數(shù)學哲學與數(shù)學史的關聯(lián)探究

1、數(shù)學哲學與數(shù)學史的關聯(lián)探究關鍵詞：數(shù)學史; 數(shù)學哲學; 實作轉向; 數(shù)學實作;Abstract：Scholarly community usually discusses the theoretical relationship between history and philosophy of mathematics, and they seldom study the practical relationship between the two studies. In fact, there are two paradigms of philosophy of mathematics: o

2、ne focuses on the history of mathematical philosophy, and another deals with problems in philosophy of mathematics. The study of history of mathematics underwent a change from Whig history to anti-Whig history. Because of the nature of research paradigms, the second philosophy of mathematics has a c

3、lose relationship to the anti-Whig mathematical history. After the practice turn, history and philosophy of mathematics both focus on the mathematical practice, and hence become closer. Therefore, the relationship between the mathematical development in the history and some philosophical thinking is

4、 the original meaning between the two. Since the second half of 19th century, modern historical and philosophical studies began, and the relationship between the two was changing: setting the mathematical practice as a common research object makes the two closer than anytime before.Keyword：history o

5、f mathematics; philosophy of mathematics; the practice turn; mathematical practice;一、引 言在學術界常識性的理解中,數(shù)學史與數(shù)學哲學具有天然的聯(lián)系。拉卡托斯(Imre Lakatos,19221974)引康德(Immanuel Kant, 17241804)說:缺少了哲學指引的數(shù)學史就會是盲目的;不理會數(shù)學史上最迷人現(xiàn)象的數(shù)學哲學就會是空洞的。;12 即數(shù)學史為數(shù)學哲學提供了研究基礎,數(shù)學哲學則可以深化和升華數(shù)學史研究。林夏水說:數(shù)學哲學作為數(shù)學觀的理論形式,它是關于數(shù)學發(fā)生和發(fā)展的一般規(guī)律的學問。;26 即數(shù)

6、學哲學要總結數(shù)學史的規(guī)律,并給出其理論形式。其實,很容易把數(shù)學史與數(shù)學哲學的關系和科學史與科學哲學的關系相類比。以庫恩(Thomas Kuhn, 19221996)為代表的科學哲學歷史主義研究路線,通過科學革命敘事將科學的發(fā)展與科學革命的理論結合在一起,從而實現(xiàn)了科學史與科學哲學的統(tǒng)一。然而,這一關系卻難以重現(xiàn)在數(shù)學史與數(shù)學哲學上。與科學理論不同,數(shù)學中似乎從來不曾出現(xiàn)新理論取代舊理論的非連續(xù)變革;331,沒有所謂的范式競爭關系。換言之,由于數(shù)學知識似乎比科學知識更穩(wěn)定,很難用歷史主義路線來解釋數(shù)學之演進。在一本關于現(xiàn)代數(shù)學史與數(shù)學哲學的論文集中,編撰者在導言中認為現(xiàn)代數(shù)學哲學研究起源于弗雷格

7、(Friedrich Frege, 18481925),現(xiàn)代數(shù)學史研究起源于19世紀后期一系列學者,并認為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展受到數(shù)學哲學尤其是數(shù)學基礎研究的影響43-57。這一看法的實質(zhì)是把數(shù)學史與數(shù)學哲學的關系理解成某一時期的數(shù)學與當時的數(shù)學哲學思想之間的關系。在上述這些常識性理解中,數(shù)學史被理解為數(shù)學知識的時間排列,學者們側重于從學理上探討其與數(shù)學哲學之關聯(lián)。筆者從事數(shù)學史研究以來,通過研究中國古代籌算及其文本化、珠算化轉變和儒家經(jīng)典中的數(shù)學知識與實作,揭示出以算籌為工具的數(shù)學不同于今天之文本數(shù)學5,6,7,8,9,10和儒家之算法傳統(tǒng)與以九章筭術為代表的傳統(tǒng)數(shù)學不同11,12,13,14,1

8、5,16,17,引發(fā)了自身對于數(shù)學本質(zhì)的思考。在教學實踐中,筆者為哲學系本科生、研究生開設中國數(shù)學史世界數(shù)學史等課程,深感數(shù)學史與數(shù)學哲學關系之密切與復雜。因此,與以往偏重于從學理上探討兩者關系不同,本文在既有研究的基礎上,從實際研究層面來分析數(shù)學史與數(shù)學哲學的關系,并期待在研究方法論層面有所貢獻。二、不同研究范式之間的數(shù)學哲學與數(shù)學史從研究層面來看,數(shù)學哲學與數(shù)學史都存在著不同的研究范式。因為研究范式各自的自然本性,某種數(shù)學哲學可能與某種數(shù)學史沒有交集,而與另一種數(shù)學史密切相關。本節(jié)的目的就是在此思路下,給出關于兩者研究范式的一般性分析,以揭示哪些數(shù)學哲學與哪些數(shù)學史研究存在緊密關聯(lián)?？凳嘶?/p>

9、認為:自20世紀數(shù)學基礎主義三大學派衰落以來,數(shù)學哲學研究中相繼出現(xiàn)兩種傳統(tǒng):一種是以當代數(shù)學實在論和反實在論的爭論為主流研究路徑的分析傳統(tǒng);另一種是以數(shù)學家和數(shù)學史家向基礎主義和分析傳統(tǒng)發(fā)起挑戰(zhàn)的、居于次要位置的反傳統(tǒng);革新。這兩種傳統(tǒng)隱含著當代數(shù)學哲學研究中的三種不同的研究范式:1.以哲學先于實踐;為原則的規(guī)范的數(shù)學哲學范式;2.以哲學描述實踐;為原則的描述的數(shù)學哲學范式;3.以哲學讓位于實踐;為原則的自然主義的數(shù)學哲學范式;18210-212。這種分類的標準是哲學與實踐的關系。從與數(shù)學史研究的關系看,筆者認為數(shù)學哲學研究大致可以分作兩類:一類是自上而下論述某項數(shù)學哲學理論,往往采取數(shù)學哲

10、學史的寫法,以解釋、分析文獻為主要研究方法,接近主流的分析傳統(tǒng);。如愛思唯爾科學哲學手冊·數(shù)學哲學分冊19,該書大致按照數(shù)學哲學理論分章,又兼顧了時間順序。另一類是自下而上討論數(shù)學哲學問題,往往會運用多學科的研究方法:哲學史、數(shù)學史、心理學、人類學、認知科學等研究成果和方法都會為它所用,接近次要的反傳統(tǒng);革新。如布朗(James Robert Brown)的數(shù)學哲學:對于證明和圖形世界的當代介紹20,該書雖也談到數(shù)學哲學理論,但大致以問題分章。進一步看,前一類數(shù)學哲學主要采取陳述理論、加以辯護的模式,在其辯護的過程中可能會思辨地用到數(shù)學史的研究成果;后一類數(shù)學哲學往往采取舉例分析

11、、反駁理論的模式,其舉例分析的過程實際與有些數(shù)學史論文已經(jīng)十分接近。因此,后一類數(shù)學哲學與數(shù)學史的關系更為密切?，F(xiàn)代數(shù)學史研究起源于19世紀后半葉一系列學者的研究,大致經(jīng)歷了從輝格史到反輝格史的范式轉變。所謂輝格(Whig)數(shù)學史,就是在研究中以現(xiàn)代數(shù)學去解釋古代數(shù)學,往往帶有成就史觀、英雄史觀和愛國主義立場。這一研究傾向主導了20世紀70年代以前的數(shù)學史研究。數(shù)學史家羅伯森(Eleanor Robson)認為輝格史的本質(zhì)是采取數(shù)學柏拉圖主義立場即歷史學家從歷史記錄中甄別出柏拉圖的數(shù)學對象;,并且用今天的數(shù)學術語描述之。21在此意義上,數(shù)學家是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理,而數(shù)學史家則是發(fā)現(xiàn)歷史記錄中的對應部

12、分。施泰達爾(Jacqueline Stedall)認為輝格數(shù)學史一方面忽視了數(shù)學發(fā)展中的復雜性和今天看來失敗和過時的東西,另一方面無法弄清數(shù)學發(fā)展的起源與過程,并認為只有通過歷史語境的考察才能了解某項數(shù)學知識的起源。22伊姆豪森(Annette Imhausen)則認為不應采取只有一種數(shù)學的柏拉圖主義立場。23如果考慮到19世紀后半葉至20世紀前半葉西方文明在世界的主導地位,那么輝格數(shù)學史實際就反映了這一情況非西方數(shù)學文明以與現(xiàn)代數(shù)學相比較為榮,而通過現(xiàn)代數(shù)學重寫古希臘數(shù)學則確立了古希臘的源頭地位。其實,輝格史最大的問題在于把諸多古代數(shù)學文明都看作現(xiàn)代數(shù)學的低級階段,從而嚴重阻礙了數(shù)學史的研

13、究實踐。正如羅伯森在評價1950年代巴比倫數(shù)學史研究所遇到的問題時說:一旦解釋被做出了,即古代文獻被用現(xiàn)代符號重寫之后,就沒有任何可說的了。這個領域(即巴比倫數(shù)學史研究)便停滯了幾十年。;21這一阻礙甚至影響了對于古希臘數(shù)學的理解。1975年,溫古魯(Sabetai Unguru)就撰文批評對于古希臘數(shù)學的現(xiàn)代代數(shù)學解釋。24之后,數(shù)學史研究中的反輝格傾向愈演愈烈,逐漸波及所有古代數(shù)學領域。雖然徹底的反輝格數(shù)學史是做不到的,但是現(xiàn)代數(shù)學史家往往都具有清晰的反輝格意識。在中國數(shù)學史領域,吳文俊(1919-2017)提出古證復原;原則25,26,之后引發(fā)了數(shù)學史的外史研究與史料拓展等變化。這些變化

14、本質(zhì)上都在追問什么是數(shù)學;,從而深化了對于相關數(shù)學哲學問題的探討。從數(shù)學哲學的角度看,輝格數(shù)學史預設了柏拉圖主義的立場,因此數(shù)學史研究只是以現(xiàn)代數(shù)學為參照系來揭示某項數(shù)學真理在何時何地被發(fā)現(xiàn)。盡管也有一些研究會揭示數(shù)學知識的認識過程,但總體而言此類研究是單向地受到數(shù)學哲學的影響。反輝格思潮引發(fā)了數(shù)學史家去思考現(xiàn)代數(shù)學對古代數(shù)學的解釋限度;、是否只有一種數(shù)學;等問題;在不預設立場的情況下,數(shù)學史研究有可能來質(zhì)疑或修補柏拉圖主義,從而使得現(xiàn)代數(shù)學史研究已經(jīng)十分接近數(shù)學哲學問題研究范式。三、數(shù)學哲學與數(shù)學史研究的實作轉向現(xiàn)代數(shù)學哲學研究與數(shù)學史研究產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系,除了范式的自然本性之外,實作轉向是

15、更深層次的原因。2014年,一些學者編輯了一本名叫實作轉向后哲學、歷史學和社會科學研究的論文集。在該書的介紹部分,編輯者指出廣義的科學研究在1970年代經(jīng)歷了實作轉向(The Practice Turn)研究者逐漸更關注實作的具體細節(jié),以及物質(zhì)、默會、心理社會層面的維度。271該轉向起源于科學哲學研究,進而影響到其他社會科學領域,主要包含了6方面的變化:1.從先驗的、理想化的研究到以充足經(jīng)驗為基礎的研究;2.從規(guī)范的研究到描述的研究;3.從以當下為中心重構過去的科學到以充足歷史重構過去的科學;4.從去語境的、智力的、清晰的、個體的、純粹認知的研究到語境的、默會的、合作的、心理社會學特征的研究;

16、5.從研究結果到研究過程;6.從科學作為目的到科學作為一種轉變。2714-24該論文集收錄了9篇從行動的概念、科學哲學、科學技術研究、化學、認知依賴、工程、數(shù)學哲學、數(shù)學史和科學實作與形象等方面探討實作轉向的論文,27其中第7篇與第8篇文章分別談到該轉向對數(shù)學哲學與數(shù)學史的影響,下面依次簡要介紹之。本德格姆(Jean Paul Van Bendegem)論述了數(shù)學實作哲學對數(shù)學哲學的影響。28他認為拉卡托斯注重數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程,是數(shù)學哲學實作轉向的起點?；袪?Philip Kitcher)在其著作數(shù)學知識的本質(zhì)(1983)中試圖給出形式化模型來描述作為一種活動的數(shù)學,是實作轉向的第二步。之后,

17、實作轉向開始涉及與關注到社會學、教育學與民俗學,直至腦科學與認知科學,由此形成了數(shù)學實作哲學的多個研究進路。本德格姆進而指出如何協(xié)調(diào)各種研究進路,以及如何建立數(shù)學實作哲學與傳統(tǒng)數(shù)學哲學之間的橋梁是實作轉向之后的關鍵問題。由此可見,實作轉向使得數(shù)學哲學與其他相關研究方向的關系更為緊密,豐富了占主導地位的分析傳統(tǒng)的數(shù)學哲學。林力娜(Karine Chemla)以研究中國古代數(shù)學為例說明:如何通過研究實作來最大程度挖掘史料與開展概念史研究。29她首先分析中國古代數(shù)學經(jīng)典九章筭術與孫子筭經(jīng)中的除法實作,指出它在古代數(shù)學中占據(jù)中心位置。進而,她再分析出土簡牘中的除法實作,指出在九章筭術成書之前,除法經(jīng)歷

18、了一個關鍵轉變可能就是在該轉變中出現(xiàn)了十進制位值制的筭籌制度。因此,林力娜認為中國古代數(shù)學不僅關注算法,也關注實施算法的實作活動。從方法論層面總結,她認為數(shù)學史研究不僅應關注結果,也應關注實作活動研究產(chǎn)生史料的實作活動可以作為挖掘史料的工具,并有助于開展概念史研究。換句話說,研究數(shù)學實作既是對以往數(shù)學史研究過于關注文本知識的一種補充,也可以作為一種新的文本分析工具。從數(shù)學的角度看,實作轉向的本質(zhì)是要求研究者關注到數(shù)學思想之外的人類活動,認為這些活動與數(shù)學思想同樣重要。因此,這一轉向是對以往思想史占主導的數(shù)學史與數(shù)學哲學研究的一種修補,對兩者都產(chǎn)生了重要影響。在此過程之中,數(shù)學實作(Mathem

19、atical Practice)作為一個核心概念被提出來,并成為兩者共同的研究對象。經(jīng)歷了該轉向的數(shù)學史與數(shù)學哲學有著比研究范式本性契合更緊密的關系。2007年出版的從數(shù)學實作的觀點看論文集的編者認為:不同于認為數(shù)學是一種人類精神的自由創(chuàng)造;的傳統(tǒng)看法,該文集作者們的雄心是從數(shù)學實作的角度探究數(shù)學發(fā)展中的庫恩革命;。30就此而言,通過對于數(shù)學實作的研究,一些學者試圖在數(shù)學史與數(shù)學哲學上重現(xiàn)由科學革命敘事創(chuàng)造的科學史與科學哲學的緊密結合?？傊?在數(shù)學實作的研究取向下,兩者都可能以分析數(shù)學史上的實作為切入點,并進而探討相關數(shù)學哲學問題。四、結 語歷史上數(shù)學的發(fā)展有可能與某種哲學思想相關,這構成了原

20、初意義上數(shù)學史與數(shù)學哲學的關系。就此而言,柏拉圖、亞里士多德數(shù)學哲學思想與古希臘數(shù)學之關系、儒家思想與中國古代數(shù)學之關系、佛教思想與印度古代數(shù)學之關系、對數(shù)學基礎的探討與20世紀初數(shù)學之關系等都是原初的兩者關系。19世紀后半葉,現(xiàn)代數(shù)學史與數(shù)學哲學研究開展以來,兩者實際存在著變動的關系。早期的數(shù)學史研究往往是輝格史,預設了柏拉圖主義立場,總體而言單向地受到數(shù)學哲學影響。反輝格思潮以來,數(shù)學史家意識到并反思其預設立場問題。這些數(shù)學史研究與以問題為進路的數(shù)學哲學有親緣關系,后者有時會分析數(shù)學史案例來反駁某種數(shù)學哲學立場。數(shù)學史與數(shù)學哲學更緊密的聯(lián)系出現(xiàn)在實作轉向之后。兩者同時關注數(shù)學實作,并采取自

21、下而上、非整體論進路(1),使得某些數(shù)學史研究與數(shù)學哲學已經(jīng)基本一致。雖然在數(shù)學哲學領域,數(shù)學實作哲學依然不是主流,并被質(zhì)疑無法調(diào)協(xié)各種研究取向及建立與傳統(tǒng)數(shù)學哲學之聯(lián)系;但是從現(xiàn)代數(shù)學史的研究來看,數(shù)學的發(fā)展并非線性式增長,對數(shù)學實作哲學的質(zhì)疑可能恰恰反映了數(shù)學的混雜本質(zhì)。參考文獻1 Lakatos I.Proofs and Refutations:The Logic of Mathematical DiscoveryM.Cambridge:Cambridge University Press,1976.2 林夏水.數(shù)學哲學M.北京:商務印書館,2003.3 張東林.數(shù)學史:從輝格史到思想史

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