩個(gè)量，則 雖然是的5倍，但是比小得多，這就說明了近似的程度比近似的程度要好得多，因此，除了需要考慮誤差的大小之外，還應(yīng)該考慮準(zhǔn)確值本身的大小我們把近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值 (1.3)稱為近似值的相對誤差，記作在實(shí)際計(jì)算中，由于真值總是不知道的，通常取 (1.4)作為的相對誤差，條件是較小，此時(shí) (1.5)是的平方項(xiàng)級，故可忽略不計(jì)相對誤差也可正可負(fù)，它的絕對

17、值上界叫做相對誤差限，記作，即 (1.6) 根據(jù)定義，上例中 與分別為與的相對誤差限，很顯然近似的程度比近似的程度好得多 在實(shí)際運(yùn)算中，為了避免誤差危害，數(shù)值計(jì)算中通常不采取數(shù)值不穩(wěn)定算法，在設(shè)計(jì)算法是應(yīng)該盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字損失，通常要避免兩個(gè)相近數(shù)字相減和用絕對值很小的數(shù)做除數(shù)，還要注意運(yùn)算次序和減少運(yùn)算次數(shù)1.2.2 有限差 定義1.22 分別稱 (1.7) (1.8) (1.9) 為函數(shù)在點(diǎn)的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分，或者分別簡稱為一階前差，一階后差，一階中心差，統(tǒng)稱為(一階)有限差，其中表自變量的有限增量，稱為步長，和分別成為(一階)前差算子、(一階)后差算

18、子和(一階)中差算子，統(tǒng)稱為(一階)有限差算，仿此，可以定義高階有限差，例如，二階前差記作，定義為 (1.10) 于是，有 (1.11) 階前差記作，定義為 (1.12) 同樣，二階后差和階后差分別定義為 (1.13)和 (1.14) 二階中心差 和階中心差分別定義為 (1.15)和 (1.16)我們規(guī)定 , , .有限差有下列一下性質(zhì)： （1）常數(shù)的有限差恒為零 （2）有限差算子為線性算子，即對任意的實(shí)數(shù),恒有 (1.17) (1.18) (1.19) （3）用函數(shù)值表示高階有限差： (1.20) (1.21) (1.22) 其中 （4）用有限差表示函數(shù)值 (1.23) 第章 非線性方程求解

19、的不動點(diǎn)迭代算法2.1不動點(diǎn)迭代算法的基本思想 首先討論解非線性方程 (2.1)的問題. 方程(2.1)的解又稱為函數(shù)的不動點(diǎn). 為求的不動點(diǎn)，選取一個(gè)初始值，令 (2.2) 已產(chǎn)生序列. 這一類迭代法稱為不動點(diǎn)迭代. 又被稱為迭代函數(shù)， 很顯然，若迭代序列收斂，即有 (2.3)且連續(xù)，則是的一個(gè)不動點(diǎn) 例2.12 方程在區(qū)間中有唯一跟. 我們可以用不同的方法將它化為方程：（1） （2） （3） （4） （5）等等. 取初始值，分別用式(2.2)的迭代格式計(jì)算，結(jié)果如下表 表2.1 例2.1迭代公式計(jì)算結(jié)果 1-2.3750.5590169941.0690449681.1960784312-7

20、2.561.3829872001.14163787818230505931.12837105413119556821.13076111919332270691.1303294161262386754199705436612265420691037948141.130395365101.2003529761.130395447111.0654751741.130395432121.1811927851.1303954

21、35131.0844308331.130395435291.127222584301.133074649311.128116321321.1323221241091.1303954291101.1303964401191.1303954341201.130395436從表2.1中可以看到，選取迭代函數(shù)為，分別12次和4次，得到方程的近似根1.130395435若選取作為迭代函數(shù)，則為奇數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)增加，為偶數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)減小，迭代120次得到近似根1.130395436 若選取作為迭代函數(shù)，則迭代序列不收斂， 若選取為迭代函數(shù)，則出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開方，因而無法繼續(xù)進(jìn)行迭代2.2 不動點(diǎn)迭代

22、算法的收斂性 通過例2.1，可以總結(jié)出，對于同一個(gè)非線性方程的求解問題，在轉(zhuǎn)化為迭代方程時(shí)應(yīng)該要使其解的迭代次數(shù)達(dá)到最小，且得到的解應(yīng)該最精確. 在選擇迭代函數(shù) 的基本原則是，首先必須保證不動點(diǎn)迭代序列 在的定義中，以使迭代過程不至于中斷；其次要求迭代序列收斂且盡可能收斂得快. 定理2.12 假設(shè)為定義在有限區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，它滿足以下條件 （1）對任意有 (2.4) （2）的導(dǎo)數(shù)在上有界，且存在正數(shù)使得對一切有 (2.5)那么對于任意初始值由不動點(diǎn)迭代(2.2)產(chǎn)生的序列都收斂于在的唯一不動點(diǎn)，并且有誤差估計(jì)式 (2.6) 其中. 證明 首先證明的不動點(diǎn)存在且唯一. 令 (2.7) 據(jù)條件(

23、1) 又據(jù)條件(2)，在上存在，因此在上連續(xù)，從而在上也連續(xù)，因此方程在上至少有一個(gè)跟現(xiàn)假設(shè)方程在上有兩個(gè)根，則由lagrange中值定理知，在與之間存在使得 再由(2.5) 這就得到矛盾式： 因此，即在中的根是唯一的 其次證明由不動點(diǎn)迭代格式(2.2)產(chǎn)生的序列是收斂于的根據(jù)定理?xiàng)l件(1)，因此不動點(diǎn)迭代過程不會中斷由(2.5)式有 (2.8) 應(yīng)用lagrange中值定理，并根據(jù)(2.5)式有 (2.9)因?yàn)椋?即 (2.10)最后，推導(dǎo)估計(jì)式(2.6)應(yīng)用收斂性的證明過程，有 (2.11)于是 (2.12)在上式中令，得 (2.13) (2.6)式得證 例2.22 討論例2.1中不動

24、點(diǎn)迭代 (2.14) 的收斂性. 為使解的近似值的誤差不超過，試確定迭代次數(shù)解 迭代法(2.14)的迭代函數(shù)為 的定義域?yàn)槿〕跏贾?，由不動點(diǎn)迭代(2.21)得，因此取區(qū)間由于 因此在上單調(diào)減小 而 于是，當(dāng)時(shí)，但 在上單調(diào)減小，因此 因此，定理2.1的條件(2)不成立從表2.1看到，取作為初始值， 作為當(dāng)時(shí)，從而又由于 因此定理2.1的條件成立故迭代過程收斂中任意取初值，為使解的近似值的誤差不超過，根據(jù)誤差估計(jì)式(2.6) 只要 因此，應(yīng)取為 取于是迭代138+30=168次必可使近似解的誤差不超過 實(shí)際上，從表2.1中可以看到，只要迭代110次便可達(dá)到所要求解的精度(2.6)式右端是最大可能

25、的誤差界 就本例來說，估計(jì)的迭代次數(shù)偏大了.2.3 不動點(diǎn)迭代算法的收斂速度定理2.22 在定理2.1的假設(shè)條件下，再設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上 次連續(xù)可微，且在方程(2.1)的跟處 (2.15)則不動點(diǎn)迭代為階收斂. 證明 據(jù)定理2.1知，方程（2.1）在上有唯一根且對任意初始值，不動點(diǎn)迭代序列收斂于由于 (2.16)據(jù)taylor公式和定理?xiàng)l件有 其中. 易知，對于充分大的，若 ，則 ，從而 (2.17） 故證得不動點(diǎn)迭代為階收斂 關(guān)于不動點(diǎn)的迭代，還有下面的局部收斂定理. 定理2.32 設(shè)是方程(2.1)的一個(gè)根，在的某領(lǐng)域內(nèi)次連續(xù)可微，且 則當(dāng)初始值充分接近時(shí)（存在正數(shù)，對一切），不動點(diǎn)迭代序列

26、都收斂于，且收斂階數(shù)為. 證明 由于假設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且，因此必存在 使得對一切 有 又據(jù)lagrange中值定理，有 在與之間，從而 即 (2.18)因此當(dāng)時(shí)，據(jù)定理2.2和定理2.3知，對于任意初始值，不動點(diǎn)迭代收斂，且收斂階數(shù)為2.4 加速不動點(diǎn)迭代算法及其收斂性 一個(gè)收斂的迭代過程將產(chǎn)生一個(gè)收斂序列，如這樣，只要迭代足夠多次，即充分大時(shí)，如，則可取但若迭代過程收斂緩慢，則會使計(jì)算量變得很大，因此需要加速收斂過程 假設(shè)一個(gè)序列：，線性收斂于(收斂緩慢)，即有 (2.19)于是當(dāng)足夠大時(shí)，有 即 亦即 (2.20) 解得 定義 ， (2.21)(2.21)稱為aitken加速公式（方法）

27、 aitken加速方法得到的序列：較原來的序列更快地收斂于. 有下面的定理 定理2.42 設(shè)序列是線性收斂于的，并且對于所有足夠大的整數(shù)有，則由aitken加速方法(2.21)產(chǎn)生的序列有 (2.22) 證明 由假設(shè)序列線性收斂于，即有 ，. 記 (2.23)則有 ， 據(jù)(2.21)式， (2.24)因此有 在緒論中有講到一階前差： 二階前差： 于是，aitken加速公式(2.21)可改寫成 (2.25)由于這個(gè)緣故，aitken加速方法又稱為aitken加速方法 例2.32 設(shè)，則. 由于 因此序列收斂于1 由序列應(yīng)用aitken加速方法計(jì)算得的開頭幾項(xiàng)列表如下（表2.2）確實(shí)比更快的收斂于

28、1 表 2.2 atiken加速法計(jì)算結(jié)果的開頭幾項(xiàng)列n10.540302305 20.877582561 0.96177506030.944956946 0.98212935340.9689124210.98978551250.9800665770.99341565060.986143231 第3章 非收斂不動點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法與比較 在第2章中主要介紹了求解非線性方程的不動點(diǎn)迭代法，其要求是迭代函數(shù)要滿足收斂定理假定條件，而在現(xiàn)實(shí)生活中，明確滿足這些條件的迭代函數(shù)是很少見的，本章對于迭代函數(shù)不滿足收斂條件的情況，提出了幾類處理方法.3.1 非收斂不動點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法 一個(gè)方程

29、的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收斂的，其收斂性取決于迭代函數(shù)和初值，關(guān)于不動點(diǎn)迭代函數(shù)的收斂性，上一章已經(jīng)進(jìn)行了討論， 但假若時(shí)，就不滿足定理2.1的條件(2)了，于是下面分別介紹了反函數(shù)法、牛頓迭代法、steffensen迭代法和松弛法這四中處理方法.3.1.1 反函數(shù)法因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，所以方程可寫成等價(jià)形式，從而構(gòu)造迭代格式 , (3.1)很明顯，滿足收斂條件. 對于簡單情況, 其反函數(shù)容易得到.3.1.2 牛頓迭代法 對于迭代格式的情形，采用newton迭代格式有 (3.2) 3.1.3 steffensen迭代法 根據(jù)aitken加速算法，對迭代格式,，進(jìn)行如下修改： (3.3

30、)其中.3.1.4 松弛法 將化成等價(jià)形式 , 稱為松弛因子, 從而構(gòu)造迭代格式 (3.4)其迭代函數(shù)為 . 記，得到如下結(jié)論: （1）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代收斂； （2）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代收斂； （3）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代格式比迭代格式收斂快推導(dǎo)如下： （1）當(dāng) 時(shí)，由得到，其迭代函數(shù)為 因?yàn)?所以有，從而迭代收斂. （2）當(dāng)時(shí), 由得到. 因?yàn)?所以有, 從而迭代收斂. （3）當(dāng)時(shí), 取，由得到, 由得到. 所以有, 從而迭代格式 比迭代格式收斂快.3.2 數(shù)值實(shí)例 通過以上四種方法都可以解決非收斂不動點(diǎn)迭代格式的問題，現(xiàn)對上述四種給出幾個(gè)不滿足不動點(diǎn)迭代收斂定理的實(shí)例，并對結(jié)果進(jìn)行分析和比較.

31、 例3.1 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為 解 對于方程，將它化為，所以，則當(dāng)時(shí)，不滿足定理2.1的條件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式計(jì)算.下面分別用反函數(shù)方法、牛頓（newton）迭代法、steffensen迭代法、松弛法對迭代函數(shù)進(jìn)行修改，得到相應(yīng)新的迭代函數(shù)，并用c語言編程上機(jī)計(jì)算. (1)反函數(shù)法：迭代格式為 即 取初值，運(yùn)用程序見附錄1 (2)牛頓（newton）迭代法：迭代格式為 即 取初值，運(yùn)用計(jì)算程序見附錄二； (3) steffensen迭代法：迭代格式為 即 取初值，運(yùn)用如下程序可以得到結(jié)果： (4)松弛法：迭代格式為 即 當(dāng)時(shí)，且，所以的取值范圍為，現(xiàn)取，運(yùn)用c語

32、言編程可得到起結(jié)果以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.1)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的newton迭代法收斂的最快. 表3.1 例3.1的四種方法的計(jì)算結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法newton法steffensen迭代法松弛法11.650961.695652.076001.6687521.669221.672082.000131.6720131.671661.671701.921191.6716741.671701.671701.841671.6717051.671701.767381.6717061.6786471.67

33、19781.6717091.67170 例 3.2 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為. 解 對于方程，將它化為，所以，則當(dāng)時(shí)，因此不滿足不動點(diǎn)迭代收斂條件，為求此次方程的解，下面同樣分別用本章介紹的四種方法求解此方程. (1)反函數(shù)法：迭代格式為 將方程變?yōu)榈袷綖?取初值，運(yùn)行附錄5的相應(yīng)程序即可得計(jì)算結(jié)果. (2)牛頓（newton）迭代法:迭代格式為 代人例題中的數(shù)據(jù) 取初值，運(yùn)行附錄6的程序即可的計(jì)算結(jié)果. (3)steffensen迭代法：迭代格式為 代入例題中的數(shù)據(jù)有 取初值，運(yùn)行附錄7即可算得計(jì)算結(jié)果. (4)松弛法：迭代格式為 代入例題中的數(shù)據(jù)有 當(dāng)時(shí)，所以取值在，現(xiàn)取，初值，

34、運(yùn)行附錄8的程序即可得到計(jì)算結(jié)果.以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.2)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的newton迭代法收斂的最快 表3.2 例3.2的四種迭代結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法newton法steffensen迭代法松弛法11.414211.407611.448211.4203121.398801.395331.411521.4031531.395971.395341.397091.3979041.395451.395341.395361.3961951.395361.395341.3956261.395341

35、.395341.3954371.395341.3953781.3953591.39534101.39534 例3.3 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為.解 將方程化為等價(jià)形式，那么此時(shí).當(dāng)時(shí)，因此不滿足不動點(diǎn)迭代收斂條件.按下面這四種方法處理可以得到近似解.(1)反函數(shù)法：首先由反函數(shù)處理方法可得到迭代格式 取初值，運(yùn)用程序見附錄9.(2)牛頓（newton）迭代法：由牛頓迭代法得到迭代格式 取初值，運(yùn)用程序見附錄10.(3)steffensen迭代法：由steffensen迭代法得到迭代格式 取初值，運(yùn)用程序見附錄11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式為 當(dāng)時(shí)，所以取之間的值，現(xiàn)取，初值，

36、運(yùn)用程序見附錄12. 以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.2)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件定理的不動點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的newton迭代法收斂的最快 表3.3 例3.3的四種迭代結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法newton法steffensen迭代法松弛法1 0.223140.314440.256300.3405120.328170.300150.298230.3101430.289620.300080.300070.3026740.303940.300080.300080.3007550.298640.300080.3002560.300610.3001270.299880.3000980.300150.3000890.300050.30008100.30009110.30007120.30008130.30008 結(jié) 論 非線性代數(shù)問