勻速運動點電荷產(chǎn)生的電磁場

1、勻速運動點電荷產(chǎn)生的電磁場 指導(dǎo)老師：指導(dǎo)老師： 孫老師和助教老師孫老師和助教老師莫建勇莫建勇 pb05203125pb05203125 庫侖定律只告訴我們一個靜止的點電荷的成場規(guī)律,那么當點電荷勻速運動時的成場規(guī)律怎樣呢? 怎樣求解一個勻速運動點電荷對另一個點電荷的作用力呢？回答是可以運用狹義相對論的理論來進行求解.問題的提出問題的提出： 若在一個慣性參考系k中,q2是靜止的，而q1相對k系勻速運動，在k系中若要求q2對q1的作用力則直接用庫侖定律即可；若要求q1對q2的作用力，可以取另一個關(guān)于q1靜止的慣性參考系k系，先在k系中求出有關(guān)的物理量，然后用狹義相對論中的慣性系k與k系之間的變換

2、公式，將k系中的物理量轉(zhuǎn)化到k系中，這樣就可以求出在k系中q1對q2的作用力了，并可以進一步求得勻速運動的點電荷所成的電磁場,并可檢驗靜電磁場中的一些定理在這種情況下是否成立?；鞠敕ɑ鞠敕?主要內(nèi)容: 求勻速運動點電荷形成的電場 驗證電場的高斯定理和檢驗靜電場環(huán)路定理 求勻速運動點電荷形成的磁場 驗證磁場的高斯定理 導(dǎo)出畢奧-沙伐爾定理在做具體工作之前引進一個基本假設(shè)： 電荷量不變原理：電荷量不變原理： 一個系統(tǒng)中總電量，在不同的慣性系中觀察都是一樣的 對這條基本假設(shè)的幾點看法：1.通常氣體宏觀上是顯電中性的，假如帶電物體的總電量與它的運動狀（即參考系的選擇）有關(guān)的話，那么我們知道氣體中例

3、如氧氣中的質(zhì)子與電子的運動狀態(tài)不相同的，也就是說氧氣分子對外是有電性的，若說這個電量很小不易被觀測到，那么一個系統(tǒng)中的大量分子的總和一定是容易測到的，所以說明帶電物體的總電量與其運動狀態(tài)無關(guān)。我們知道電荷有一個很重要的特點：電荷是量子化的。如果說電荷總量與其運動狀態(tài)有關(guān)的話，那么我們知道在狹義相對論中標量一般是在原慣性系K中測量，乘以或除以一個因子或者其它形式?？傊话愣际且訴為自變量的連續(xù)函數(shù)，這與電荷是量子化的相對矛盾。所以總電量應(yīng)該是一個與兩慣性系相對速度V無關(guān)的常量，即總電 量的不變原理。 在精度較高的電子荷質(zhì)比實驗中，高速運動的帶電粒子的荷質(zhì)比的測定實驗證明符合如下關(guān)系式：cvmcv

4、memme22022001;1這就說明電子的總電荷不隨其運動狀態(tài)改變而改變.一 勻速運動點電荷的電場在慣性系k中, 設(shè)當k系與k系的原點重合時t=t=0rzqqryqqrxqqzyxFFF3 0213 0213 0214;4;4根據(jù)狹義相對論力的變換公式cucvFcucvFcucFxzzxyxxvFvFvFuvFyx2222222211;11;1由上述公式可得:22221;1;cvFcvFFFzzyyxxFF注:為書寫方便下文令bcvacvb1111;2222所以得到k系中的作用力rzqaqryqaqrxqqzyxFFF3 0213 0213 0214;4;4Lorentz Transform

5、ations得到: zzyyvtxacvvtxx;122所以k系中作用力的最終表達式:2222222zyvtxazyxr232222021232222021232222021444zyvtxazqaqzyvtxayqaqzyvtxavtxqaqFFFzyx所以k系中作用力的矢量表達式:22222/302112)()(4zyvtxazkyjivtxqaqF122222/302121)()(4FzyvtxzkyjivtxqqF上式可知牛頓第三定律在這種情況上式可知牛頓第三定律在這種情況下是不成立的下是不成立的由作用力我們可以直接得到電場直角坐標系下的表達式:22222301)()(4zyvtxaa

6、qzkyjivtxE把電場用球坐標表示：rbaErqsin)1 (42232021從上式可以清晰地看到勻速運動的點電荷激發(fā)的電場不再是球?qū)ΨQ了.下面考察兩個特殊的位置:1.=002221104EarEraq a1 在點電荷速度方向電場減小為原 來的a的平方分之一。 2. 0021232021414)(EarrbaEraqrq a1 在點電荷速度方向電場增強為原來的a倍。 用兩幅圖來對比靜止點電荷和勻速運動點電荷所激發(fā)電場的差異：二二. .驗證靜電場高斯定理驗證靜電場高斯定理babadbqdxqdqdqdqdsdEbaxbaabaSinbaSinbRaRarctanarctan011222323

7、2002223200223202002232202cos22cos22sin4sin11cos11 可見,以勻速運動點電荷為球心的球面為高斯面是滿足高斯定理的,其他任意一個封閉的曲面都是滿足高斯定理的,證明同靜電學(xué)中一樣,詳見胡友秋等編著的電磁學(xué)p27頁。00arctan00sinqbbqbqba二.檢驗靜電場環(huán)路定理：1sin111sin11sinsin1EEErEEEEErrrrrrrrrrrrrE所以其旋度為:0sin14cossin32/52320braqbE這就說明勻速運動的點電荷激發(fā)的電場不再滿足靜電場環(huán)路定理!三.勻速運動點電荷的磁場 事實上在上半部分中q1在q2就已經(jīng)激發(fā)出磁場

8、了,但由于q2是靜止的,所以不能通過洛侖茲力檢測出來,所以必須讓q2動起來！ 同前面方法得到k系中的作用力0;2zyytvx222122222122210;1ytvvazyxrzyytvvacvtvxxLorentz Transformations得到: 下面進行q2的速度在兩個慣性坐標系中的轉(zhuǎn)換,從而求出在k系中的作用力04444430212/322212202130212/3222122012213021rzqqFytvvayqqryqqFytvvatvvqaqrxqqFzyx由狹義相對論速度變換公式:0;2zyxuuvu0;122112zyxuucvvvvu011111111212212

9、212122121212121cuvcvFcvvaFcuvcvFFFcuvcuvFcuvFucvFFxzzyxyyxxxxxxxF所以得到k系中的作用力04142/32221220221212/322212201221FytvvacvvyqaqFytvvatvvqaqFzyx取t=0時刻來說明問題0;41;02022121FycvvqaqFFzyx若q2相對于k系是靜止的,則有 (t=0)0;4;02021FyqaqFFzyx比較兩種情況得到：22120214cvvyqaqFy正是因為q2在k系中以v2沿x軸正向運動而多出這么一項,這就是Lorentz力!又因為:)(22BvqFB通過比較得到

10、:212014cvyaqB對一般情況有:EvcB21由前面得到的電場表達式得到磁場:)sin1(sin4)sin1(4sin1223221022320212bravqbravqcB下面驗證磁場的高斯定理上式即q1為在q2處激發(fā)的磁場四四.驗證磁場高斯定理驗證磁場高斯定理:0sin1sin4sin1sin1sinsin1122322022bravqrrrrBBBBrrr所以在這種情況磁場高斯定理是成立的五.畢奧-沙伐爾定理的證明該電場是由靜止的離子和運動的電子激發(fā)電場的合成 1.離子激發(fā)的電場因為離子是靜止的,由靜電場的高斯定理:rrElrlE2211 2.電子激發(fā)的電場由前面得到:2222)(

11、2301)(4zyvtxaaqzkyjivtxE因為電流是穩(wěn)恒的,所以不妨取t=0dxrxazkyjxiaEd2/322204由對稱性,電場其垂直于導(dǎo)線:rdraardxarxardxrxaraE02222202/3222202/3222022cos4144A處的電場:0220021rEEE由于A點是任意的,所以通電直導(dǎo)線周圍不存在電場.下面考察A處的磁場:)sin1(sin4223220braqvBrrlIddlrIdlbraIdxbravbradxvBd3020222022202232204sin4sin231sin4sin231sin4)sin1(sin)(4 這就是著名的畢奧-沙伐爾定理,這里用狹義相對論就可以很容易地導(dǎo)出.總結(jié)總結(jié): :從歷史上看,相對論很大程度上起源于電磁學(xué)的理論研究,只是嘗試了運用已學(xué)過的狹