趙永志（教學(xué)設(shè)計(jì)）

1、選修2-2 第一章 第七節(jié)定積分在幾何中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)教師：趙永志教學(xué)年級(jí)：高二年級(jí)課題名稱：定積分在幾何中的應(yīng)用教材版本：人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2授課時(shí)間：45分鐘一、教學(xué)構(gòu)思應(yīng)用型的課題是培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景、熱身訓(xùn)練、問(wèn)題探究、抽象歸納，鞏固練習(xí)、應(yīng)用提升等探究性活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，使學(xué)生們掌握定積分解題的規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過(guò)程與方法。二、教學(xué)理念以學(xué)生發(fā)展為本。新型的師生關(guān)系；新型的教學(xué)目標(biāo)；新型的教學(xué)方式；新型的呈現(xiàn)方式。三、教材分析定積分的應(yīng)用是在學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的

2、幾何意義之后，對(duì)定積分知識(shí)的總結(jié)和升華，通過(guò)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題，初步感受定積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系。四、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能目標(biāo)】 通過(guò)本節(jié)課的探究，學(xué)生能夠應(yīng)用定積分解決不太規(guī)則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想和方法?！具^(guò)程與方法目標(biāo)】探究過(guò)程中通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想，加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的基本思路和方法?！厩楦小B(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)】探究式的學(xué)習(xí)方法能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的濃厚興趣；探究式的學(xué)習(xí)過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維習(xí)慣和方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索和實(shí)踐的精神；探究過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)

3、行數(shù)學(xué)美育的滲透，用哲學(xué)的觀點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生自主探究。五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)定積分的價(jià)值。 【教學(xué)難點(diǎn)】如何恰當(dāng)選擇積分變量和確定被積函數(shù)。六、教學(xué)方法教學(xué)方法是“問(wèn)題誘導(dǎo)啟發(fā)討論探索結(jié)果”、“直觀觀察抽象歸納總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教與學(xué)的方法，過(guò)程中注重“誘、思、探、練”的結(jié)合，從而引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。采用激發(fā)興趣、主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究地學(xué)習(xí)，形成師生互動(dòng)的教學(xué)氛圍。 七、教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一） 課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的幾何意義.（二） 情景引

4、入：展示精美的大橋油畫，講述古代數(shù)學(xué)家的故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積【課件展示】課題：定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用油畫圖片問(wèn)：橋拱的面積如何求解呢？答： 【學(xué)生活動(dòng)】本環(huán)節(jié)安排學(xué)生討論，自主發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題方向定積分跟面積的關(guān)系，（三） 新課講授： 【熱身訓(xùn)練】練習(xí)計(jì)算 計(jì)算 【學(xué)生活動(dòng)】思考口答【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習(xí)答案.0yx 【熱身訓(xùn)練】練習(xí)用定積分表示陰影部分面積xyNMOabABCDxyNMOabABCD圖1 圖2【學(xué)生活動(dòng)】回憶并口答圖1的答案； 引導(dǎo)學(xué)生由X為積分變量的定積分類型來(lái)發(fā)現(xiàn)以Y為積分變量的另一種定積分類型。 【得出結(jié)論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種類型. 【板書

5、】配合學(xué)生探究的進(jìn)展書寫推理的過(guò)程.【課件展示】圖1 選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為圖2 選擇Y為積分變量，曲邊梯形面積為【問(wèn)題探究】【課件展示】探究由曲線所圍平面圖形的面積解答思路abXA0y【學(xué)生活動(dòng)】思考、探究、討論【展示結(jié)論】A2ab曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）abXA0y曲邊形面積 A=A1-A2ab1 【教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)】探索到的結(jié)論一定可行嗎？這就需要通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。 【例題實(shí)踐】例計(jì)算由曲線與所圍圖形的面積【師生活動(dòng)】探究解法的過(guò)程. 1.找到圖形-畫圖得到曲邊形. 2.曲邊形面積解法-轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線. 3.定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數(shù). 4.計(jì)算

6、定積分. 【板書】根據(jù)師生探究的思路板書重要分析過(guò)程.xyOABCD11-1-1 【課件展示】解答過(guò)程 解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為及 曲邊梯形OABC 曲邊梯形OABD【例題實(shí)踐】例2計(jì)算由與所圍圖形的面積. 【師生活動(dòng)】討論探究解法的過(guò)程 1找到圖形-畫圖得到曲邊形. 2曲邊形面積解法-轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線.3定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數(shù).4計(jì)算定積分.問(wèn)題：表示不出定積分.探討：X為積分變量表示不到，那換成Y為積分變量呢？ 【板書】根據(jù)師生探究的思路板書重要分析過(guò)程. 【課件展示】解答過(guò)程 解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部

7、分的面積 解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)及(8,4)選為積分變量，【抽象歸納】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)例題探究的過(guò)程來(lái)歸納 【教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)】幫助學(xué)生修改、提煉，強(qiáng)調(diào)注意注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù) .【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟：1畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)2將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積3根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量（注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)）4確定被積函數(shù)和積分區(qū)間5計(jì)算定積分，求出面積.【鞏固練習(xí)】練習(xí)計(jì)算由曲線與及軸所圍平面圖形的面積【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生分組合作完成x4yO84

8、22S1S2 【成果展示】邀請(qǐng)同學(xué)們把自己的成果展示給大家，發(fā)現(xiàn)這道題目有多種解答方法，過(guò)程中解決學(xué)生在解題過(guò)程中暴露出來(lái)的各種問(wèn)題。4xyO8422S2S1S1S222248Ox4y A: B: C: 【師生活動(dòng)】此題為一題多解，解體的大方向分為選X做積分變量和選Y做積分變量.問(wèn)：遇到一題多解時(shí)，你會(huì)想到什么？答：找最簡(jiǎn)單的解法.問(wèn)：以次題為例，如何尋找最簡(jiǎn)解法？答：我們熟悉X做積分變量的類型； 做輔助線時(shí)，盡量將曲邊形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合的圖形.【應(yīng)用提升】如圖，一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b求證：拋物線拱的面積.hb【

9、師生活動(dòng)】探究解題方法1.建立平面直角坐標(biāo)系 確定拋物線方程2.求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟xhby0問(wèn)：如何建立平面直角坐標(biāo)系會(huì)使得拋物線方程的求解簡(jiǎn)單答：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立求解拋物線方程.【成果展示】投影學(xué)生練習(xí)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線方程為 ，代拋物線上一點(diǎn)入方程， 則有 解得 ，所以拋物線方程為.【教師點(diǎn)評(píng)】在投影中與全班同學(xué)一起點(diǎn)評(píng)學(xué)生的練習(xí).【師生活動(dòng)】探究、并在投影中完成該題問(wèn)：所求圖形有什么特點(diǎn)？答：左右對(duì)稱；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上與學(xué)生共同完成設(shè)一半的面積為S，則有 .（四）互動(dòng)小結(jié)問(wèn)：本節(jié)課我們做了什

10、么探究活動(dòng)呢？答：用定積分解曲邊形面積。問(wèn)：如何用定積分解決曲邊形面積問(wèn)題呢？答：1.畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積3.根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量（注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)）4.確定被積函數(shù)和積分區(qū)間5.計(jì)算定積分，求出面積問(wèn)：解答曲線所圍的平面圖形面積時(shí)須注意什么問(wèn)題？答：選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇最優(yōu)化的解題方法.問(wèn)：體會(huì)到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法呢？答：從問(wèn)題出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，探究出解決問(wèn)題的思路，通過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)得到一般方法，通過(guò)練習(xí)鞏固，通過(guò)應(yīng)用提升。（五）作業(yè) 1、課本67組168組32、導(dǎo)與練.培養(yǎng)學(xué)生

11、復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。激發(fā)學(xué)生們的求知欲和探索欲，設(shè)下懸念，以激發(fā)學(xué)生的探索激情，為后面作開啟性的鋪墊。復(fù)習(xí)定積分的幾何意義培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展、聯(lián)系的哲學(xué)思想解決問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于嘗試、敢于創(chuàng)新的精神。通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)并掌握數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過(guò)程與方法鞏固了學(xué)生的作圖能力，在尋找曲邊梯形的過(guò)程中提高了學(xué)生的想象能力。完成了一般理論和具體問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合，初步達(dá)到了識(shí)記的目標(biāo)，突顯了教學(xué)重點(diǎn)。使學(xué)生懂得如何靈活選擇積分變量，確定被積函數(shù)，通過(guò)該題突破教學(xué)難點(diǎn)。探索到的結(jié)果通過(guò)實(shí)踐，學(xué)生都得到了一些解題心得，及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象歸納，便是探究的階段小結(jié)，得到解題的一般方法。趁學(xué)生們還沉浸在成功的喜悅之中，探索欲望高漲的時(shí)候，適時(shí)給學(xué)生擴(kuò)大成就感的機(jī)會(huì)。所以準(zhǔn)備了鞏固練習(xí)，目的在于鞏固解題方法、由一題多解鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維體