(完整版)數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想和方法

1、22ln 2.1數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力橋梁能否有意識地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，下 面我們一起來看一看吧！一、方程思想方程思想就是通過設(shè)元建立方程，研究方程解決問題的方法在解數(shù)列問題時(shí)，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程(組)，是解數(shù)列問題基本方法例1已知等差數(shù)列an的公差d是正數(shù)，且a3a712,a4a64,求其前n項(xiàng)和Sn。解：由等差數(shù)列an知:a3a7a4a6，從而玄3玄712,a3a74,故a3, a7是方程X24x120的兩根,又d 0,解之，得：

2、a36, a72。再解方程組：a 2d6a1105a 6d2d 2所以Sn10nn(n1)。法二、基本量法，建立首項(xiàng)和公差的二元方程知三求二點(diǎn)評：本題利用了a3a7a4a6這一性質(zhì)構(gòu)造了二次方程巧妙的解出了a?672，再利用方程求得了首項(xiàng)與公差的值， 從而使問題得到解決， 由此可知在數(shù)列解題時(shí)往往可借助方程的思想 與anamapaq(或a.amapaq)找出解題的捷徑。關(guān)注未知數(shù)的個(gè)數(shù)，關(guān)注獨(dú)立方程的個(gè) 數(shù)。點(diǎn)評基本量法：性質(zhì)法 技巧備用：設(shè)an是公比大于 1 的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和. 已知 S3= 7,且 ai+ 3,3a2, a3+ 4 構(gòu)成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的

3、通項(xiàng)；(2) 令 bn= ln a3n+1, n= 1,2,求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.a1+ a2+ a3= 7,解(1)由已知得a1+3+a3+4解得 a2= 2.2= 3a2,2設(shè)數(shù)列an的公比為 q,由 a2= 2,可得 a1=_, a3= 2q,q22又 S3= 7,可知 一 + 2 + 2q= 7,即 2q2 5q+ 2= 0.q1解得 q1= 2, q2= ?.由題意得 q 1, / q = 2,a1= 1.故數(shù)列an的通項(xiàng)為 an= 2n1.由于 bn= ln a3n+1, n = 1,2,，由(1)得 a3n+1= 23n,二 bn= ln 23n= 3nln 2.又

4、bn+1 bn= 3ln 2, bn是等差數(shù)列，3n n + 1故 Tn=.Tn= b1+ b2+ + bn=n b1+ bn3n n + 1ln 2.2小結(jié)：方程思想是數(shù)學(xué)解題中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在數(shù)列間題中的應(yīng)用 ?？梢院啙嵦幚硪恍┢渌枷敕椒y以解決的數(shù)列問題。在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式 an和前 n項(xiàng)和公式 Sn共涉及五個(gè)量：ai，an, n, q(d), Sn,其中首項(xiàng) ai和公比 q(公差 d)為基本量，知三求 二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于 ai，an，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量.二、函數(shù)思想函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考察數(shù)學(xué)

5、對象數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識理解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.例 2、已知等差數(shù)列an中，ai29,Si。S,則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？ 尋求通項(xiàng)，借助數(shù)列的單調(diào)性解決又Q ai290，ai50, ai60當(dāng)n i5時(shí)，Sn取得最大值。又a 29，d 2an29 (n i) ( 2) 2n 3i令an0,Q n i5,n N，所以數(shù)列首項(xiàng)為正，公差為負(fù)，前i5項(xiàng)為正，從第i6項(xiàng)開始為負(fù),i5 i4所以前i5項(xiàng)的和最大，且S5i5ai225。思路 2:從函數(shù)的代數(shù)角度來分析數(shù)列問題i0 9解：Q Si0S20, i0aid 20ai2又ai29,d 2Snan (n i)dn23

6、0n10 920 19解QS10S20,10a1d 20a1d,22又a129,d 2an29(n 1)(2)2n 31令an0,Q n 15, nN，所以數(shù)列首項(xiàng)為正，公差為負(fù),前15項(xiàng)為正,從第16項(xiàng)開始為負(fù)，所以前15項(xiàng)的和最大15 14S1515a1d225。2巧用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，關(guān)注數(shù)列的單調(diào)性解:QSi0S20,aiiai2ai3Lai9a200,由等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)可得:5(ai5ai6)0，d2a20aii3Snnaidn30nn i22(n i5)225當(dāng)n i5時(shí)，Sn取得最大值225。思路 3 :從函數(shù)圖象入手，數(shù)形結(jié)合2解：設(shè)SnAn Bn，數(shù)列對應(yīng)的圖象是過原點(diǎn)的

7、拋物線上孤立的點(diǎn)，又Q a129 0,So S20,42當(dāng)n 15時(shí)，Sn取得最大值。四種方法的比較設(shè)數(shù)列an的公差為d,TSo=S20,0X920X19 10X29+d=20X29+d,2 2解得d= 2,- an= 2n+ 31,設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，an0, 則需an+1w0,2n+ 310,即2n+ 1+ 3K 0,-14.5wnW15.5,n N ,n=15.方法二 設(shè)數(shù)列an的公差為d,/S10=S20,10X920X1910X29+d=20X29+d,解得d= 2.d2d等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=尹2+ (a1刁n是關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，根據(jù)其圖象的對稱, 10+ 2

8、0性，由$0=$0,知x=2= 15 是其對稱軸，由d= 2 知二次函數(shù)的圖象開口向下， 故n= 15 時(shí)Sn最大.備用：數(shù)列an中，anm21 n, n N，求數(shù)列an的最大項(xiàng)。.小結(jié)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的最值問題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時(shí)，若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時(shí)，均可考慮 采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題.值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或1,2,3 ,，n，這一特殊性對問題結(jié)果可能造成影響.三、分類討論思想復(fù)雜問題無法一次性解決，常需分類研究，化整為零，各個(gè)擊破.數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的分類討論的 問題.分類討論是一種

9、邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略，在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用 .所謂分類討論，是在討論對象明確的條件下，按照同一的分類標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏、不越級的原則下進(jìn)行 的.它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法例3、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn32n，求an。解：(1)當(dāng)n 1時(shí)，a s15；(2)當(dāng)n 2時(shí)，anSnSn 12n2n12n1；對稱軸為n10 2015且開口向下，105綜合(1) (2)可知an2n 1n 2點(diǎn)評：此例從分的體現(xiàn)了an與sn的關(guān)系中隱含了分類討論思想, 必須為正整數(shù)。2備用：已知數(shù)列bn的前n項(xiàng)和snn18n,試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式 分析：解

10、題的關(guān)鍵是求出數(shù)列bn對值.故需分類探討.解：當(dāng) n=1 時(shí)，b-i當(dāng) n2時(shí)，2bnSnSn 1n當(dāng) 1n9時(shí)，bn當(dāng) 1n 10 時(shí)，bn0.從而bn|18n；b1b2Sn1n22n時(shí),Tn=bib2bn=b12nbg do18n 2( 9218b2bnSn2Sg9)n218n162.n218n,(12n 18n 162,( n小結(jié)：數(shù)列中的分類討論多涉及對公差d、公比近幾年高考的熱點(diǎn)-Tn=9)10)q、項(xiàng)數(shù) n的討論，特別是對項(xiàng)數(shù) n 的討論成為四、整體的思想整體思想就是從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其它整體處理后，達(dá)到簡捷地解題 的目的例4、在等差數(shù)列 an中,已知ai

11、a4ay9,a2a5a815, 求a3a6ag的值。解:Q a2asa8(a1a4a7)3d,d 2,a3a6ag(a2asa8)3d21例 4、在等比數(shù)列a*中，aga10a(a0),a1ga20b,分析貝V agga100_ .根據(jù)題設(shè)條件可知a19+ a20a9+ a1010a99+ a100而=q90，故可整體代入求解.a9+ a10解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,6107ai9+ a20則=qa9+ aio故 a99+ aioo=答案b8a小結(jié)：解決此題如果不把它與整體思想聯(lián)系起來，那么直接解決要走很多彎路也不容易直接求 出它的準(zhǔn)確答案，因此此題應(yīng)用了整體思想來解決了數(shù)列問題是非常重

12、要的備用：已知數(shù)列bn為等差數(shù)列，前 12 項(xiàng)和為 354，前 12 項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為 27:32 ,求公差 d . 分析：此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解, 想去解決,解法十分簡捷.解：由題意令奇數(shù)項(xiàng)和為 27x，偶數(shù)項(xiàng)和為 32x. 因?yàn)椋簹?7x 32x 59x 354,所以：x 6.而32x 27x 5x 306d, d 5.五、轉(zhuǎn)化與化歸的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題.這是解決數(shù)列問題重要方法 .例 5.已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn 14an2(n N*)，求an的通項(xiàng)公式。

13、分析與略解：當(dāng) n2 時(shí)，Sn 14an2,Sn4an 12。兩式相減，得an 1Sn 1Sn4an4an 1,可見an 12an是公比為 2 的等比數(shù)列。得a25,則a22a13。因此an 12an3 2n 1兩邊同除以2n 1，得13，公差為丄的等差數(shù)列。因此24從而an(3n1)2nba，a99+ aioo又a9+ aio90/ 10、9=q = (q )=計(jì)算量較大，注意考慮用整體思an 12 an2(an2anJ。又a1a2S24a12,a11,an 12* 1an2n33(常數(shù))，4an2f(n 1)48評析：本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列

14、，隨 著化歸的進(jìn)行。問題降低了難度。109六、類比的思想方法女口：數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)以及等差數(shù)列與等比數(shù)列之間概念和性質(zhì)的類比等。類比等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、前n 項(xiàng)和，可以得出對等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究;類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式，可以得出對數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究。類比思想 的應(yīng)用是本章的主要特色。還有一些重要的思想方法，如遞推思想、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造模型等思想方法。數(shù)列問題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法來解決非常重要，具體應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中靈活多變，如果我們掌握 了數(shù)學(xué)思想方法解題的一些常用技巧，在解決數(shù)列的時(shí)候認(rèn)真分析，巧妙地應(yīng)用八種數(shù)學(xué)思想方法 中

15、的一種來解決，那么解題就變得簡單多了在高中數(shù)學(xué)中，我們也可以應(yīng)用這些思想方法來解決 相關(guān)數(shù)學(xué)問題并且學(xué)好這些思想方法我們也可以來解決其它數(shù)學(xué)知識方面的難點(diǎn)問題預(yù)習(xí)作業(yè)：1 設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和(n N ),2且E_9S2,S44S2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 答案 an= 36(2 n 1)解析 設(shè)等差數(shù)列 an的公差為 d,由前 n 項(xiàng)和的概念及已知條件得a2= 9(2ai+ d),4ai+ 6d= 4(2ai+ d ) 由得 d = 2ai,代入有 a1= 36ai,解得 ai= 0 或 ai= 36.將 ai= 0 舍去.因此 ai= 36, d= 72,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 36+ (n i) 72= 72n 36= 36(2n i).2.若