第三章遠(yuǎn)期與期貨定價

1、Financial Engineering 授課人：王正文 講 師 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 郵箱：遠(yuǎn)期價值遠(yuǎn)期價值是指遠(yuǎn)期合約本身的價值。關(guān)于遠(yuǎn)期價值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。 在簽訂遠(yuǎn)期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應(yīng)使遠(yuǎn)期價值在簽署合約時等于零。 在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化而變化。 遠(yuǎn)期價格遠(yuǎn)期價格是指使遠(yuǎn)期合約簽訂時價值為零的交割價格。遠(yuǎn)期價格是理論上的交割價格。關(guān)于遠(yuǎn)期價格的討論也要分遠(yuǎn)期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。 一份公平合理的遠(yuǎn)期合約在簽

2、訂的當(dāng)天應(yīng)使交割價格等于遠(yuǎn)期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠(yuǎn)期價格，該遠(yuǎn)期合約價值對于多空雙方來說就都不為零 ，實際上隱含了套利空間。在遠(yuǎn)期合約簽訂之后，交割價格已經(jīng)確定，遠(yuǎn)期合約價值不一定為零，遠(yuǎn)期價格也就不一定等于交割價格。 類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價格期貨價格（Futures Prices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念?；谄谪浀慕灰讬C(jī)制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實際期貨報價的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都?xì)w零。 當(dāng)無風(fēng)險利率恒定

3、且所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格。 這是因為當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進(jìn)行再投資。而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌時，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價格自然就大于遠(yuǎn)期價格。當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利

4、率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格。 當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格。 當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格。 為分析簡便起見，本章的分析是建立在如下假設(shè)前提下的：1沒有交易費用和稅收。2市場參與者能以相同的無風(fēng)險利率借入和貸

5、出資金。3遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險。4允許現(xiàn)貨賣空。5當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機(jī)會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機(jī)會下的均衡價格。 6期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭或空頭地位。本章將要用到的符號主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T 和t 是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t 代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠(yuǎn)

6、期合約中的交割價格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠(yuǎn)期價值。本章將要用到的符號主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T 和t 是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t 代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠(yuǎn)期價值。F：t時刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價格和期貨價格。r：T時

7、刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的t時刻的無風(fēng)險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。本章所用的定價方法為無套利定無套利定價法價法?；舅悸窞椋簶?gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價格上升，直至套利機(jī)會消失，此時兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠(yuǎn)期價格。 1617遠(yuǎn)期A價格：遠(yuǎn)期合約簽訂時價格為零的交割價格A: 遠(yuǎn)期 價格P1B: 資產(chǎn)組合P3A: 終值 價值P2P1+P=P2P2=P3根據(jù)無套利定價法，初值也應(yīng)該相等無收益資產(chǎn)：是指遠(yuǎn)期

8、合約的標(biāo)的資產(chǎn)在從時刻無收益資產(chǎn)：是指遠(yuǎn)期合約的標(biāo)的資產(chǎn)在從時刻t到遠(yuǎn)到遠(yuǎn)期合約到期時刻期合約到期時刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入。如貼現(xiàn)債券，之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入。如貼現(xiàn)債券，在票面上不規(guī)定利率，發(fā)行時按某一折扣率，以低于票在票面上不規(guī)定利率，發(fā)行時按某一折扣率，以低于票面金額的價格發(fā)行，到期時仍按照面額償還本金的債券面金額的價格發(fā)行，到期時仍按照面額償還本金的債券。為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價，我們構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金，K為遠(yuǎn)期合約中的交割價格；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B18例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約

9、定價，我們構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。19問題：假設(shè)還存在第二種方法構(gòu)造組合A和B，那么這兩種方法得到的結(jié)果是否是唯一的？例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價，我們構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B20在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，投資期為（Tt）。到T時刻，其金額將達(dá)到K。這是因為：Ke-r（Tt）er（Tt）=K在遠(yuǎn)期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組

10、合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。即t時刻價值f： f+ Ke-r（Tt）=S 21當(dāng)前價值 價值改變量未來價值在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，投資期為（Tt）。到T時刻，其金額將達(dá)到K。這是因為：Ke-r（Tt）er（Tt）=K在遠(yuǎn)期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。即t時刻價值f ： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 該公式表明，無

11、收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f,一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭等價于一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ke-r（Tt）單位無風(fēng)險負(fù)債的資產(chǎn)組合。 22由于遠(yuǎn)期價格就是使遠(yuǎn)期合約價值為零的交割價格 ，即當(dāng) =0時， = 。據(jù)此可令式（3.1）中的 =0，則遠(yuǎn)期價格F： (3.2) ffKKF()r T tFSe這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理（Spot-Forward Parity Theorem），或稱現(xiàn)貨期貨平價定理（Spot-Futures Parity Theorem）。 23為了證明無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理 ，我們用反證法證明等式不成立時的情形是不

12、均衡的。若KSer（Tt），即交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險利率r 借入S現(xiàn)金，期限為Tt。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價格為K。在T時刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來K現(xiàn)金，并歸還借款本息Se r（Tt），這就實現(xiàn)了 KSer（Tt） 的無風(fēng)險利潤。24若Krl 。這時遠(yuǎn)期和期貨的價格區(qū)間為：()()1,1r T tr T tSY eSY e()(),lbr T tr T tSeSe483. 存在賣空限制的時候，因為賣空會給經(jīng)紀(jì)人帶來很大風(fēng)險，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都會扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X

13、，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：如果上述三種情況同時存在，遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場可以看成是 的特殊情況。)()1,r T tr T tXSeSe（）0,0,lbXYrrr11,1lbr T tr T tXSY eSY e（）49本書的討論焦點是金融標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標(biāo)的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)投資性資產(chǎn)是指投資者主要出于投資目的而持有的資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。由于投資性資產(chǎn)的投資決策不受消費等其他目的的影響，投資者所關(guān)注的是金融資產(chǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標(biāo)的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價格水平不合理

14、，投資者隨時可在這兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價就成為一個純粹的風(fēng)險收益問題，相應(yīng)地?zé)o套利原則和持有成本模型就成為遠(yuǎn)期定價的基本原理。 50消費性資產(chǎn)消費性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費性資產(chǎn)來說，遠(yuǎn)期定價公式不再適用，而是轉(zhuǎn)化為 ：原因在于消費性的標(biāo)的資產(chǎn)具有消費價值，而遠(yuǎn)期卻無法即時消費，消費性的標(biāo)的資產(chǎn)與其遠(yuǎn)期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠(yuǎn)期價值相對偏低的時候投資者也不會輕易出售現(xiàn)貨，購買遠(yuǎn)期，從而使得單純基于風(fēng)險收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。()c T tFSe()c

15、 T tFSe5152無套利條件下 ，?？梢詮娜齻€角度分析F和S之間的關(guān)系 ：第一，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無風(fēng)險利率時，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格應(yīng)高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無風(fēng)險利率時，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價格。在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格（這是套利行為決定的）。()c T tFSe53第二，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠(yuǎn)期（期貨）價格起著重要的制約作用，正是這種制約關(guān)系決定了遠(yuǎn)期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨

16、市場規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價格無法形成對遠(yuǎn)期（期貨）價格的有效制約，遠(yuǎn)期（期貨）市場就遲早會因惡性投機(jī)而出問題。54第三，對式（3.8）進(jìn)行變換，可得 在現(xiàn)實生活中，大量實證研究表明，在面臨新的市場信息沖擊時，投資者越來越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領(lǐng)S價格變化的信號功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格對當(dāng)前現(xiàn)貨價格的這種引領(lǐng)作用也被稱為遠(yuǎn)期（期貨）的“價價格發(fā)現(xiàn)格發(fā)現(xiàn)”（Price Discovery）功能。 ()c T tSFe5556上證999999深證399001滬深1303合約滬深1306合約57滬深1

17、306合約20130301滬深1303合約20130301上證指數(shù)20130301深證指數(shù)20130301第三，對式（3.8）進(jìn)行變換，可得 在現(xiàn)實生活中，大量實證研究表明，在面臨新的市場信息沖擊時，投資者越來越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領(lǐng)S價格變化的信號功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格對當(dāng)前現(xiàn)貨價格的這種引領(lǐng)作用也被稱為遠(yuǎn)期（期貨）的“價價格發(fā)現(xiàn)格發(fā)現(xiàn)”（Price Discovery）功能。 ()c T tSFe58第三，對式（3.8）進(jìn)行變換，可得 在現(xiàn)實生活中，大量實證研究表明，在面臨新的市場信息沖擊時，投資者越來越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領(lǐng)S價格變化的信號功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格對當(dāng)前現(xiàn)貨價格的這種引領(lǐng)作用也被稱為遠(yuǎn)期（期貨）的“價價格發(fā)現(xiàn)格發(fā)現(xiàn)”（Price Discovery）功能。 ()c T tSFe59問題：中國股指期貨交易時間為9:15-15:15， 中國股市交易時間為：9:00-15:00；這樣是否合理？這樣是否合理？根據(jù)預(yù)期收益率的概念，我們有： 表