線(xiàn)性代數(shù)(復(fù)旦修訂版)劉金旺2矩陣

1、第二章第二章 矩陣矩陣第一節(jié)矩陣的定義第一節(jié)矩陣的定義第二節(jié)矩陣的運(yùn)算第二節(jié)矩陣的運(yùn)算第三節(jié)矩陣的逆第三節(jié)矩陣的逆第四節(jié)矩陣的分塊第四節(jié)矩陣的分塊第五節(jié)矩陣的初等變換與初等矩第五節(jié)矩陣的初等變換與初等矩陣陣第六節(jié)初等變換求逆矩陣第六節(jié)初等變換求逆矩陣第七節(jié)矩陣的秩第七節(jié)矩陣的秩1 矩陣矩陣一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義二、矩陣的定義三、特殊的矩陣三、特殊的矩陣四、矩陣與線(xiàn)性變換四、矩陣與線(xiàn)性變換其中其中 表示有表示有航班航班始發(fā)地始發(fā)地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之間開(kāi)辟了若干航線(xiàn)，四座城市城市之間開(kāi)辟了若

2、干航線(xiàn)，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入為了便于計(jì)算，把表中的為了便于計(jì)算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：就得到一個(gè)數(shù)表：ABCD A B C D這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況. .1111111000000000其中其中aij 表示工廠(chǎng)向第表示工廠(chǎng)向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例例 某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨

3、物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià)，種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1112212231324142bbbbbbbb線(xiàn) 性 方 程 組的 系 數(shù) 可 以 排 成 行 列 的 數(shù) 表： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212

4、111.二、矩陣的定義二、矩陣的定義 這 種 數(shù) 表 即 稱(chēng) 為 矩 陣。 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 定義定義1 1：由由 mn 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 排成的排成的 m 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱(chēng)為稱(chēng)為 m 行行 n 列矩陣列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng) mn 矩陣矩陣 記作記作 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為()()m nijm nijAAaa元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣實(shí)矩

5、陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣復(fù)矩陣. .這這 mn 個(gè)數(shù)稱(chēng)為矩陣個(gè)數(shù)稱(chēng)為矩陣A的的元素元素，簡(jiǎn)稱(chēng)為元，簡(jiǎn)稱(chēng)為元. .n行數(shù)不等于列數(shù)行數(shù)不等于列數(shù)n共有共有mn個(gè)元素個(gè)元素n本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表n行數(shù)等于列數(shù)行數(shù)等于列數(shù)n共有共有n2個(gè)元素個(gè)元素矩陣矩陣行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 1. 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱(chēng)為的矩陣，稱(chēng)為 n 階方陣階方

6、陣可記作可記作 . .2. 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 稱(chēng)為稱(chēng)為行矩陣行矩陣(或或行向量行向量) . .只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱(chēng)為稱(chēng)為列矩陣列矩陣(或或列向量列向量) . .3. 元素全是零的矩陣稱(chēng)為元素全是零的矩陣稱(chēng)為零距陣零距陣可記作可記作 O . .12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如： 2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩陣三、特殊的矩陣4. 形如形如 的方陣稱(chēng)為的方陣稱(chēng)為對(duì)角陣對(duì)角陣特別的，方陣特別的，方陣 稱(chēng)為稱(chēng)為單位陣單位陣12000000n 12(,)nAdiag 記作記作100010001 記作記作 nE特點(diǎn)特點(diǎn): :從左上角到右下角的

7、直線(xiàn)從左上角到右下角的直線(xiàn)( (主對(duì)角線(xiàn)主對(duì)角線(xiàn)) )上的元素都是上的元素都是1,1,其其他元素都是他元素都是0 0。同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱(chēng)為兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱(chēng)為同型矩陣同型矩陣. .例如例如1214356843739與與為同型矩陣為同型矩陣. .2. 兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 與與 為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元素相等，即素相等，即則稱(chēng)矩陣則稱(chēng)矩陣 A 與與 B 相等相等，記作，記作 A = B . .()ijAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijBb 注意：不同型的零矩陣是不相等的

8、注意：不同型的零矩陣是不相等的. . 00000000 0000 .00000000例如例如 表示一個(gè)從變量表示一個(gè)從變量 到變量到變量 線(xiàn)性變換，線(xiàn)性變換，其中其中 為常數(shù)為常數(shù). .它的系數(shù)構(gòu)成一矩陣它的系數(shù)構(gòu)成一矩陣( (a aijij) ) m m n n( (稱(chēng)為系數(shù)矩稱(chēng)為系數(shù)矩陣）是確定的。陣）是確定的。四、矩陣與線(xiàn)性變換四、矩陣與線(xiàn)性變換 n 個(gè)變量個(gè)變量 與與 m 個(gè)變量個(gè)變量 之間的之間的關(guān)系式關(guān)系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxx

9、x11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 線(xiàn)性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系線(xiàn)性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. .1122121200,0110001,nnnnyxxxyxxxyxxx 例例 線(xiàn)性變換線(xiàn)性變換 1122,nnyxyxyx 稱(chēng)為稱(chēng)為恒等變換恒等變換. .1122,nnyxyxyx 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 100010001 單位陣單位陣 En這個(gè)方陣的這個(gè)方陣的特點(diǎn)特點(diǎn):不在對(duì)角線(xiàn)上的不在對(duì)角線(xiàn)上的元素全為元素全為0,這種這種方陣稱(chēng)為方

10、陣稱(chēng)為對(duì)角陣對(duì)角陣,當(dāng)當(dāng) 1 = 2 = .= n= 時(shí)時(shí),A稱(chēng)稱(chēng)為為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣。1000對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 11,0.xxy yx0( , )P x y111(,)P xy投影變換投影變換 例例 2階方陣階方陣 cossinsincos 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 11cossin,sincos.xxyyxy 以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角角的的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 例例 2階方陣階方陣 111(,)P xy( , )P x y yx0例例 線(xiàn)性變換線(xiàn)性變換 .,222111nnnxyxyxy 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)n階矩陣階矩陣 nA 00000021這個(gè)方陣的這個(gè)方陣的特點(diǎn)特點(diǎn):不在對(duì)角線(xiàn)上的元素全為不在對(duì)角

11、線(xiàn)上的元素全為0,這種方陣這種方陣稱(chēng)為稱(chēng)為對(duì)角陣對(duì)角陣,當(dāng)當(dāng) 1 = 2 = .= n= 時(shí)時(shí),A稱(chēng)為稱(chēng)為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例 某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc試求：工廠(chǎng)在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量試求：工廠(chǎng)在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中其中aij 表示表示上半年上半年

12、工廠(chǎng)向第工廠(chǎng)向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量其中其中cij 表示工廠(chǎng)表示工廠(chǎng)下半年下半年向第向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacac

13、acacacacac解：解：工廠(chǎng)在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量工廠(chǎng)在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 一、矩陣的加法一、矩陣的加法定義定義2 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)m n矩陣矩陣A=(aij), B=(bij),那么那么A與與B的的和記為和記為A+B,規(guī)定為規(guī)定為mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111注意注意:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣同型時(shí)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣同型時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。才能進(jìn)行加法運(yùn)算。加法滿(mǎn)足運(yùn)算規(guī)律加法滿(mǎn)足運(yùn)算規(guī)律: (1) A+B= B + A; (交換律交換律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (結(jié)合

14、律結(jié)合律)下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回 矩 陣 作 為 數(shù) 表 本 身 無(wú) 運(yùn) 算 含義， 為 使 矩 陣 有 廣 泛 的 應(yīng) 用。應(yīng) 賦 予它 某 些 運(yùn) 算。121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 11131113111321232123212

15、3313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交換換律律結(jié)結(jié)合合律律其其他他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律, ,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC()0AA , ()ABAB 設(shè)設(shè) A、B、C 是同型矩陣是同型矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記記A = (aij)，稱(chēng)為矩陣，稱(chēng)為矩陣 A 的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣顯然顯然設(shè)工廠(chǎng)向某家商店發(fā)送四種貨物各設(shè)工廠(chǎng)向某家商店發(fā)送四種貨物各 件，試求：工廠(chǎng)向該商件，試求：工廠(chǎng)向該商店發(fā)送第店發(fā)送第 j 種貨物的總

16、值及總重量種貨物的總值及總重量例（續(xù)）例（續(xù)）該廠(chǎng)所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：該廠(chǎng)所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單件重量單件重量 1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb解：解：工廠(chǎng)向該商店發(fā)送第工廠(chǎng)向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的

17、單件重量單件重量 二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘定義定義3 數(shù)數(shù) 與矩陣與矩陣A的乘積記做的乘積記做 A,規(guī)定為規(guī)定為 mnmmnnaaaaaaaaaA 212222111211數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律:)()(1(AA AAA )(2(BABA )()3(下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(aij),記記-A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A稱(chēng)為稱(chēng)為A的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣,顯然有顯然有 A+(-A)=O.其中其中O為各元素均為為各元素均為0的同型矩陣的同型矩陣,由此規(guī)定由此規(guī)定 A-B=A+(-B).下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回結(jié)結(jié)合合律律

18、分分配配律律備備注注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律, ,a b cR()()ab ca bc ()abcacbc()()AA ()AAA()cabcacb()ABAB設(shè)設(shè) A、B是同型矩陣，是同型矩陣， , , 是數(shù)是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算. .111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較111213111213212223212223313233313233aaaaaaaa

19、aaaaaaaaaa 其中其中aij 表示工廠(chǎng)向第表示工廠(chǎng)向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例（續(xù)）例（續(xù)） 某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物某工廠(chǎng)生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià)，種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1112212231324142bbbbbbbb試求：

20、工廠(chǎng)向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量試求：工廠(chǎng)向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 解：解：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa1112212231324142bbbbbbbb以以 ci1， ci2 分別表示工廠(chǎng)向第分別表示工廠(chǎng)向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中總重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工廠(chǎng)向第表示工廠(chǎng)向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià)，種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1

21、1c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 1141kkka b 11 1212221332114422ca ba ba ba b1241kkka b 41 12233441ijijijijkkkijijca ba ba ba ba b (1,2,3;1,2)ij1112111213141112212221222324212231323132333431324142bbaaaaccbbaaaaccbbaaaaccbb 可用矩陣表示為可用矩陣表示為一般地，一般地，三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘定義定義4 設(shè)設(shè)A=(aij) m s,B=(bij) s n那么規(guī)定矩陣那么規(guī)

22、定矩陣A與與B的的乘積是乘積是C=(cij) m n,其中其中skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘積記作并把此乘積記作C=AB。行矩陣與列行矩陣與列矩陣相乘矩陣相乘 )(,22112121sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 就是一個(gè)數(shù)就是一個(gè)數(shù) ，這表明，這表明 就是就是A的第的第 i行與行與B的第的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。注意：注意：只有當(dāng)?shù)谝痪仃嚕ㄗ缶仃嚕┑牧袛?shù)與第二矩陣（右矩陣）只有當(dāng)?shù)谝痪仃嚕ㄗ缶仃嚕┑牧袛?shù)與第二矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。的行數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回上一

23、頁(yè)上一頁(yè)ijcijc例例 cbaA000 000111cbaB求：求：AB和和BA。解：解： 000111ccbbaaAB000000000BA注：表明矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律。注：表明矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律。 AB0推不出推不出A0或或B0 ACBC且且C不為不為0,推不出推不出A=B (不滿(mǎn)足消去律不滿(mǎn)足消去律)下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 有意義有意義. .沒(méi)有意義沒(méi)有意義. .只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩

24、陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘兩個(gè)矩陣才能相乘. . 312 321 10 3212 31 369246123 矩陣的乘法滿(mǎn)足運(yùn)算律：矩陣的乘法滿(mǎn)足運(yùn)算律：)()()1(BCACAB 結(jié)合律結(jié)合律CABAACBACABCBA )( )()2(右分配律右分配律左分配律左分配律BAAB)()()3( 對(duì)于單位矩陣，有對(duì)于單位矩陣，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,一般稱(chēng)一般稱(chēng)nnAAAA 為方陣的為方陣的n次冪。次冪。規(guī)定；規(guī)定；EA 0下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回例例kn21 1nkkk21k101 2證明,.3 , 2 101 kk解解 用數(shù)學(xué)

25、歸納法證明。用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí)2101 101101 1021 下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回101101101 1nn10110) 1(1 n101 n假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)kn1時(shí)成立，現(xiàn)證明時(shí)成立，現(xiàn)證明kn時(shí)也成立。時(shí)也成立。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義5 把矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩得到的新矩陣稱(chēng)為陣稱(chēng)為A的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣,記作記作A 。 cbaA000 cbaA000滿(mǎn)足運(yùn)算律：滿(mǎn)足運(yùn)算律：AA )(1(BABA )(2(AA )(3(nnAAABAB)()( ,)(4( 下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返

26、回返回nnijnmijnsijsmijdDABcCABbBaA )(,)(,)(,)(記記設(shè)設(shè)有有 skkijkijbac1 skkijkjkskkijsjjsiiiijbaabaaabbbd112121),(所以所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ABABDC)(,或即下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回定義：定義：設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿(mǎn)足階方陣，如果滿(mǎn)足 ，即，即那么那么 A 稱(chēng)為稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣對(duì)稱(chēng)陣. . ,1,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果滿(mǎn)足如果滿(mǎn)足 A = AT，那么，那么 A 稱(chēng)為稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)陣反對(duì)稱(chēng)陣. . 對(duì)稱(chēng)陣對(duì)稱(chēng)陣

27、 061607170A 反對(duì)稱(chēng)陣反對(duì)稱(chēng)陣 對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)是: 它的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等它的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等 。反對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)是反對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)是: 以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值相等以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值相等,符符號(hào)相反號(hào)相反,且主對(duì)角線(xiàn)上各元素均為且主對(duì)角線(xiàn)上各元素均為0 。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回五、方陣的行列式五、方陣的行列式 定義定義6 由由n階方陣階方陣A的元素構(gòu)成的行列式的元素構(gòu)成的行列式(各元素各元素位置不變位置不變),稱(chēng)為稱(chēng)為方陣方陣A的行列式的行列式,記作記作|A|或或detA 。設(shè)設(shè)A,B為為n階方陣階方陣,

28、 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù),則有下列等式成立則有下列等式成立 AAn )2(1) AA BAAB )3(個(gè)方陣的情形：推廣nnnAAAAAA.2121下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回EAAEAAA n ，求且，階方陣，滿(mǎn)足是設(shè)例1EA 由于解)(AEAAAA)(AEAEAEA 00EAEA 2 即所以下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回例 10 設(shè) 矩 陣求 2231A4352BAB解 法 1 由 于 所 以 解 法 222171143522231AB56221711AB56)7)(8(43522231AB3 逆矩陣逆矩陣定義定義7 設(shè)設(shè)A為為n階方陣階方陣, 若若 A = =0,則稱(chēng)則稱(chēng)A為為奇異矩陣奇異矩

29、陣;否則否則, A為為非奇異矩陣非奇異矩陣。定義定義8 對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A,如果有一個(gè)如果有一個(gè)n階方陣階方陣B,滿(mǎn)足滿(mǎn)足 AB=BA=E,則稱(chēng)則稱(chēng)方陣方陣A可逆可逆,且把方陣且把方陣B稱(chēng)為稱(chēng)為A的的 逆矩陣逆矩陣, ,記作記作B=A-1 。如果如果A是可逆的是可逆的,則則A的逆矩陣唯一的逆矩陣唯一 。設(shè)設(shè)B,C都是都是A的逆矩陣的逆矩陣,則一定有則一定有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回設(shè)設(shè)A,B均為同階可逆方陣均為同階可逆方陣,數(shù)數(shù) 0, 下列運(yùn)算法成立：下列運(yùn)算法成立： AAA 111)(,)1(且且亦可逆亦可逆111)(,)2(AAA且

30、亦可逆11111111.,.2 , 1)(,)3(AAAAAAAAAnAABABABnn1n21n21i i ）且（也可逆，可逆，則）（若一般地有：且亦可逆nnAAAABA)()(,)()(,112112 一般有一般有則則若若)()(,)4(11 AAA且且亦可逆亦可逆下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回若若A為方陣為方陣,行列式的各元素的代數(shù)余子式行列式的各元素的代數(shù)余子式Aij亦可構(gòu)亦可構(gòu)成如下方陣成如下方陣 稱(chēng)為稱(chēng)為A的伴隨矩陣的伴隨矩陣。 EAAAAA *下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回元素元素 的代數(shù)的代數(shù)余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列ijaijA1112121222

31、12nnnnnnaaaaaaAaaa 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 定理定理1 設(shè)設(shè)A是是n階方陣階方陣, A是非奇異矩陣的充分必要條件為是非奇異矩陣的充分必要條件為A是是可逆的可逆的. 證證 先證必要性先證必要性。設(shè)設(shè)A為非奇異矩陣為非奇異矩陣, 設(shè)設(shè)A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為A*,則有則有 EAAAAA *0 A因?yàn)橐驗(yàn)镋AAAAAA )1()1(*有有*11AAA 說(shuō)明說(shuō)明A是可逆的。是可逆的。證證 充分性。充分性。由于由于A(yíng)是可逆的是可逆的,即有即有A -1,使使A -1 A = E （若（若A A可逆可逆，則其逆陣為，則其逆陣為)1*1AAA下一頁(yè)下一頁(yè)

32、上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回11 EAA故故11AA0 A說(shuō)明說(shuō)明A是非奇異矩陣。是非奇異矩陣。例例 求方陣求方陣 631321222A的逆矩陣。的逆矩陣。解解 因?yàn)橐驗(yàn)?02 A所以所以A-1存在存在,先求先求A的伴隨矩陣的伴隨矩陣A* A11=3, A12=-3, A13=1,A21=-6, A22=10, A23=-4, A31=2, A32=-4, A33=2 2414103263*A 2414103263211*1AAA下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回例 設(shè) 矩 陣求 矩 陣 的 逆 矩 陣。 解： 先 計(jì) 算 和 由 于 ，所 以 矩 陣 可 逆。343122321AAA*A02 AA23

33、412) 1(1111A33312) 1(2112A24322) 1(3113A621A622A223A431A532A233A所 以 222563462*A111253232311*1AAA.,1AdcbadcbaA若可逆，求滿(mǎn)足什么條件可逆？問(wèn)設(shè)例 bcaddcbaA 解可逆。時(shí)，Abcad0abcdA* abcdbcadAAA11*1 說(shuō)明：可作為結(jié)論記住。說(shuō)明：可作為結(jié)論記住。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回推論：推論：若若A，B均為均為n階方陣，且階方陣，且ABE，則，則BAE。證明：證明：由已知由已知01 EABABBA 又0, 0BA 所以，EBABAEBABAAAAABAEAB

34、)(11 ）（說(shuō)明：要驗(yàn)證說(shuō)明：要驗(yàn)證B是是A的逆矩陣，只需證的逆矩陣，只需證ABE，或，或BAE即可。即可。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回例例 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A和和B滿(mǎn)足滿(mǎn)足A+BAB 1)證明證明A-E為可逆矩陣。為可逆矩陣。 2)證明證明AB=BA。解：解： 1) 因?yàn)橐驗(yàn)?ABAB， 所以所以 ABABEE（AE）（）（BE）E故故 AE與與BE互逆。互逆。2)（AE）( BE)= (BE）( AE) 則則 ABBAE BAABE故故 ABBA下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回對(duì)于元線(xiàn)性方程組對(duì)于元線(xiàn)性方程組111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa若設(shè)11 1122

35、11121 1222221 122 nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb12mbbbb12nxxxx下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回則元線(xiàn)性方程組可表示為則元線(xiàn)性方程組可表示為Ax=b若若A可逆，上式兩邊同時(shí)乘以可逆，上式兩邊同時(shí)乘以A-1,得方程組的解為：得方程組的解為：x=A-1b這與克萊姆法則求得的解是相同的。這與克萊姆法則求得的解是相同的。下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回例：例：設(shè)線(xiàn)性變換的系數(shù)矩陣是一個(gè)設(shè)線(xiàn)性變換的系數(shù)矩陣是一個(gè) 3 階方陣階方陣 112233, ,xyXxYyxy221315323A 記記則上述線(xiàn)性變換可記作則上述線(xiàn)性變換

36、可記作 Y = AX 求變量求變量 y1, y2, y3 到變量到變量 x1, x2, x3的線(xiàn)性變換相當(dāng)于求方陣的線(xiàn)性變換相當(dāng)于求方陣 A 的逆矩陣的逆矩陣. 已知已知 ，于是，于是 ，即，即1749637324A 112321233123749,637,324.xyyyxyyyxyyy 1XA Y 4 矩陣分塊法n由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情況，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢的情況，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?n這時(shí)我們可以借助這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳把文件分塊，依次上傳. .n家具的拆卸與裝配家具的拆卸與裝配

37、問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：什么是矩陣分塊法？什么是矩陣分塊法？問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：為什么提出矩陣分塊法？為什么提出矩陣分塊法？問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：什么是矩陣分塊法？什么是矩陣分塊法？定義：定義：用一些橫線(xiàn)和豎線(xiàn)將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作用一些橫線(xiàn)和豎線(xiàn)將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱(chēng)為稱(chēng)為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱(chēng)為每一個(gè)小塊稱(chēng)為矩陣的子塊矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣分塊矩陣. .111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 這是這是2階階方陣嗎？方陣嗎？列舉三

38、種分塊形式：列舉三種分塊形式： 343332312423222114131211)1(aaaaaaaaaaaa 22211211AAAAA下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回 343332312423222114131211)2(aaaaaaaaaaaa 343332312423222114131211)3(aaaaaaaaaaaa思考題思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？答：答：不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個(gè)數(shù)），而不不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個(gè)數(shù)），而不是矩陣是矩陣112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：為什么提出矩陣分塊法？為什么

39、提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了體現(xiàn)了化整為零化整為零的思想的思想. .111213141112131421222324212223243132333431323334, aaaabbbbAaaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 121

40、2AB 2121AB 2222AB 分塊矩陣的加法分塊矩陣的加法若矩陣若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即11111111, rrssrssrAABBABAABB則有則有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成形式上看成是普通矩陣是普通矩陣的加法！的加法！111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 11A12A21A22A分塊矩陣的數(shù)乘分塊矩陣的數(shù)乘11A 12A 21A 22A 若若 是數(shù)，且是數(shù)，且 1111rssrA

41、AAAA 則有則有1111rssrAAAAA 形式上看成形式上看成是普通的數(shù)是普通的數(shù)乘運(yùn)算！乘運(yùn)算！分塊矩陣的乘法分塊矩陣的乘法一般地，設(shè)一般地，設(shè) A為為ml 矩陣，矩陣，B為為l n矩陣矩陣 ，把，把 A、B 分塊如下：分塊如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll ,021114011021

42、0101,1011012100100001 BA例例求求AB.解解 A,B分塊成分塊成 EAEA101011012100100001 2221110211140110210101BBEBB下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回 221211111122211110BABBAEBBBEBEAEAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA.1311334210210101 AB下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回(4)設(shè)設(shè) srssrrAAAAAAAAAA212222111211則則 srrrssAAAAAAAAAA212221212111(5)

43、設(shè)方陣設(shè)方陣A的的 分塊矩陣為分塊矩陣為 mAAAA0021除主對(duì)角線(xiàn)上的子塊不為零子塊外除主對(duì)角線(xiàn)上的子塊不為零子塊外,其余子塊都為零其余子塊都為零矩陣矩陣,且且Ai(i=1,2,m)為方陣為方陣,則則A稱(chēng)為稱(chēng)為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣(或或準(zhǔn)對(duì)角矩陣準(zhǔn)對(duì)角矩陣). i) i) 準(zhǔn)對(duì)角矩陣的行列式為準(zhǔn)對(duì)角矩陣的行列式為 mAAAA21det 下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回ii) ii) 若有與若有與A同階的準(zhǔn)對(duì)角矩陣同階的準(zhǔn)對(duì)角矩陣 mBBBB0021其中其中Ai與與Bi (i=1,2,m)亦為同階矩陣亦為同階矩陣,則有則有 mmBABABAAB002211iii) iii) 若若A可逆可

44、逆,則有則有 11211100mAAAA下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回均可逆，則若子矩陣i AAAAAivn21 111111AAAAnn下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回,120130005 A求求A-1 .例例 設(shè)設(shè)解解 3211,1213;51),5(12211AAAA 2100120130005AAA.32011000511 A下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回解解例例 設(shè)設(shè).0.00.000.0.000.00121nnaaaaA.0.00.000.0.000.00121nnaaaaA0021AA下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回12111naaaA112naA0012111 AAA00.

45、00.001112111nnaaaa下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)返回返回5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換。初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換。定義定義9 9 對(duì)矩陣施行以下對(duì)矩陣施行以下3種變換稱(chēng)為種變換稱(chēng)為矩陣的初等行矩陣的初等行(列列)變換變換: (1) 交換矩陣的第交換矩陣的第i行和第行和第j行的位置記為行的位置記為r(i,j). (c(i,j). )(2) 以一個(gè)非零的數(shù)以一個(gè)非零的數(shù)k乘以矩陣的第乘以矩陣的第i行行(列列)記為記為r(i(k) (c(i(k)(3)把矩陣的第把矩陣的第i行行(列列)所有元素的所有元素的k倍加到第倍加到第j

46、行行(列列)對(duì)對(duì)應(yīng)的元素應(yīng)的元素,記為記為r(j+i(k) (c(j+i(k)返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)定理定理10 如果矩陣如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變?yōu)榻?jīng)過(guò)有限次初等行變換變?yōu)锽,則稱(chēng)則稱(chēng)矩陣矩陣A與與B等價(jià)，記為等價(jià)，記為返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)AB矩陣的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：矩陣的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)： (1)反身性反身性：A與與A等價(jià)。等價(jià)。 (2)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性：如果：如果A與與B等價(jià)，那么等價(jià)，那么B與與A等價(jià)。等價(jià)。 (3)傳遞性傳遞性：如果：如果A與與B等價(jià)，等價(jià)， B與與C等價(jià)，等價(jià)， 那么那么A與與C等價(jià)。等價(jià)。 510104011030001300000

47、B 411214011100001300000B 行階梯形矩陣：1.可畫(huà)出一條階梯線(xiàn)，線(xiàn)的下方全為零；2.每個(gè)臺(tái)階只有一行；3.階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：4.非零行的第一個(gè)非零元為1;5.這些非零元所在的列的其它元素都為零.12rr 23rr 510104011030001300000B 行最簡(jiǎn)形矩陣：4.非零行的第一個(gè)非零元為1;5.這些非零元所在的列的其它元素都為零.10000010000010000000F 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：6.左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.34cc412ccc5123433cccc行階梯形矩陣行階梯形矩陣rm nOEFOO 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由

48、m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系三者之間的包含關(guān)系 任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論結(jié)論有限次初等行變換 定理定理2 任何一個(gè)矩陣任何一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯矩陣，并進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣。換化為行階梯矩陣，并進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣。定理定理3 任何一個(gè)矩陣都有等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣任何一個(gè)矩陣都有等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣A與與B等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價(jià)標(biāo)

49、準(zhǔn)形。定義定義11 由單位矩陣由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣。稱(chēng)為初等矩陣。初等矩陣都是方陣，互換初等矩陣都是方陣，互換E的第的第i行與第行與第j行（或者互行（或者互換換E的第的第i列與第列與第j列）的位置，得列）的位置，得 第（第（i）行）行1101111011第（第（j）行）行E (i ,j)用常數(shù)用常數(shù)k乘乘E的第的第i行行（或（或i列），得列），得行；行；第第i1111)(kkiE 把把E的第的第j行的行的k倍加倍加到第到第i行（或第行（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列）得列）得 行行第第行行第第ji1111)(kkjiE 000000

50、0000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rr001000000135cc0010000001(1) 對(duì)調(diào)單位陣的第 i, j 行（列）， 記作 E5(3, 5)記作 Em( i, j )000000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 3rk 3ck 00001(2)以常數(shù)

51、 k0 乘單位陣第 i 行（列）， 記作 E5(3(5) 記作 Em(i(k) 000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rrk35cck00001(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k) 記作 Em(ij(k) 以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列 53cck000000000000000000011111k?兩種理解！兩種理解！結(jié)論結(jié)論( , )mm nEi j A 把矩陣A的第 i

52、行與第 j 行對(duì)調(diào)，即 .ijrr( , )nnmAEi j 把矩陣A的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即 .ijcc( ( )mm nEi kA 以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .irk ( ( )nnmAEi k 以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .ick ( ( )mnmEij kA 把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .ijrkr ( ( )nnmAEij k 把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .jickc 這三類(lèi)矩陣就是全部的初等矩陣，有這三類(lèi)矩陣就是全部的初等矩陣，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j

53、(k)-1=E(i+j(-k) detE(i,j)-1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1定理定理4 對(duì)一個(gè)對(duì)一個(gè)mn矩陣矩陣A作一初等行變換作一初等行變換,相當(dāng)于用相當(dāng)于用相應(yīng)的相應(yīng)的m階初等矩陣左乘階初等矩陣左乘A；對(duì)對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，實(shí)施一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘階初等矩陣右乘A。 推論推論 矩陣矩陣A與與B等價(jià)的充分必要條件是有初等方陣等價(jià)的充分必要條件是有初等方陣P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt 6 初等變換求逆矩陣初等變換求逆矩陣 定理定理5 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，則下面的命題是等價(jià)的：階方陣，則下面的命題

54、是等價(jià)的：(2) AE，E E是是n n階階單單位位矩矩陣陣；(1) A是是可可逆逆的的；12(3),s存存在在n n階階初初等等矩矩陣陣P ,P ,PP ,P ,P 使使12;sAP PP (4) A可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)一一系系列列初初等等行行（列列）變變換換化化為為E E初等變換的應(yīng)用初等變換的應(yīng)用，有，有時(shí)，由時(shí)，由當(dāng)當(dāng)lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時(shí)時(shí)，原原來(lái)來(lái)的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即即

55、對(duì)對(duì) 1 AE. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩陣矩陣的方法，還可用于求的方法，還可用于求利用初等行變換求逆陣?yán)贸醯刃凶儞Q求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即初等行變

56、換例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解.1BAXA 可逆，則可逆，則若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行變換，作初等行變換，也可改為對(duì)也可改為對(duì)),(TTCA , 1作初等列變換，作初等列變換，則可對(duì)矩陣則可對(duì)矩陣

57、如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列變換),)( ,(),1TTTTCAECA （行變換TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得7 矩陣的秩矩陣的秩定義定義12 在一個(gè)在一個(gè)sn矩陣矩陣A中任意選定中任意選定k k行和行和k k列列, ,位位于這些選定的行和列的交叉位置的于這些選定的行和列的交叉位置的k k2 2 個(gè)元素按原來(lái)個(gè)元素按原來(lái)的次序所組成的的次序所組成的k k階行列式，稱(chēng)為階行列式，稱(chēng)為A A的一個(gè)的一個(gè)k k階子式。階子式。定義定義13 設(shè)設(shè)A為為sn矩陣，如果至少存在矩陣，如果至少存在A(yíng)的一個(gè)的一個(gè)r階階子式不為零，而子式不為零，而A的

58、所有的所有r+1階子式（如果存在的話(huà)）階子式（如果存在的話(huà)）都為零，則稱(chēng)數(shù)都為零，則稱(chēng)數(shù)r為矩陣為矩陣A的秩，記為的秩，記為R(A).并規(guī)定零并規(guī)定零矩陣的秩等于矩陣的秩等于0.顯然，顯然，mn 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式共有階子式共有 個(gè)個(gè)kkmnC C概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式2123123133aaMaa 相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣 A 的一個(gè) 2 階子塊12132223aaaa矩陣 A 的一個(gè) 2 階子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa1

59、11213142122232431323334aaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩陣 A 的一個(gè) 3 階子式111213212223313233aaaaaaaaa矩陣 A 的 2 階子式 如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個(gè) 3 階子式也等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話(huà)）全等于零，那么階子式（如果存在的話(huà)）全等于零，那

60、么 D 稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱(chēng)為稱(chēng)為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)l根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣 A 中任何一個(gè)中任何一個(gè) r +2 階子式（如果存在的話(huà)）都可以用階子式（如果存在的話(huà)）都可以用 r +1 階子式來(lái)表階子式來(lái)表示示l如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零階子式也都等于零 l事實(shí)上，所有高于事實(shí)上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話(huà)）也都階的子式（如果存在的話(huà)）也都等于零等于零 因此矩