結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)題解答1(北大)

1、結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)題解答 -結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ) 北京大學(xué)出版社1.41.4金屬鉀的臨閾頻率為金屬鉀的臨閾頻率為5.4645.46410101414s s-1-1，用它作光電池的，用它作光電池的陰極，當(dāng)用波長為陰極，當(dāng)用波長為300nm300nm的紫外光照射該電池時，發(fā)射的光的紫外光照射該電池時，發(fā)射的光電子的最大動能是多少？電子的最大動能是多少？解 2021mvhvhv152131114342131114918341012. 810109. 910529. 410626. 6210109. 9)10464. 51030010998. 2(10626. 62smkgssJkgsmsmsJ210)(2mvvhv

2、1.41.4對一個運(yùn)動速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推導(dǎo)：對一個運(yùn)動速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推導(dǎo)：式中，等號左邊的物理量體現(xiàn)了粒性，等號右邊的物式中，等號左邊的物理量體現(xiàn)了粒性，等號右邊的物理量體現(xiàn)了波性，而聯(lián)系波性和粒性的紐帶是理量體現(xiàn)了波性，而聯(lián)系波性和粒性的紐帶是PlanckPlanck常數(shù)。根據(jù)上述兩式及力學(xué)公式：常數(shù)。根據(jù)上述兩式及力學(xué)公式：/hp hvE mvp mvvEhvhpmv2154321vu/ 解解 ：微觀粒子具有波性和粒性，兩者的對立統(tǒng)一微觀粒子具有波性和粒性，兩者的對立統(tǒng)一和相互制約可由下列關(guān)系式表達(dá)：和相互制約可由下列關(guān)系式表達(dá)：結(jié)果得出的結(jié)論。錯

3、在何處？說明理由。結(jié)果得出的結(jié)論。錯在何處？說明理由。知，知，1 1，2 2和和4 4三步都是正確的。三步都是正確的。微粒波的波長服從下式：微粒波的波長服從下式：1.71.7式中， 是微粒的傳播速度，它不等于微粒的運(yùn)動速度，但3式中用了 ，顯然是錯的。 在4式中， 無疑是正確的，這里的E是微粒的總能量，但5式中 僅僅是微粒的動能部分，兩個能量是不等的，因此5式中也是錯的（若將E視為動能，則5式對，4式錯）。v/hvE 221mvE u 電視機(jī)顯像管中運(yùn)動的電子，假定加速電壓為電視機(jī)顯像管中運(yùn)動的電子，假定加速電壓為1000V，電子運(yùn)動速度的不確定度，電子運(yùn)動速度的不確定度 為速度的為速度的10

4、%，判，判斷電子的波性對熒光屏上成像有無影響？斷電子的波性對熒光屏上成像有無影響？v解解：在給定加速電壓下，由測不準(zhǔn)關(guān)系所決定的電子坐標(biāo)在給定加速電壓下，由測不準(zhǔn)關(guān)系所決定的電子坐標(biāo)的不確定度為：的不確定度為：這坐標(biāo)不確定度對于電視機(jī)（即使目前世界上尺寸最小的這坐標(biāo)不確定度對于電視機(jī)（即使目前世界上尺寸最小的袖珍電視機(jī)）熒光屏的大小來說，完全可以忽略。人的眼袖珍電視機(jī)）熒光屏的大小來說，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出電子運(yùn)動中的波性。因此，電子的波性對電視睛分辨不出電子運(yùn)動中的波性。因此，電子的波性對電視機(jī)熒光屏上成像無影響。機(jī)熒光屏上成像無影響。mVCkgsJmeVhmeVmhmhx1031

5、931341088. 31010602. 110109. 921010626. 6%102%10/21.9是算符是算符 的本征函數(shù)，求本征值。的本征函數(shù)，求本征值。 2axxe22224xadxd解：應(yīng)用量子力學(xué)基本假設(shè)應(yīng)用量子力學(xué)基本假設(shè)（算符）（算符）（本征函數(shù)，（本征函數(shù)， 本征值和本征方程），得：本征值和本征方程），得： aaxeexaexaaxeaxeexaeaxedxdxexaxedxdxexadxdxadxdaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax66444242)(4)4()4(222222222223232322222222222222因此，本征值為因此，本征值為 。 a

6、61.12 下列函數(shù)哪幾個是算符下列函數(shù)哪幾個是算符 的本征函數(shù)？若是，的本征函數(shù)？若是， 求出本征值。求出本征值。22dxdxxxxxexcossin,cos2,sin,3解：。的本征函數(shù)，本征值為是的本征函數(shù)；不是；的本征函數(shù)，本征值為是；的本征函數(shù)，本征值為是；的本征函數(shù)，本征值為是1cossin),cos(sin)cos(sin,61cos2 ,cos2cos21sin,sin1sin1,122222233322222222222222dxdxxxxxxdxddxdxcxxxdxddxdxxxdxddxdxxxdxddxdeeedxdxxx1.13 是否為本征函數(shù)？若是，求出其本征值。

7、ddimeim對算符和 cos解： imimimmeimieeddi的本征函數(shù)。不是算符所以而。的本征函數(shù)，本征值為是算符所以ddimmcmimmmimddimddieimcoscossin)sin(cos1.14 已知一維勢箱中粒子的歸一化波函數(shù)為：式中 是勢箱的長度，x是粒子的坐標(biāo)（0 x ）。計算：（a） 粒子的能量；（b） 粒子坐標(biāo)的平均值；（c） 粒子動量的平均值。 lxnlxnsin2)(,.3 , 2 , 1nll1.16解解：(a) 由于已經(jīng)有了箱中粒子的歸一化波函數(shù)，可采用由于已經(jīng)有了箱中粒子的歸一化波函數(shù)，可采用下列兩種方法計算粒子的能量：下列兩種方法計算粒子的能量：lxn

8、ldxdmhxHnsin28)(2222 將能量算符直接作用于波函數(shù)，所得常數(shù)即為粒子的能將能量算符直接作用于波函數(shù)，所得常數(shù)即為粒子的能量：量： )(8sin28sin28cos28222222222222xmlhnlxnllnmhlxnlnlnlmhlxnlnldxdmhn即即2228mlhnEn將動量平方的算符 作用于波函數(shù)，所得常數(shù)即為 ： 2xp2xplxnldxdhxpnxsin24)(22222)(4222xlhnn即將此式代入粒子的能量表達(dá)式，得：22224lhnpxVTE2222222842121mlhnlhnmpmTx若不知道粒子的波函數(shù)，則可采用下列兩種方法求算能量：若不

9、知道粒子的波函數(shù)，則可采用下列兩種方法求算能量： 解箱中粒子的解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解過程中會自然方程，在求解過程中會自然得到與上述結(jié)果相同的能級表達(dá)式（參見周公度、段連云得到與上述結(jié)果相同的能級表達(dá)式（參見周公度、段連云編著編著結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ)第二版，第二版，p27，北京大學(xué)出版社）。，北京大學(xué)出版社）。若只求粒子最低能量（零點能）的近似值，則亦可根據(jù)變?nèi)糁磺罅Ｗ幼畹湍芰浚泓c能）的近似值，則亦可根據(jù)變分法的思路，選分法的思路，選 為變分函數(shù)，用式：為變分函數(shù)，用式：2xxl ddHE*進(jìn)行計算，所得結(jié)果是上述能級表達(dá)式計算所得結(jié)果的進(jìn)行計算，所得結(jié)果是上述能級

10、表達(dá)式計算所得結(jié)果的1.0132倍。倍。 根據(jù)受一定勢能場束縛的微粒所具有的量子效應(yīng)和箱根據(jù)受一定勢能場束縛的微粒所具有的量子效應(yīng)和箱中粒子的邊界條件中粒子的邊界條件 ，箱長應(yīng)該等于半，箱長應(yīng)該等于半波長的整數(shù)倍，即：波長的整數(shù)倍，即：將此式代入將此式代入de Broglie 關(guān)系式，得：關(guān)系式，得：將此式代入粒子能量的一般表達(dá)式，得：將此式代入粒子能量的一般表達(dá)式，得： 00lnnnl2lnhhp2TVTE22222822121mlhnlnhmpm可根據(jù)一維箱中粒子的能級表達(dá)式，分析可根據(jù)一維箱中粒子的能級表達(dá)式，分析En及及En隨隨n,m及及 等等的變化關(guān)系，從而加深對束縛態(tài)微觀粒子的量子

11、特征的理解。的變化關(guān)系，從而加深對束縛態(tài)微觀粒子的量子特征的理解。l（b）由于）由于 無本征值，無本征值， 只能求粒子坐標(biāo)的平均值：只能求粒子坐標(biāo)的平均值：xxcxxnn),()( lnndxxxxx0*22sin22sin22122cos12sin2sin2sin200020020ldxlxnnllxnxnlxldxxnxldxlxnxldxlxnlxlxnlllllll 粒子的平均位置在勢箱的中央，說明它在勢箱左、右兩個半粒子的平均位置在勢箱的中央，說明它在勢箱左、右兩個半邊出現(xiàn)的幾率各為邊出現(xiàn)的幾率各為0.5，即，即 圖形對勢箱中心點是對稱的。圖形對勢箱中心點是對稱的。2n(c)由于由于

12、 無本征值無本征值.可按下式計算可按下式計算 的平均值。的平均值。 xnnxpxcxp,xp lnxnxdxxpxp00cossincossinsin22sin20200llldxlxnlxnlnihdxlnlxnlxnlihdxlxnldxdihlxnl 一維勢箱中粒子的歸一化波函數(shù)為：一維勢箱中粒子的歸一化波函數(shù)為： 式中式中 是勢箱的長度，是勢箱的長度，x是粒子的坐標(biāo)是粒子的坐標(biāo) 。 lxnlxnsin2 , 3 , 2 , 1nllx 0（a）分別畫出）分別畫出n=1和和n=2時粒子在勢箱中的幾率時粒子在勢箱中的幾率密度分布圖；密度分布圖；（b） 計算粒子在區(qū)間出現(xiàn)的幾率；計算粒子在區(qū)

13、間出現(xiàn)的幾率；（c）對照圖形，討論計算結(jié)果是否合理。）對照圖形，討論計算結(jié)果是否合理。 1.17解：（a）由上述表達(dá)式計算由上述表達(dá)式計算 ，并列表如下：，并列表如下： lxlxlnlx2sin2sin221 lxlxlxlx2sin2sin2222221 xx2221和01/81/41/33/81/200.2931.0001.5001.7262.00001.0002.0001.5001.0000lx/ 121/lx 122/lx5/82/33/47/811.7261.5001.0000.29301.0001.5002.0001.0000lx/ 121/lx 122/lx根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)作根據(jù)

14、表中所列數(shù)據(jù)作 圖示于圖圖示于圖1.17中。中。（b）粒子在）粒子在 狀態(tài)時，出現(xiàn)在狀態(tài)時，出現(xiàn)在 間的幾率為：間的幾率為： xxn21ll51. 049. 0和lldxxP51.049.021198. 0sin02. 1sin2102. 02sin212sin422sin2sin251. 049. 051. 049. 051. 049. 0251. 049. 02lllllllllxlxlxlxldxlxldxlxl0399. 0粒子在粒子在 狀態(tài)時，出現(xiàn)在狀態(tài)時，出現(xiàn)在 間的幾率為：間的幾率為：2ll51. 049. 0和 lldxxP51.049.02220001.049.04sin4149.051.04si