第八章剛體定點運動的動力學(xué)

1、v本章主要介紹運用質(zhì)點系的三大定理解決剛本章主要介紹運用質(zhì)點系的三大定理解決剛體定點運動動力學(xué)問題。體定點運動動力學(xué)問題。第八章第八章 剛體定點運動的動力學(xué)剛體定點運動的動力學(xué)v主要內(nèi)容主要內(nèi)容: 歐拉角歐拉角 歐拉運動學(xué)方程歐拉運動學(xué)方程 剛體定點運動的角動量和動能剛體定點運動的角動量和動能 慣量張量慣量張量 歐拉動力學(xué)方程歐拉動力學(xué)方程 歐拉歐拉- -潘索情況潘索情況11.1 11.1 歐拉角歐拉角 歐拉運動學(xué)方程歐拉運動學(xué)方程一一. . 歐拉角歐拉角 20 ,20,0 , 稱為歐拉角稱為歐拉角固定坐標系固定坐標系:o固定在剛體上的動固定在剛體上的動坐標系坐標系: .oxyz確定確定z軸的

2、位置軸的位置: 和和l0kk l)(節(jié)線節(jié)線.,即節(jié)線即節(jié)線為為面的交線面的交線面與面與onooxyl0kk l)(節(jié)節(jié)線線.,:;,:;,:0kk 自轉(zhuǎn)角速度為自轉(zhuǎn)角速度為自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角章動角速度為章動角速度為章動角章動角進動角速度為進動角速度為進動角進動角kk 0 z z , ,進動章動kk 0l0kk l)(節(jié)節(jié)線線jiklkk cossinsinsincossincos0 ji sincos 二二. .歐拉運動學(xué)方程歐拉運動學(xué)方程.omzooxy面的交線為面的交線為面與面與 kjizyx 動系中動系中: cossincossincossinsinzyx-歐拉運動學(xué)方程歐拉運動學(xué)方程11.

3、211.2剛體定點運動的角動量和動能剛體定點運動的角動量和動能 慣量張量慣量張量本節(jié)介紹剛體作定點運動時具有的動量、角動量、動能本節(jié)介紹剛體作定點運動時具有的動量、角動量、動能的計算。的計算。cvmp 一一. . 剛體做定點運動時對定點的角動量的計算剛體做定點運動時對定點的角動量的計算 11121()11.2.2nniiiiiiiiniiiiiiiiniiiiilrm vrrmrrrrmrrr lliiiirx iy jz kiiiiijk 22111nnnxxiiiyiiiziiiiiilmyzm x ym x z 22111nnnyxiiiyiiiziiiiiilm y xmzxm y z

4、 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiilm z xm z ymzy 221nxxiiiiimyz 221nyyiiiiimzx 221nzziiiiimxy1nyzzyiiiiiim y z 1nzxxziiiiiim z x 1nxyyxiiiiiim x y xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii (11.2.6)性系數(shù)性系數(shù)合在一起統(tǒng)稱為慣合在一起統(tǒng)稱為慣慣量積與轉(zhuǎn)動慣量慣量積與轉(zhuǎn)動慣量現(xiàn)對上述結(jié)果進行分析：現(xiàn)對上述結(jié)果進行分析：1）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對坐標系的分布。慣性系）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對坐標系的分布。慣性系數(shù)也可

5、用積分形式代替（數(shù)也可用積分形式代替（11.2.6）式；）式；mzyixxd22mxziyyd22myxizzd22mxyiiyxxydmzxiizxxzdmyziizyyzd張量張量i也可寫成也可寫成并矢形式：并矢形式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxikki jkiikikji j jii jikii j iii ii 二二. . 慣量張量慣量張量xxxyxzyxyyyzzxzyzziiiiiiiiii 慣量張量是用來描述剛體慣量張量是用來描述剛體定點轉(zhuǎn)動的慣性的物理量；定點轉(zhuǎn)動的慣性的物理量；而轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體定而轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的慣性的物理量。軸轉(zhuǎn)動的慣性的物理量。xx

6、xxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzliiiliiiliii （11.2.6）式式li線性變換關(guān)系稱為仿射變換線性變換關(guān)系稱為仿射變換三三. . 慣量主軸慣量主軸000000 xxxyxzxxyxyyyzyyzxzyzzzziiiiiiiiiiiii 000000 xxxxyyyyzzzzlililixxxyyyzzzliiijik使剛體對固定點的慣量張量中所有慣量積為零的坐標系使剛體對固定點的慣量張量中所有慣量積為零的坐標系為該點（為該點（o點）的主軸坐標系。點）的主軸坐標系。,xxyyzziii 為三個主軸的轉(zhuǎn)動慣量(主轉(zhuǎn)動慣量)若剛體定點運動的角速度沿一主軸方向，則角動量為若剛體

7、定點運動的角速度沿一主軸方向，則角動量為lil與 平行如何尋找慣量主軸呢？如何尋找慣量主軸呢？1）對均勻?qū)ΨQ的剛體，其對稱軸是軸上各點的慣量主軸。）對均勻?qū)ΨQ的剛體，其對稱軸是軸上各點的慣量主軸。分析：分析：某軸某軸(設(shè)設(shè)x軸軸)要為固定要為固定o點的慣量主軸的必要條件點的慣量主軸的必要條件.xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii 0,xxyxzxyxzxxxliiijikiilii則只要得設(shè)剛體以角速度設(shè)剛體以角速度 繞繞x軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動,則則 ,根據(jù)根據(jù)i0:都為都為包含該軸的所有慣量積包含該軸的所有慣量積充要條件是充要條件是一固定點的慣量主軸

8、的一固定點的慣量主軸的所以某軸要為其軸上某所以某軸要為其軸上某若對稱軸為若對稱軸為x軸，剛體上有軸，剛體上有()0( ,)(,)()00,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxiiizxiiim y xm yxx y zx y zm z xm zxim y xim z x 2）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上各點的慣量主軸各點的慣量主軸證明：證明：3）坐標系的兩個軸是慣量主軸，則第三個軸也是）坐標系的兩個軸是慣量主軸，則第三個軸也是主軸，此坐標系是主軸坐標系。主軸，此坐標系是主軸坐標系。4）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)對稱剛體的旋轉(zhuǎn)對稱軸（剛體繞此）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)

9、對稱剛體的旋轉(zhuǎn)對稱軸（剛體繞此軸轉(zhuǎn)過任意角度都對稱）為一軸的坐標系是主軸軸轉(zhuǎn)過任意角度都對稱）為一軸的坐標系是主軸坐標系。坐標系。四四. . 剛體做定點運動時的動能剛體做定點運動時的動能 2111111222nnni iiiiiiiiiitm rm vvm vr 111(11.2.20)22niiiitrm vlcababc利用xxxyyyzzzliiijik把式把式代入上式代入上式)(21222zzzyyyxxxiiit 得主軸坐標系上得主軸坐標系上動能表達式動能表達式:221212121 iillt 其中其中i為剛體對瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量為剛體對瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量.五五. . 慣量橢球慣量橢球研

10、究剛體對過定點的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達式研究剛體對過定點的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達式.以以剛體固定點為原點建立坐標系剛體固定點為原點建立坐標系oxyz坐標系，過坐標系，過o點點的的l軸方向余弦為軸方向余弦為),( )()()cos(222222222iiiiiiiiiiiiiiilzyxzyxmlrrmrrmmi 考慮到考慮到則上式化為則上式化為, 1222 liliiiiiiiilzxyzxyzzyyxxl 222222-如已知固定點的慣量張量如已知固定點的慣量張量,則可得過此點的任何軸的轉(zhuǎn)動慣量則可得過此點的任何軸的轉(zhuǎn)動慣量.我們從幾何圖象來描述轉(zhuǎn)動慣量隨軸方向分布的情況我們從幾何圖象來描述

11、轉(zhuǎn)動慣量隨軸方向分布的情況.在轉(zhuǎn)動軸上取一長為在轉(zhuǎn)動軸上取一長為r的線段的線段op,令令則則p點的坐標將是點的坐標將是代入式代入式 zxyzxyzzyyxxliiiiiii222222 得得p點的軌跡是點的軌跡是:1)1(22222222 lllzxyzxyzzyyxxiiirzxiyzixyiziyixi-橢球面橢球面,反映了轉(zhuǎn)動慣量的分布情況反映了轉(zhuǎn)動慣量的分布情況,又稱慣量橢球又稱慣量橢球.幾點說明幾點說明:1)對剛體不同固定點對剛體不同固定點,有不同的慣量橢球有不同的慣量橢球,它屬于剛體中它屬于剛體中某一點某一點.2)慣量橢球的慣量橢球的3個對稱軸是固定點的個對稱軸是固定點的3 個互相

12、垂直的主軸個互相垂直的主軸,若若 ,則慣量橢球是個旋轉(zhuǎn)橢球則慣量橢球是個旋轉(zhuǎn)橢球;如如 ,則慣量橢球為圓球則慣量橢球為圓球.yyxxii zzyyxxiii 3)利用慣量橢球可知剛體對固定點的角動量利用慣量橢球可知剛體對固定點的角動量l的方向是的方向是沿過橢球面角速度矢量沿過橢球面角速度矢量 與慣量橢球相交點與慣量橢球相交點p點的法線點的法線方向上方向上.(證明見書證明見書p303) 例題例題1: 一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心o點做定點轉(zhuǎn)動點做定點轉(zhuǎn)動,其質(zhì)其質(zhì)量為量為m,半徑為半徑為r,已知英雄模范瞬時圓盤繞壺中心與盤已知英雄模范瞬時圓盤繞壺中心與盤面成面成 角的軸以角速度角

13、的軸以角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,試求此時圓盤對中心的試求此時圓盤對中心的角動量和圓盤的動能角動量和圓盤的動能,以及圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動慣量以及圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動慣量. 30解解: 建立過建立過o點的主軸坐標系點的主軸坐標系,依題意有依題意有: 60cos, 0,30cos21,4122 zyxzzyyxxmrimrii圓盤對圓盤對o點的角動量為點的角動量為:kmrimrkmrimrkijiiilzzzyyyxxx 2222418360cos2130cos41 z圓盤的動能為圓盤的動能為:22222222216521)81163(21)(21 mrmrmriiitzzzyyyxxx 22165:21mriit

14、l 相比較可得相比較可得與式與式 2222222222216541214341)60(cos)30(cos:222mrmrmriiiiiiiiiiiiizzxxzzyyxxlzxyzxyzzyyxxl 得得也可據(jù)式也可據(jù)式11.3 11.3 歐拉動力學(xué)方程歐拉動力學(xué)方程一一. . 歐拉動力學(xué)方程歐拉動力學(xué)方程我們采用剛體固定點的主軸坐標系我們采用剛體固定點的主軸坐標系oxyz,并與剛體固并與剛體固連連,則剛體對定點的角動量為則剛體對定點的角動量為:xxyyzzliiijik采用動坐標系，角動量定理為：采用動坐標系，角動量定理為：kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyy

15、xx 而而,)()()(kiijiiiiilyxyxxzxzzyzy kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyyxx 而而)2 . 3 .11(,所以（所以（11.3.2)式的投影方程為式的投影方程為: zyxyxzzyxzxzyyxzyzyxxmiidydimiidydimiidydi 歐勒動力學(xué)方程歐勒動力學(xué)方程思考為何這里采用動坐思考為何這里采用動坐標系標系, ,沒考慮慣性力沒考慮慣性力? ?結(jié)合歐拉運動學(xué)方程結(jié)合歐拉運動學(xué)方程 cossincossincossinsinzyx來求解剛體定點運動問題來求解剛體定點運動問題,但這兩個方程組求解困難但這兩個方程組求解困

16、難,到目前為止到目前為止,只有在下列三種情況才得到解析解只有在下列三種情況才得到解析解.1. 歐勒歐勒潘索情況潘索情況: 剛體不受外力矩作用的定點運動剛體不受外力矩作用的定點運動. 2. 拉格朗日拉格朗日泊松情況泊松情況: 即陀螺在重力場中的運動，即陀螺在重力場中的運動，要求對固定點要求對固定點o所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球, 亦即亦即3個主轉(zhuǎn)動慣量中有兩個相等，個主轉(zhuǎn)動慣量中有兩個相等，ix=iy , 重心則位重心則位于動力對稱軸上但不與固定點重合于動力對稱軸上但不與固定點重合. 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀.3. c.b.柯凡律夫斯卡雅情況柯凡律夫斯卡雅情況: 在這一情況下，在這一

17、情況下，ixiy2iz, 而重心則在而重心則在oxy平面上平面上. 這也是一種對稱陀螺這也是一種對稱陀螺.zi 二二. .直接用角動量定理和質(zhì)心運動定理外理比較直接用角動量定理和質(zhì)心運動定理外理比較簡單的定點運動問題簡單的定點運動問題已知剛體的運動，求作用在剛體上的約束力。已知剛體的運動，求作用在剛體上的約束力。例例1 一個均質(zhì)圓盤一個均質(zhì)圓盤, 由于安裝不善由于安裝不善, 渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角線成交角 . 圓盤質(zhì)量為圓盤質(zhì)量為m,半徑半徑r, 中心中心o在轉(zhuǎn)軸上在轉(zhuǎn)軸上, o至兩至兩軸承軸承a與與b的距離均為的距離均為a. 設(shè)軸以角速度設(shè)軸以角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 試求軸

18、承試求軸承上的壓力上的壓力 解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心o點的主軸坐點的主軸坐標系標系 ；為分解約束力再建；為分解約束力再建 zyxo oxyz對對z軸角動量知，軸角動量知， 常常量量 kjkmdydimiidydizzzyxyxzz cossin03zk 圓盤對圓盤對o點的角動量為點的角動量為kmrjmrkijilzzzyyy cos21sin4122mimrimrmrldtlddtld 2sin81cossin)4121(022222上式在上式在x，y方向的投影為：方向的投影為： )5()(0)4)(2sin8122naxnbxnbynayffaffamr 質(zhì)心運動定理為：質(zhì)心運動定理為： mgfmgfffffzyxfdtvdmnaznaznbynaynbxnaxec0)7(0)6(0,)(方向投影得方向投影得它在它在由（由（4）-（7）得：）得： 2sin161022mraffffnbynaynbxnax 由上式可知