4-1數(shù)學(xué)期望PowerPoint 演示文稿

1、1第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2 方差方差3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4 矩矩24.1 4.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望3例例1： 某班有某班有N人參加人參加 考試，其中有考試，其中有ni個(gè)人為個(gè)人為ai ,i=1,2,解：解： kiiNn1,平均成績(jī)?yōu)椋浩骄煽?jī)?yōu)椋?kiiikiiiNnanaN111若用若用X表示成績(jī)，則表示成績(jī)，則iaXP kiiiNna1Nni kiiiaXPa1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望求平均成績(jī)求平均成績(jī).4一、數(shù)學(xué)期望

2、的概念一、數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： ,kkpxXP ,2 , 1 k 1ikkpxEX 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為隨絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為隨 1ikkpx既有既有數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值. . 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望機(jī)變量機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。記作記作 :EX.5例例1 甲、乙兩人射擊，他們射擊水平由下表給出：甲、乙兩人射擊，他們射擊水平由下表給出：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望X:甲擊中的環(huán)數(shù)甲擊中的環(huán)數(shù)Y:乙擊中的環(huán)數(shù)乙擊中的環(huán)數(shù)試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水平高試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水平高?

3、解解: :甲、乙的平均環(huán)數(shù)為甲、乙的平均環(huán)數(shù)為:5 . 96 . 0103 . 091 . 08 EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08 EY甲的射擊水平比乙的高甲的射擊水平比乙的高.從平均環(huán)數(shù)上看從平均環(huán)數(shù)上看62. 2. 連續(xù)型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為f(x)，若積分，若積分 絕對(duì)收斂，則稱此積分值為絕對(duì)收斂，則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. dxxxf)( dxxxfEX)(記為記為說(shuō)說(shuō) 明明數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 X的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了X變化的平均值變化的平均值.7例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從服從Cauchy分布分

4、布,其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望說(shuō)說(shuō) 明明 xxxf2111 由于由于 dxxxdxxfx211 0212dxxx 021ln1x 因而因而EX不存在不存在. 非絕對(duì)收斂，非絕對(duì)收斂，積分積分 dxxxf(1) 定義中的級(jí)數(shù)與廣義積分是否絕對(duì)收斂一般不驗(yàn)證定義中的級(jí)數(shù)與廣義積分是否絕對(duì)收斂一般不驗(yàn)證.(2) 并不是任意一個(gè)隨機(jī)變量均存在數(shù)學(xué)期望并不是任意一個(gè)隨機(jī)變量均存在數(shù)學(xué)期望.8例例3 設(shè)有設(shè)有5個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置, ,它們的壽命它們的壽命Xi 000 xxexfx (i=1,2,3,4,5)都服從參數(shù)為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布.1

5、.若將這若將這5個(gè)電子裝置并聯(lián)個(gè)電子裝置并聯(lián), ,組成整機(jī)組成整機(jī), ,求此整機(jī)的求此整機(jī)的平均壽命平均壽命E(M). .2.若將這若將這5個(gè)電子裝置串聯(lián)個(gè)電子裝置串聯(lián), ,組成整機(jī)組成整機(jī), ,求此整機(jī)的求此整機(jī)的平均壽命平均壽命E(N). .),i ,(543210 0001xxexFx 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望Xi(服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布解解: :Xi的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為Xi的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為9 xFxFM5)( 000)1(5xxex 1. 令：令：M=max X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是其概率密度函數(shù)為：

6、其概率密度函數(shù)為： 00015)(4 xxeexfxxM dxxxfMEM)( 1160137 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望獨(dú)立同分布的獨(dú)立同分布的,于是于是利用第三章第五節(jié)利用第三章第五節(jié)P99;5.7式式 0415dxeexxx 10 xFxFM5)( 000)1(5xxex 2. 令：令：N=min X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為： 00015)(4 xxeexfxxM dxxxfMEM)( 1160137 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望獨(dú)立同分布的獨(dú)立同分布的,于是于是利用第三章第五節(jié)利用第三章第五節(jié)P99;5.7式式 0415

7、dxeexxx 11 00015xxex xFxFiiN 1151N的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：0005)(5 xxexfxN dxxxfNEN)( 51 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2. 令：令：N=min X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是獨(dú)立同分布的獨(dú)立同分布的,于是于是利用第三章第五節(jié)利用第三章第五節(jié)P99;5.8式式 055dxexx 12二、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.1.離散型離散型若若(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其邊緣是二維離散型隨機(jī)變量，其邊緣 , 2 , 1, 2 , 1 j

8、pipji和和 1iiipx分布律為分布律為絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)之和為絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)之和為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 1jjjpy如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為Y的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。記為：記為：E(Y).數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，如果級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)記為：記為：E(X).13 若積分若積分 絕對(duì)收斂，則稱此積分值為絕對(duì)收斂，則稱此積分值為X dxxxfX)(記為：記為：E(X). 若積分若積分 絕對(duì)收斂，則稱此積分值為絕對(duì)收斂，則稱此積分值為Y dyyyfY)(記為：記為：E(Y).數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2.2.連續(xù)型連續(xù)型 若若(X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量

9、，其關(guān)于是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為：的邊緣概率密度分別為： fX(x), fY(y).的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.14若若(X, Y)聯(lián)合分布律為聯(lián)合分布律為pij ( (i,j=1,2,) 或或f(x,y),則則 1111ijijiijijipxpxXE 1111jiijjjiijjpypyYE dxdyyxfxdxxxfXEX , dydxyxfydyyyfYEY ,數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望15三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理1 1設(shè)設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，(2)若若X 的概率密度為的概

10、率密度為 f ( x )，絕絕對(duì)對(duì)且且 dxxfxg)()( dxxfxgEY)()(則則 1)(kkkxgpEY則則（1）若）若 X 的分布律為的分布律為: pk= PX= xk ( (k =1,2,) 絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，且且 1)(kkkxgp收收斂斂，數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望16說(shuō)明說(shuō)明 1.一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù),它它 表示表示隨機(jī)變量取值的平均隨機(jī)變量取值的平均,與一般的算術(shù)平均值不與一般的算術(shù)平均值不 同，它同，它是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均.反映了隨機(jī)變反映了隨機(jī)變 量分布的量分布的一大特征一大特征,即隨機(jī)變量取值集中在期望

11、值即隨機(jī)變量取值集中在期望值 附近附近.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望定義本身就是期望計(jì)算的公式期望定義本身就是期望計(jì)算的公式,但須知隨機(jī)變量但須知隨機(jī)變量的分布率或概率函數(shù)的分布率或概率函數(shù).是否絕對(duì)收斂是否絕對(duì)收斂,并不是任何一個(gè)隨機(jī)變并不是任何一個(gè)隨機(jī)變 1kkkpx 2.一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在與否取決于一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在與否取決于 dxxxf)(或或量均存在數(shù)學(xué)期望。量均存在數(shù)學(xué)期望。 3.計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望時(shí)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望時(shí),只需知道只需知道X的分布即可。的分布即可。 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望17定理定理2 若若(X, Y)是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，),(YXgZ (1)

12、 若若 ( X, Y ) 的分布律為的分布律為, 2 , 1, jipyYxXPijji 1,),(jiijjipyxgEZ則則絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，且且 1,),(jiijjipyxg(2) 若若(X ,Y)的概率密度為的概率密度為 f ( x , y ) ，且，且 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂， dxdyyxfyxg),(),( dxdyyxfyxgEZ),(),(則則g ( x , y) 是二元是二元連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)，數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望18例例6 設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域A上服從均勻分布上服從均勻分布.其中其中A為為x軸軸,y 軸和直線軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.求求EX, E(

13、-3X+2Y), EXY. 其其它它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解解 dxdyyxxf),( 01012xdyxdx)43(YXE 0101)23(2xdyyxdx0 xy01 yxEXY 01012xydyxdx dxdyyxfyx),()43( EX31 31 dxdyyxxyf),(121 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望19三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) niniiiiiEXaXaE11)(數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1. Ec=c,c 是常數(shù)是常數(shù).若若aXb,則則 aEXb.2. E(cX)=cE(X),c 是常數(shù)是常數(shù).3. E(aX+bY)=aEX+bEY.4. 若若X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)

14、立,則則E(XY)=EXEY.20證明證明3 若若X,Y是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率函數(shù)為其聯(lián)合概率函數(shù)為Pij, 11jiijjipyxYXE則則 1111jiijjjiijipypx YEXEpypxjjjiii 11若若X,Y是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率密度為其聯(lián)合概率密度為f(x,y), dxdyyxfyxYXE ,)(則則 dxdyyxfydxdyyxfx , YEXEdyyyfdxxxfYX 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望21推論推論 設(shè)有隨機(jī)變量設(shè)有隨機(jī)變量,21nXXX則有則有)()()()(2121nnXEXEXEXXXE nXEXEXEnXXXEnn)()()()(2121 推論推論 設(shè)有獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)有獨(dú)立的隨機(jī)變量,21nXXX則有則有)()()()(2121nnXEXEXEXXXE 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望22例例7 一民航送客載有一民航送客載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有旅客有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)個(gè)車(chē)站可以下車(chē),如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)車(chē).以以X表示停車(chē)的次數(shù)表示停車(chē)的次數(shù),求求EX.(設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車(chē)站設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是