3離散傅里葉變換解析

1、第3章 離散傅里葉變換 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.1 引言引言 3.2 傅里葉變換的幾種可能形式傅里葉變換的幾種可能形式 3.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS） 3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)（離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)）的性質(zhì) 3.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 3.7 抽樣抽樣z變換變換頻域抽樣理論頻域抽樣理論 1 第3章 離散傅里葉變換 3.1 引引 言言 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長(zhǎng)離散序列，因此有由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長(zhǎng)離散序列，因此有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要，可以用

2、限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要，可以用 z變變換和序列的傅里葉變換來(lái)研究它。但是，這兩種變換無(wú)換和序列的傅里葉變換來(lái)研究它。但是，這兩種變換無(wú)法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列“有限長(zhǎng)有限長(zhǎng)”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（換（Discrete Fourier Transform，簡(jiǎn)寫(xiě)為，簡(jiǎn)寫(xiě)為DFT）。）。 作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在有效的變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由

3、于存在有效的快速算法快速算法快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。號(hào)處理的算法中起著核心作用。 2 第3章 離散傅里葉變換 3.2 傅里葉變換的幾種可能形式傅里葉變換的幾種可能形式 一連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率一連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率 傅里葉變換傅里葉變換 正變換：正變換： X(j?)?x(t)e1反變換：反變換： x(t)?2?j?tdtj?t?X(j?)ed?時(shí)域：時(shí)域：連續(xù)連續(xù)非周期非周期的時(shí)間函數(shù)的時(shí)間函數(shù) 頻域：頻域：非周期非周期連續(xù)連續(xù)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) 圖圖3-1連續(xù)非周期信號(hào)及其連續(xù)非周期信號(hào)及其 非周期、連續(xù)的頻譜密度非周期

4、、連續(xù)的頻譜密度 3 第3章 離散傅里葉變換 二連續(xù)時(shí)間、離散頻率二連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 1正變換：正變換： X(jk?0)?T0?T0/2?T0/2x(t)e?jk?0tdt反變換：反變換： x(t)?k?X(jk?)e0?jk?0t其中：時(shí)域周期為其中：時(shí)域周期為T(mén)0； 0 = 2 / T0為頻域譜線角頻率間隔為頻域譜線角頻率間隔 k 為諧波序號(hào)為諧波序號(hào) 時(shí)域：時(shí)域：連續(xù)連續(xù)周期周期的時(shí)間函數(shù)的時(shí)間函數(shù) 頻域：頻域：非周期非周期離散離散的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) 圖圖3-2連續(xù)周期信號(hào)及連續(xù)周期信號(hào)及 其非周期的離散譜線其非周期的離散譜線 4 第3章 離散傅里葉變換 三離散時(shí)

5、間、連續(xù)頻率三離散時(shí)間、連續(xù)頻率 序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換 正變換：正變換： X(e )?1反變換：反變換： x(n)?2?j?n?x(n)e?j?j?n?X(e)ej?nd? 由于序列由于序列x(n)可以看成是由模擬信號(hào)的抽樣可以看成是由模擬信號(hào)的抽樣得到的，現(xiàn)假設(shè)抽樣時(shí)間間隔為得到的，現(xiàn)假設(shè)抽樣時(shí)間間隔為T(mén)，抽樣頻率，抽樣頻率12?fs?,?s?為為 ，則變換對(duì)也可寫(xiě)成，則變換對(duì)也可寫(xiě)成 TT正變換：正變換： X(ej?T)?n?x(nT)e?s/2?s/2?jn?T1反變換：反變換： x(nT)?sX(ej?T)ejn?Td?5 第3章 離散傅里葉變換 時(shí)域：時(shí)域：離散離散非周期

6、非周期的時(shí)間函數(shù)的時(shí)間函數(shù) 頻域：頻域：周期周期連續(xù)連續(xù)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) 總結(jié)：總結(jié)：1 1）時(shí)域的連續(xù)對(duì)應(yīng)頻時(shí)域的連續(xù)對(duì)應(yīng)頻域的非周期，時(shí)域的非周期域的非周期，時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)；時(shí)域的對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)；時(shí)域的離散對(duì)應(yīng)頻域的周期，時(shí)域離散對(duì)應(yīng)頻域的周期，時(shí)域的周期對(duì)應(yīng)頻域的離散。的周期對(duì)應(yīng)頻域的離散。 2）三種變換中至少有一個(gè)三種變換中至少有一個(gè)域上是連續(xù)的，這不適于應(yīng)域上是連續(xù)的，這不適于應(yīng)圖圖3-3 離散非周期信號(hào)及離散非周期信號(hào)及 其周期性的連續(xù)譜密度其周期性的連續(xù)譜密度 用數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)的處理用數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)的處理. . 6 第3章 離散傅里葉變換 四離散時(shí)間、離散

7、頻率四離散時(shí)間、離散頻率 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 時(shí)域：時(shí)域：離散離散周期周期的時(shí)間函數(shù)的時(shí)間函數(shù) 頻域：頻域：周期周期離散離散的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) 離散傅里葉級(jí)離散傅里葉級(jí)數(shù)數(shù) 圖圖3-4 3-4 離散周期的時(shí)間函數(shù)及其周期離散的頻譜函數(shù)離散周期的時(shí)間函數(shù)及其周期離散的頻譜函數(shù) 7 第3章 離散傅里葉變換 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)對(duì)對(duì): 正變換：正變換： X(k)?x(n)en?0N?1?j2?knN 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)對(duì)為對(duì)為 ： 正變換：正變換： X(k)?x(n )en?0N?1?j2?nkN1反變換：反變換： x(n)?N?X(k)ek?0N?

8、1j2?knN1反變換：反變換： x(n )?X(k)eNk?0N?1j2?nkN說(shuō)明：說(shuō)明：離散傅里葉變換相當(dāng)于把序列的連續(xù)傅里離散傅里葉變換相當(dāng)于把序列的連續(xù)傅里葉變換加以離散化（抽樣），頻域的離散化造成葉變換加以離散化（抽樣），頻域的離散化造成時(shí)間函數(shù)也呈周期，故級(jí)數(shù)應(yīng)限制在一個(gè)周期之時(shí)間函數(shù)也呈周期，故級(jí)數(shù)應(yīng)限制在一個(gè)周期之內(nèi)（教材內(nèi)（教材P100）。）。 8 第3章 離散傅里葉變換 表表3-1 四種傅里葉變換形式的歸納四種傅里葉變換形式的歸納 時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù) 連續(xù)和非周期連續(xù)和非周期 頻率函數(shù)頻率函數(shù) 非周期和連續(xù)非周期和連續(xù) FT FT 2?0?非周期和離散（非周期和離散（ ）

9、FS FS T02?s?周期（周期（ ）和連續(xù)）和連續(xù) DTFT DTFT T2?2?0?周期（周期（? ）和離散（）和離散（ s?T0）T連續(xù)和周期連續(xù)和周期(T0) 離散離散(T)和非周期和非周期 離散離散(T)和周期和周期(T0) DFS DFS 離散傅里葉變換離散傅里葉變換DFT DFT 僅此變換對(duì)適合于在數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn)僅此變換對(duì)適合于在數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn) 結(jié)論結(jié)論 一個(gè)域的離散就必然造成另一個(gè)域的周期延拓，一個(gè)域的離散就必然造成另一個(gè)域的周期延拓，而一個(gè)域的非周期必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的連續(xù)。而一個(gè)域的非周期必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的連續(xù)。 9 第3章 離散傅里葉變換 3.3 周期序列的離

10、散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 一周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)（一周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的引入）的引入 x(n)是一個(gè)周期為是一個(gè)周期為N的周期序列，的周期序列， 即即 設(shè)設(shè) x(n)?x(n?rN) r為任意整數(shù)為任意整數(shù) 周期序列不是絕對(duì)可和的，故不能進(jìn)行周期序列不是絕對(duì)可和的，故不能進(jìn)行z變換，因變換，因?yàn)樵谌魏螢樵谌魏蝯值下，其值下，其z變換都不收斂，也就是變換都不收斂，也就是 n?n?|x(n)|z|? ?但周期序列可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，該級(jí)數(shù)但周期序列可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于周期為相當(dāng)于周期為N的成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列之和。的成諧波關(guān)系的復(fù)

11、指數(shù)序列之和。 10 第3章 離散傅里葉變換 e1(n)ek(n)?ek? rN(n)復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列ek(n)對(duì)對(duì)k呈現(xiàn)周期性，周期也為呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說(shuō)。也就是說(shuō), 離離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)獨(dú)立量，因而將周期序列個(gè)獨(dú)立量，因而將周期序列展開(kāi)成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取展開(kāi)成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取k=0 到到N-1這這N個(gè)獨(dú)立諧波個(gè)獨(dú)立諧波分量即可。分量即可。故故 可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即 x(n)2?knN1x(n)?N?X(k)ek?0N?1jk次諧波次諧波的系數(shù)的系數(shù) 11 第3章 離散傅里葉變換

12、 x(n)的的k次諧波系數(shù)次諧波系數(shù) X(k)的求法的求法 二二. 預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)： 1N?en?0N?1j2?rnN?1, r?mN ,1 1?e?2?jr0,其他rN?N1?ej2?knNj2?rNNm為整數(shù)為整數(shù) （3-14） 1x(n)?N?X(k)ek?0N?1?x(n)en?0N?1?j2?rnN1?Nn?0N?1jN?1N?1?k?0X(k)ej2?(k?r)nN?k?0N?1? 1X(k)?e?Nn?02?(k?r)nN?X(r)?mN )?j2?knNX(k)?X(k?mN )可證明可證明: : X(k)為一個(gè)周期為為一個(gè)周期為N即即 的周期序列的周期序列 X(k)?x(

13、n)en?0N?112 第3章 離散傅里葉變換 N?1n?02?knN正變換：正變換： X(k)?x(n)e1x(n)?反變換：反變換： NN?1k?0?j周周期期序序列列的的離離散散傅傅里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù)(DFS)對(duì)對(duì) j2?knN?X(k)e說(shuō)明：說(shuō)明：時(shí)域周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即時(shí)域周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即x(n)是頻域與是頻域與其系數(shù)）仍然是一個(gè)周期序列，其系數(shù)）仍然是一個(gè)周期序列， X(k)與與 時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)，是一對(duì)相互表達(dá)周期序列時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)，是一對(duì)相互表達(dá)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)系（這個(gè)關(guān)系是非常對(duì)稱的），的離散傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)系（這個(gè)關(guān)系是非常對(duì)

14、稱的），因此我們把上兩式一起看作是因此我們把上兩式一起看作是 周期序列的離散傅里周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)。）對(duì)。 13 第3章 離散傅里葉變換 三三. 離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法 定義定義 WN?e?j2?N離散傅里葉級(jí)數(shù)（離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)變?yōu)椋?duì)變?yōu)?X(k)?DFS x(n)?x(n)en?0N?1N?1?j2?nkN?x(n)Wn?0N?1nkN1x(n)?IDFS X(k)?X(k)eNk?0j2?nkN1N?1?nk?X(k)WNNk?0式中：式中：DFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換， IDFS表示離散傅里葉級(jí)

15、數(shù)反變換。表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。 14 第3章 離散傅里葉變換 例例3-1（教材（教材P103） 用DFS證明 1?(n?iN)?e?Nk?0i?N?1j2?nkN證明：該式說(shuō)明周期性抽樣序列串可以用復(fù)指數(shù)之證明：該式說(shuō)明周期性抽樣序列串可以用復(fù)指數(shù)之和來(lái)表示。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材和來(lái)表示。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材P104。 15 第3章 離散傅里葉變換 x(n)是周期為是周期為例例3-2（教材（教材P104）如圖如圖3-6（a）所示，）所示， N=10周期性矩形序列，其一個(gè)周期可表示為周期性矩形序列，其一個(gè)周期可表示為 ?1, 0?n?4x(n)?0, 5?n?9j?（3-27） x(n)的離散

16、傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) x(n)的的試討論試討論 X(k)與與 一個(gè)周期一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換 X(e )的關(guān)系。的關(guān)系。 (n)的傅里葉級(jí)數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)為 解：解：1）x X(k)?x(n)Wn?0?j?k 29kn10?Wn?04kn10?en?04?j2?kn101?e?j?k 51?e?j?ke(e?e)?j2?k 5sin(?k/2)（3-28） ?j?k 10j?k 10?j?k 10?ee(e?e)sin(?k/10)16 j?k 2?j?k 2第3章 離散傅里葉變換 圖圖3-6(a) 周期性矩形序列周期性矩形序列 圖圖3-6 (b) 周期性矩

17、形序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的幅度周期性矩形序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的幅度 17 第3章 離散傅里葉變換 2）周期序列）周期序列 x(n)的一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列x(n)的傅的傅里葉變換為：里葉變換為： X(e )?x(n)ej?n?04?j?n4?en?0?j?n1?e?j2?sin(5?/2)?e?j?1?esin(?/2)?j5?對(duì)比對(duì)比（3-28）式）式可見(jiàn)可見(jiàn) X(k)?X(e )j?2?k/10?e?j2?k5sin(?k/2)sin(?k/10)x(n)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 說(shuō)明：說(shuō)明：周期序列周期序列 X(k)等于等于 ? ( e j )

18、在在= 2 k/Nx(n)的一個(gè)周期的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換 X（這里（這里N=10，即為，即為 x(n)的周期）上的抽樣值。的周期）上的抽樣值。 18 第3章 離散傅里葉變換 |X(ej?)| 5o?2?3?4?圖圖 3-8 圖圖3-6和圖和圖3-7的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列的的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列的DFS 圖圖 3-7 對(duì)圖對(duì)圖3-6所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值 系數(shù)等于周期序列一個(gè)周期上的序列的傅里葉變換的采樣系數(shù)等于周期序列一個(gè)周期上的序列的傅里葉變換的采樣 19 第3章 離散傅里葉變換 3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

19、離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) x1(n) 和和 x2(n)皆是周期為皆是周期為N的周期序列，它們的周期序列，它們各自的各自的DFS分別為：分別為： X1(k)?DFS x1(n),X2(k)?DFS x2(n)一一. . 線性線性 DFS ax1(n)?bx2(n)?aX1(k)?bX2(k)（3-30） 式中式中a和和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為期序列，周期為N。 20 第3章 離散傅里葉變換 二二. . 序列的移位序列的移位 DFS x(n?m )?W?mkNX(k)?e2?jmkNX(k)（3-31） 證證: : DFS x(n?m )?x

20、(n?m )Wn?0N?1nkNN?1?m?i?mx(i)W WkiN?mkNW都是以都是以N為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)， x(i)及及 由于由于 N?1?mkiN?i?mx(i)W?x(i)W?X(k)kiNkiNi?0N?1 故故 DFS x(n?m )?W?mkN?x(i)Wi?0N?1kiN?W?mkNX(k)21 第3章 離散傅里葉變換 三調(diào)制特性三調(diào)制特性 DFS W x(n)?X(k?l)lnN（3-32） ?j2?lnN或或 IDFS X(k?l)?W x(n)?elnN2?jlnNx(n)證證: : lnNW?elnN?e?lnN2?jnN?lDFS W x(n)?W

21、 x(n)Wi?0N?1knN?x(n)Wn?0N?1(l?k)nN?X(k?l)說(shuō)明說(shuō)明 ?j該性質(zhì)表明對(duì)周期序列在時(shí)域乘以復(fù)指數(shù)該性質(zhì)表明對(duì)周期序列在時(shí)域乘以復(fù)指數(shù) 的的le2?nN次冪，則相當(dāng)于在頻域搬移次冪，則相當(dāng)于在頻域搬移l，稱為調(diào)制特性。，稱為調(diào)制特性。 22 第3章 離散傅里葉變換 四對(duì)偶性四對(duì)偶性 X(k)?DFS x(n)?x(n)en?0N?1N?12?jnkN?x(n)Wn?0N?1N?1nkN1x(n)?IDFS X(k)?X(k)eNk?0j2?nkN1?nk?X(k)WNNk?01從從DFS和和IDFS公式看出，它們只差公式看出，它們只差 N 因子和因子和WN的指

22、的指數(shù)的正負(fù)號(hào)數(shù)的正負(fù)號(hào),故周期序列故周期序列x (n)和它的和它的DFS系數(shù)系數(shù) X(k)是同是同一類函數(shù)，即都是離散周期的，因而也存在著一定的一類函數(shù)，即都是離散周期的，因而也存在著一定的對(duì)偶關(guān)系?？勺C明對(duì)偶關(guān)系如下：對(duì)偶關(guān)系?？勺C明對(duì)偶關(guān)系如下： DFS x(n)?X(k)DFS X(n)?Nx (?k) （3-35） （3-36） 23 第3章 離散傅里葉變換 五五. 周期卷積周期卷積 如果如果 則則 Y(k)?X1(k)?X2(k)N?1N?1y(n)?IDFS Y(k)?x1(m )x （） ?x2(m )x （）(3-37) 2n?m1n?mm?0m?0證證: : 1?kny(n

23、)?IDFS X1(k)X2(k)?X1(k)X（ ）WN2kNk?0N?1代入代入 X1(k)?x1(m )Wm?0N?1mkN24 第3章 離散傅里葉變換 得得 1y(n)?NN?1?(n?m)k?x1(m )X （2k）WNk?0m?0N?1N?1?1?x1(m )?m?0?NN?1?k?0N?1?(n?m)k?X （2k）WN?x1(m )x2(n?m )m?0將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式 y(n)?x2(m )x（1n?m）m?0N?125 第3章 離散傅里葉變換 由于由于DFS和和IDFS變換的對(duì)稱性，可證明變換的對(duì)稱性，可證明 時(shí)域

24、周期序時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果。即，如果 y(n)?x1(n)x2(n)則則 Y(k)?DFS y(n)?y(n)WNnkn?0N?11N?11N?1?X1(l)X2(k?l)?X2(l)X1(k?l)Nl?0Nl?0周期卷積和線性卷積的差異周期卷積和線性卷積的差異 x(n?m )x (m )x (n?m )1）x 和和 （或（或 和和 ）都是變量）都是變量m的的(m )1221周期序列，周期為周期序列，周期為N，故乘積也是周期為，故乘積也是周期為N的周期序列；的周期序列； 2）求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，即）求和只在一個(gè)周期上進(jìn)

25、行，即m =0到到N-1，所以稱為，所以稱為周期卷積。周期卷積。 26 第3章 離散傅里葉變換 計(jì)算周期卷積的說(shuō)明計(jì)算周期卷積的說(shuō)明 1 1）周期卷積過(guò)程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)周期卷積過(guò)程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的一個(gè)周期的同一位置的序列值就算區(qū)間時(shí)，相鄰的一個(gè)周期的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。移入計(jì)算區(qū)間。 2 2）運(yùn)算在）運(yùn)算在m =0到到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即在一個(gè)周期內(nèi)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即在一個(gè)周期內(nèi)將將 ? m )與與 逐逐點(diǎn)點(diǎn)相相乘乘后后求求和和，先先計(jì)計(jì)算算出出x x2 (n1(m )n=0,1, , N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，的結(jié)果，然后將所得結(jié)

26、果周期延拓，就得到所求的整個(gè)周期序列。就得到所求的整個(gè)周期序列。 27 第3章 離散傅里葉變換 計(jì)算區(qū)計(jì)算區(qū) 圖圖3-8 兩個(gè)周期序列（兩個(gè)周期序列（N=6）的周期卷積過(guò)程）的周期卷積過(guò)程 28 第3章 離散傅里葉變換 3.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示 一一. DFT的定義的定義 x(n)的關(guān)系的關(guān)系 1有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列和周期序列 設(shè)設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即，即 ?x(n) 0?n?N?1?x(n)?其他n?0為了引用周期序列的概念，可將它視為周期為為了引用周期序列的概念，可

27、將它視為周期為Nx(n)x(n)看成看成x(n)的的的周期序列的周期序列 的一個(gè)周期，而把的一個(gè)周期，而把 以以N為周期的周期延拓，為周期的周期延拓， 即表示成即表示成: 29 第3章 離散傅里葉變換 ?x(n) 0?n?N?1?x(n)?其他n?0 x(n)?r?(3-39) (3-40) ?x(n?rN)? 這個(gè)關(guān)系可以用這個(gè)關(guān)系可以用下圖下圖來(lái)表明。來(lái)表明。 把周期序列把周期序列x (n)的第一個(gè)周期的第一個(gè)周期n=0=0到到n= =N-1-1定義為定義為(n)主值區(qū)間內(nèi)的序列主值區(qū)間內(nèi)的序列“主值區(qū)間主值區(qū)間”。周期序列。周期序列x x( (n) )稱作稱作“主值序列主值序列”。 x(

28、n)與與 x(n)的關(guān)系可以這樣描述：的關(guān)系可以這樣描述： x(n)是是x(n)的周期延拓的周期延拓 x(n)的主值序列的主值序列 x(n)是是 30 第3章 離散傅里葉變換 圖圖 有限長(zhǎng)序列及其周期延拓有限長(zhǎng)序列及其周期延拓 31 第3章 離散傅里葉變換 周期序列還可表示為余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式的形式，即周期序列還可表示為余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式的形式，即 x(n)?x(nmod N)?x(n)N如果如果 n?n1?mN則有則有 0 n1N-1, m為整數(shù)表示（表示（n模模N）,即即“n 對(duì)對(duì)NN?n?n1?取余數(shù)取余數(shù)” ,或稱或稱“n對(duì)對(duì)N取取模值模值” ?n1?是是 其中其中 ?n?N的余數(shù)。的余數(shù)。

29、x(n)是周期為是周期為N=9的序列，則有：的序列，則有： 例：例：設(shè)設(shè) x(?5)?x?5?9?x(4)x(25)?x?25?9?x(7)(2-26) 32 x(8)?x(8)9? x(8)第3章 離散傅里葉變換 x(n)的關(guān)系表示成的關(guān)系表示成 利用矩形序列利用矩形序列RN(n)，可將，可將x(n)與與 x(n)?x?n?Nx(n)?x(n)RN(n)?x?n?NRN(n)(3-41) (3-42) X(k)與有限長(zhǎng)序列與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系的關(guān)系 2. 周期序列周期序列 頻域的周期序列頻域的周期序列 X(k)可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列的周

30、期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列可看成是周期序列 X(k)的主值序列，即的主值序列，即: X(k)?X(k)NX(k)?X(k)RN(k)?X(k)NRN(k)(3-43) (3-44) 33 第3章 離散傅里葉變換 3. 從從DFS到到DFT DFS與與IDFS的表達(dá)式為：的表達(dá)式為： X(k)?DFSx(n)?x(n)Wn?0N?1N?1nkN1?nkx(n)?IDFS X(k)?X(k)WNNk?0則則有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義: : X(k)?DFTx(n)?x(n)W ,正變換：正變換： nkNn?0N?10?k?N?11?nk(n)

31、?IDFT X(k)?X(k)WN,反變換：反變換：x Nk?0N?10?n?N?134 第3章 離散傅里葉變換 或簡(jiǎn)練的表示成或簡(jiǎn)練的表示成 X(k)?x(n)W RN(k)?X(k)RN(k)nkNN?1(3-45) (3-46) 1?nkx(n)?X(k)WNRN(n)?x(n)RN(n)Nk?0n?0N?1x(n)和和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。稱式稱式(3-45)為為x(n)的的N點(diǎn)離散傅里葉變換點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱式稱式(3-46)為為X(k)的的N點(diǎn)離散傅里葉反變換點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。 說(shuō)明說(shuō)明 凡是說(shuō)到

32、離散傅里葉變換關(guān)系之處，有限長(zhǎng)序凡是說(shuō)到離散傅里葉變換關(guān)系之處，有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的，都隱含列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的，都隱含有周期性意義。有周期性意義。 35 第3章 離散傅里葉變換 例（補(bǔ)充）：例（補(bǔ)充）：已知已知x(n)=cos( n/6)是一個(gè)長(zhǎng)度是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的的有限長(zhǎng)序列，有限長(zhǎng)序列， 求它的求它的N點(diǎn)點(diǎn)DFT 解：解： 由由DFT的定義式的定義式 。 n?nkX(k)?cosW126n?011n?n?j?j?1?e6?e6n?02?11?nk?j212e?1?e2?n?011?j2?n(k?1)12?en?011?j2?n(k?1)12?(0

33、?k?11)利用復(fù)指數(shù)序列的正交特性，再考慮到利用復(fù)指數(shù)序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)的取值區(qū)間，可得間，可得 ?6 k?1,11X(k)?0 其他k,k?0,1136 第3章 離散傅里葉變換 x(n)X(k)0 1 211n0111n圖圖 有限長(zhǎng)序列及其有限長(zhǎng)序列及其DFT 37 第3章 離散傅里葉變換 二二. DFT與序列傅里葉變換、與序列傅里葉變換、z變換的關(guān)系變換的關(guān)系（補(bǔ)充）（補(bǔ)充） 若若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，其，其z變換變換 2?X(z)?x(n)z?kW?表明表明 是是z平面單位圓上幅角為平面單位圓上幅角為? Nn?0的點(diǎn)，也即將的點(diǎn)，也

34、即將z平面單位圓平面單位圓N等分后的等分后的?k第第k點(diǎn)，故點(diǎn)，故X(k)也就是對(duì)也就是對(duì)X(在在 z平面單平面單z?WNz)比較比較Z變換與變換與DFT，我們看到，當(dāng)，我們看到，當(dāng) 時(shí)時(shí)位圓上位圓上NN?1點(diǎn)等間隔采樣值點(diǎn)等間隔采樣值 nkX(z)z?W?k?x(n)WN?DFT x(n)?kNN?1?nNn?0即即 X(k)?X(z)z?W?k?ej(2N?)kNDFT與與z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 38 第3章 離散傅里葉變換 此外，此外， 由于序列的傅里葉變換由于序列的傅里葉變換X(ej)即是單位圓上的即是單位圓上的z變換，可得變換，可得 DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為與序列傅里葉變換的關(guān)

35、系為 ?X(k)?X(ej?)2?X(ejk?N)?k?N?2?N?N?上式說(shuō)明上式說(shuō)明X(k)也可看作序列也可看作序列x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(ej)在在區(qū)區(qū)間間0,2 上上的的N點(diǎn)點(diǎn)等等間間隔隔采采樣樣,其其采采樣樣間間隔隔為為N=2 / N,這就是這就是DFT的物理意義。的物理意義。 注意：注意：DFT的變換的變換區(qū)間長(zhǎng)度區(qū)間長(zhǎng)度N不同不同,表示對(duì)表示對(duì)X(ej)在區(qū)間在區(qū)間0,2 上的采樣上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，故間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，故DFT變換結(jié)果也不同。變換結(jié)果也不同。 39 第3章 離散傅里葉變換 jIm(z) o?2WN?1WN0WNk0?(N?2)WN?(N?3

36、 )WNX(ej?)X(k)Rezo?圖圖 DFT與序列傅里葉變換、與序列傅里葉變換、z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 40 第3章 離散傅里葉變換 3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 設(shè)序列都是設(shè)序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT表示表示N點(diǎn)點(diǎn)DFT，且設(shè)，且設(shè): DFTx1(n)=X1(k)， DFTx2(n)=X2(k) 一一. . 線性線性 DFT ax1(n)?bx2(n)?aX1(k)?bX2(k)式中，式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。定義證明。 41 第3章 離散傅里葉變換 二二. . 序列的圓周移位序列的圓周移位（）

37、1. 定義：定義： 一個(gè)長(zhǎng)度為一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為：的圓周移位定義為： xm(n)=x(n+m )NRN(n) 圓周移位的過(guò)程：圓周移位的過(guò)程： （3-50） 1）將將x(n)以以N為為周周期期進(jìn)進(jìn)行行周周期期延延拓拓得得到到周周期期序序x(n)?x(n)N列列 ; 2）將）將 加以移位，得到加以移位，得到 x(n?m )?x(n?m )x(n)N3）對(duì)移位的周期序列）對(duì)移位的周期序列 x(n ?m )取主值區(qū)間（取主值區(qū)間（n=0 到到N-1）上的序列值，即）上的序列值，即x(n+m )NRN(n)。 42 第3章 離散傅里葉變換 x(n)2(a)0N

38、1n(e)oN2N1x(n)1n 0 x(n)(b)0N1n( f )21n 0N2N1x(n?2)?x(n?2)N(c)0N1n( g )21n 0 x(n?2 )NRN(n)(d )0N1nN2N1圖圖 圓周移位過(guò)程示意圖圓周移位過(guò)程示意圖 43 第3章 離散傅里葉變換 顯然一個(gè)有限長(zhǎng)序列顯然一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位序列的圓周移位序列xm(n)仍仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列,見(jiàn)上圖見(jiàn)上圖(a)( d)。 由由圖圖可可見(jiàn)見(jiàn),由由于于是是周周期期序序列列的的移移位位,故故只只觀觀察察 0 nN-1 這一主值區(qū)間時(shí)這一主值區(qū)間時(shí),某一采樣從該區(qū)間的一端某一采樣

39、從該區(qū)間的一端移出時(shí)移出時(shí),與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。移進(jìn)。因而因而,可以想象可以想象x(n)是排列在一個(gè)是排列在一個(gè)N等分的圓周等分的圓周上上,序列序列x(n)的圓周移位的圓周移位, 就相當(dāng)于就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋在此圓周上旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn),如上圖如上圖(e) (g)所示所示,因而稱為圓周移位。因而稱為圓周移位。若將若將x(n)向左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)向左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn); 將將x(n)向右圓向右圓周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 此外，如果圍繞圓此外，如果圍繞圓周觀察幾圈，周觀察幾圈， 那么看到

40、的就是周期序列那么看到的就是周期序列 x(n)。 44 第3章 離散傅里葉變換 2. 時(shí)域圓周移位定理時(shí)域圓周移位定理 (教材教材P112) 設(shè)設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，的有限長(zhǎng)序列，xm(n)為為x(n)圓周移位，即圓周移位，即 xm(n)?x(n?m )NRN(n)則圓周移位后的則圓周移位后的DFT為為 Xm(k)?DFT Xm(n)?DFT x(n?m )NRN(n)?W證：證：利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 DFS x(n?m )N?DFS x(n?m )?W?mkN?mkNX(k)X(k)（據(jù)（據(jù)DFS和和DFT關(guān)系）關(guān)系） DFT

41、x(n?m )NRN(n)?DFT x(n?m )RN(n)?W?mkNX(k)RN(k)?W?mkNX(k)45 第3章 離散傅里葉變換 3. 頻域圓周移位定理頻域圓周移位定理(教材教材P113) 對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在，也可看成是分布在一個(gè)一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)： 若若 X(k)?DFT x(n)則則 IDFTX(k?l)NRN(k)?W x(n)?enlN?j2?nlNx(n)這就是這就是調(diào)制特性調(diào)制特性

42、。它說(shuō)明，。它說(shuō)明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。頻域的圓周移位。 46 第3章 離散傅里葉變換 三三. 圓周卷積圓周卷積（） 1時(shí)域圓周卷積定理時(shí)域圓周卷積定理 （0 nN-1），且有：），且有： 頻域序列相乘，乘積頻域序列相乘，乘積的的IDFT等等于于它它們們各各自自IDFT的圓周卷積的圓周卷積 設(shè)設(shè)x1(n)和和x2(n)都都是是點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)為為N的的有有限限長(zhǎng)長(zhǎng)序序列列DFT x1(n)?X1(k),DFT x2(n)?X2(k)稱該運(yùn)算為稱該運(yùn)算為x (n)和和1若若 x (n)的的N點(diǎn)點(diǎn)圓圓周周卷卷2Y(k)?X1(k)X2(k)積積 則則 ?y(n)?IDF

43、T Y(k)?x1(m )x2(n?m )N?RN(n)?m?0?N?1?N x2(n)?x2(m )x1(n?m )N?RN(n)?x1(n)?m?0?47 N?1第3章 離散傅里葉變換 x2(n)作周期卷積作周期卷積x1(n)和和 證：證： 這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列 后再取其主值序列。先將后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，周期延拓， 即即 Y(k)?X1(k)X2(k)（據(jù)（據(jù)DFS的周期卷積公式）的周期卷積公式） N?1N?1y(n)?x1(m )x2(n?m )?x1(m )Nx2(n?m )Nm?0m?0（ ） y(n)?y(n)RN(n)?x1(m )x2

44、(n?m )NRN(n)m?0N?1經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單換元，也可證明經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單換元，也可證明 y(n)?x2(m )x1(n?m )NRN(n)m?0N?148 第3章 離散傅里葉變換 圓周卷積過(guò)程圓周卷積過(guò)程 1）畫(huà)出）畫(huà)出x1(m )和和x2(m )； 2）將將x2(m )周期化，形成周期化，形成x2(m )N； 3）反轉(zhuǎn)形成）反轉(zhuǎn)形成x2(- m )N，取主值序列得取主值序列得x2(- m )NRN(m ), 稱之為稱之為x2(m )的圓周反轉(zhuǎn)的圓周反轉(zhuǎn); 4)對(duì)對(duì)x2(m )的圓周反轉(zhuǎn)序列的圓周反轉(zhuǎn)序列x2(- m )NRN(m )圓周移位圓周移位n，形成形成x2(n-m )NRN(m )； 5)

45、當(dāng)當(dāng)n=0,1,2,N-1時(shí)，分別將時(shí)，分別將x1(m )與與x2(n-m )NRN(m )相乘相乘,并在并在m =0 到到N-1 區(qū)間內(nèi)求和區(qū)間內(nèi)求和,得到圓周卷積得到圓周卷積y(n)。 卷積過(guò)程可以用卷積過(guò)程可以用圖圖3-12來(lái)表示。來(lái)表示。 49 第3章 離散傅里葉變換 x2(1m )NRN(m )1oN1x2(2m)NRN(m)m1oN1N(n)y(n)x1(n) x2m332211N1no圖圖 3-12 圓周卷積過(guò)程示意圖圓周卷積過(guò)程示意圖 50 第3章 離散傅里葉變換 特點(diǎn)特點(diǎn) 1）它和周期卷積過(guò)程是一樣的，只不過(guò)要取主值序列）它和周期卷積過(guò)程是一樣的，只不過(guò)要取主值序列. 2）兩

46、個(gè)長(zhǎng)度小于等于）兩個(gè)長(zhǎng)度小于等于N的序列的的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為N，這與一般的線性卷積不同。，這與一般的線性卷積不同。 N 圓周卷積用符號(hào)來(lái)表示。圓周卷積用符號(hào)來(lái)表示。 圓周內(nèi)的圓周內(nèi)的N表示所作表示所作的是的是N點(diǎn)圓周卷積。則時(shí)域圓周卷積公式又可寫(xiě)作點(diǎn)圓周卷積。則時(shí)域圓周卷積公式又可寫(xiě)作 y(n)?x1(n)或或 N x2(n)?x1(m )x2(n?m )NRN(n)m?0N?1y(n)?x2(n)N x1(n)?x2(m )x1(n?m )NRN(n)m?051 N?1第3章 離散傅里葉變換 2頻域圓周卷積定理頻域圓周卷積定理 若若 y(n)?x1(n)x2(n)

47、x1(n)，x2(n)皆為皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則 1N?1Y(k)?DFTy(n)?X1(l)X2(k?l)NRN(k)Nl?011?X2(l)X1(k?l)NRN(k)?X1(k)Nl?0NN?1N X2(k)上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：時(shí)域序列相乘，乘積的時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)等于各個(gè)DFT的圓周卷積再乘以的圓周卷積再乘以1/ N。 52 第3章 離散傅里葉變換 四四. 有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積（） 時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的的乘積乘積,而計(jì)算而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法可以采用它

48、的快速算法快速傅快速傅里葉變換（里葉變換（FFT),因此圓周卷積與線性卷積相比因此圓周卷積與線性卷積相比,計(jì)計(jì)算速度可以大大加快。但是實(shí)際問(wèn)題大多總是要求算速度可以大大加快。但是實(shí)際問(wèn)題大多總是要求解線性卷積解線性卷積,例如信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)例如信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng),其輸出其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)的線性卷積。就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)的線性卷積。 研究研究 內(nèi)容內(nèi)容 ?如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)都如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)都是有限長(zhǎng)序列，那么是否能用圓周卷積是有限長(zhǎng)序列，那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？

49、53 第3章 離散傅里葉變換 設(shè)設(shè)x1(n)是是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0 nN1-1），），x2(n)是是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0 nN2-1）。）。 1. x1(n)與與x2(n)的線性卷積的線性卷積 yl(n)?x1(n)?x2(n)?m?x(m )x (n?m )12?yl(n)是是N1+N2-1 點(diǎn)有限長(zhǎng)序列點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷x2(n-m )的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為 ： 0 n-m N2-1 積的兩序列的長(zhǎng)度之和減積的兩序列的長(zhǎng)度之和減1。 x1(m )的非零區(qū)間為：的非零區(qū)間為： 0 m N1-1 yl(n)的

50、非零區(qū)間為的非零區(qū)間為 ： 0 nN1+N2-2 54 第3章 離散傅里葉變換 2. x1(n)與與x2(n)的圓周卷積的圓周卷積 L x2(n)是是兩兩序序列列的的L點(diǎn)點(diǎn)圓圓周周卷卷積積， 設(shè)設(shè)y(n)=x1(n)LmaxN1, N2，這就要將，這就要將x1(n)與與x2(n)都看成是都看成是L點(diǎn)點(diǎn)的序列。即的序列。即 ?x1(n),x1(n)?0,?x2(n),x2(n)?0,0?n?N1?1N1?n?L?10?n?N2?1N2?n?L?1L?1則則 y(n)?x1(n)L x2(n)?x1(m )x2(n?m )LRL(n)m?055 第3章 離散傅里葉變換 將序列將序列x1(n)與與x

51、2(n)以以L為周期進(jìn)行周期延拓為周期進(jìn)行周期延拓 x1(n)?x1(n)L?x2(n)?x2(n)L?k?x(n?kL)1r?x (n?rL)2?它們的周期卷積序列為它們的周期卷積序列為 y(n)?x1(m )x2(n?m )?x1(m )?x2(n?rL?m )m?0?m?0r?L?1L?1?r?x (m )x (n?rL?m )?y(n?rL)12lm?0r?L?1注意：注意：若周期卷積的周期若周期卷積的周期L N1+N2-1,則則yl(n)的周期延的周期延拓出現(xiàn)混疊現(xiàn)象拓出現(xiàn)混疊現(xiàn)象.只有在只有在LN1+N2-1時(shí)時(shí),才沒(méi)有交疊現(xiàn)象才沒(méi)有交疊現(xiàn)象. 56 第3章 離散傅里葉變換 圓周卷

52、積正是周期卷積取主值序列，即圓周卷積正是周期卷積取主值序列，即 y(n)?x1(n)L x2(n)?y(n)RL(n)因此因此 ?y(n)?yl(n?rL)?RL(n)?r?L點(diǎn)圓周卷積點(diǎn)圓周卷積y(n)是線性是線性卷積卷積y1(n)以以L為周期的周為周期的周期延拓序列的主值序列期延拓序列的主值序列 圓周卷積等于線性卷積的必要條件圓周卷積等于線性卷積的必要條件 L?N1?N2? 157 第3章 離散傅里葉變換 y(n)?x1(n)L x2(n)?x1(m )x2(n?m)LRL(n)m?0L?1L x (n)x1(n) 2x1(n)1(a)N140123x2(n)1(b)N25n(d)4321

53、012345Lx1(n) x (n)2L6nL8(e)01234y1(n)43211012345 6789 10nN1N2 18n432101234567Lx1(n) x2(n)n(c)( f )4321L100123456789n圖圖3-13 線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積 58 第3章 離散傅里葉變換 五五. 圓周共軛對(duì)稱性圓周共軛對(duì)稱性 1周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量 周期為周期為N的周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量定義為：的周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量定義為： 11*xe(n)?x(n)?x (?n)?x(n)N?x (N?

54、n)N2211*xo(n)?x(n)?x (?n)?x(n)N?x*(N?n)N22可以證明，它們滿足可以證明，它們滿足 *xe(n)?xe(?n)則有下式成立：則有下式成立： xo(n)? ?x (?n)x(n)?xe(n)?xo(n)59 *o第3章 離散傅里葉變換 2有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量 設(shè)有限長(zhǎng)序列設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為N點(diǎn)，則它的圓周共軛對(duì)點(diǎn)，則它的圓周共軛對(duì)稱分量稱分量xep(n)和圓周共軛反對(duì)稱分量和圓周共軛反對(duì)稱分量xop(n)分別定義為：分別定義為： 1*xep(n)?xe(n)RN(n

55、)?x(n)N?x (N?n)NRN(n)21*xop(n)?xo(n)RN(n)?x(n)N?x (N?n)NRN(n)2由于由于 x(n)?x(n)RN(n)?xe(n)?xo(n)RN(n)?xe(n)RN(n)?xo(n)RN(n)所以所以 x(n)?xep(n)?xop(n)60 說(shuō)明：長(zhǎng)為說(shuō)明：長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。的有限長(zhǎng)序列可分解為長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。 第3章 離散傅里葉變換 3DFT的一些對(duì)稱性質(zhì)的一些對(duì)稱性質(zhì) 設(shè)設(shè) DFT x(n)?DFT?Re x(n)+jIm x(n)?X(k)，則有，則有 *DFTx (n)?X (?k) R (k)?X (N

56、?k)NRN(k)（1） NN式中：式中：x*(n)為為x(n)的共軛復(fù)序列。的共軛復(fù)序列。 證明：證明： DFT x*(n)?x*(n)WNnkRN(k)n?0N?1?x(n)Wn?0N?1n?0N?1 ?nkW*NNN?j2?n?e?e? 1 R (k)?X (?k)NRN(k)nN?j2?nNN*(N?k)n *?x(n)WNNnWN?nk*RN(k)?x(n)WN RN(k)n?0N?1?X*(N?k)NRN(k)（2）D FTx*(?n)NRN(n)?DFTx*(N?n)NRN(n)?X*(k)61 第3章 離散傅里葉變換 1*DFTRe x(n)?X(k)?X (N?k)NRN(k

57、)?Xep(k)（3） N2證明：證明： 1*Rex(n)?x(n)?x (n)21*?DFTRe x(n)?DFTx(n)?DFTx (n)21?X(k)?X*(N?k)NRN(k)21*?X(k)N?X (N?k)NRN(k)?Xep(k)2說(shuō)明：復(fù)序列實(shí)部的說(shuō)明：復(fù)序列實(shí)部的DFT等于序列等于序列DFT的圓周共軛對(duì)稱分量的圓周共軛對(duì)稱分量 （3） DFTjIm x(n)?1X(k)?X*(N?k) R (k)?X (k)NNNop2說(shuō)明：復(fù)序列虛部乘以說(shuō)明：復(fù)序列虛部乘以j的的DFT等于序列等于序列DFT的圓周共軛的圓周共軛反對(duì)稱分量反對(duì)稱分量 。 62 第3章 離散傅里葉變換 六六DF

58、T形式下的帕薩瓦定理形式下的帕薩瓦定理 N?11*x(n)y (n)?X(k)Y*(k)?Nk?0n?0N?1（令（令y(n)=x(n)） 1序列在時(shí)域計(jì)算的序列在時(shí)域計(jì)算的x(n)x (n)?X(k)X*(k)?能量與在頻域計(jì)算能量與在頻域計(jì)算Nn?0k?0*N?1N?1的能量是相等的的能量是相等的 12|x(n)|?|X(k)|?Nk?0n?02N?1N?163 第3章 離散傅里葉變換 3.7 抽樣抽樣z變換變換頻域采樣理論頻域采樣理論 時(shí)域抽樣：時(shí)域抽樣：對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào)對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜所得抽樣

59、信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓的周期延拓,因此因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域抽樣頻域抽樣: 對(duì)一有限長(zhǎng)序列進(jìn)行對(duì)一有限長(zhǎng)序列進(jìn)行DFT所得所得X(k)就是序就是序列傅氏變換的采樣，所以列傅氏變換的采樣，所以DFT就是頻域抽樣。就是頻域抽樣。 研究研究 內(nèi)容內(nèi)容 ?是否對(duì)于任意一個(gè)序列（或者說(shuō)任意是否對(duì)于任意一個(gè)序列（或者說(shuō)任意一個(gè)頻率特性）都能用頻率采樣的辦法一個(gè)頻率特性）都能用頻率采樣的辦法來(lái)逼近呢？其限制條件是什么呢？來(lái)逼近呢？其限制條件是什么呢？ 64 第3章 離散傅里葉變換 設(shè)一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列設(shè)一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列

60、x(n)，其，其z變換為變換為 X(z)?n?x(n)z?nx(n)絕對(duì)可和絕對(duì)可和,其傅里葉變換存在且連續(xù)其傅里葉變換存在且連續(xù),故故z變換收斂變換收斂域包括單位圓域包括單位圓.對(duì)對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣：點(diǎn)等距采樣： X(k)?X(z)z?W?k?Nn?x(n)W?nkNk?0 ,1 ,?N?1?采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列問(wèn)題問(wèn)題 x(n)。即頻率采樣后從。即頻率采樣后從X(k)的反變換中所獲的反變換中所獲得的有限長(zhǎng)序列得的有限長(zhǎng)序列xN(n)=IDFTX(k)，能不，能不能代表原序列能代表原序列x(n)？ 65 第3