理學(xué)席第講隨機(jī)變量數(shù)字特征PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)席第講隨機(jī)變量數(shù)字特征理學(xué)席第講隨機(jī)變量數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量的分布，隨機(jī)變量的分布能夠完整地描述隨的分布，隨機(jī)變量的分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的行為。機(jī)變量的行為?，F(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征現(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的原因如下：討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的原因如下：第1頁/共65頁 在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布一般是在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布一般是較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，人們只需要知道它的某些數(shù)字特征人們只需要知道它的某些數(shù)字

2、特征. 在在實(shí)際應(yīng)用中，人們有時(shí)更關(guān)心概率分布的實(shí)際應(yīng)用中，人們有時(shí)更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征數(shù)字特征.第2頁/共65頁 此外，對(duì)于一些常見分布，此外，對(duì)于一些常見分布，如二項(xiàng)分如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，其中的參數(shù)恰好是分布的其中的參數(shù)恰好是分布的某些某些數(shù)字特征數(shù)字特征.只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠完全確定分布完全確定分布.第3頁/共65頁 在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征:數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，方差方差, 相關(guān)系數(shù)和矩相關(guān)系數(shù)和矩下面先討論下面先討論數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)

3、期望第4頁/共65頁一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例例1 某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工車工小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. X的分布律為的分布律為2 , 1 , 0,)(ipiXPi 現(xiàn)觀測(cè)現(xiàn)觀測(cè)N天天，發(fā)現(xiàn)有，發(fā)現(xiàn)有n0天出現(xiàn)天出現(xiàn)0個(gè)廢品，個(gè)廢品，有有n1天出現(xiàn)天出現(xiàn)1個(gè)廢品，有個(gè)廢品，有n2天出現(xiàn)天出現(xiàn)2個(gè)廢品。個(gè)廢品。求小馬求小馬平均一天平均一天生產(chǎn)的廢品數(shù)生產(chǎn)的廢品數(shù)第5頁/共65頁N天中天中小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為210210nnn于是于是小馬小馬平均一天平均

4、一天生產(chǎn)的廢品數(shù)為生產(chǎn)的廢品數(shù)為20210210iiNniNnnnni / N是事件是事件X=i 發(fā)生發(fā)生的頻率，當(dāng)?shù)念l率，當(dāng)N 很大時(shí)，它很大時(shí)，它穩(wěn)定于事件穩(wěn)定于事件X=i 的概率的概率pi第6頁/共65頁20iipi 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)N很大時(shí)，隨機(jī)變量很大時(shí)，隨機(jī)變量X的觀測(cè)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于因此因此可以作為描述隨機(jī)變量可以作為描述隨機(jī)變量X 取值的加權(quán)平均狀取值的加權(quán)平均狀況的數(shù)字特征。況的數(shù)字特征。 20iipi第7頁/共65頁定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為為: P(X=xk)=pk , k=1,2,1)(

5、kkkpxXE1kkkpx如果如果絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱它為則稱它為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 或均值，記為或均值，記為E(X), 即即 若若kkkpx發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望不存在。不存在。第8頁/共65頁例例2：已知已知X 的分布如下的分布如下 X100 200 P0.01 0.99 求求E(X)解解:99.020001.0100)(XE第9頁/共65頁2、幾種常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望、幾種常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望 1） 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 例例3：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)分布，求分布，求E(X)解解:pXPXPXE) 1(1)0(0)(

6、2） 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 例例4：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X b(n,p)，求，求E(X)計(jì)算如下計(jì)算如下:第10頁/共65頁npqpnpqpknknnpqpknknkkXPkXEnnkknkknnkknk11110)()!()!1()!1()!( !)()(第11頁/共65頁 3）泊松分布泊松分布例例5：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分 布，求布，求E(X)(見書見書 p114-115 的例的例6)第12頁/共65頁例例6 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串

7、鑰匙中的某一把去開門鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解解: 設(shè)試開次數(shù)為設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是第13頁/共65頁二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 f (x). 我們的目的是：尋找一個(gè)能體現(xiàn)隨機(jī)變我們的目的是：尋找一個(gè)能體現(xiàn)隨機(jī)變量取值的平均的量量取值的平均的量. 為此為此, 只要把前面的求和只要把前面的求和改成積分即可

8、改成積分即可.第14頁/共65頁1、定義、定義 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)數(shù) 為為 f (x),如果如果dxxfx)(|有限有限, 則定義則定義X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為dxxfxXE)()(若若dxxfx)(|則稱則稱 X 的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在第15頁/共65頁 例例7 設(shè)設(shè)XU(a,b)，求，求E(X) (見書見書 p115 的例的例7)2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望例例8 設(shè)設(shè)X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，求求E(X)解解:1)(0dxexXEx例例7 設(shè)設(shè)XU(a,b)，求，求E(X) (

9、見書見書 p115 的例的例7)2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望第16頁/共65頁 例例9 若若X服從服從),(2N，求，求E(X)解解:dxxxXE2)(exp21)(22第17頁/共65頁 例例10 設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為 其他, 010,101,1)(xxxxxf求求E(X)0110)1 ()1 ()()(dxxxdxxxdxxxfXE解解:第18頁/共65頁三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要的分布，我們需要計(jì)算的不是計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是的數(shù)學(xué)

10、期望，而是X的某個(gè)函的某個(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說g(X)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？第19頁/共65頁 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦我們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把Eg(X)計(jì)算出計(jì)算出來來.第20頁/共65頁例例11：某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式，記該種電器的使用壽命使用后付

11、款的方式，記該種電器的使用壽命為為X（以年計(jì)），規(guī)定：（以年計(jì)），規(guī)定： X 1， 一臺(tái)付款一臺(tái)付款1500元元 1 X 2 ，一臺(tái)付款，一臺(tái)付款2000元元 2 3，一臺(tái)付款一臺(tái)付款3000元元設(shè)設(shè)X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/101/10的指數(shù)分布，求該商店的指數(shù)分布，求該商店一臺(tái)電器的平均收費(fèi)一臺(tái)電器的平均收費(fèi)(見書見書 p112-113 的例的例4)第21頁/共65頁下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的. 那么是否可以不先求出那么是否可以不先求出g(X)的分布的分布而只根據(jù)而只根據(jù)X的分布直接求得的分布直接求得Eg(X)呢？呢？ 使用上述方法必須先求出隨機(jī)變量

12、函使用上述方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)g(X)的分布，有時(shí)是比較復(fù)雜的的分布，有時(shí)是比較復(fù)雜的 .第22頁/共65頁 2、設(shè)、設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X) （1） 設(shè)設(shè)X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 且其分布律且其分布律為為 P(X= xk)=pk ，k=1, 2 ,。若。若 絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則則Y 的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且 kkkpxg)( )()()( kkkpxgXgEYE第23頁/共65頁 （2） 設(shè)設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, 其概率密度為其概率密度為 f (x)，且，且 Y= g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量。也是連續(xù)型隨機(jī)變量。若

13、若 絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則則Y Y 的數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望存在，且 dxxfxg)()( )()()()( dxxfxgXgEYE(定理證明超出課程范圍定理證明超出課程范圍,特殊情況證明見書特殊情況證明見書p116)第24頁/共65頁例例12: 設(shè)設(shè)X b(n , p), Y = e= eaX X, ,求求E（Y）。解解:nankknkaknknkknnkakqpeqpeCqpCeYE)()()(00第25頁/共65頁例例13: 設(shè)設(shè)X U0, , Y =sinX, ,求求E（Y）。解解:21sin)(sin)(0dxxdxxfxYE第26頁/共65頁類似地，利用上面的方法也可以考類似地

14、，利用上面的方法也可以考慮多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望慮多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第27頁/共65頁3、已知二維隨機(jī)變量（、已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分）的聯(lián)合分 布，求函數(shù)布，求函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 （1） 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)的聯(lián)合分布律為合分布律為 , 2 , 1.),(jiyYxXPpjiijjiijjipyxg,),( 絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則Z的數(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)若若 期望存在，而且有期望存在，而且有 ),()()(,jiijjipyxgX,YgEZE第28頁/共65頁 （2） 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,

15、Y)的聯(lián)的聯(lián)合密度為合密度為 f (x, y), Z= g(X,Y)也是連續(xù)型隨機(jī)也是連續(xù)型隨機(jī)變量變量 絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則 Z 的數(shù)學(xué)期望存在，而且有的數(shù)學(xué)期望存在，而且有 若若 ),(),( dxdyyxfyxg ),(),(),()E( dxdyyxfyxgYXgEZ第29頁/共65頁四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 一般地，一般地，隨機(jī)隨機(jī)變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，

16、即等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，即 ).(2211nnXaXaXaE).(.)()(2211nnXEaXEaXEa=第30頁/共65頁 4. 設(shè)設(shè)X、Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(推廣：設(shè)推廣：設(shè)X1，Xn獨(dú)立獨(dú)立, 則則有有注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y獨(dú)立獨(dú)立第31頁/共65頁(5) 若隨機(jī)變量只取非負(fù)值，即若隨機(jī)變量只取非負(fù)值，即 X 0,又又E(X)存在，則存在，則E(X) 0.推論：若推論：若X Y, E(X)，E(Y)都存在，則都存在，則 E(X) E(Y)特別地，若特別地，若a X b，且

17、，且 a，b為常數(shù)，則為常數(shù)，則E(X)存在，且存在，且 a E(X) b 第32頁/共65頁五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用Example 14 設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中件，其中次品有次品有M 件。今從中任取件。今從中任取n(假定假定n N-M)件，記件，記這這n件中所含的次品數(shù)為件中所含的次品數(shù)為X，求，求E(X )答案:NnMXE)(第33頁/共65頁Example 15 設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為其中其中a, b為常數(shù)，且為常數(shù)，且E（X）=3/5。求。求a, b 的的值。值。其它010)(2xbxaxf答案:56,53ba第34頁/共6

18、5頁 一個(gè)實(shí)際例子一個(gè)實(shí)際例子.例例16：某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位單位:kg)服從服從U1000,2000。購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)。購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出，售出，1kg獲純利獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售出，元；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲(chǔ)藏等費(fèi)用需付耗損、儲(chǔ)藏等費(fèi)用0.3元。問一周元。問一周應(yīng)購進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大應(yīng)購進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。的平均利潤。 (答案答案: 一周應(yīng)購進(jìn)一周應(yīng)購進(jìn)1833千千克蘋果克蘋果)第35頁/共65頁下面我們?cè)俳o出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的另一個(gè)例子

19、下面我們?cè)俳o出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的另一個(gè)例子.教材第教材第113頁的頁的例例5請(qǐng)看請(qǐng)看（抽驗(yàn)（抽驗(yàn)N個(gè)人的血的兩種方法）個(gè)人的血的兩種方法）第36頁/共65頁 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道隨機(jī)變量但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的取值的平均是不夠的.學(xué)習(xí)方差的原因如下學(xué)習(xí)方差的原因如下:第37頁/共65頁 例如，某零件的真實(shí)長度為例如，某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各

20、測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近第38頁/共65頁又如又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢

21、?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心第39頁/共65頁 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差方差第40頁/共65頁4-2 方方 差差一一. 方差的概念方差的概念設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為E(X),若若E(X-E(X)2存在存在, 則稱它為則稱它為X 的方差（此時(shí)，也的方差（此時(shí)，也稱稱X的方差存

22、在），記為的方差存在），記為D(X)或或Var(X),即即 D(X)=E(X-E(X)2 定義定義稱稱D(X) 的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根 D X（ ）為為X的的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為，記為 (X). 第41頁/共65頁若若X的取值比較分散，則方差較大的取值比較分散，則方差較大 .刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度的離散程度 .若若X的取值比較集中，則方差較??；的取值比較集中，則方差較??；D(X)=EX-E(X)2 方差方差第42頁/共65頁注意：注意： 1) D(X) 0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。2）當(dāng)）當(dāng)X 服

23、從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差 為為D(X)。3)方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè) 特征。特征。第43頁/共65頁 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式 (1) 若若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 pi = P(X=xi), i=1, 2, . , 且且D(X )存在，則存在，則 )()(2iiipXExXD 由定義可知，方差是隨機(jī)變量由定義可知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 .第44頁/共65頁（2）若）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密為連續(xù)型隨機(jī)變

24、量，其概率密度為度為f(x)，且，且D(X)存在，則存在，則 （3）若隨機(jī)變量的方差）若隨機(jī)變量的方差D(X)存在，存在，則則 )()(-()(2dxxfXExXD22)()()(EXXEXD證明如下證明如下:第45頁/共65頁2222222)()()()()(2)()()(2)()(XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD第46頁/共65頁例例2：設(shè)設(shè)X b(n,p)，求，求D(X)npXXEXEXXEXE)1()()1()(2解解:3.常見分布的方差常見分布的方差 例例1：設(shè)設(shè)X b(1, p)，求，求D(X)pqqpqpXDpXE22)1 ()0()()(解解:第47頁/共65

25、頁22222220)1()()1()!()!2()!2()1()!( !)1()1()1(pnnqppnnqpknknpnnqpknknkkqpCkkXXEnknnkkknnkkknnkkknnpqnpnppnnXEXEXD2222)()1()()()(從而從而:第48頁/共65頁例例3：設(shè)設(shè)X ( )，求，求D(X) 答案答案:)(XD例例4：設(shè)設(shè)X Ua,b，求，求D(X) 答案答案:12)()(2abXD例例5：設(shè)設(shè)X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求的指數(shù)分布，求D(X)。 答案答案:21)(XD第49頁/共65頁例例6：設(shè)設(shè) X N( , 2)，求，求D(X) (見書見書 p12

26、6 例例7)XZ2)(XD)(XE服從服從)1 ,0(N從而從而, 0)(ZE1)(ZD利利用用ZX計(jì)算得計(jì)算得:第50頁/共65頁例例7: 設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為a為未知常數(shù)為未知常數(shù), 求求a, E(X 2). 83)(2)(xaexf提示提示:2222) 3(exp221228) 3(exp1222adxxadxxa從從而而221a第51頁/共65頁例例8: 設(shè)設(shè)X 的概率密度為的概率密度為 .0,bexfx5 x)(其中其中b為未知常數(shù)為未知常數(shù), 求求b，E(X 2)55exp555exp100bdxxbdxxb提示提示:從而從而 b=5 第52頁/共65頁二二. 方差的性

27、質(zhì)方差的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1: 若若X=C，C為常數(shù)，則為常數(shù)，則 D(X)=0 第53頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)2: 若若C為常數(shù)為常數(shù),隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的方差存在，則的方差存在，則CX的方差存在，且的方差存在，且 D(CX) = C 2D(X)性質(zhì)性質(zhì)3: 若若D(X), D(Y )存在，則存在，則 D(X Y)= D(X )+ D(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)證明如下證明如下:第54頁/共65頁)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD第55頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)4：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量

28、X,Y相互獨(dú)立，它們的方差都相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則存在，則X Y的方差也存在，且的方差也存在，且 D(X Y)=D(X)+D(Y)證明提示證明提示: 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(2)()(2YEXEXYEYEXEYEXEYEXEXYEYEXEXYEYXEXYEYEYXEXE第56頁/共65頁推論推論1: 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，它們的相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則方差都存在，則X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 n1in1iii)D(X)XD(推論推論2: 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X1, X2 , Xn獨(dú)立同分布，它們獨(dú)立同分布，它們的方差都存在，則的方差都存在，則X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且)()(11 niiXnDXD第57頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)5: D(X)=0 P(X= C)=1， 這里這里C=E(X)xC1P(X= x)(證明略證明略)第58頁/共65頁 例例9：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的方差的方差D(X)存在存在, 且且D(X) 0令令)()(XDXEXX其中其中E(X)是是X的數(shù)學(xué)期望，求的數(shù)學(xué)期望，求 ).D(X)(和XE (標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量隨機(jī)變量