數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史的關(guān)聯(lián)探究

1、數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史的關(guān)聯(lián)探究關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史; 數(shù)學(xué)哲學(xué); 實作轉(zhuǎn)向; 數(shù)學(xué)實作;Abstract：Scholarly community usually discusses the theoretical relationship between history and philosophy of mathematics, and they seldom study the practical relationship between the two studies. In fact, there are two paradigms of philosophy of mathematics: o

2、ne focuses on the history of mathematical philosophy, and another deals with problems in philosophy of mathematics. The study of history of mathematics underwent a change from Whig history to anti-Whig history. Because of the nature of research paradigms, the second philosophy of mathematics has a c

3、lose relationship to the anti-Whig mathematical history. After the practice turn, history and philosophy of mathematics both focus on the mathematical practice, and hence become closer. Therefore, the relationship between the mathematical development in the history and some philosophical thinking is

4、 the original meaning between the two. Since the second half of 19th century, modern historical and philosophical studies began, and the relationship between the two was changing: setting the mathematical practice as a common research object makes the two closer than anytime before.Keyword：history o

5、f mathematics; philosophy of mathematics; the practice turn; mathematical practice;一、引 言在學(xué)術(shù)界常識性的理解中,數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)具有天然的聯(lián)系。拉卡托斯(Imre Lakatos,19221974)引康德(Immanuel Kant, 17241804)說:缺少了哲學(xué)指引的數(shù)學(xué)史就會是盲目的;不理會數(shù)學(xué)史上最迷人現(xiàn)象的數(shù)學(xué)哲學(xué)就會是空洞的。;12 即數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供了研究基礎(chǔ),數(shù)學(xué)哲學(xué)則可以深化和升華數(shù)學(xué)史研究。林夏水說:數(shù)學(xué)哲學(xué)作為數(shù)學(xué)觀的理論形式,它是關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的一般規(guī)律的學(xué)問。;26 即數(shù)

6、學(xué)哲學(xué)要總結(jié)數(shù)學(xué)史的規(guī)律,并給出其理論形式。其實,很容易把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的關(guān)系和科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)的關(guān)系相類比。以庫恩(Thomas Kuhn, 19221996)為代表的科學(xué)哲學(xué)歷史主義研究路線,通過科學(xué)革命敘事將科學(xué)的發(fā)展與科學(xué)革命的理論結(jié)合在一起,從而實現(xiàn)了科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)的統(tǒng)一。然而,這一關(guān)系卻難以重現(xiàn)在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)上。與科學(xué)理論不同,數(shù)學(xué)中似乎從來不曾出現(xiàn)新理論取代舊理論的非連續(xù)變革;331,沒有所謂的范式競爭關(guān)系。換言之,由于數(shù)學(xué)知識似乎比科學(xué)知識更穩(wěn)定,很難用歷史主義路線來解釋數(shù)學(xué)之演進。在一本關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的論文集中,編撰者在導(dǎo)言中認為現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究起源于弗雷格

7、(Friedrich Frege, 18481925),現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究起源于19世紀后期一系列學(xué)者,并認為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展受到數(shù)學(xué)哲學(xué)尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的影響43-57。這一看法的實質(zhì)是把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的關(guān)系理解成某一時期的數(shù)學(xué)與當時的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想之間的關(guān)系。在上述這些常識性理解中,數(shù)學(xué)史被理解為數(shù)學(xué)知識的時間排列,學(xué)者們側(cè)重于從學(xué)理上探討其與數(shù)學(xué)哲學(xué)之關(guān)聯(lián)。筆者從事數(shù)學(xué)史研究以來,通過研究中國古代籌算及其文本化、珠算化轉(zhuǎn)變和儒家經(jīng)典中的數(shù)學(xué)知識與實作,揭示出以算籌為工具的數(shù)學(xué)不同于今天之文本數(shù)學(xué)5,6,7,8,9,10和儒家之算法傳統(tǒng)與以九章筭術(shù)為代表的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同11,12,13,14,1

8、5,16,17,引發(fā)了自身對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。在教學(xué)實踐中,筆者為哲學(xué)系本科生、研究生開設(shè)中國數(shù)學(xué)史世界數(shù)學(xué)史等課程,深感數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)關(guān)系之密切與復(fù)雜。因此,與以往偏重于從學(xué)理上探討兩者關(guān)系不同,本文在既有研究的基礎(chǔ)上,從實際研究層面來分析數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的關(guān)系,并期待在研究方法論層面有所貢獻。二、不同研究范式之間的數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史從研究層面來看,數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史都存在著不同的研究范式。因為研究范式各自的自然本性,某種數(shù)學(xué)哲學(xué)可能與某種數(shù)學(xué)史沒有交集,而與另一種數(shù)學(xué)史密切相關(guān)。本節(jié)的目的就是在此思路下,給出關(guān)于兩者研究范式的一般性分析,以揭示哪些數(shù)學(xué)哲學(xué)與哪些數(shù)學(xué)史研究存在緊密關(guān)聯(lián)。康仕慧

9、認為:自20世紀數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義三大學(xué)派衰落以來,數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中相繼出現(xiàn)兩種傳統(tǒng):一種是以當代數(shù)學(xué)實在論和反實在論的爭論為主流研究路徑的分析傳統(tǒng);另一種是以數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家向基礎(chǔ)主義和分析傳統(tǒng)發(fā)起挑戰(zhàn)的、居于次要位置的反傳統(tǒng);革新。這兩種傳統(tǒng)隱含著當代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中的三種不同的研究范式:1.以哲學(xué)先于實踐;為原則的規(guī)范的數(shù)學(xué)哲學(xué)范式;2.以哲學(xué)描述實踐;為原則的描述的數(shù)學(xué)哲學(xué)范式;3.以哲學(xué)讓位于實踐;為原則的自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)范式;18210-212。這種分類的標準是哲學(xué)與實踐的關(guān)系。從與數(shù)學(xué)史研究的關(guān)系看,筆者認為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究大致可以分作兩類:一類是自上而下論述某項數(shù)學(xué)哲學(xué)理論,往往采取數(shù)學(xué)哲

10、學(xué)史的寫法,以解釋、分析文獻為主要研究方法,接近主流的分析傳統(tǒng);。如愛思唯爾科學(xué)哲學(xué)手冊·數(shù)學(xué)哲學(xué)分冊19,該書大致按照數(shù)學(xué)哲學(xué)理論分章,又兼顧了時間順序。另一類是自下而上討論數(shù)學(xué)哲學(xué)問題,往往會運用多學(xué)科的研究方法:哲學(xué)史、數(shù)學(xué)史、心理學(xué)、人類學(xué)、認知科學(xué)等研究成果和方法都會為它所用,接近次要的反傳統(tǒng);革新。如布朗(James Robert Brown)的數(shù)學(xué)哲學(xué):對于證明和圖形世界的當代介紹20,該書雖也談到數(shù)學(xué)哲學(xué)理論,但大致以問題分章。進一步看,前一類數(shù)學(xué)哲學(xué)主要采取陳述理論、加以辯護的模式,在其辯護的過程中可能會思辨地用到數(shù)學(xué)史的研究成果;后一類數(shù)學(xué)哲學(xué)往往采取舉例分析

11、、反駁理論的模式,其舉例分析的過程實際與有些數(shù)學(xué)史論文已經(jīng)十分接近。因此,后一類數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史的關(guān)系更為密切?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究起源于19世紀后半葉一系列學(xué)者的研究,大致經(jīng)歷了從輝格史到反輝格史的范式轉(zhuǎn)變。所謂輝格(Whig)數(shù)學(xué)史,就是在研究中以現(xiàn)代數(shù)學(xué)去解釋古代數(shù)學(xué),往往帶有成就史觀、英雄史觀和愛國主義立場。這一研究傾向主導(dǎo)了20世紀70年代以前的數(shù)學(xué)史研究。數(shù)學(xué)史家羅伯森(Eleanor Robson)認為輝格史的本質(zhì)是采取數(shù)學(xué)柏拉圖主義立場即歷史學(xué)家從歷史記錄中甄別出柏拉圖的數(shù)學(xué)對象;,并且用今天的數(shù)學(xué)術(shù)語描述之。21在此意義上,數(shù)學(xué)家是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理,而數(shù)學(xué)史家則是發(fā)現(xiàn)歷史記錄中的對應(yīng)部

12、分。施泰達爾(Jacqueline Stedall)認為輝格數(shù)學(xué)史一方面忽視了數(shù)學(xué)發(fā)展中的復(fù)雜性和今天看來失敗和過時的東西,另一方面無法弄清數(shù)學(xué)發(fā)展的起源與過程,并認為只有通過歷史語境的考察才能了解某項數(shù)學(xué)知識的起源。22伊姆豪森(Annette Imhausen)則認為不應(yīng)采取只有一種數(shù)學(xué)的柏拉圖主義立場。23如果考慮到19世紀后半葉至20世紀前半葉西方文明在世界的主導(dǎo)地位,那么輝格數(shù)學(xué)史實際就反映了這一情況非西方數(shù)學(xué)文明以與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相比較為榮,而通過現(xiàn)代數(shù)學(xué)重寫古希臘數(shù)學(xué)則確立了古希臘的源頭地位。其實,輝格史最大的問題在于把諸多古代數(shù)學(xué)文明都看作現(xiàn)代數(shù)學(xué)的低級階段,從而嚴重阻礙了數(shù)學(xué)史的研

13、究實踐。正如羅伯森在評價1950年代巴比倫數(shù)學(xué)史研究所遇到的問題時說:一旦解釋被做出了,即古代文獻被用現(xiàn)代符號重寫之后,就沒有任何可說的了。這個領(lǐng)域(即巴比倫數(shù)學(xué)史研究)便停滯了幾十年。;21這一阻礙甚至影響了對于古希臘數(shù)學(xué)的理解。1975年,溫古魯(Sabetai Unguru)就撰文批評對于古希臘數(shù)學(xué)的現(xiàn)代代數(shù)學(xué)解釋。24之后,數(shù)學(xué)史研究中的反輝格傾向愈演愈烈,逐漸波及所有古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域。雖然徹底的反輝格數(shù)學(xué)史是做不到的,但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史家往往都具有清晰的反輝格意識。在中國數(shù)學(xué)史領(lǐng)域,吳文俊(1919-2017)提出古證復(fù)原;原則25,26,之后引發(fā)了數(shù)學(xué)史的外史研究與史料拓展等變化。這些變化

14、本質(zhì)上都在追問什么是數(shù)學(xué);,從而深化了對于相關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)問題的探討。從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度看,輝格數(shù)學(xué)史預(yù)設(shè)了柏拉圖主義的立場,因此數(shù)學(xué)史研究只是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為參照系來揭示某項數(shù)學(xué)真理在何時何地被發(fā)現(xiàn)。盡管也有一些研究會揭示數(shù)學(xué)知識的認識過程,但總體而言此類研究是單向地受到數(shù)學(xué)哲學(xué)的影響。反輝格思潮引發(fā)了數(shù)學(xué)史家去思考現(xiàn)代數(shù)學(xué)對古代數(shù)學(xué)的解釋限度;、是否只有一種數(shù)學(xué);等問題;在不預(yù)設(shè)立場的情況下,數(shù)學(xué)史研究有可能來質(zhì)疑或修補柏拉圖主義,從而使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究已經(jīng)十分接近數(shù)學(xué)哲學(xué)問題研究范式。三、數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史研究的實作轉(zhuǎn)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究與數(shù)學(xué)史研究產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系,除了范式的自然本性之外,實作轉(zhuǎn)向是

15、更深層次的原因。2014年,一些學(xué)者編輯了一本名叫實作轉(zhuǎn)向后哲學(xué)、歷史學(xué)和社會科學(xué)研究的論文集。在該書的介紹部分,編輯者指出廣義的科學(xué)研究在1970年代經(jīng)歷了實作轉(zhuǎn)向(The Practice Turn)研究者逐漸更關(guān)注實作的具體細節(jié),以及物質(zhì)、默會、心理社會層面的維度。271該轉(zhuǎn)向起源于科學(xué)哲學(xué)研究,進而影響到其他社會科學(xué)領(lǐng)域,主要包含了6方面的變化:1.從先驗的、理想化的研究到以充足經(jīng)驗為基礎(chǔ)的研究;2.從規(guī)范的研究到描述的研究;3.從以當下為中心重構(gòu)過去的科學(xué)到以充足歷史重構(gòu)過去的科學(xué);4.從去語境的、智力的、清晰的、個體的、純粹認知的研究到語境的、默會的、合作的、心理社會學(xué)特征的研究;

16、5.從研究結(jié)果到研究過程;6.從科學(xué)作為目的到科學(xué)作為一種轉(zhuǎn)變。2714-24該論文集收錄了9篇從行動的概念、科學(xué)哲學(xué)、科學(xué)技術(shù)研究、化學(xué)、認知依賴、工程、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史和科學(xué)實作與形象等方面探討實作轉(zhuǎn)向的論文,27其中第7篇與第8篇文章分別談到該轉(zhuǎn)向?qū)?shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史的影響,下面依次簡要介紹之。本德格姆(Jean Paul Van Bendegem)論述了數(shù)學(xué)實作哲學(xué)對數(shù)學(xué)哲學(xué)的影響。28他認為拉卡托斯注重數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程,是數(shù)學(xué)哲學(xué)實作轉(zhuǎn)向的起點?；袪?Philip Kitcher)在其著作數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)(1983)中試圖給出形式化模型來描述作為一種活動的數(shù)學(xué),是實作轉(zhuǎn)向的第二步。之后,

17、實作轉(zhuǎn)向開始涉及與關(guān)注到社會學(xué)、教育學(xué)與民俗學(xué),直至腦科學(xué)與認知科學(xué),由此形成了數(shù)學(xué)實作哲學(xué)的多個研究進路。本德格姆進而指出如何協(xié)調(diào)各種研究進路,以及如何建立數(shù)學(xué)實作哲學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)之間的橋梁是實作轉(zhuǎn)向之后的關(guān)鍵問題。由此可見,實作轉(zhuǎn)向使得數(shù)學(xué)哲學(xué)與其他相關(guān)研究方向的關(guān)系更為緊密,豐富了占主導(dǎo)地位的分析傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)哲學(xué)。林力娜(Karine Chemla)以研究中國古代數(shù)學(xué)為例說明:如何通過研究實作來最大程度挖掘史料與開展概念史研究。29她首先分析中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章筭術(shù)與孫子筭經(jīng)中的除法實作,指出它在古代數(shù)學(xué)中占據(jù)中心位置。進而,她再分析出土簡牘中的除法實作,指出在九章筭術(shù)成書之前,除法經(jīng)歷

18、了一個關(guān)鍵轉(zhuǎn)變可能就是在該轉(zhuǎn)變中出現(xiàn)了十進制位值制的筭籌制度。因此,林力娜認為中國古代數(shù)學(xué)不僅關(guān)注算法,也關(guān)注實施算法的實作活動。從方法論層面總結(jié),她認為數(shù)學(xué)史研究不僅應(yīng)關(guān)注結(jié)果,也應(yīng)關(guān)注實作活動研究產(chǎn)生史料的實作活動可以作為挖掘史料的工具,并有助于開展概念史研究。換句話說,研究數(shù)學(xué)實作既是對以往數(shù)學(xué)史研究過于關(guān)注文本知識的一種補充,也可以作為一種新的文本分析工具。從數(shù)學(xué)的角度看,實作轉(zhuǎn)向的本質(zhì)是要求研究者關(guān)注到數(shù)學(xué)思想之外的人類活動,認為這些活動與數(shù)學(xué)思想同樣重要。因此,這一轉(zhuǎn)向是對以往思想史占主導(dǎo)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一種修補,對兩者都產(chǎn)生了重要影響。在此過程之中,數(shù)學(xué)實作(Mathem

19、atical Practice)作為一個核心概念被提出來,并成為兩者共同的研究對象。經(jīng)歷了該轉(zhuǎn)向的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)有著比研究范式本性契合更緊密的關(guān)系。2007年出版的從數(shù)學(xué)實作的觀點看論文集的編者認為:不同于認為數(shù)學(xué)是一種人類精神的自由創(chuàng)造;的傳統(tǒng)看法,該文集作者們的雄心是從數(shù)學(xué)實作的角度探究數(shù)學(xué)發(fā)展中的庫恩革命;。30就此而言,通過對于數(shù)學(xué)實作的研究,一些學(xué)者試圖在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)上重現(xiàn)由科學(xué)革命敘事創(chuàng)造的科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)的緊密結(jié)合?？傊?在數(shù)學(xué)實作的研究取向下,兩者都可能以分析數(shù)學(xué)史上的實作為切入點,并進而探討相關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)問題。四、結(jié) 語歷史上數(shù)學(xué)的發(fā)展有可能與某種哲學(xué)思想相關(guān),這構(gòu)成了原

20、初意義上數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的關(guān)系。就此而言,柏拉圖、亞里士多德數(shù)學(xué)哲學(xué)思想與古希臘數(shù)學(xué)之關(guān)系、儒家思想與中國古代數(shù)學(xué)之關(guān)系、佛教思想與印度古代數(shù)學(xué)之關(guān)系、對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討與20世紀初數(shù)學(xué)之關(guān)系等都是原初的兩者關(guān)系。19世紀后半葉,現(xiàn)代數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究開展以來,兩者實際存在著變動的關(guān)系。早期的數(shù)學(xué)史研究往往是輝格史,預(yù)設(shè)了柏拉圖主義立場,總體而言單向地受到數(shù)學(xué)哲學(xué)影響。反輝格思潮以來,數(shù)學(xué)史家意識到并反思其預(yù)設(shè)立場問題。這些數(shù)學(xué)史研究與以問題為進路的數(shù)學(xué)哲學(xué)有親緣關(guān)系,后者有時會分析數(shù)學(xué)史案例來反駁某種數(shù)學(xué)哲學(xué)立場。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)更緊密的聯(lián)系出現(xiàn)在實作轉(zhuǎn)向之后。兩者同時關(guān)注數(shù)學(xué)實作,并采取自

21、下而上、非整體論進路(1),使得某些數(shù)學(xué)史研究與數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)基本一致。雖然在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)實作哲學(xué)依然不是主流,并被質(zhì)疑無法調(diào)協(xié)各種研究取向及建立與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)之聯(lián)系;但是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的研究來看,數(shù)學(xué)的發(fā)展并非線性式增長,對數(shù)學(xué)實作哲學(xué)的質(zhì)疑可能恰恰反映了數(shù)學(xué)的混雜本質(zhì)。參考文獻1 Lakatos I.Proofs and Refutations:The Logic of Mathematical DiscoveryM.Cambridge:Cambridge University Press,1976.2 林夏水.數(shù)學(xué)哲學(xué)M.北京:商務(wù)印書館,2003.3 張東林.數(shù)學(xué)史:從輝格史到思想史

22、J.科學(xué)文化評論,2011,8(6):26-41.4 History and Philosophy of Modern MathematicsC.Aspray W,Kitcher P.(ed.)Minnesota Studies in the Philosophy of Science.Volume XI.Minneapolis:The University of Minnesota Press.5 朱一文.再論九章算術(shù)通分術(shù)J.自然科學(xué)史研究,2008,27(1):59-70.6 朱一文.數(shù):筭與術(shù)以九數(shù)之方程為例J.漢學(xué)研究,2010,28(4):73-105.7 朱一文.數(shù)學(xué)的語言:筭籌

23、與文本以天元術(shù)為中心J.九州學(xué)林,2010冬季:81-103.8 朱一文.秦九韶歷家雖用,用而不知;解J.自然科學(xué)史研究,2011,30(2):193-206.9 朱一文.秦九韶對大衍術(shù)的筭圖表達基于數(shù)書九章趙琦美鈔(1616)的分析J.自然科學(xué)史研究,2017,36(2):244-257.10 Zhu Yiwen.How were Western written calculations introduced into China? An analysis of the Tongwen suanzhi (Arithmetic Guidance in the Common Language,1

24、613)J.Centaurus,2018,60(1-2):69-86.11 朱一文.儒學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)知識初探以賈公彥對周禮·考工記氏為量;的注疏為例J.自然科學(xué)史研究,2015,34(2):131-141.12 Zhu Yiwen.Different cultures of computation in seventh century China from the viewpoint of square root extractionJ.Historia Mathematica,2016,43(1):3-25.13 朱一文.再論中國古代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系以六至七世紀學(xué)者對禮數(shù)的不同

25、注疏為例J.自然辯證法通訊,2016,38(5):81-87.14 朱一文.初唐的數(shù)學(xué)與禮學(xué)以諸家對禮記·投壺的注疏為例J.中山大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版),2017,57(2):60-68.15 朱一文.算學(xué)、儒學(xué)與制度化初唐數(shù)學(xué)的多樣性及其與儒學(xué)的關(guān)系J.漢學(xué)研究,2017,35(4):109-134.16 朱一文.朱熹的數(shù)學(xué)世界兼論宋代數(shù)學(xué)與儒學(xué)的關(guān)系J.哲學(xué)與文化,2018,45(11):167-182.17 朱一文.儒家開方算法之演進以諸家對論語道千乘之國;的注疏為中心J.自然辯證法通訊,2019,41(2):49-55.18 康仕慧.語境論世界觀的數(shù)學(xué)哲學(xué)一種對數(shù)學(xué)本質(zhì)及其

26、實在性研究的新范式J.山西大學(xué)博士學(xué)位論文,2010.19 安德魯·歐文,主編,愛思唯爾科學(xué)哲學(xué)手冊·數(shù)學(xué)哲學(xué)分冊M.康仕慧,譯.北京:北京師范大學(xué)出版社,2015.20 Brown J R.Philosophy of Mathematics:A Contemporary Introduction to the World of Proofs and PicturesM.Second Edition.New York:Routledge,2008.21 Robson E.Mathematics in Ancient Iraq:A Social HistoryM.Ne

27、w Jersey:Princeton University Press,2008.22 Stedall J.The History of Mathematics:A Very Short IntroductionM.New York:Oxford University Press,2012.23 Imhausen A.Mathematics in Ancient Egypt,3200 BC – AD 395:A Contextual HistoryM.Mainz:Johannes Gutenberg Universit?t,2008.24 Unguru S.On the Need

28、to Rewrite the History of Greek MathematicsJ.Archive for History of Exact Sciences,1975,15(1):67-114.25 吳文俊海島算經(jīng)古證探源C/吳文俊主編.九章算術(shù)與劉徽.北京:北京師范大學(xué)出版社,1982:162-180.26 吳文俊.從數(shù)書九章看中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性與機械化特色C/吳文俊主編.秦九韶與數(shù)書九章.北京:北京師范大學(xué)出版社,1987:73-88.27 Léna Soler,Sjoerd Zwart,Michael Lynch,Vincent Israel-Jost.(ed.)Science After the Practice Tur