基于小波變換靜態(tài)圖像壓縮技術(shù)研究

1、基于小波變換的靜態(tài)圖像壓縮技術(shù)研究摘要：圖像包含的信息量豐富，能夠提供給人們非常直觀的，具體鮮明的形象，被現(xiàn)代人作為獲取信息的主要工具。不但在我們的生活中，圖像被普遍的應(yīng)用，在醫(yī)學(xué)、軍事等特殊領(lǐng)域也同樣發(fā)揮了重要的作用。但是數(shù)字圖像的不足是，數(shù)據(jù)量非常大，因此在傳輸，使用和儲(chǔ)存過(guò)程中都有較大的困難。所以怎樣使用較少的數(shù)據(jù)量將信息描繪出來(lái)，已經(jīng)成為人們非常關(guān)注的話題。圖像壓縮是一種能夠減少描繪圖像所需數(shù)據(jù)量的技術(shù)，所以對(duì)圖像的壓縮技術(shù)也有了更多的研究。為了達(dá)到更加高效的壓縮圖像目的，本文主要論述了小波變換的原理及其性質(zhì)，然后將小波變換用于靜態(tài)圖像的壓縮，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以觀察到小波變換所凸顯的獨(dú)特

2、優(yōu)勢(shì)，最后總結(jié)了小波變換在未來(lái)將會(huì)廣泛的被信息技術(shù)所應(yīng)用。關(guān)鍵詞：小波變換、圖像壓縮、靜態(tài)圖像、圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)Abstract:The rich amount ofinformationthe image contains,cangive peoplea very intuitive,vividimage,modern peopleas a maintool to obtain information.Not onlyin our life,imageis widely usedinmilitary,medical,and other special areasalsoplay an impor

3、tant role.But the lack ofdigital image,a very large amount of data,itis difficultin the transmission,useand storage process.Sowhat is the amount ofdatawilluse lessinformationto describe them,has become atopic of great concern.Image compression isa can reduce theamount of data needed todescribe image

4、technology,so theimagecompression technologyhas also been more research.In order toachieve a more efficientimage compression,this paper mainly discusses theprincipleand properties of wavelet transform,thenwavelet transformis used to compressstatic image,the unique advantages ofthe experimental resul

5、tsobservedwavelet transformhighlights,finally summarized thewavelet transformin the future will bewidelyused in information technology.Keywords:Wavelet transform,image compression,static image,image quality evaluation1.引言1.1研究背景及意義人類利用視覺(jué)作為獲取大自然信息的主要手段，是因?yàn)樗梢蕴峁┲庇^而具體的物體形象，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，在人們獲取的所有信息當(dāng)中，75%是視覺(jué)信息，因此

6、在人類感知中視覺(jué)發(fā)揮了非常重要的作用。然而圖像是對(duì)客觀對(duì)象的一種相似性的、生動(dòng)性的描述或?qū)懻?，是人類社?huì)活動(dòng)中最常用的信息載體。所以圖像已經(jīng)變成了多媒體技術(shù)中極其重要的數(shù)據(jù)類型。當(dāng)今人們獲取圖像的主要來(lái)源是通過(guò)自然景物，然后經(jīng)過(guò)數(shù)字化產(chǎn)品設(shè)備，并將用數(shù)字量化這些自然景物，最后把這些得到的數(shù)據(jù)以文件的形式存儲(chǔ)起來(lái)。圖像數(shù)字化，可以達(dá)到高質(zhì)量、低成本和高可靠性的目的，因此比較利于網(wǎng)絡(luò)的傳輸。但是數(shù)字圖像信息豐富、較大的數(shù)據(jù)量，而現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量和通信帶寬又是有限的，圖像如果不壓縮，數(shù)字圖像通訊與存儲(chǔ)將會(huì)面臨巨大的挑戰(zhàn)。所以怎樣在既保證圖像質(zhì)量的同時(shí)，又能夠滿足圖像傳輸時(shí)使用最少的比特率、圖像存儲(chǔ)

7、占用最小的空間，這是現(xiàn)代信息處理技術(shù)中主要追求的目標(biāo)之一。本文重點(diǎn)論述了靜態(tài)圖像的壓縮知識(shí)，并且提供了一種基于小波變換的壓縮編碼方法，其較高的壓縮比與較低的復(fù)雜度這一特性，使它適用于圖像數(shù)據(jù)庫(kù)處理技術(shù)的應(yīng)用。這一目標(biāo)具有較高價(jià)值的理論研究意義。1.2 數(shù)字圖像壓縮技術(shù)及發(fā)展 圖像信息具有的冗長(zhǎng)性非常大，意思就是并不是所有的圖像數(shù)據(jù)都沒(méi)有規(guī)律性，還有較大一部分是有規(guī)律的數(shù)據(jù)。只要能正確的把握它，就可以把數(shù)據(jù)量壓縮到較小的程度。但是必須保證圖像的內(nèi)容和圖像品質(zhì)的情況下，這種做法才是合理的。因此為了實(shí)現(xiàn)盡最大可能減少數(shù)據(jù)冗余，各式各樣的圖像壓縮技術(shù)就產(chǎn)生了。1.2.1 圖像壓縮的理論基礎(chǔ)圖像壓縮是指

8、在保證不丟失信息的前提下，盡可能用最少的數(shù)據(jù)來(lái)表示圖像，實(shí)現(xiàn)存儲(chǔ)空間占用較少，傳輸速度較快和處理效率較高的方法。下圖1表示的是圖像壓縮的基本模型：輸入圖像編碼建模（正向）熵編碼熵解碼編碼建模（反向）重建圖像 圖1：圖像壓縮的基本模型圖像壓縮也可認(rèn)為是用某種算法重新組織數(shù)據(jù)，以求實(shí)現(xiàn)減少存儲(chǔ)的空間和數(shù)據(jù)的冗余。圖像壓縮的主要目的是將圖像中的冗余去除，即數(shù)據(jù)間的相關(guān)性代表冗余。以下簡(jiǎn)單介紹了幾種冗余： 時(shí)間冗余時(shí)間冗余反映在圖像序列（電視圖像、運(yùn)動(dòng)圖像、視頻圖像）中就是兩幅相鄰幀圖像之間有很大的相關(guān)性。一幀圖像中的某場(chǎng)景或者是某物體，可以通過(guò)其它幀圖像中的場(chǎng)景或者是物體重構(gòu)出來(lái)。 空間冗余 這是靜

9、態(tài)圖像中主要的數(shù)據(jù)冗余，在同一幅圖像當(dāng)中，具有規(guī)律性的背景與規(guī)律性物體具有的外部特征相關(guān)，一系列相關(guān)性的光成像之后所呈現(xiàn)出的效果，就產(chǎn)生了圖像的數(shù)據(jù)冗余。如果一幅靜態(tài)圖像中某一區(qū)域有均勻的外部顏色，那么這一區(qū)域的全部像素點(diǎn)的光強(qiáng)度，飽和度以及色彩也全部是相同的，此時(shí)得到的數(shù)據(jù)就產(chǎn)生了較大的空間冗余。 視覺(jué)冗余人類對(duì)圖像的敏感性是非均勻和非線性的。但是，在記錄圖像的原始數(shù)據(jù)時(shí)，一般假定視覺(jué)系統(tǒng)是線性的和均勻的，同樣對(duì)待視覺(jué)敏感和不敏感的部分，由此出現(xiàn)了比理想編碼更多的數(shù)據(jù)，這就是視覺(jué)冗余。 知識(shí)冗余 很多圖像的理解與人們的基礎(chǔ)知識(shí)是有關(guān)聯(lián)的。這些具有規(guī)律性結(jié)構(gòu)的圖像，可以通過(guò)人們已經(jīng)具有的知識(shí)構(gòu)

10、造出基本模型，并產(chǎn)生相應(yīng)的特征的圖像庫(kù)。所以圖像可以只保存具有特征的參數(shù)，進(jìn)而就能減少大量的數(shù)據(jù)。 信息熵冗余 信息熵冗余也叫編碼冗余。因?yàn)樾畔⒃粗械母黝惔a元的概率是很難預(yù)知的，所以分配不能達(dá)到最佳及其前后的關(guān)聯(lián)所產(chǎn)生的冗余。 機(jī)構(gòu)冗余有的圖像有很強(qiáng)的紋理結(jié)構(gòu)，所以各像素值之間有鮮明的分布模式，這就出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)冗余。 1.2.2圖像壓縮的基本分類圖像壓縮可以從兩個(gè)方面進(jìn)行分類，即信息論方面與圖像傳輸?shù)姆矫妗?從信息論方面可以兩大類，可以分為無(wú)損壓縮和有損壓縮。無(wú)損壓縮，也稱為熵編碼或信息保持編碼。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是圖像重構(gòu)后與壓縮前的圖像完全一致，沒(méi)有失真。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講是可逆運(yùn)算。有損壓縮，也可稱為熵

11、壓縮編碼或者是失真度編碼。是指把壓縮后的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后獲得的數(shù)據(jù)可以不要求與原來(lái)的數(shù)據(jù)完全一致，允許有一定的失真。 兩者的區(qū)別就是，重建后的數(shù)據(jù)是否和原始數(shù)據(jù)相同。在壓縮過(guò)程中，要舍棄人眼對(duì)圖像不敏感的信息，而且這些被丟棄信息是不能恢復(fù)的。被舍棄的數(shù)據(jù)率與壓縮比有關(guān)，如果壓縮比越小的話，證明要舍棄的數(shù)據(jù)就越多，解壓之后呈現(xiàn)圖像的質(zhì)量就會(huì)越低。從圖像傳輸?shù)慕嵌瓤梢詫⑵浞譃閹瑑?nèi)壓縮和幀間壓縮兩種。 幀內(nèi)壓縮，就是在一幀圖像壓縮時(shí)，只對(duì)本幀的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮處理，卻不對(duì)相鄰幀之間的冗余信息處理，這種方法在靜態(tài)圖像的壓縮中普遍得到應(yīng)用。但是一般情況下，它壓縮率并不是太高。幀間壓縮，是在大量的視頻

12、或者動(dòng)畫(huà)的相鄰兩幀之間有非常大相關(guān)性特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)行對(duì)圖像的處理，換句話說(shuō)，就是連續(xù)的視頻與緊挨著的兩幀之間存在著冗余信息，根據(jù)這一情況，可以壓縮相鄰幀之間的冗余量，達(dá)到提高壓縮量，增大壓縮比的目標(biāo)。2、靜態(tài)圖像壓縮技術(shù)研究圖像編碼技術(shù)的廣泛發(fā)展和普遍應(yīng)用推進(jìn)了很多有關(guān)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的制定。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（International Standardization Organization,簡(jiǎn)稱ISO），國(guó)際電信聯(lián)盟（International Telecommunication Union,簡(jiǎn)稱ITU）和國(guó)際電子學(xué)委員會(huì)（International Electronics Committee,

13、簡(jiǎn)稱IEC）來(lái)完成這項(xiàng)工作。JPEG標(biāo)準(zhǔn)是第一個(gè)普遍使用的國(guó)際靜態(tài)圖像壓縮的標(biāo)準(zhǔn)，它具有優(yōu)良的壓縮性能，得到了普遍應(yīng)用。由于多媒體技術(shù)、信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)通訊技術(shù)的廣泛飛速發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)JPEG標(biāo)準(zhǔn)存在很多不足，越來(lái)越不能滿足人們?nèi)粘Ｉ畹男枰?，所以新一代的靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000就誕生了。2.1 JPEG壓縮標(biāo)準(zhǔn)2.1.1 JPEG標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容JPEG是Joint Photograph Experts Group 的縮寫，這是一個(gè)在1986年國(guó)際電話電報(bào)咨詢委員會(huì)CCITT和國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO（International Standardization Organization）這兩個(gè)組

14、織為靜止圖像所建立的第一個(gè)國(guó)際數(shù)字圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)。它普遍的應(yīng)用在單色與彩色多灰度或者連續(xù)色調(diào)的靜態(tài)圖像的壓縮領(lǐng)域。2.1.2 JPEG標(biāo)準(zhǔn)的組成部分JPEG標(biāo)準(zhǔn)即（多灰度連續(xù)色調(diào)靜態(tài)圖像壓縮編碼）專家組開(kāi)發(fā)了兩種基本算法，分別是以DCT為基礎(chǔ)的有損壓縮算法和以預(yù)測(cè)技術(shù)為基礎(chǔ)的無(wú)損壓縮算法。 基于DPCM無(wú)失真壓縮算法 為了滿足無(wú)失真壓縮的要求，JPEG使用了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)編碼方式，即基于DPCM的無(wú)損壓縮算法。它的優(yōu)點(diǎn)主要是：硬件很容易完成，重建后圖像的質(zhì)量較高，失真現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn)。其缺點(diǎn)是：壓縮比大約是2:1，相對(duì)來(lái)說(shuō)還是比較低的。 基于DCT的有失真壓縮編碼 圖像壓縮利用這種算法信息有一定

15、的損失，但是具有很大的壓縮比?；贒CT壓縮編碼算法有兩種不同的系統(tǒng)，即增強(qiáng)系統(tǒng)和基本系統(tǒng)。增強(qiáng)系統(tǒng)是對(duì)系統(tǒng)的擴(kuò)充?；贒CT編碼其壓縮比：10：1-100:1。在壓縮比小于40：1的情況下，解壓后的圖像與原始圖像對(duì)比，主觀效果幾乎是一樣的，所以得到了普遍的應(yīng)用。以下圖2和圖3分別展示了基于DCT的有損壓縮編碼與解碼過(guò)程： 2.1.3 JPEG的發(fā)展應(yīng)用JPEG在短時(shí)間內(nèi)能夠獲得迅速的發(fā)展，主要是由于它具有優(yōu)良的品質(zhì)。目前絕大數(shù)的靜態(tài)圖像都采用JPEG的壓縮標(biāo)準(zhǔn)。比如，各式各樣的圖片處理工具和各種瀏覽器一般都可以支持JPEG的圖像格式。除此之外，由于JPEG格式的文件有較小的尺寸，Web頁(yè)能夠

16、在非常短的時(shí)間內(nèi)下載較多漂亮精致的圖片，所以JPEG標(biāo)準(zhǔn)在網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中是一種最普遍的圖像格式。2.2 JPEG2000壓縮標(biāo)準(zhǔn) 隨著多媒體技術(shù)的應(yīng)用和網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，JPEG壓縮技術(shù)已經(jīng)不能滿足人們的需要了，所以就要尋找更高性能和新特性的圖像壓縮的技術(shù)。兩個(gè)組織的灰度圖聯(lián)合專家組在1997年開(kāi)始征集提案（call for proposal）,并且把JPEG標(biāo)準(zhǔn)升級(jí)為JPEG2000。JPEG2000作為一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)處于不斷的發(fā)展中。在不斷的發(fā)展中，新的標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000不僅能夠提高壓縮質(zhì)量，特別是低碼率時(shí)的壓縮質(zhì)量，并還具有新增的功能，比如通過(guò)視覺(jué)感受、圖像質(zhì)量和分辨率進(jìn)行漸進(jìn)傳輸

17、，對(duì)碼流的隨機(jī)存取和處理。下圖4和圖5分別展現(xiàn)了編碼和解碼的流程： 開(kāi)發(fā)JPEG2000的初衷是使用最新的壓縮技術(shù)提供一個(gè)新的基于小波技術(shù)的圖像編碼系統(tǒng)。JPEG2000作為新圖像編碼系統(tǒng)而言，相比較原先的JPEG，大致有六個(gè)方面的優(yōu)越性： 、JPEG2000基于圖像質(zhì)量、多分辨率、分量或空間區(qū)域的漸進(jìn)式傳輸，這是關(guān)鍵特性之一。、JPEG2000可以同時(shí)支持有損壓縮方式和無(wú)損壓縮方式。、JPEG2000可以提供特定的壓縮處理方式來(lái)處理所期望的特定區(qū)域。、JPEG2000一直不斷的追求更高的壓縮比。、JPEG2000具有良好的特性進(jìn)行圖片顏色方面的處理。、JPEG2000可以使多用途的圖像在使用

18、WEB時(shí)得到高效的簡(jiǎn)化。2.3 靜態(tài)壓縮技術(shù)的性能指標(biāo)圖像信息學(xué)科的基礎(chǔ)研究是圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)，而對(duì)于圖像通信系統(tǒng)或者圖像處理，圖像作為信息的主體，其圖像的質(zhì)量是評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。評(píng)價(jià)圖像的質(zhì)量主要有兩個(gè)方面：一方面是圖像的逼真度，指的是被評(píng)價(jià)的圖像和原標(biāo)準(zhǔn)圖像之間差距的大?。涣硪粋€(gè)方面是圖像的可讀性，就是圖像能夠?yàn)闄C(jī)器、人提供的信息的能力。所以可以作為設(shè)計(jì)圖像和評(píng)價(jià)圖像系統(tǒng)的依據(jù)是可以找到圖像可讀性和圖像逼真度的定量表達(dá)方法。（1）、圖像的主觀評(píng)價(jià)通過(guò)人眼觀察圖像是圖像的主觀評(píng)價(jià)的方式，觀察圖像的優(yōu)劣得出主觀評(píng)定，然后統(tǒng)計(jì)平均評(píng)分，獲取評(píng)價(jià)結(jié)果，此時(shí)圖像質(zhì)量和觀察者的特性及其觀察條件成

19、為評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量的相關(guān)因素。所以為了確保主觀評(píng)價(jià)具有意義，觀察者的選擇不但考有未受過(guò)訓(xùn)練的觀察者，還要選擇有一定圖像技術(shù)經(jīng)驗(yàn)的觀察者。除此之外，至少有20名的觀察者參加評(píng)分，測(cè)試的條件盡可能匹配使用條件。圖像質(zhì)量中的主觀評(píng)價(jià)方法又被分成兩種，分別是5級(jí)評(píng)分的妨礙尺度和質(zhì)量尺度，下表是根據(jù)觀察者的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)被評(píng)價(jià)的圖像得出的質(zhì)量判斷。通常，妨礙尺度合適用于專業(yè)人員，質(zhì)量尺度多被非專業(yè)人員采用。下表1是圖像5級(jí)評(píng)分的兩種尺度： 表1.五級(jí)評(píng)分的兩種尺度妨礙尺度 得分 質(zhì)量尺度 無(wú)覺(jué)察 5 非常好 剛覺(jué)察 4 好 覺(jué)察但不討厭 3 一般 討厭 2 差 難以觀看 1 非常差（2）、圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià).峰值

20、信噪比PSNR。重構(gòu)圖像與原圖像的信噪比常被用來(lái)作為評(píng)價(jià)來(lái)圖像壓縮質(zhì)量的好壞的方法。為圖像的最大灰度值，M、N分別代表圖像的行數(shù)和列數(shù)，原始圖像的象素值由f(m,n)表示，經(jīng)過(guò)還原后的圖像象素值由f/(m,n)表示。我們稱下列式子 是均方誤差（Mean Square Error）。MSE有的時(shí)候被用作檢測(cè)壓縮算法的恢復(fù)效果，然而不同比熱下的PSNR是最常用的。、壓縮比：用 表示源代碼的長(zhǎng)度；是壓縮后代碼的長(zhǎng)度；為壓縮比即百分比，壓縮比表示經(jīng)過(guò)壓縮后丟棄的數(shù)據(jù)占源數(shù)據(jù)的百分比。下表2表示了壓縮效果與質(zhì)量的關(guān)系： 表2.壓縮效果與質(zhì)量的關(guān)系 壓縮效果（比特/象素） 質(zhì)量0.250.50 中好0.5

21、00.75 好很好0.751.5極好1.22.0與原始圖像分不出3、 小波變換技術(shù)3.1 小波變換的理論基礎(chǔ) 傳統(tǒng)的信號(hào)理論，是建立在傅里葉分析的基礎(chǔ)上的。傅里葉變換有諸多優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)用傅立葉表示一個(gè)信號(hào)時(shí)，只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率，它是全局性進(jìn)行變化，存在一些不足。在實(shí)際生活應(yīng)用中，F(xiàn)ourier變換得到了許多改進(jìn)，而小波變換是以短時(shí)傅里葉變換為基礎(chǔ)的，它是一種新型的變換方法。小波就是小的波形，所謂“小”是指它具有一定的衰減性； “波”代表波動(dòng)性，在振幅正負(fù)相間表現(xiàn)為震蕩的形式。小波分析是新興發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支，是當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域中 一個(gè)迅猛發(fā)展的新方向。與傅里葉變換對(duì)比，它是一種除了不能

22、改變窗口的大小之外、既可以改變形狀、又可以改變時(shí)間窗和頻率窗的時(shí)頻局部化分析的方法，所以它可以快速的提取信號(hào)中存在的突變信息。利用伸縮和平移等運(yùn)算方法，把信號(hào)或函數(shù)展開(kāi)多尺度的細(xì)化分析，最終達(dá)到高頻處的時(shí)間被細(xì)分，低頻處的頻率被細(xì)分，快速適應(yīng)視頻信號(hào)分析的要求，進(jìn)而信號(hào)的每一細(xì)節(jié)都被聚焦到，因而小波變換被人們普遍的稱為是分析處理信號(hào)的數(shù)學(xué)顯微鏡”。3.2 小波變換的原理小波，是小區(qū)域型的波，零均值，是在時(shí)域和頻域內(nèi)的能量進(jìn)行局部化的函數(shù)表達(dá)，其波形一般是兩端遞減成零的較小的波形。母小波是指滿足平方積空間L2(R),而且達(dá)到下式函數(shù)的要求：。母小波具有波動(dòng)性，令函數(shù)積分為零時(shí)只有取值有正有負(fù)。還

23、有，母小波擁有帶通性。上述式子等價(jià)于 其中為的傅里葉譜。母小波通過(guò)變換（伸縮）尺度和平移得到的函數(shù)就是分析小波。假設(shè)a是伸縮因子，b是平移因子，則對(duì)應(yīng)的分析小波為： ，其中a是大于0的。伸縮參數(shù)a可以使小波經(jīng)過(guò)收縮和伸張后，令通過(guò)遍歷分析后的達(dá)到各個(gè)頻率的信號(hào)相近。在上式中，如果a1，則產(chǎn)生伸展；若a0，在時(shí)間軸上將會(huì)右移或左移；如果b0，對(duì)的幅度不產(chǎn)生任何的影響。若同時(shí)完成伸縮和平移兩種功能，則需a和b的同時(shí)變化。3.3 小波變換的分類 小波變換有很多分類，根據(jù)本文的內(nèi)容要求，在這里主要針對(duì)連續(xù)小波變換和離散小波變換這兩類進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。 連續(xù)小波變換定義：它一般是把時(shí)間連續(xù)性的函數(shù)分解成一

24、系列的小波。與傅里葉變換相比，連續(xù)小波轉(zhuǎn)換獨(dú)特之處是，在建立重構(gòu)經(jīng)過(guò)處理后的訊號(hào)時(shí)頻表達(dá)時(shí)，頻率和時(shí)間都能夠得到準(zhǔn)確的定位。我們?cè)O(shè)f(t)是平方可積函數(shù)（記做f(t)L2(R)），被稱為基本小波或母小波的函數(shù)，則f(t)稱為連續(xù)小波變換，式中a為尺度參數(shù)，b是控制位置的參數(shù)，a,b均為任何一個(gè)實(shí)數(shù)。尺度因子a的作用是用來(lái)對(duì)基本小波進(jìn)行伸縮。若a越大，小波就會(huì)越寬，時(shí)頻分辨率就越來(lái)越低；若a越小，小波就會(huì)越窄，時(shí)頻的分辨率就會(huì)越來(lái)越高。上式是在時(shí)域內(nèi)小波變換的表示，在頻域內(nèi)小波變換的定義為：上式中的a如果變大，的中心頻率就將向低頻處移動(dòng)，頻帶也會(huì)變的窄，此時(shí)小波變換提取f(x)在較低頻帶較窄區(qū)域

25、的成分；如果a變小，的中心頻率就將向高頻率處移動(dòng)，頻帶將會(huì)變寬，這時(shí)小波變換將取f(x)在高頻率寬帶內(nèi)區(qū)域的成分。下圖6所示了連續(xù)小波變換的時(shí)頻域特性。 圖6.連續(xù)小波變換的時(shí)頻域特性 小波變換在時(shí)頻方面有以下特性：當(dāng)a變大時(shí)，降低，變大，時(shí)域窗口也變寬，可以看到的時(shí)間區(qū)域更長(zhǎng)，且變小，能觀看到更窄的頻域窗，中心頻率同時(shí)向低頻移動(dòng)。 當(dāng)a變小時(shí)，w增大，變小，時(shí)域窗口也變窄，可以看到的時(shí)間區(qū)域更短，且變小，能觀看到更寬的頻域窗，中心頻率同時(shí)向高頻移動(dòng)。 離散小波變換（Discrete Wavelet Transform, DWT）由于連續(xù)小波變換存在一定的信息冗余，其中的尺度因子a,位移因子b

26、都是連續(xù)的，在實(shí)際計(jì)算機(jī)處理中，通常必須將其進(jìn)行離散化。但是只對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)的位移參數(shù)b進(jìn)行離散化，而時(shí)間變量t不考慮，這就得到了離散小波變換。首先將尺度a離散化。當(dāng)今人們主要是把尺度經(jīng)過(guò)冪數(shù)級(jí)離散化處理。也就是讓a=aj0 ,a0 取大于0的實(shí)數(shù)，z取任意整數(shù)。那么得到對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為：j取值為大于0的正整數(shù)。其次把位移b離散化。我們一般對(duì)T離散后的取值是均勻的，這樣可以包含全部時(shí)間軸。當(dāng)a0=2j 時(shí)，在T軸的方向上，我們把2j T0 定為響應(yīng)采樣的間隔值。當(dāng)a0=2時(shí)，j將會(huì)變大1，a的值也會(huì)變大一倍，相應(yīng)的頻率值也會(huì)降低二分之一。但采樣率減少了原來(lái)的二分之一時(shí)，對(duì)信息并沒(méi)有產(chǎn)

27、生影響。所以如果比的寬度大 aj0 倍時(shí)，采樣間隔就可以變大為aj0 。這時(shí)信息也沒(méi)有出現(xiàn)任何丟失的現(xiàn)象。則離散小波變換的定義公式為： j為大于等于0的整數(shù)，k為整數(shù)。4.小波變換在靜態(tài)圖像壓縮中的應(yīng)用 4.1小波變換實(shí)現(xiàn)圖像壓縮的基本思想 由于Mallat算法小波分析在圖像領(lǐng)域得到額應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域小波函數(shù)的構(gòu)造利用Mallat算法進(jìn)行多尺度分析，然后分析小波變換的離散形式，然后使用相應(yīng)的算法對(duì)圖像分解和重建，為小波在圖像壓縮領(lǐng)域的發(fā)展打下了堅(jiān)定的基礎(chǔ)。今后的發(fā)展應(yīng)用中，小波變換在圖像壓縮領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越受人們的歡迎與關(guān)注。 它的基本思想是：圖像是一種連續(xù)的二維函數(shù)，如果將圖像進(jìn)行多

28、分辨率的分解，就會(huì)得到不同的頻率和不同空間的子圖像，然后再編碼子圖像的系數(shù)。由于經(jīng)過(guò)小波變換后產(chǎn)生的圖像的數(shù)據(jù)總量等同于原始圖像的數(shù)據(jù)總量，所以表明其實(shí)小波本身沒(méi)有壓縮的作用。把它用在圖像壓縮領(lǐng)域，主要是在經(jīng)過(guò)小波變換之后，得到的系數(shù)大部分集中在低頻處，垂直、水平和對(duì)角線區(qū)域則有較小的能量。在圖像信號(hào)的分析中，圖像的輪廓由低頻信息代表，是圖像中較為重要的部分；圖像的紋理由高頻信息代表，為輪廓做補(bǔ)充。原始圖像經(jīng)過(guò)二維小波變換之后，將會(huì)產(chǎn)生小波域上的小波系數(shù)，然后量化編碼小波系數(shù)。原始圖像的能量經(jīng)過(guò)小波變換后主要分布在少數(shù)部分的小波系數(shù)上，因此比較簡(jiǎn)單的系數(shù)量化方法是略去某一閉值下的系數(shù)，或者是表

29、示成一定的常數(shù)，或者是僅僅保存較高能量的小波系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮的目標(biāo)。4.2小波變換對(duì)圖像進(jìn)行壓縮編碼圖像信號(hào)通過(guò)一次小波變換后可被分割成四個(gè)頻帶，即垂直方向、水平方向和對(duì)角線方向的低頻與高頻區(qū)域，對(duì)低頻部分繼續(xù)分解，這樣將圖像信號(hào)分解成了若干個(gè)具有不同頻率特性、空間分辨率和方向特性的自圖像信號(hào)，由此同時(shí)達(dá)到了低頻的長(zhǎng)時(shí)特性和高頻的短時(shí)特性的要求，傅立葉分析處理復(fù)雜圖像信號(hào)所存在的缺陷被克服了。所以人的視覺(jué)特性和數(shù)據(jù)壓縮的要求通過(guò)圖像信號(hào)的處理得到了滿足。靜態(tài)圖像是二維信源，可以被看成二維矩陣，然后利用二維濾波器進(jìn)行處理。由于小波函數(shù)具有可分離性，我們可以認(rèn)為二維濾波器是由一維濾波器合成的

30、。通常低頻用L表示，高頻用H表示，而濾波器主要是4個(gè)（LL，LH，HL和HH）不同頻率特性和方向特性組成的濾波器。LL用來(lái)測(cè)量圖像的低頻分量，LH測(cè)量水平方向的邊緣、細(xì)節(jié)分量，HL測(cè)量垂直方向的邊緣、細(xì)節(jié)分量，HH測(cè)量對(duì)角線與副對(duì)角線方向的分量。下圖7是圖像的3層小波變換的塔式結(jié)構(gòu)圖示意圖：LL3 LH3 HL3 HH3 LH2 LH1 HL2 HH2 HL1 HH1LL2 LH2 LH1HL2 HH2 HL1 HH1LL1 LH1HL1 HH1 圖7.圖像3層小波變換的塔式結(jié)構(gòu)圖一幅圖像 ，它的輪廓處、邊緣處及部分紋理的法線上產(chǎn)生了高頻信息，顯示了圖像的細(xì)節(jié)變化，所以可以理解為圖像中的輪廓、

31、邊緣及紋理等細(xì)節(jié)信息是由小波變換的每個(gè)高頻子帶所體現(xiàn)的，而且每個(gè)子帶表示的細(xì)節(jié)信息是不同方向的。其中水平方向上的輪廓、邊緣及紋理由HL表示，而HH子帶中集中了對(duì)角線方向的邊緣等信息。由此表明，小波變換擁有極好的空間方向選擇性，這正是它的獨(dú)特之處，所以我們進(jìn)行壓縮可以利用不同方向的信息進(jìn)行設(shè)計(jì)編碼。我們通過(guò)一幅名為wbarb的圖像信號(hào)進(jìn)行嘗試壓縮，利用二維小波分析對(duì)圖像進(jìn)行壓縮，算法如下：load wbarb;subplot(221);image(X);colormap(map) title(原始圖像);axis squaredisp(壓縮前圖像X的大?。?;whose(X)c,s=wavede

32、c2(X,2,bior3.7);ca1=appcoef2(c,s,bior3.7,1);ch1=detcoef2(h,c,s,1);cv1=detcoef2(v,c,s,1);cd1=detcoef2(d,c,s,1);a1=wrcoef2(a,c,s,bior3.7,1);h1=wrcoef2(h,c,s,bior3.7,1);v1=wrcoef2（v,c,s,bior3.7,1);d1=wrcoef2(d,c,s,bior3.7,1);c1=a1,h1;v1,d1;subplot(222);image(c1);axis squaretitle(分解后低頻和高頻信息);ca1=appcoef

33、2(c,s,bior3.7,1);ca1=wcodemat(ca1,440,mat,0);ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis squaretitle(第一次壓縮);disp(第一次壓縮圖像的大小為：);whose(ca1)ca2=appcoef2(c,s,bior3.7,2);ca2=wcodemat(ca2,440,mat,0);ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis squaretitle(第二次壓縮);disp(第二次壓縮圖像的大小為：);wh

34、ose(ca2)運(yùn)行的結(jié)果是： 文件名 文件大小 字節(jié) 類型原圖像： x 256*256 524288 double array第一次壓縮后的圖像： ca1 135*135 145800 double array第二次壓縮后的圖像： ca2 75*75 45000 double array 圖a.原始圖像 圖b.分解后高頻和低頻信息 圖c.圖像第一次壓縮 圖d.圖像第二次壓縮 圖.8圖像壓縮變化 經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的上面圖像結(jié)果，然后進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)第一次的壓縮選取的是原始圖像中經(jīng)過(guò)小波分解后的低頻區(qū)域信息，這時(shí)候有較好的壓縮效果，而且壓縮比為1/3左右。第二次的壓縮區(qū)域，選擇的經(jīng)過(guò)小波分解后得到的第

35、二層的低頻部分，壓縮比在1/12左右，壓縮比還是相當(dāng)大的，對(duì)于視覺(jué)來(lái)說(shuō)，呈現(xiàn)出來(lái)的效果還是不錯(cuò)的。這種壓縮方法，僅僅選取原始圖像的低頻部分的信息，不用進(jìn)行任何別的處理就能達(dá)到很好的效果。同樣，我們可以按照上面的方式，繼續(xù)選擇小波分解后的3、4等層的低頻數(shù)據(jù)。也可以認(rèn)為，只要我們需要，我們可以得任何的圖像壓縮效果。 我們?yōu)榱双@得更加高效的壓縮效果，還需要考慮到以下幾個(gè)因素：（1）小波基的正確選取。選擇恰當(dāng)?shù)男〔ɑ?，能夠?qū)崿F(xiàn)在不提高運(yùn)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，更好的發(fā)揮小波的優(yōu)點(diǎn)，提高壓縮功能。（2）小波的正確選取。通常，在圖像壓縮中，采用是具有緊支集的正交小波或雙正交小波。（3）編碼方法的選擇?？梢圆捎肏uffman編碼或者是序列編碼等編碼方法對(duì)量化后的系數(shù)進(jìn)行編碼，力求獲得更高的圖像壓縮效果。（4）選擇能夠滿足小波特征的量化方法。通過(guò)分析小波特性和人的視覺(jué)系統(tǒng)的特性，采用不同的方法對(duì)變化后