第八章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

1、v本章主要介紹運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系的三大定理解決剛本章主要介紹運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系的三大定理解決剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題。體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題。第八章第八章 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)v主要內(nèi)容主要內(nèi)容: 歐拉角歐拉角 歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能 慣量張量慣量張量 歐拉動(dòng)力學(xué)方程歐拉動(dòng)力學(xué)方程 歐拉歐拉- -潘索情況潘索情況11.1 11.1 歐拉角歐拉角 歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程一一. . 歐拉角歐拉角 20 ,20,0 , 稱為歐拉角稱為歐拉角固定坐標(biāo)系固定坐標(biāo)系:o固定在剛體上的動(dòng)固定在剛體上的動(dòng)坐標(biāo)系坐標(biāo)系: .oxyz確定確定z軸的

2、位置軸的位置: 和和l0kk l)(節(jié)線節(jié)線.,即節(jié)線即節(jié)線為為面的交線面的交線面與面與onooxyl0kk l)(節(jié)節(jié)線線.,:;,:;,:0kk 自轉(zhuǎn)角速度為自轉(zhuǎn)角速度為自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角章動(dòng)角速度為章動(dòng)角速度為章動(dòng)角章動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角速度為進(jìn)動(dòng)角速度為進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角kk 0 z z , ,進(jìn)動(dòng)章動(dòng)kk 0l0kk l)(節(jié)節(jié)線線jiklkk cossinsinsincossincos0 ji sincos 二二. .歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.omzooxy面的交線為面的交線為面與面與 kjizyx 動(dòng)系中動(dòng)系中: cossincossincossinsinzyx-歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程11.

3、211.2剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能 慣量張量慣量張量本節(jié)介紹剛體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能本節(jié)介紹剛體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能的計(jì)算。的計(jì)算。cvmp 一一. . 剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)對定點(diǎn)的角動(dòng)量的計(jì)算剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)對定點(diǎn)的角動(dòng)量的計(jì)算 11121()11.2.2nniiiiiiiiniiiiiiiiniiiiilrm vrrmrrrrmrrr lliiiirx iy jz kiiiiijk 22111nnnxxiiiyiiiziiiiiilmyzm x ym x z 22111nnnyxiiiyiiiziiiiiilm y xmzxm y z

4、 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiilm z xm z ymzy 221nxxiiiiimyz 221nyyiiiiimzx 221nzziiiiimxy1nyzzyiiiiiim y z 1nzxxziiiiiim z x 1nxyyxiiiiiim x y xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii (11.2.6)性系數(shù)性系數(shù)合在一起統(tǒng)稱為慣合在一起統(tǒng)稱為慣慣量積與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量積與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量現(xiàn)對上述結(jié)果進(jìn)行分析：現(xiàn)對上述結(jié)果進(jìn)行分析：1）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對坐標(biāo)系的分布。慣性系）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對坐標(biāo)系的分布。慣性系數(shù)也可

5、用積分形式代替（數(shù)也可用積分形式代替（11.2.6）式；）式；mzyixxd22mxziyyd22myxizzd22mxyiiyxxydmzxiizxxzdmyziizyyzd張量張量i也可寫成也可寫成并矢形式：并矢形式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxikki jkiikikji j jii jikii j iii ii 二二. . 慣量張量慣量張量xxxyxzyxyyyzzxzyzziiiiiiiiii 慣量張量是用來描述剛體慣量張量是用來描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量；定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量；而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體定而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量。軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量。xx

6、xxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzliiiliiiliii （11.2.6）式式li線性變換關(guān)系稱為仿射變換線性變換關(guān)系稱為仿射變換三三. . 慣量主軸慣量主軸000000 xxxyxzxxyxyyyzyyzxzyzzzziiiiiiiiiiiii 000000 xxxxyyyyzzzzlililixxxyyyzzzliiijik使剛體對固定點(diǎn)的慣量張量中所有慣量積為零的坐標(biāo)系使剛體對固定點(diǎn)的慣量張量中所有慣量積為零的坐標(biāo)系為該點(diǎn)（為該點(diǎn)（o點(diǎn)）的主軸坐標(biāo)系。點(diǎn)）的主軸坐標(biāo)系。,xxyyzziii 為三個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)若剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度沿一主軸方向，則角動(dòng)量為若剛體

7、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度沿一主軸方向，則角動(dòng)量為lil與 平行如何尋找慣量主軸呢？如何尋找慣量主軸呢？1）對均勻?qū)ΨQ的剛體，其對稱軸是軸上各點(diǎn)的慣量主軸。）對均勻?qū)ΨQ的剛體，其對稱軸是軸上各點(diǎn)的慣量主軸。分析：分析：某軸某軸(設(shè)設(shè)x軸軸)要為固定要為固定o點(diǎn)的慣量主軸的必要條件點(diǎn)的慣量主軸的必要條件.xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii 0,xxyxzxyxzxxxliiijikiilii則只要得設(shè)剛體以角速度設(shè)剛體以角速度 繞繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng),則則 ,根據(jù)根據(jù)i0:都為都為包含該軸的所有慣量積包含該軸的所有慣量積充要條件是充要條件是一固定點(diǎn)的慣量主軸

8、的一固定點(diǎn)的慣量主軸的所以某軸要為其軸上某所以某軸要為其軸上某若對稱軸為若對稱軸為x軸，剛體上有軸，剛體上有()0( ,)(,)()00,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxiiizxiiim y xm yxx y zx y zm z xm zxim y xim z x 2）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上各點(diǎn)的慣量主軸各點(diǎn)的慣量主軸證明：證明：3）坐標(biāo)系的兩個(gè)軸是慣量主軸，則第三個(gè)軸也是）坐標(biāo)系的兩個(gè)軸是慣量主軸，則第三個(gè)軸也是主軸，此坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系。主軸，此坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系。4）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)對稱剛體的旋轉(zhuǎn)對稱軸（剛體繞此）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)

9、對稱剛體的旋轉(zhuǎn)對稱軸（剛體繞此軸轉(zhuǎn)過任意角度都對稱）為一軸的坐標(biāo)系是主軸軸轉(zhuǎn)過任意角度都對稱）為一軸的坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。四四. . 剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 2111111222nnni iiiiiiiiiitm rm vvm vr 111(11.2.20)22niiiitrm vlcababc利用xxxyyyzzzliiijik把式把式代入上式代入上式)(21222zzzyyyxxxiiit 得主軸坐標(biāo)系上得主軸坐標(biāo)系上動(dòng)能表達(dá)式動(dòng)能表達(dá)式:221212121 iillt 其中其中i為剛體對瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體對瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.五五. . 慣量橢球慣量橢球研

10、究剛體對過定點(diǎn)的一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式研究剛體對過定點(diǎn)的一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式.以以剛體固定點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系剛體固定點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系oxyz坐標(biāo)系，過坐標(biāo)系，過o點(diǎn)點(diǎn)的的l軸方向余弦為軸方向余弦為),( )()()cos(222222222iiiiiiiiiiiiiiilzyxzyxmlrrmrrmmi 考慮到考慮到則上式化為則上式化為, 1222 liliiiiiiiilzxyzxyzzyyxxl 222222-如已知固定點(diǎn)的慣量張量如已知固定點(diǎn)的慣量張量,則可得過此點(diǎn)的任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則可得過此點(diǎn)的任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.我們從幾何圖象來描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨軸方向分布的情況我們從幾何圖象來描述

11、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨軸方向分布的情況.在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取一長為在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取一長為r的線段的線段op,令令則則p點(diǎn)的坐標(biāo)將是點(diǎn)的坐標(biāo)將是代入式代入式 zxyzxyzzyyxxliiiiiii222222 得得p點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)的軌跡是:1)1(22222222 lllzxyzxyzzyyxxiiirzxiyzixyiziyixi-橢球面橢球面,反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的分布情況反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的分布情況,又稱慣量橢球又稱慣量橢球.幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明:1)對剛體不同固定點(diǎn)對剛體不同固定點(diǎn),有不同的慣量橢球有不同的慣量橢球,它屬于剛體中它屬于剛體中某一點(diǎn)某一點(diǎn).2)慣量橢球的慣量橢球的3個(gè)對稱軸是固定點(diǎn)的個(gè)對稱軸是固定點(diǎn)的3 個(gè)互相

12、垂直的主軸個(gè)互相垂直的主軸,若若 ,則慣量橢球是個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球則慣量橢球是個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球;如如 ,則慣量橢球?yàn)閳A球則慣量橢球?yàn)閳A球.yyxxii zzyyxxiii 3)利用慣量橢球可知?jiǎng)傮w對固定點(diǎn)的角動(dòng)量利用慣量橢球可知?jiǎng)傮w對固定點(diǎn)的角動(dòng)量l的方向是的方向是沿過橢球面角速度矢量沿過橢球面角速度矢量 與慣量橢球相交點(diǎn)與慣量橢球相交點(diǎn)p點(diǎn)的法線點(diǎn)的法線方向上方向上.(證明見書證明見書p303) 例題例題1: 一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心o點(diǎn)做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),其質(zhì)其質(zhì)量為量為m,半徑為半徑為r,已知英雄模范瞬時(shí)圓盤繞壺中心與盤已知英雄模范瞬時(shí)圓盤繞壺中心與盤面成面成 角的軸以角速度角

13、的軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),試求此時(shí)圓盤對中心的試求此時(shí)圓盤對中心的角動(dòng)量和圓盤的動(dòng)能角動(dòng)量和圓盤的動(dòng)能,以及圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 30解解: 建立過建立過o點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系,依題意有依題意有: 60cos, 0,30cos21,4122 zyxzzyyxxmrimrii圓盤對圓盤對o點(diǎn)的角動(dòng)量為點(diǎn)的角動(dòng)量為:kmrimrkmrimrkijiiilzzzyyyxxx 2222418360cos2130cos41 z圓盤的動(dòng)能為圓盤的動(dòng)能為:22222222216521)81163(21)(21 mrmrmriiitzzzyyyxxx 22165:21mriit

14、l 相比較可得相比較可得與式與式 2222222222216541214341)60(cos)30(cos:222mrmrmriiiiiiiiiiiiizzxxzzyyxxlzxyzxyzzyyxxl 得得也可據(jù)式也可據(jù)式11.3 11.3 歐拉動(dòng)力學(xué)方程歐拉動(dòng)力學(xué)方程一一. . 歐拉動(dòng)力學(xué)方程歐拉動(dòng)力學(xué)方程我們采用剛體固定點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系我們采用剛體固定點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系oxyz,并與剛體固并與剛體固連連,則剛體對定點(diǎn)的角動(dòng)量為則剛體對定點(diǎn)的角動(dòng)量為:xxyyzzliiijik采用動(dòng)坐標(biāo)系，角動(dòng)量定理為：采用動(dòng)坐標(biāo)系，角動(dòng)量定理為：kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyy

15、xx 而而,)()()(kiijiiiiilyxyxxzxzzyzy kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyyxx 而而)2 . 3 .11(,所以（所以（11.3.2)式的投影方程為式的投影方程為: zyxyxzzyxzxzyyxzyzyxxmiidydimiidydimiidydi 歐勒動(dòng)力學(xué)方程歐勒動(dòng)力學(xué)方程思考為何這里采用動(dòng)坐思考為何這里采用動(dòng)坐標(biāo)系標(biāo)系, ,沒考慮慣性力沒考慮慣性力? ?結(jié)合歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程結(jié)合歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 cossincossincossinsinzyx來求解剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題來求解剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題,但這兩個(gè)方程組求解困難但這兩個(gè)方程組求解困

16、難,到目前為止到目前為止,只有在下列三種情況才得到解析解只有在下列三種情況才得到解析解.1. 歐勒歐勒潘索情況潘索情況: 剛體不受外力矩作用的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體不受外力矩作用的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng). 2. 拉格朗日拉格朗日泊松情況泊松情況: 即陀螺在重力場中的運(yùn)動(dòng)，即陀螺在重力場中的運(yùn)動(dòng)，要求對固定點(diǎn)要求對固定點(diǎn)o所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球, 亦即亦即3個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中有兩個(gè)相等，個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中有兩個(gè)相等，ix=iy , 重心則位重心則位于動(dòng)力對稱軸上但不與固定點(diǎn)重合于動(dòng)力對稱軸上但不與固定點(diǎn)重合. 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀.3. c.b.柯凡律夫斯卡雅情況柯凡律夫斯卡雅情況: 在這一情況下，在這一

17、情況下，ixiy2iz, 而重心則在而重心則在oxy平面上平面上. 這也是一種對稱陀螺這也是一種對稱陀螺.zi 二二. .直接用角動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理外理比較直接用角動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理外理比較簡單的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題簡單的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題已知?jiǎng)傮w的運(yùn)動(dòng)，求作用在剛體上的約束力。已知?jiǎng)傮w的運(yùn)動(dòng)，求作用在剛體上的約束力。例例1 一個(gè)均質(zhì)圓盤一個(gè)均質(zhì)圓盤, 由于安裝不善由于安裝不善, 渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法線成交角線成交角 . 圓盤質(zhì)量為圓盤質(zhì)量為m,半徑半徑r, 中心中心o在轉(zhuǎn)軸上在轉(zhuǎn)軸上, o至兩至兩軸承軸承a與與b的距離均為的距離均為a. 設(shè)軸以角速度設(shè)軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), 試求軸

18、承試求軸承上的壓力上的壓力 解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心o點(diǎn)的主軸坐點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系標(biāo)系 ；為分解約束力再建；為分解約束力再建 zyxo oxyz對對z軸角動(dòng)量知，軸角動(dòng)量知， 常常量量 kjkmdydimiidydizzzyxyxzz cossin03zk 圓盤對圓盤對o點(diǎn)的角動(dòng)量為點(diǎn)的角動(dòng)量為kmrjmrkijilzzzyyy cos21sin4122mimrimrmrldtlddtld 2sin81cossin)4121(022222上式在上式在x，y方向的投影為：方向的投影為： )5()(0)4)(2sin8122naxnbxnbynayffaffamr 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理為：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理為： mgfmgfffffzyxfdtvdmnaznaznbynaynbxnaxec0)7(0)6(0,)(方向投影得方向投影得它在它在由（由（4）-（7）得：）得： 2sin161022mraffffnbynaynbxnax 由上式可知